第9讲 等差数列—完整版
-
第
9
讲
等差数列
兴趣篇
1
．
★数列
2
，
4
，
6
，
8
，<
/p>
10
，…中，
50
是第几个数？
答案：第
25
个
解答：项数
=<
/p>
（末项一首项）÷公差
+1=
（
50-2
）÷
2+1=25.
< br>
2
．★数列
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，…中，第
20
项是多少？
答案：
39 <
/p>
解答：末项一首项
+
（项数
-1
）×公差
=1+(20
-11)
×
2=39.
3.(1)2,5,8,11,14
……
上面是按规律排列的一串数，其中第
21
项是多少？
(2)
把比
100
大的奇数从小到大排成一列，其
中第
21
个是多少？
答案：
（
1
）
62
；
(2) 141 <
/p>
解答：
(1)
方法一：从数列的前几项可
以看出，数列是逐渐增大的，而且相邻两
项的差是
3
．
由于项数不是很多，
可以一一列举出来：
2
，
5
，
8
，
11,
14, 17, 20, 23, 26, 29,
32, 35, 38,50,
53, 56, 59, 62
．…那么第
21
项是
62
方法二：此数列是一个以
< br>2
为首项，以
3
为公差的等差数
列，其中末项是
第
21
项，与首项相差
（
21-1
）个公差，则第
21
项为
2+(21
—
1
)
×
3=62
(2)
方法一：这个数列首项是
101
，而且
后一项比前一项大
2
．
则这个数列是：
101
，
< br>103
，
105
，
107
，
109
，
111
，
113,
115
、
117, 119,
121,
123, 125, 127
，
129,131,133,135,137,139,141
，……因此第
21
项就是
141
方法二
：
这个等差数列的首项是
101
，
公差是
2
，
项数是
21
，末项与首项相差
(21
-1)
个公羞，则第
21
项为
101+
(21-1)
×
2= 141.
4
．★如图
9
-1
，有一堆按规律摆放的砖，
从上
往下数，第
1
层有
1
< br>块砖，第
2
层有
5
块
砖，第
3
层有
9
块砖……按照这样的规律，第
19
层有多少块砖？
答案：
73
块
解答：观察图形，可以发现每一层的砖都比上一层的多
4
块．也就是说，每一层
的砖数形成了一个等差数列，首项是
1
，公差是
4
．
第
19
层的
砖数就是这个等差数列的第
19
项，它与第
1
项相差
(19
-1)
个公
差
'
所以第
19
层有
1+(19
-1)
×
4 - 73(
块
)
砖．
5
．★已知一个等差数列第
9
项等于
< br>131
，第
10
项等于
137
，这个数列的第
1
项
是多少？第
19
项是多少？
答案：
83
；
191
解答：对于等差数列，后一项减去前一项的差是不变的．
(1)
根据。
第
9
项等于
131
，
第
10
项等于
137
，
的条件，
可以求出公差为
1
37
-13=6
．
第
9
项与第
1
项之间相差
(9 -1)
个公差，因此第一
项
=
第
9
项<
/p>
-
（
9-1
）×
6=83
(2)
方法一：对于第
19
项，它与第
1
项相差
(19-1)
个公差，所以第
1
9
项为
83+(19
-1)
×
6= 191.
方法二：第
19
项与第
10
项之间相差
(19
-10)
个公差
，因此第
19
项为
137
十
(19
-10.)><6=191
．
方法三：仔细观察可以发现，第
10
项是第
1
项和第
19
项的中间项．因
此第
10
项的两倍就等
于第
1
项与第
19
项的和，即第
19
项一第
10
项×
2-
第
1
项，也就是
137
×
2 - 83=191
．
6
．★★墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，
檫去
了其中大部分数，只留下第四个数
31
和第十个数
73
．你能算出这个等差数列的
公差和首项吗？
答案：公差为
7
．首项为
10
解答：第
10
个数减去第
4
个数
应该等于
6
个公差，则公差
=(73
- 31)
÷
6=7
．
所以首项
=
末项一（项数<
/p>
-1
）×公差
=31 -(4 -1)<
/p>
×
7=10
．
7
．★★体育课上老师指挥大家排成一排，墨莫站排头，小高站排尾，从排
头到排尾依次
报数。
(1)
如果墨莫报<
/p>
3
，小高报
25
，每位同学报的数都比前一位多
2
，那么队伍
< br>里一共有多少人？
(2)
如果墨莫报
17
，小高报
150<
/p>
，每位同学报的数都比前一位多
7
，那么
队
伍里一共有多少人？
答案：
(1) 12;
(2) 20
解答：
(1)
从墨莫开始，每位同学所报的数组成一个等差数列，首项为
3
，末项为
25
，公差为
2
．
则人数就等于这个等差数列的项数
，而首项与末项相差
(
项数
-1)
个公差．
所以项数
=(25-3)
÷
2+1=12.
