第二讲 规律和数列
-
第
2
讲
规律及数列
寻找常见数列的排列规律可以从以下三个方面入手：
一、仔细观察数据的特征（对于一些特殊数要有一定的积累，如平方数、立方数），根
据数据特征极其相互之间的关系找规律。
二、对
数列中相邻两个数作差或相除，根据差和商的情况找规律。
三
、统筹考虑数列中相邻的三、四个数，根据它们之间的关系找规律。
一、等差数列
（一）定义：什么叫等差数列呢？我们先来看几个例子：
①l，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，„
②1，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13.
③ 2，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
14
„
④ 3，
6
，
9
，
12
，
1
5
，
18
，
2
1.
⑤100，
95
，
90
，
85
，
80
，
75
，
70.
⑥20，
18
，
16
，
14
，
12
，
10
，
8.
这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为<
/p>
等差数列
.
其中这个固定的数就称为
公差
，一般用字母
d
表示，如：
< br>数列①中，
d=2-1=3-2=4-
3=„=1；
数列②中，
d=3-1=5-
3=„=13
-11
=2
；
数列⑤中，
d=100-95=95-
90=„=75
-70=5
；
数列⑥中，
d=20-18=18-
16=„=
10-8=2.
一般地说，如果
一个数列是等差数列，那么这个数列的每一项或者都不小于前面的项，或
者每一项都大于
前面的项，上述例
1
的数列⑥中，第
1
项大于第
2
项，第
2
项却又小于第
3
项，所
以，显然不符合等差数列的定义
.
为了叙述和书写的方便，通常，我
们把数列的第
1
项记为
a
，第
2
项记为
a
，„，第
n
项记
为
a
n
，
a
n
。又称为数列的通项，
a
1
；又称为数列的首项，最后一项又称为数列的末项
.
1
2
例
1
、
请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在
括号里填上适当的数。
（
1
）
1
，
5
，
9
，
13
，
（
17
）
，
21
，
25
。
+4
（
2
）
3
，
6
，
12
，
24
，
（
48
）
，
96<
/p>
，
192
。
×
2
（
3
）
1
，
4
，
9
，
16
，
25
，
（
36
）<
/p>
，
49
，
64<
/p>
，
81
。
n
2
（
4
）
2
，
3
，
5
，
8
，
12
，
17
，
（
23
）
，
30
，
38
。
+1 +2
+3 +4
（
5
）
21
，
4
，
16
，
4
，
11
，
4
，
（
6
）
，
（
4
）
。
奇数项
递减
4
偶数项是常数
（
6
）
1
，
6
，
5
，
10
，
9
，
14
，
13
，
（
18
）
，
（
17
）
。奇数项、偶数项分别递增，
+4
练习
1
、求值：
①
6+11+16+„+501.
②101+102+103+104+„+999.
解①：
n=
（
501-
6
）÷
5+1=100
S
100
=(6+501)
×
100
÷
2=25350
解②：
n=
（
999-101
）÷
1+1=899
S
100
=(101+999)
×
899
÷
2=494450
（二）通项公式
< br>对于公差为
d
的等差数列
a
，
a
2
，„a
n
„来说，如果
a
1
小于
a
，
则显然
a
2
-
a
= a
- a
=
a
- a
=
„„
=d
，因此：
1
< br>2
1
3
2
n
n-1
a
=
a
+d
a
=
a
+d=a
+2d
2
1
3
2
1
a
= a
+(n-1)d
公式（
1
）
n
1
若
a
大于
a
，同理可得
a
= a
-(n-1)d
公式（
2
）
1
n
n
1
公式（
1
）
（
2
）叫做等差
数列的通项公式，利用通项公式，在已知首项和公差的情况下可
以求出等差数列中的任何
一项
.
例
2
、
求等差数列
1
，
6
，
11
，16„的第
20
项
.
解：
a
1
=1
d=5 a
20
=a
1
+(n-1)d=1+19
×
5=96
练习
2
、下
面的算式是按一定规律排列的，那么，第
100
个算式的得数是
多少？
4+2
，
5+8
，
6+14
，
7+20
，„
解：
a
1
=4
d=1 a
n
=3+n
a
100
=103
b
1
=2 d=6 b
n
=2+(n-1)
×
6
b
100
=596
a
100
+b
100
=103+
596=699
一般地，如果知道了通项公式中的两个量就可以求出另外一个量，如：由通项公式，可以得
到
项数公式
：
例
3
、
如果一等差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为
33
，求它的第
8
项
.
