小学数学速算与巧算
-
速算与巧算
数学竞赛中，都有一定数量的计算题。计算题一般可以分为两类：
一类是基础题，
主要
考查对基础知识理解和掌握的程度；
另一类则是综合性较强和灵活性较大的题目，
主要考查
灵活、
综合运用知识的能力，
一般分值在
10
分到
20
分之间。<
/p>
这就要求有扎实的基础知识和
熟练的技巧。
1.
速算与巧算主要是运用定律：加法的交换律、结合律，
减法的性质，乘法的交换律、结合
律和乘法对加法的分配律，除法的性质等。
2.
除法运算规律：
(1)A
÷
B
＝
1
÷
B
A
(2)a
÷
b
±
c
÷
b
＝
(a
±
c
)
÷
b
3.
拆项法：
(1)
1
1
1
n
n
1
n
(
n
1)
d
1
1
n
(
n
d
)
n
n
d
1
1
1
1
(<
/p>
)
n
(
n
d
)
d
n
n
d
(2)
(3)
(4)
1
1
1
1
n
(
n
1)
(
n
2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
n
2
(
n
1)
2
n
n
1
1
1
1
1
<
/p>
(5)
n
(
n
1)
n
1
n
n
1
n
(6)
将
1
分拆成两个分数单位和的方法：
先找出
A
的两个约数
a
1
和
a
2<
/p>
，
然后分子、
分母分
A
别乘以
(a
1
< br>＋
a
2
)
，再拆分，最后进行约分。
1
(
a
1
a
2
)
a
1
a
2
1
1
1
＝
＝
＝
< br>
A
A
A
A
(
a
1
a
2
)
A
(
a
1
a
2
)
A
(
< br>a
1
a
2
)
(
a
1
a
2
)
(
a
1
a
2
)
a
1
a
< br>2
4.
等差数列求和：
(
首项＋末项
)
×项
数÷
2
＝和
5.
约分法简算：
将写成分数形式的算式中的分子部分与分母部
分同时除以它们的公有因数或
公有因式。
典例巧解
例
1
2007
÷
2007
2007
＝
。
2008
点拨一
< br>被除数是
2007
，除数是一个带分式，整数部分和分数
部分的分子都是
2007
，我们
可以把
2007
2007
化为假分数，再把分
子用两个数相乘的形式表示，便于约分和计算。
2008
2007
2008
解
2007
÷
2007
＝
2007
÷
2007<
/p>
2008
2
007
2008
2007
2009
2008
2008
< br>2007
2009
＝
2007
÷
＝
2007
×
＝
2008
2009
B
”
，本题就可以避免先将带分数化成假分
A
点拨二
根据题目特点，如果利用“
A
÷
B
＝
1
÷
数后，再相除的一般做法，而采用同数相除商为
1
的巧办法。
2007
解
原式＝
1
÷
2007
2008
，
2007
＝
1
÷
1
1
2008
＝
2008
2009
说明
本题“巧”在倒数概念的运用。
例
2
(
第五届“希望杯”邀请赛试题
)
<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
(1
)
(1
)
(1
)
< br>(1
)
(1
)
(1
)
(1
)
(
1
)
2
3<
/p>
4
5
6
7
8
9
0.1
0.2
0.3
0.4
< br>
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
＝
。
点拨
此题分子可化简去括号变成因数乘积的形式，
再约分化简，
分母可通过凑整变形化简，
问题易解。
<
/p>
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
9
解
(0.1
0.9)
(0.2
0.8)
(0.3
0.7)
(0.4
0.6)
0.5
< br>1
2
＝
9
＝
9
81
2
2
3
4
28
29
1
2
3
27
28
4
5
29
30
。
例
3
计算：
3
1
2
3
27
28
3
5
7
55
57
3
4
5
29
30
点拨
初看题目，分子、
分母都是一组有一定规律的数列，可以先分别求出和，再
求它们的
商，但事实上，求出和的结果是不易做到的。再仔细观察分子、分母，可以发现
对应项之间
存在一定的规律：
1
2
10
3
2
3
22
4
3
4
38
5
÷
1
＝
×
＝
2
，
5
÷
2
＝
×
＝
2
，
7
÷
3<
/p>
＝
×
＝
2
，…，
3