因此
队伍里一共有
12
个人．
(2)
与
(1)
类
似，此时首项为
17
，末项为
150<
/p>
，公差为
7
，则项数
=(150 -17)
÷
7+1= 20
< br>．因此队伍里一共有
20
个人，
8.
★计算：
(1) 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12;
解答：
(
1)
方法一：如下图所示，我们把算式中的
12
个加数分成如下
6
组：
1
与
12 -
组，
2
与
11-
组，
3
与
10 -
组，
4
与
9-
组，
5
与
8-
组，
6
与
7
一组．
发现
1+12=2+11=
3+10=4+9=5+8=6+7
=13
，即每组中的两数和都是
13.
那么整个算式求和就等于
13
×
6 =78.
方法二：
1
，
2
，…，
11
，
12
是公差为
1
< br>的等差数列．它的首项是
1
，末项
是
12
，项数也是
12.
根据等差数列求和公式得，
和一
（苜项十末
项）
×项数÷
2=(1+12)
×
12
÷
2=78
．
(2)
11+12+13+14+15+16+17+18+19.
答案：
(1)78
；
(2)135
(2)
方法一：同
(1)
< br>，把算式中
9
个加数分成
5
组：
11
与
19
-
组，
12
与
18
-
组，
13
与
17 -
组，
< br>14
与
16
一组，
15
单独一组．
由于
11+
19=12 +18=13+17=14
+16 = 30
，
所以除第
5
组外，其他
4
组每组
中两数的和都是
30.
由此得到原算式的和是
30
×
4 +15=135.
方法二
：
11
，
12
，…，
18
，
19
是公差为
1
的等差数
3
列．
它的首项是
11
，末项是
19
，项数是
9
．
根据等差数列求和公式得，
和
=
（首项十末项）
×项数÷
< br>2=(11+19)
×
9
÷
2=135.
方法三：和
=
中间项×项数
=
15
×
9=135.
9.
计算
(1) 100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90;
(2) 21+19+17+
……
3+1.
(1)
2+6+lO+
……
+90;
答案：
(1) 1045;
(2) 121
解答：
(
1)
方法一：根据等差数列求和公式得，和
=
< br>（首项十末项）×项数÷
2=(100+90)
×
l1
÷
2=1045
．
方法二
：和一中间项×项数
=95
×
11=1
045.
(2)
不难发现，将算式中各个加数
倒过来组成公
{
差为
2
，首项为
1
，末项为
21
的等差数列．
因此项数
=
（末项一首项）÷公差
+1=(21-1)
÷
< br>2 +1=11.
根据等差数列求和公式得，
和
=
（首项十末项）
×项数÷
< br>2=(1+21)
×
11
÷
2=121
．
1
0
、计算（
1
）
2+6+10+
……
+90
（
2
）
41+
44+47+
……
+101
答案：
(1)
1058
；
(2) 1491
解答（
1
）算式中各加数
2,6,10
，……
90
组成公差为
4
，首项为
2
，末项为
90
的等差数列。其项数为（
90-2
）÷
4+1=23
。根据等差数列求和公式得，和<
/p>
=
（
2+90
）
×
23
÷
2=1058
(2)
算式中各加数
41
，
44
，
47
，
…，
101
组成公差为
3
，首项为
41
，末项为
10
1
的等差数列，
其项数为：
（
101- 41)
÷
3+1=21.
根据等差数列求和公式得，
和
=(41+101)
×
21
÷
2=1491
拓展篇
1
．★★
(1) -
< br>个等差数列共有
13
项，每一项都比它的前一项大
2
，并且首
项为
23
.
求末项是多少？
(2)
-
个等差数列共有
13
项，每一项都比它的前一项小
7
，并且末项为
125.
求首项是多少？
答案：
（
1
）
47
；
(2) 209
解答：
(1)
此数列是首项为
23
，项数为
13
，公
差为
2
的等差数列，
则根据末项公式得，末项
=
首项
+
（项数
-1
）×公差
=23+(13 -1)
×
2 = 47.
