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2021年2月27日发(作者：萧墙)

【

课题

】

6

．

2

等差数列

【教学目标】

知识目标：

理解等差数列通项公式及 前

n

项和公式．

能力目标：

（

1

）应用等差数列的前

n

项公式，解 决数列的相关计算，培养学生的计算技能；

（

2

）应用等差数列知识，解决生活中实际问题，培养学生处理数据技能和分析解 决问

题的能力．

情感目标：

（

1

）经历数列的前

n

项和公式的探索 ，增强学生的创新思维．

（

2

）赞赏高斯等数学史上流传的故事，形成对数学的兴趣，感受数学文化．

【教学重点】

等差数列的前

n

项和的公式．

【教学难点】

等差数列前

< p>
n

项和公式的推导．

【教学设计】

本节的主要内容是等差 数列的前

n

项和公式

,

等差数列应用举例

.

重点是等差数列的前

n

项和公式；难点是前

n

项 和公式的推导以及知识的简单实际应用．

等差数列前

n

项和公式的推导方法很重要

,

所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并

学会应用．

等差数列中的五个量

a

1

、

< p>
d

、

n

、

a

n

、

S

n

中

,

知道其中三个

,

可以求出其余两个

,

例< /p>

5

和例

6

是针对 不同情况

,

分别介绍相应算法．

例

7

将末项看作是首项的思想是非常重要的

,

以这类习题作为载体

,

对培养学生的创新

精神是十分重要的．

【教学备品】

教学课件．

【课时安排】

2

课时．

(

90

分钟

)

【教学过程】

教

学

过

程

*

揭示课题

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

教

学

过

程

6

．

2

等差数列．

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

思考

参与

分析

从

小

故

事

讲

起

引起

学生

兴趣

10

*

创设情境

兴趣导入

【趣味数学问题】

数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传

说，老师在数学课上出了一道题目：

“把

1

到

100

的整数写下

来，然后把它们加起来

!

”

对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高

斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数

字一个个加起来，额头都流出了汗水．

小高斯是怎样计算出来的呢

?

他观察这

100

个数

1, 2, 3, 4, 5,

…，

96, 97, 98, 99, 100.

< p>
并将它们分成

50

对，依次计算各对的和：

1+100=101

2+99=101

3+98=101

4+97=101

5+96=101

……

50+51=101

所以，前

100

个正整数的和为

101



50=5050.

*

动脑思考

探索新知

从小到大排列的前

100

个正整数，

组成了首项为

1

，

第

100

项为

100

，公差为

1

的等差数列．小高斯的计算表明，这个数

列的前

100

项和为

质疑

引导

分析



1



100





100

．

2

教

学

过

程

现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前

n

项和．

将等差数列



< p>
a

n



前

n

项的和记作

S

n

< p>
．即

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

总结

归纳

思考

归纳

理解

记忆

带领

学生

总结

问题

得到

等

差

数

列

求

和

公式

引

导

启

发

学

生

思

考

求解

S

n



a

1



a

2



a

3





a

n

< br>

2



a

n



1



a

n

．

（

1

）

也可以写作

S

n



a

n



a

n



1



a

n



2

< br>



a

3



a

2



a

1

．

（

2

）

由于

a

1



a

n



a

1



a

n

，

a

2



a

n



1





a

1



d

< br>





a

n



d





a

1



a

n

，

a

3



a

n



2





a

1



2

d

< br>





a

n



2

d





a

1



a

n

，

仔细

……

< /p>

(1)

式与（

2

）式两边分别相加，得

2

S

n



n



a

1



a

n



，

< br>

分析

讲解

关键

词语

由此 得出等差数列



a

n

< br>

的前

n

项和公式为

< p>

S

n



n



a

1



a

n



2

（

6.3

）

即等差数列的前

n

< br>项和等于首末两项之和与项数乘积的一

半．

< p>
知道了等差数列



a

n< /p>



中的

a

1

、

n

和

a

n

，利用公式

（

6.3

）

可

以直接计算

S

n

．

将

等

差

数

列

的

通

项

公

式

a

n



a

1



< br>

n



1



d

代

入

公

式

（

6.3

）

，得

S

n< /p>



na

1



n



n



1



2

d

（

6.4

）

教

学

过

程

知道了等差数列



< br>a

n



中的

a

1

、

n

和

d

，利用公式（

6.4

）可

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

20

以直接计算

S

n

．

【想一想】

在等差数列

{

a

n

< br>}

中，知道了

a

1

、

d

、

n

< br>、

a

n

、

S

n

五个量中

的三个量，就可以求出 其余的两个量．针对不同情况，应该分

别采用什么样的计算方法？

*

巩固知识

典型例题

说明

观察

思考

主动

求解

观察

思考

求解

领会

通

过

例

题

进

一

步

领

会

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

反复

强调

例

5

已知 等差数列



a

n



中，

a

1





8

,

a< /p>

20



106

,

求

S

20

．< /p>

强调

解

由已知条件得

引领

20







8



106



S

20< /p>





980

．< /p>

2

例

6

等差数列

讲解



13

,



9

,



5

,



1

,

3

,

…

的前多少项的和等于

5 0

？

解

设数列的前

n

项和是

50

，由于

说明

引领

分析

强调

含义

a

1





13

,

d



3



(



< p>
1

)