5
4
5
5
3
3
4
4
11
5
19
27
28
1622
29
28
29
55
÷
27
＝
×<
/p>
＝
2
，
57
÷
28
＝
2
。
29
29
29
30
30
811
3
这说明分母的总和
正好是分子总和的
2
倍，问题易解。
2
3
4
28<
/p>
29
1
2
3
27
28
4
5
29
30
解
3<
/p>
1
2
3
27
28
3
5
7
55
57
3
4
5
29
30
2
3
4
28
29
1
2
3
27
28
3
4
5
29
30
＝
2
3
4
28
29
2
(1
2
< br>3
< br>27
28
)
< br>3
4
5
29
30
＝
1
2
27
28
÷
27<
/p>
时，如果不用常规的办法，先将带分数转化为假分数，而是利
29
29
说明
在计算
55
用题目中的数据，再经过转化，逆向运用乘法分配律
，就更简便。如：
被除数＝
55
×
29
＋
27
＝
54
×
29
＋
(29
＋
27)
＝
2
×
(27
×
29)
＋
2
×
28
＝
2
×
(27
×
29
＋
28)
，
除数＝
27
×
29
＋
28
，仍然可以看出被除数正好是除数的
2
倍。
例
4
计算：
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
1997
1998
1999
。
1
1
1
1
1
1
1999
2
2000
3
2001
999
2997
1000
2998
点拨
观察题目可
知，
要求计算的繁分数的分子与分母都是较为复杂的分数数列，
所以不妨
分别计算繁分数的分子和分母，然后再计算最后结果。
观察繁分数的分子，
虽然是一
列分母从
1
开始的分数单位的数列，
但
分母是偶数的分数
单位都是减数，所以，得运用一加一减的技巧来满足等差数列求和的条
件。
解
分子＝
(1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)
2
(
)
2
3
4
1997<
/p>
1998
1999
2
4
6
1998
＝
< br>(1
1
1
1
1
1
1
)
(1
)
2
3
1999
2
3
999
＝
1
1
1
1000
1001
1999
1
1
1
1
1
<
/p>
2000
2002
2004
3996
399
8
分母＝
<
/p>
＝
1
1
1
1
×
(
)
2
1000
1001<
/p>
1999
1
1
1
1999
< br>原式＝
1000
1001
1
1
1
1
(
)
2
1000
1001
1999
＝
2
例
5
计算：
1
1
1
1
。
1
2<
/p>
1
2
3
1
2
3
9
10
点拨
因为
2
1
2
1
2
2
＝
＝
，
＝
< br>＝
…
1
2
(1
2)
2
2
3
1
2
3
4
3
3
4
所以本题可以将每一项做适当变形后，用前面的方法使计算简便
。
解
1
1
1
1
1
2
1
2
3
1
2
3
9
10
2
2
2
2
3
3
4
< br>10
11
＝
1
＝
2
×
(
1
1
1
1
)
1
2
2
3
3
4
10
< br>
11
1
1
1
1
1
1
1
<
/p>
<
/p>
)
2
2
3
3
4
10
11
1
)
11
＝
2
×
(
1
＝
2
×
(1
－
＝
1
9
11
例
6
计算：
1
2
1
1
2
3
2
1<
/p>
1
2
1988
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋
＋…＋
＋
＋…＋
＋
1990
1990
1990
2
2
2
3
3
3
3
3
1989
1990
＋
。
1990
1990
1
2
1
1
2
3
2
1
1
2
1988
＋
＋
＝
2
，
＋
＋
＋
< br>＋
＝
3
，
…，
＋
＋…＋
3
3
3
3
3
1990
1990
1990
2
2
2
1989
1990
＋
＋
＝
198
9
，即题的前半部分可变形为
2
＋
3
＋
4
＋…＋
1989
，应用等差数列求
1990
1990
点拨
审
题知
和公式求出。
题的后半部分是同分母加法，
而且分子是一个等差数列，
应用等差数列求和公
式，可
求出分子相加的结果。
解
<
/p>
原式＝
2
＋
3<
/p>
＋
4
＋…＋
19
89
＋
(1
1990)
1990
2
1990
＝
(2
