四年级奥数第五讲等差数列二教师版
-
第五讲
等差数列（二）
解题方法
某些问题以转化为求若干个
数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数
列，如果是等差数列才可以运用它
的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体
特点，有时可考虑将题中的数适当分
组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决
。
例题
1
小王看一本书第一天看了
20
页，以后
每天都比前一天多看
2
页，第
30
天看了
78
页正好看完。这本书共有多少页
？
提示
根
据条件“以后每天比前一天多看
2
页”可以知道他每天看的页数
都是按照一定规律排列的数，
即
20
、
22
、
24
、
…、
76
、
78
。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。
解：
由题意可知，这列数是一个等差数列，首项
=20
< br>，末项
=78
，项数
=30
，所以这本书共有
（
20+78
）×
30
÷
2=1470
（页）
答：
这本书共有
1470
页。
引申
1
、<
/p>
文丽学英语单词
,
第一天学会了
3
个，
以后每天都比前一天多学会
1
个，
最后一天学会了
21
个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？
解：文丽每天学会的单词个数是一个等差数列，即
3
、
4
、
5
、<
/p>
6
、…、
21
。
首项
=3
，末项
=21
，
项数
=
（
< br>21-3
）÷
2+1=10
。所
以，文丽在这些天中共学会了（
3+21
）×
< br>10
÷
2=120(
个
)
答：文丽在这些天中共学会了
120
个英语单词。
2
、
李师傅做一批零件，第一天做了
25
个，以后每天都比前一天多做
2
个，第
20
天做了
63
个
正好做完。这批零件共有多少个？
答
:
（
25+63
）×
20
÷
2=880
（个）
3
、
小李读一本短篇小说，她第一天读了
20
页这个等差数列共有多少项
?
答：
这个等差数列共有
29
项
。
例题
2
建筑工地上堆着一些钢管
(
如图所示<
/p>
),
求这堆钢管一共有多少根。
提示：根据图可以知道，这是一个
以
3
为首项，以
1
为公差的等差数列，求钢管一共有多少根其实是求
这列数的和。
解：求钢管一共有多少根
,
其实
就是求
3+4+5+
…
+9+10
的和。
项数
=(
10-3)
÷
1+1=8,
根据公式求
和为
:
3+4+5+
…
+9+10
=(3+10)
×
8
÷
2
=13
×
8
÷
2
=52(
< br>根
)
。
答：这堆钢管一共有
52
根。
1
/
10
引申
1
、<
/p>
一些同样粗细的圆木
,
像如图所示一样均
匀地堆放在一起
,
已知
最下面一层有<
/p>
70
根。一共有多少根圆木？
答案：
2485
根。
2
、用
3
根等
长的火柴棍摆成一个等边三角形
,
用这样的等边三角
形，
按下图所示铺满一个大的等边三角形
,
如果这个大的等边三角
形的底边能放
10
根火柴棒
,
那么这个大的等边三角形中一共
要放
多少根火柴棒
?
解
:
如果把
图中最上端的一个三角形看做第一层
,
与第一层紧相连的
3
个三角形
(2
个向
上的
三角形
,
一个向下的三角形
)
看做第二层
,
那么
这个图中一共有
10
层三角形。
不难看出
,
这
10
层三角形每层所需火柴棒根数
,
自上而
下依次为
:3,6,9,
…
,3
×
10
。
它们成等差数列
,
且首项为
3,
公差为
3,
项数为
10
。
求火柴的总根数
,
也就是求这个等差数列各项的和。
即
:
3+6+9+
…
+30
=(3+30)
×
10
÷
2
=33
×
5
=165(
根
)
答：这个大的等边三角形中一共要放
165
根火柴棒。
3
、
用相同的小
立方体摆成如图所示的形状
,
如果共摆成
10
层
,
那么最下面有多少个小立方
体
?
答案：
55
个
例题
3
有
5
0
把锁的钥匙搞乱了
,
为了使每把锁都
配上自己的钥匙
,
至多要试多少
次
?
提示：开第一把锁时，如果不凑巧，试
了
49
把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第
一把锁至多需要试
49
次，同理，开第
二把锁至多需要
48
次，开第三把锁至多需试
< br>47
次，…，等打开第
49
把<
/p>
锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
解：根据以上分析
,
可以把本题转化为求一个等差数列的和
，
即
49+48+47+
…
+2+1
=(
49+1)
×
49
÷
< br> 2
=1225(
次
)
答：至多要试
1225
次。
2
/
10
引申
1
、
有
60
把
锁的钥匙搞乱了
,
为了使每把锁都配上自己的钥匙
,
至多试多少次
?