(2)
原等差数列末项为
125
，每一项都比前一项小
7
．那么将其倒过来，得到<
/p>
新的数列是以
125
为首项，
每一项都比前一项大
7
的递增等差数列．
容易看出，
新的等差数列的公差是
7
，项数也是
13
，末项与首项也相差
(13-1)
个公差，因此
得到新的筹差数列的末项
是
125+(13
-1)
×
7=209.
由于新的等差
数列的末项正是原数列的首项，因此
209
就是题目所求，
2
．
★★一个等
差数列的首项为
11
，
第
10
项为
200
，
这个等差数列的公差等
于多少？第
19
项等于多少？
答案：
21
；
389
解答：
(1)
方法一：此时首项是
11
，末项是第
10
项
200
，项数是
10.
那么末项写
首项相差（
10
-1
）个公差，因此该数列的公差是（
200 -
11
）÷（
10
-1
）
=
189
÷
9 =
21
．
方法二：
如下图所示，
在等差数列中，
第
1
项与第
10
项之间相差
9
个公差，
又第<
/p>
1
项是
11
，第
10
项是
200
，它与第
1
项相差
(10-1)
个公差．
那么
9<
/p>
个公差是：
第
10
项一第
1
项
=200 -11=13
9
，
则
1
个公
差是
189
÷
9 =21.
(2)
方法一：第
19
项
=
第
1
项
+
（项数
-1
）×公差
=11+ (19
-1)
×
21=389.
方法二
：如上图所示，发现第
19
项与第
10
项也相差
9
个公差，因此第
19
项是
203+189=389.
3
．★★墨莫读一本课外书，第一天读了
15
页，以后每天都比前一天多读
3
页，最后一天读了
36
页，刚好把书读完．请问：
墨莫一共读了多少天？这本课
外书共有多少页？
答案：
8
天；
204
页
解答：墨莫第一天读了
< br>15
页，最后一天读了
36
页，
那么最后一天比第一天多
读了
36
-15=21
（页）
．
由于墨莫每天都比前一天多读
3
页，
因此从第一天到最后一天，
读书的页数
共增加
了
21
÷
3-7
（次）
，最后一天就是第
8
天，
读到最后一天时，
墨莫刚好把书读完
，
因此书的总页数就是墨莫这
8
天所读
的页数之和．
根据等
差数列求和公式得，
和
=(36+15)
×
8
÷
2=204
< br>，
所以这本书共有
204
页，<
/p>
4.
计算
(1) 3+6+9+12+15+18+21+24+27+30
（
2
）
41+
37+33+29+25+21+17+13+9+5+1
；
答案：
(1)
165
；
(2) 231
解答：
(1)
方法一：
3+6+9+12+1J+18+21+24+27+30
=(3+ 30) +(6+27) +(9+24) +(12 +21) +(15
+18)
=33+33+33+33+33
=33
×
5
=165
．
方法二
：根据等差数列求和公式得，和
=
（首项十末项）×项数÷
2=(3+30)
×
10
< br>÷
2=165.
(2)
方法一：
41+37+33+
29+25+21+17 +13+9+5+1
=(41+1)+(37+5)+(33+9)+(29+13)+(25 +17)
+21
=42+42+42+42+42+21
=42
×
5+21
=231
．
方法二
：根据等差数列求和公式得，和
=
（首项十末项）×项数÷
2=(1+410
×
11
< br>÷
2=231
．
方法三：和
=
中间项×项数
= 21
×
11=231
．<
/p>
5.
计算
(1) 5+11+17+---+77+83;
（
2
）
193+187+181+
……
103.
答案：
(1) 616;
(2) 2368
解答：
(1)
数列的首项是
5
，
末项是
83,
后一项比前一项大
11-5=6
，
所以公差是
6
．
根据项
数公式得，项数
=
（末项一首项）÷公差
+1=(83 -5)
÷
6 +1=13 +1=14.
根据等差数列求和公式得，和
=(5+83)
×
14
÷
2=
616
．
(2)
把
数列倒过来看，
数列的首项是
103
，
末项是
193
，
且每一项都比前一项
大
193
-187=6
．
根
据
项
数
公
式
得
，
项
数
=
（
末
< br>项
一
首
项
）
÷
公
差
+
1=(193
-
103)
÷
6+1=15+1=16.