4

,

故

n

(

n



1)

50





13

n





4,

2

即

2

n



15

n



50



0

，

解得

2

5

n

1



10

,

n

2



< p>


(

舍去）

，

< p>

2

所以，该数列的前

10

项的和等于

50

< br>．

说明

【想一想】

教

学

过

程

例

6

中为什 么将负数舍去？

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

思考

求解

思考

了解

动手

求解

观察

思考

主动

求解

观察

30

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

通< /p>

过

例

题

进

一

步

领

会

< p>

注意

观察

学生

是否

理解

知识

点

40

*

运用知识

强化练习

练习

6.2.3

1.

求等差数列

1,4,7,10,

…的前

100

项的和．

2.

在等差数列

{

a

n

}

中

,

a

4

=6,

a

9



26

,

求

S

20

．

3.

在等差数列



a

n



中，

a

1





5

，

a

10< /p>



13

。求

S< /p>

10

。

*

巩固知识

典型例题

例

7

某礼 堂共有

25

排座位，

后一排比前一排多 两个座位，

最后一排有

70

个座位，问 礼堂共有多少个座位？

解

1

由题意知，各排座位数成等差数列，设公差

d

=2,

启发

引导

提问

巡视

指导

说明

强调

引领

说明

< /p>

a

25



70< /p>

，于是

70



a

1



(

25



1

)



2

，

解得

a

1



22

．

所以

S

25



< /p>

25



(22



70)



1150

．

2

答

礼堂共有

1150

个座位．

< p>

解

2

将最后一排看作第一排，则

a

1



70

,

d





2

，

n

=

讲解

25

，

因此

25( 25



1)



(



2)

S

25< /p>



25



70< /p>





1150.

2

答

礼堂共有

1150

个座位．

【想一想】

比较本例题的两种解法，从中受到什么启发

?

例

8

小王参加工作后，

采用零存整取方式在农行存款．

从

教

学

过

程

教师

学生

教学

时

行为

行为

意图

间

思考

求解

领会

思考

求解

反复

强调

50

元月份开始，

每月第

< p>
1

天存入银行

1000

元 ，

银行以年利率

1.71%

引领

分析

计息，试问年终结算时本金与利息之和（简称本利和）总额是

多少（精确到

0.01

元）

< p>
?

【说明】

年利率< /p>

1.71%

，折合月利率为

0.1425 %

．计算公式为月利

率

=

年利率÷

12

．

解

年利率

1.71%

，折合月利率为

0.1425%

．

第

1

个月的存款利息为

1000

×

0.1425%

×

1 2

（元）

；

第

2

个月的存款利息为

1000

×

0.1425%

×

11

（元）

；

第

3

个月的存款利息为

1000

×

0.1425%

×

10

（元）

；

…

…

第

12< /p>

个月的存款利息为

1000

×

< p>
0.1425%

×

1

（元 ）

．

应得到的利息就是上面各期利息之和．

S

n



1000< /p>



0.1425%



(1



2



3





12)



111.15

（元）

，

< p>

强调

含义

说明

故年终本金与利息之和总额为

1

2

×

1000+111.15=12111.15

（元）

．

练习

6.2.4

1

< br>．如图一个堆放钢管的

V

形架的最下面

< br>一层放一根钢管，往上每一层都比他下面一

层多放一个，最上面一层放

< p>
30

根钢管，求这

个

V< /p>

形架上共放着多少根钢管．

2

．

张新采用零存整取方式在农行存款．

从

第

1

题图

启发

引导

提问

巡视

指导

思考

了解

动手

求解

可以

交给

学生

自我

发现

归纳

60

元月份开始，

每月第

1

天存入银行

200

元，

银行以年利率

1.71%

计息，试问年终结算时本利和总额是多少（精确到

0.01

元）

?

*

理论升华

整体建构

思考并回答下面的问题：

等差数列的 前

n

项和公式是什么？

质疑

回答

以

小< /p>

组

讨

论

师

生

共

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