解：
59+58+57+
…
< br>+2+1=(59+1)
×
59
÷
2=1770(
次
)
2
、有一些锁的钥匙搞乱了
,
已知至多要试
28
次
,
就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几
把锁的钥
匙搞乱了
?
答
:
一共有
8
把锁的钥匙搞乱了
。
3
、
一辆公共汽车有
66
个座位
,
空车出
发后
,
第一站上一位乘客
,
第二站上两位乘客
,
第三站上
三位乘客
,
依次类推
,
第几站后
,
车上坐满乘客
?
答：第
11
站后，车上坐满乘客。
例题
4
四（
1
）班
45
位
同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只
能握一次手，同学们共
握了多少次手？
提示：假设
45
位同学排成一队，第
1
位同学一次与其他同
学握手，一共握了
44
次，第
2
位同学因与第
1
位同学已握手，
只需要与另外
43
位同学握手，
一共握了
43
次，
这样第
3
位同学只需与另外的
42
位同学握手，
…，
依次类推。握手的次数分别为：
44,43,42
，…，
3,2,1
，这样应用等差数列求和公式即可解答。
解：根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和
即
44+43+42+
…
+3+2+1
=
（
44+1
）×
44
÷
2
=990
（次）
答：同学们共握了<
/p>
990
次手。
引申
1
、学
校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有
16
< br>人参加比赛，一
共要进行多少场比赛？
答案
: 15+14+13+
…
+3+2+1=
（
15+1
）×
15
÷
2=120
（场）
2
、
在一次元旦晚会上，
一共有
48
位同学和
5
位老师，
每一位
同学或老师都要和其他同学握一
次手。那么一共握了多少次手？
解：根据题意，一共有
48+5=53
（人）参加了这次晚会。所以，一共握手的次数为：
52+51+50+
…
+3+2+1=
（
52+1
）×
52
< br>÷
2=1378
（次）
答：一共握了
1378
次手。
3
、一次朋友聚会，大家见面时总共握手
28
次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一
次，问参加聚会的共有多少人？
解：设共有
n
人参加了聚会，因为要求参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，所以
一共握手（
n-1
）
+
（
n-2
）
+
…
+2+1=n
×（
n-1
）÷
2
，因为共握手
28
次，所以
n
×（
n-1
）÷
2=28
，即
n
×（
n-1
）
=56.
又因为
n
是正整数，通过计算，可知
8
×
7=56
，
n=8
，
所以参加聚会
的共有
8
人。
答：参加聚会的共有
8
人。
Class:
Name:
(
)1. Good morning!
!
3
/
10
g !
!
!
(
)2.
Nice
to
see
you
again
!
.
are you ?
to see you ,
too .
do you do ?
(
) night,mom !
!
night !
evening .
(
) do you do ?
are you ?
,thanks .
do you do ?
(
)
many
story
books
do
you
have ?
A.I have 10.
B.I can see 10.
yuan.
(
) you have new teachers?
,we do .
,we
don
’
t.
,we have .
(
)
’
s
your
art
teacher
?
Zhu.
Zhu.
’
s tall.
(
)
’
s he like?
’
s
tall and strong .
,he is.
Zhu.
(
) your English teacher
young?
,she isn
’
t.
,she is .
,she
is.
(
)10.
?
Her name is Chen Jie.
’
s your name ?
’
s she name ?
’
s her name ?
(
)11.
? I like Chinese,math and English.
classes do you like?
do you like?
are you
like ?
(
)12.
? We have English and P.E.
do you have on Mondays ?
do you have ?
4
/
10
do you have on Monday?
(
)13.
? It
’
s Monday.
is it today ? day is it today ?
day is today ?
(
)14.
?
I watch TV and do my homework.
do you
do ?
do you do in
Mondays?
do you do on
Sundays ?
(
) I have a look ?
you are .
!
you are .
(
)
math teacher is
Canada.
(
)17.I
three new
teachers.
(
)
’
s
Chinese teacher like ?
’
re
(
) r is
thin.
(
)
are
days in a week.
(
) are
month(
月
)in a
year(
年
).
(
)22.I often watch TV
Saturday .
(
)23.I like P.E.
I
don
’
t lime music.
(
)
is
apple.
5
/
10
It