根据等差数列求和公式得，和
=(193+103)
×
16
÷
2 =
2368
．
6
．
A
有一堆粗细均匀的圆木，堆成如图
9-2
的形状．已知最上面一
层有
6
根，共堆了
25
层，请问：这堆圆木共
有多少根？
答案：
450
解答：由题意得，每层
的圆木数构成等差数列，其中首项是
6
，项数是
25
，公
差是
1
．
末项
=
首项
+
（项数
-1
）×公差
=6+ (25 -1)
×
1=30
．
所以第
25
层有圆木
30
根
．
根据等差数列求和公式得，
和
=
（首项十末项）
×项数÷
< br>2=(6+30)
×
25
÷
2=450.
所以这堆圆木共有
450
根．
7
．已知一个等差数列第
8
项等于
50
，第
15
项等于
71
．请问：
(1)
这个等差数列的第
1
项是多少？
(2)
这个等差数列前<
/p>
10
项的和是多少？
答案：
（
1) 29;
(2) 425
解答：
(1)
方法一：等差数列中的第
15
项与第
8
项这两数之间相差
7
个公差，由
于第
15
项是
71
，而第
8
项是
50
，所以
7
个公差是
71-
50=21
，那么
1
个公差
就是
21
÷
7=3
．
而数列中的第
1
项与第
8
项也相差
7
个公差，因此第
1
项的数是：
第
8
项
-7<
/p>
个公差
=50 - 21=29.
方法二：从下面的示意图中可以发现：
15
< br>-8=8-1
，也就是说第
8
项
比第
1
项多
7
个公差，第
15
项比第
8
项多
7
个公差，所以第
8<
/p>
项的数正好是第
1
与第
15
项
两数和的一半．由于第
8
项等于
50<
/p>
，第
15
项等于
71
，因此数列
的第
1
项是
50
×
2-71=29.
(2)
第
10
项<
/p>
=
第
1
项
+9
个公差
=29+9
×
3=56
．
根据等差数列求和公式得，
和
=
（首项十末项）
×项数÷
2=(29+56)
×
10
÷
2=42
5
．
8
．
一个等差数列的第
1
项是
21
，
前
7
项的和为
105
，
这个数列
的第
10
项是多
少？
< br>
答案：
3
解答：方法一：等
差数列前
7
项的和是
105
，根据等差数列求和公式“和一（首
项十末项）×项数÷
< br>2
”得，首项十末项
- 105
×
2
÷
7=30.
因首项是
21
，则此时的末项
（第
7
项）就是
30 -
21=9
．
由于第
7
项与第
1
项
之间相差
6
个公差，因此一个公差就是
(21-9)
÷
6=2
．
此时数列是递减等差数列，筹差数列的第
1O
项与第
7
项相差
3
个公差．
所以数
列的第
10
项是
9-2
×
3=3
．
方法二：
等差数列前
7
项的和是
105
，
根据等差数列求
和公式“和一中间项×
项数”得，数受前
7
项的中间项（第
4
项）是
105<
/p>
÷
7 =15
，由此知道．
，这个数列
是递减等差数列．
第
4
项与首项的差是
21-15=6
．显而易见，数列第
4
项与首项相差
3
个公
差，所以公差是
6
÷
3=2
．
而第
10
项与首项相差
9
个公差，因此第
1 3
项是
21-9
×
2=3
9
．把
248
表示成
8
个连续偶数的和，其中最大的那个偶数是多少？<
/p>
答案：
38
解答：
方法一：
8
个连续的偶数，
它们组成一个公差为
2
，
< br>项数为
8
的等差数列，
且各数的
和是
248
；
根据求和公式“和
=
（首项十末项）×项数
÷
2
”得，首项十末项
= 248
×
2
÷
8=62.
由于这
8
个数是连续的偶数，
因此末项比首项大
(8 -1)
×
< br>2-14
，
即末项一首项
一
14
，其由首项与末项分别是这
8
个数中的最小数与最大数，则这
8
个数中最
大数
=
（末项与首项的和十末项与首项的差
）÷
2=(62+14
）÷
2 =
38
．
方法二：
项数为
8
的等差数列中各数的和是
24
8
，
那么根据“和一中间项×项
数”<
/p>
，
得中间项（即第
4
项和第
5
项的平均）是
248
÷
8=31
．
在
8
个连续偶数组成的等差数列申，中间项
是第
4
个数与第
5
个数之和的
一半，
也就是它们之间的那个奇数．
因此数列中第
4
个数是
3
0
，
第
5
个数
是
32.
这
8
个连续偶数是
24
，
26
，
28
，
30
，
32.. 34
，
36
．
38
，所以最大数
是
38.