四年级第十七讲-数列与数表教师版
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第
17
讲
数列与数表
内容概述
通过观察数列或数表中的已
知数据，
发现规律并进行填补与计算的问题，
注意数表形式的多
样性，计算时常常考虑周期性，或进行合理估算
.
典型问题
兴趣篇
1
．
1
，
1
，
4
，
2
，
7
，
3
，
10
，
1
，
13
，
2
，
< br>16
，
3
，
19
，
1
，
22
，
2
，
25
，
3
，…，
100
．请观察上
面数列的规律，问：
(1)
这个数列一共有多少项
?
(2)
这个数列所有数的总和是多<
/p>
少
?
答案：
6
7
；
1783
解析：间隔是是等差数列。
2
．观察数组
(1
，
2
，
3)
，
(3
，
4
，
5)<
/p>
，
(5
，
6
，
7)
，
(7
，
8
，
9)
的规律，求：
(1)
第
20
组中三个数的和；
(2)
前
20
组中所有
数的和．
答案：
< br>120
；
1260
解析：
（
39
，
40
，
42
）
，运用等
差数列求和公式。
3
．
一个数列的第一项是
l
，
之后的每一项是这样得到的：如果前一项是一位数，
接着的一项
就等于前一项的两倍；
如果前一项是两位数，
接着的一项就等于
前一项个位数字的两倍．
请
问：
(1)
第
100
项
是多少
?
(2)
前
< br>100
项的和是多少
?
答案：
8
；
975
解析：按规律写：
1,2,4,8,16,12,4,8,16
,12
……四个数为一个周期
4.
如图
17-1
，方格表中的数是按照一
定规律填人的．请观察方格表，并填出“
?
”处的数．
答案：
105
解析：四周数的差是一个等差数列。
5
．如图
1
7-2
，数阵中的数是按一定规律排列的，请问：
(1)100
在第几行、第几列
?
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(2)
第
20
行第
3
列的数是多少
?
答案：
（
1
）第
25
行第
6
列；
（
2
）
79
解析：两
行为一个周期。观察除以
8
的余数与在第几列之间的关系。
6
．如图
1
7-3
，从
4
开始的自然数是按某种规
律排列的，请问：
(1)100
在第几行，第几列
? <
/p>
(2)
第
5
行第
20
列的数是多少
?
答案：
（
1
）第
1
第
25
列；
（
2
）<
/p>
81
解析：两列为一个周期。
7.
如
图
17-4
所示，把偶数
2
、
4
、
6
、
8
，排成
5
列．各列从左到右依次为第
1
列、第
< br>2
列、
第
3
列、第
4
列和第
5
列，请问：
(1)100
在第几行，第几列
? <
/p>
(2)
第
20
行
第
2
列的数是多少
?
答案：
（
1
）第
15
行第
2
列；
（
2
）
138
解析：八个数为一个周期，可以把每个数先除以
2
转化成简单数
列。
8
．
如图
17-5
，从
1
< br>开始的自然数按某种方式排列起来，请问：
(1)10
0
在第几行
?100
是这一行左起第几
个数
?
(2)
第
25
行左起第
5
个数是多少
?
答案：
（
1
）第
14
行左起
第
9
个数；
（
2
）
321
解析：观察
1
，
6
，
< br>15
…这样的数都是
1
加到行数
之和。
3
，
10
也是
1
一直加到行数之和。
9.
如图
17-6
< br>，把从
1
开始的自然数排成数阵．试问：能否在数阵中放
人一个
3
×
3
的方框，
使得它围住的九个数之和等于：
(1)1997
；
(2)2016
；
(3)2349
．
如果可以，请写出方框中最大的数．
答案：只有
2349
是可以的，最大为
269.
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解析：和一定是
9
的倍数，而且中心数必须是第二列到第
6
列的数。
10.
如图
17-7
，将
1
至
400
这
400
个自然数顺次填人
20
x20
的方格表中，请问：
(1)246
在第几行，第几列
? <
/p>
(2)
第
14
行
第
13
列的数是多少
?
(3)
所
有阴影方格中数的总和是多少
?
答案：
（
1
）
13
行
16
列
；
（
2
）
27
3
；
（
8020
）
解析：周期问题
拓展篇
1
．
1
，
100
，
2
，
98
，
3
，
96
，
2
，
94
，
1
，
92
，
2
，
90
，
3
，
88
，
2
，
< br>86
，
l
，
84
，…，
0
．请观察
上面数列的规律，请问：
(1)
这个数列中有多少项是
2
？
(2)
这个数列所有项的总和是多少
?
答案：
（
1
）
26
项；
（
2
）
2652
解析：间隔数是等差数列。
2
．一列由两个数组成的数组：
(1
，
1)
，
(1<
/p>
，
2)
，
(2
，
2)
，
(1<
/p>
，
3)
，
(2
，
3)
，
(3
，
3)
，
(1
，
4)
，
(2
，
4)
，
(3
，
4)
，
(4
，
4)
，
(1
，
5)
，…，请问：
(1)
第
100
组内的两数之和是多少
?