＋
19
89)
×
1988
÷
< br>2
＋
19
91
÷
2
＝
1979054
＋
< br>
＝
例
7
计算：
573
697
< br>572
363636
。
573
697<
/p>
124
727272
< br>点拨
可利用拆项和乘法分配律分别将两个加数变形。
解
第一个加数可变形为
573
697
<
/p>
572
573
697
572
＝
573
697
124
(572
1)
697
124
再应用乘法分配律把此式变形为
573
697
572
573
< br>697
572
＝
＝
1
；
< br>572
697
697
124
572
697
573
363636
360000
3600
36
＝
727272
720000
7200
72
第二个加数变形为
分子、分母都分别含有相同的数，变形为
36
(10000
100
1)
36
＝
。
72
(10000<
/p>
100
1)
72
36
1
＝
1
。
72
2
原式＝
1
＋
例
8
计算：
1
2
< br>3
7
8
。
2
2
3
2
3
4
2
3
4
5
6
< br>
7
8
2
3
4
5
6
7
8
9
点拨
可先通过试验的方法找出规律。
2
1
1
3
1
1
，
，…
2
3
2
2
3
2
3
4
2
3
2<
/p>
3
4
解
1
2
3
7
8
2
2
3
2
< br>3
4
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
< br>
7
8
9
1
1
1
1
1
1
＋
(
－
)
＋
(
－
)
＋
…
＋
(
－
< br>2
3
4
2
2
2
3
2
3
2
3
4
5
6
7
1
< br>1
1
)
＋
(
－
)
2
3
4
5
6
7
8
2
3
< br>4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
9
＝
< br>＝
1
1
1
＋
－
2
2
2
3
4
5
6
7
8
9
＝
362879
362880
例
9
计算：
(1
＋
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
1
1
1
＋
＋
)
×
(
＋
＋
＋
)
－
(1
＋
＋
＋
＋
)
×
(
＋
＋
2
3
4
2
3
4
5
2
3
4<
/p>
5
2
3
1
)
。
4
点拨
可
以把
1
＋
1
1
1
1
1
1
＋
＋
看成一个整体，
暂时用字母
A
来表示这个整体，
把<
/p>
＋
＋
2
3
4
2
3
4
也看成一个整体，用字母
B
来表示。则
A
－
B
＝
1
。
解
令
A<
/p>
＝
1
＋
1
1
1
1
1
1
＋
＋
，
B
＝
＋
＋
，则
A
－
B
＝
1
。
2
3
4
2
3
4
(1
＋
1
1
1
1
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
1
1
＋
＋
)
×
(
＋
＋
＋
)
－
(1
＋
＋
＋
＋
)
×
(
＋
＋
)
2
3
4
2
3
4
5
2
3
4
< br>5
2
3
4
1
1
)
－
(
A
＋
)
×
B<
/p>
5
5
<
/p>
＝
A
×
(B
＋
＝
A
×
B
＋
1
1
A
－
A
×
B
－
×
< br>B
5
5
＝
1
(A
－
B)
5
1
5
＝
例
10
计算：
1
1
1
1
。
<
/p>
1
2
3
2
3
4
3
4
5
98
99
100
点拨
根据
1
1
1
1
＝
×
[
－
]
，把所有的分数都拆成
n
(
n
1)
(
n
2)
2
n
(
n
1)
(
n
1)(
n
2)
两个分数之差，
中间的分数就可以全部消去，原题可解。
解
1
1
1
1
<
/p>
1
2
3
2
3
4
3
4
5
98
99
100
1
1
1
1
1
< br>1
1
1
1
1
×
(
)
＋
×
(
)
＋
×
(
)
＋
…
＋
×
2
1
< br>
2
2
3
2
2
3
3
4
2
3
4
4
5
2
1
1
(
)
< br>
98
99
< br>99
100
＝
＝
1
1
1
1
1
1
< br>1
1
×
(
)
2
1
2<
/p>
2
3
2
3
3
4
3
4
98
99
99
100
1
1
1
×
(
)
< br>
2
1
2
99
100
＝