解法一：
a
4
=21 a
6
=
a
4
+2d=33 2d=33-21=12 a
8
=a
6
+2d=33+1
2=45
解法二：
a
4
+a
8
=2a
6
a
8
=33
×
2-21=45
练习
3
、
11
至
18
这
8
< br>个连续自然数的和再加上
1992
后所得的值恰好等于另
外
8
个连续数的和，这
另外
8
个连续自然数中的最小数是多少？
解：
11+12+13+
„
+18=
（
11+18
）×
8
÷
2
＝
116
（
116+1992
）÷
4=527
∴
错误！未找到引用源。
（三）等差数列求和
若
a
1
小于
a
2
，则公差
为
d
的等差数列
a
1
,a
2
,a
3
„an
可以写为
a
1
,a
1
+d,a
1
+d×2，„，
a
1
+d×（
n-1
）
.
所以，容易知道：
a
1
+a
n
=a
2
+a
n-1
=a
3
+a
n-2<
/p>
=a
4
+a
n
-
3=„=a
n-1
+a
2
=a
n
+a
1
.
设
S
n
=a
1
+a
2
+a
3
+„+a
n
则
S<
/p>
n
=a
n
+a<
/p>
n-1
+a
n-2
+„+a
1
两式相加可得：
2×Sn=（
a
1
+a
n
）
+(a
2
+a
n-1
)+„+(an+a
1
)<
/p>
即：2×Sn=n×（
a
1
+a
n
）
,
所以，
例
4
、
计算
1+5+9+13+17+„+1993.
解：
错误！未找到引用源。
=(1993-1)
÷
4+1
=499
错误！未找到引用源。
=
错误！未找到引用源。
=497503
练习
4
、
300
到
400
之间能被
7
整除的各
数之和是多少？
这些数构成以
301
为首项，
7
为公差，项数为
15
的等差数列，它们的和为：
5250.
解：
s=
（
301
+399
）×
15
÷
< br>2=5250
当
a
1
大于
a
2
时，同样也可以得到上面的公式
.
这个公式就是等差数列的前
n
项和的公式
.
题目做完以后，我们再来分析一下，本题中的等差数列有
499
项，中间一项即第
250
项的
值是
997
，而和恰
等于997×499.其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
对于任
意一个项数为奇数的等差数列来说，
中间一项的
值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者
换句话说，各项和
等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理
.
例
5
、
建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第
2
层
6
块砖，第
3
层
10
块砖„，
依次
每层都比其上面一层多
4
块砖，已知最下层
2106
块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有
多少块？
解：如果我们把每层砖的块数依次记下来，
2
，
6
，
10
，
14
，„
容易知道，这是一个等差
数列
.
方法
1
：
<
/p>
a
1
=2
，
d=4
，
a
n
=2106
，
n=
（
a
n
-a
1
）÷
d+1=527
这堆砖共有
（
a
1
+a
n
）×
n
÷
2=
（
2+2106
）×
< br>527
÷
2=555458
（块
）
则中间一项为
a
264
=a
1
+
（
264-1
）×
4=10
54.
方法
2
：
<
/p>
a
1
=2
，
a
n
=2106
，
则中间一项为（
a
1
+a
n
）÷
2=1054
a
1
=2
，
d=4
，
a
n
=2106
，
n=
（
a
< br>n
-a
1
）÷
< br>d+1=527
这堆砖共有
1054
×
527=555458
（块）
.
< br>练习
5
、
把
100
根小棒分成
10
堆，每堆小
棒根数都是单数且一堆比一堆少两根，应如何分？
解：分为<
/p>
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13
，
15
，
17
，
19.
（四）等差数列的应用
例
6
、
把所有奇数排列成下面的数表，根据规律，
请指出：①197排在第几行的第几个数？
②第
10
行的第
9
个数是多
少？
1
3
5 7
9 11 13 15 17
19 21 23 25 27 29 31
33 35 37 39 43
45 47 49
„ „
分析与解答
①
197
是
奇数中的第
99
个数
.
数表中，第
1
行有
1
个数
.
第
2
行有
3
个
数
.
第
3
行有
5<
/p>
个数„
第
n
行有<
/p>
2
×
n-l
个数
因此，
前
n
行中共有奇数的个数为：
1+3+5+7+
„
+
（
2
×
n-1
）
=
［
1+
（
2
×
n-1
）〕×
n
÷<
/p>
2