(2)
前
55
< br>组中“
5
”这个数出现了多少次
?
答案：
23
；
11
次。
解析：
数对前面的数规律为
1
，
1<
/p>
，
2
，
1
，
2,3,1,2,3,4
，
…后面的规律为：
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4
< br>，
…
3
．有一列数，第一个数是
3
，第二
个数是
4
，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的
和的个位数．
从这列数中取出连续的
50
个数，
并求出它们的和，
所得的和最大是多
少
?
如果
从中取出连续的
500
个数，
500
个数的
和最大又是多少
?
答案：
257
；
2510
解
析：
3,4,7,1,8,9,7,6,3,9
，
2,1
，
3,4,7,1,8,9,7,6,3,9
，
2,1
…
1
2
个个数为一个周期。
50
个数是
4
个周期加上
9,8
最大。
500
个数求最大是
41
个周期加上
8
个最大的数，不加
1,2,3,4
即可。
4
．如图
17-8
，把从
1
开始的自然数填在图上，
1
在射
线
OA
上，
2
在射线
OB
上，
3
在射线
OC
上，
4
在射线
OD
上，
5
在射线
OE
上，
6
在射线
OF
上，
7<
/p>
在射线
OG
上，
8
在射线
OH
上，
9
又回到射线
OA
上，如此循环下
去，问：
78
在哪条射线上
?
射线
OE
上的第
30<
/p>
个数是
多少
?
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答案：射线
OF
上；
237.
解析：八个数为一个周期，每条线上的数又组成一个等差数列。
5
．如图
17-9
，将从
5
开始的连续自然数按规律填人数阵中，请问：
(1)123
应该排在第几列
?
(2)
第
2
行第<
/p>
20
列的数是多少
?
答案：
第
24
列；
101.
解析：周期问题，等差数列。
6
．如图
17-10
所示，将自然数有规律地填入方格表中，请问：
(1)500
在第几行，第几列
? <
/p>
(2)
第
100
行第
2
列是多少
?
答案：第
111
行，第
5
列；
448.
解析：周期问题。
7
．如图
17-11
所示，数阵中的数字是按一定规律排列的．这个数阵
中第
60
行左起第
4
< br>个数
字是多少
?
答案：
9
解析：第
60
行左起第
4
个数字是第
476
个数字。
1-9
9
个
10-99
180
个
100-194
285
个
9+180+285=474
个
所以第
60
行左起第
4
个数字是
9
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8
．中国古代的纪年方法叫“干支纪年”
，是在“十天干”和“
十二地支”的基础上建立起来
的．天干共十个，其排列顺序为：甲、乙、丙、丁、戊、己
、庚、辛、壬、癸；
地支共十二个，其排列顺序为：子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
以一个天干和一
个地支相配，天干在前，地支在后，每对干支表示一年．在干支纪年中，每
六十年纪年方
式循环一次．
公元纪年则是国际通行的纪年方式．
图
17-12
是
1911
年到
1926
年的公元纪年与干支纪年的对照表．请
问：
(1)
中国近代史上的“辛亥革
命”发生在公元
1911
年，是干支纪年的辛亥年，请问公元<
/p>
2049
年是干支纪年的什么年
?
(2)21
世纪的甲子年是公元纪年的哪一年
?
(3)
“戊戌变法”发生在
19
世纪末的戊戌年，这一年是公元纪年的哪一年
?
答案：
己巳年；
2044
年；
1889
年
解析：
（
1
）
【
10,12<
/p>
】
=60
2049-1911=138
138
÷
60=2
……
18
己巳年
（
2
）
1924+60
×
< br>2=2044
(3)
余数特征
9
．如图
17-13
< br>所示，将
1
至
400
这
400
个自然数填入下面的小三角形中，每个小
三角形内
填有一个数
.
“
l
”所处的位置为第
1
行
；
“
2
，
3<
/p>
，
4
”所处的位置为第
< br>2
行；………请问：
(1)<
/p>
第
15
行正中间的数是多少
?
(2)
第
12
行中所有空白三角形内的数之和是多少
?
(3
)
前
8
行中阴影三角形内的各数之和比
空白三角形内的各数之和大多少
?
答案：
211
；
1463
；
176
解析：
(1)
规律为
N(N-1)
带入
(2)123+125+127+
…
+143=1463
(3)1+(4-1)+(9-2)+(16-3)
+(25-4)+(36-5)+(49-6)+(64-7)=176
10
．如图
17-14
，把从
1
开始的自然数按某种方式排列起来．请问：
(1)150
在第几行，第几列
? <
/p>
(2)
第
5
行第
10
列的数是多少
?
答案：第
6
行第
13
列；
86
< br>解析：
（
1
）最右侧数是行数的
平方
（
2
）
第
9
行最左侧数是
81
，所以
81+5=86
11
．如图
17-15
，把从
l
开始的自然数按某种方式排列起来．请问：<
/p>