等差数列教学设计方案
-
非遗学院第三届
“
非遗杯
”
最美非遗文创产品设计大赛暨第四届
“
桃之夭夭
”
服装设计大赛策划方案
教学设计方案
课
题
名称
姓名
年
级
学科
<
/p>
等差数列的前
n
项和
韩红改
工
作
单位
教
材
版本
河北正定中学
高一数学
课标版必修
5
一、教学内容分析
数列是刻画离散现
象的函数，
是一种重要的数学模型。
高中数列研究的主要对象是
等
差、等比两个基本数列。本节课的教学内容是等差数列的前
n
项和公式，它既是对等差
数列知识的运用与巩固，又是后面研究
一般数列求和的基础。
学生学习这个内容重点是探索并掌握等
差数列前
n
项和公式，
学会用公式解决
一些实
际问题。
高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定距离
，
如何从首尾配对法引出倒序相
加法，这是学生学习的障碍。因
此，学生学习的难点是等差数列前
n
项和公式推导思路
的获得。
二、教学目标
教学既要关注到学生当
前的需要，也要关注学生可持续发展的需要。因此，本节课的
教学目标分为以下三个方面
：
（
1
）知
识与技能：
掌握等差数列前
n
项和公式
及其获取思路，会用等差数列前
n
项
和
公式解决一些简单的与前
n
项和有关的问题。
< br>
（
2
）过程与方法：
从公式的推导过程中，体验从特殊到一般的研究方法，培养学生
观察、归
纳、反思的能力。
（
3
）情感、态度与价值观：
通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。
三、学习者特征分析
下面，我将从知识基础、认知水平与能力、班级学生特点三个方面来进行学情分析。
从
认知基础
来看，高一年级学生已掌握
了函数、数列等有关基础知识，并且在初中已
了解了特殊的数列求和。
< br>
从
认知水平与能力
来看，高一
学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能够在教师的引导
下独立的解决问题。
从
班级学生特点
来看，我
班学生基础知识比较扎实，思维比较活跃，能够很好地掌握
.
1
非遗学院第三届
“
非遗杯
”
最美非遗文创产品
设计大赛暨第四届
“
桃之夭夭
”
服装设计大赛策划方案
教材上的内容，
能较好的应用数形结合的方法解决问题，
但对于处理抽象问题的能力
还有
待进一步提高。
四、教学过程
（一）复习回顾
首先回顾等差数列的
定义、通项公式和性质，先让学生回忆，在老师的引导下，由学
生回答。
设计意图：
复习通项及性质，
帮助学生巩固旧知识，
同时为前
n
项
和公式的推导做好
知识准备。
（二）情境引入
展示高斯求和例子并
引导学生推导公式。
高斯是德国著名的数学家，
他研究的内容涉
及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”
。在高斯
10
岁的
时候，他的
算术老师提出了下面的问题：
1
<
/p>
2
3
100
?
据说，当其他同学忙于把
100
个数逐项相加时，
10
岁的高斯却用下面的方法迅
速算
出了正确的答案：
(1
100)
(2
99)
高斯的
算法实际上解决了求等差数列
(5
0
51)
101
50
5050
1,2,3,
前
100
项的和的问题。
,
n
,
探究：
高斯的算法妙处在哪里？这种方法能够推广到求一般等差数列
的前
n
项和吗？
设计意图：
高斯的算法蕴含着求等差数列前
n
项和的一般规律。
教学时，
给学生提供
充裕的时间，
让学生自己去观察发现这种数列的内在规律。
< br>学生对于高斯的算法是熟悉的，
知道采用首尾配对的方法求和。
< br>这个例子从实际问题入手，
能激发学生学习新知识的兴趣，
为新课的讲解做铺垫。
（三）探究公式
问题
1
：
.
2
非遗
学院第三届
“
非遗杯
”
最美非遗文创产品设计大赛暨第四届
“
桃之夭夭
”
服装设计大赛策划方案
< br>教师：利用高斯算法如何求等差数列的前
n
项和公式？<
/p>
学生：将首末两项配对，第二项与倒数第二项配对，以此类推，
每一对的和都相等，
并且都等于
a
1<
/p>
a
n
。
教师：但是否刚好配对成功呢？
学生：不一定，需要对
n
取值的奇偶性进行讨论
。当
n
为偶数时刚好配对成功，当
n<
/p>
为奇数时，中间的一项
a
1
n
落单了。
2
教师：对于
n
的讨论太
麻烦了，能否有更好的方法求前
n
项和公式呢？
设计意图：
高斯求和众所周知，学生能快速解答。这
里用到了等差数列脚标和性质。
从高斯算法出发，对
n
进行讨论，寻找求和公式思路。对于中间项
a
1
n
的解决办法，让
< br>2
学生进一步体会到研究数列就是对脚标的研究。
问题
2
：
图案中，
第一层到第
21
层一共有多少颗宝石？
借助几何图形的直观性，引导学生使用熟悉的几何方法：把全等三角形倒置，与原图
补成平行四边形。把不同数求和问题转化为相同数求和。
设计意图：
几何直观更直观，帮助理
解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数
学学习中的重要方面。只有做到了直观上
的理解，才是真正的理解。因此在教学中，要鼓
励学生借助几何直观进行思考，
揭示研究对象的性质和关系，
从而渗透了数形结合的数学
思想。设计此题的目的在于让学生体验“倒序相加”这一算法的合理性，从心理上完成对
“首尾配对”算法的改进。
问题
3
：
如何求等差数列
a
n
的前
n
项和
S
n
？
由前面的铺垫，学生容易得出以下过程：
.
3
非遗
学院第三届
“
非遗杯
”
最美非遗文创产品设计大赛暨第四届
“
桃之夭夭
”
服装设计大赛策划方案
< br>S
n
a
1
a
2
S
n
a
n
a
n
1
两式相加得：<
/p>
a
n
1
a
1
2
2
S
n
a
1
a
n
<
/p>
a
2
a
n
1
2
S
n
a
1
a
n
a<
/p>
1
a
n
2
S
n
n
a
1
a
n
n
a
1
a
n<
/p>
S
n
2
又因为
a
n
a
1
n
1
d
，
所以
S
n
na
1
a
n
a<
/p>
1
a
1
a
n
n
(
n
1)
< br>d
。
2
设计意图：
在前面数形结合的基础上，让学生自己动手推导求和公式。在获取知识的<
/p>
过程中，进一步体会倒序相加的方法，让学生经历“发现问题
—<
/p>
提出问题
—
解决问题”的
过程，同时也加深了对公式的理解与记忆。
问题
4
：
比较这两个公式，说说它们分别从哪些
方面反映了等差数列的性质？
引导学生比较得出结论：若已知
等差数列首相为
a
1
，末项为
a
n
，项数为
n
，可直接
n
a
1
a
n
运用公式一
S
n
求和；若已知等差数列首相为
a
1
，公差为
d
，项数为
n
，则
2
直接
运用公式二
S
n
na
1
n
(
n
1)
d
求和较为简便。从公式的结构特点可知，公式共包
2
含五个量
a
1
,
a
n
,
n
,
d
,
S
n
，只要知道其中三个量，就可以求出其余两个量。
设计意图：
加深对公式的理解记忆，分析公式的本质，能够在做
题的过程中更好的选
取适当的公式。
（四）公式的记忆
.
4