四则混合运算及数列巧算
-
第一讲
四则混合运算及数列巧算
善于利用零
星时间的人，才会做出更大的成绩来
——
华罗庚
姓名
___________
知识提要
一、运算定律
（一）加法运算定律
1
、加法交换律：
a
＋
b
＝
b
＋
a
2
、加法结合律：
(a
＋
b)
＋
c
＝
a
＋
(b
＋
c)
（二）乘法运算定律
1
、乘法交换律：
a
×
b
＝
b
×
a
2
、乘法结合律：
(a
×
b)
×
< br>c
＝
a
×
(b
×
c)
3
、乘法分配率：乘法对加法的分配律：
a
×
(b
＋
c)
＝
a
×
b
＋
a
×
c
乘法对减法的分配律：
a
×
(b
－
c)
＝
a
×
b
－
a
×
c
二、运算性质和规律
（
1
）和不变的规律：如果一个加数增加一个数，另一个加数减少
相同的数，那么它们的和不
变。
（<
/p>
2
）差不变的规律：如果被减数和减数同时增加（或减少）相同的
数，那么它们的差不变。
（
3
）积的变化规律：一个因数扩大（或缩小）若干倍，另一个因数缩小（或扩大）相同倍数，
积不变。
（
4<
/p>
）商不变的性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数，商不变。
（
5
）减法的性质：
a
－
b
－
c
＝
a
－（
< br>b
＋
c
）
（
6
）除法运算性质：（
a
＋
b
）÷
c
＝
a
÷
c
＋
b
÷
c
（
a
－
b
）÷
c
＝
a
÷
c
－
b<
/p>
÷
c
（
7
）在加减算式中增加或去掉括号时，要注意：括号前面是“＋”号，添上或去掉括号里
面不变号；括号前面是“一”号，添上或去掉里面括号要变号。
三、等差数列的常用公式：（
1
）求和
公式：和＝（首项＋末项）×项数÷2
（
2
）求项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋
1
（
3
）求末项公式
：末项＝首项＋公差×（项数－
1
）
四、特殊数列的常用公式：（
1
）
1
2
＋
2
2
＋
3
2
＋
4
2
＋„＋
n
2
＝
n
< br>×
(
n
＋
1)
×
(2
n
＋
1)
÷
6
（
2
）
1
3
＋
2
3
＋
3
3
＋
4
3
＋„＋
n
3
＝
[(1
＋
n
)
×
n
÷
2]
2
（
3
）前
n
< br>个自然数的和＝
1
＋
2
＋
3
＋„„＋
(
n
－
1)
＋
n
＝
n
×
(
n
＋
1)
÷
2
（
4<
/p>
）前
n
个奇数数的和＝
< br>1
＋
3
＋
5
＋„„＋
(2
n
－
3)
＋
(2
n
－
1)
＝
n
2
（
5
）前
n
个偶数数的和＝
2
＋
4
＋
6
＋„„
2(
n
－
1)
＋
2
n
＝
n
×
(
n
＋
1)
五、对于非等差数列求和的常用方法“分组求和”和“错项相减”、
“先借后还”等，即通过数的分解、拆分、交换、结合、提取公因数等
技巧，使之转
化成等差数列（或铁树数列等）求和，从而使计算简便。
基本训练
1
、
20.36
－
7.98
－
4.02
－
5.36
（注：带着符号搬家，减法性质）
2
、
18.
73
－
(6.37
－
< br>5.86)
－
7.86
（注：去
括号）
3
、
(91×
48×
75)÷
(25×
13×
16)
（注：去括号）
4
、
5×<
/p>
1.7
＋
3.5÷
1.7
－
3×
1.7
－
0.1÷
1.7
5
、
1991×
19921992
－
1992×
19911991
6
、
2001×
200.2
－
< br>2002×
200
（注：积不变性质）
< br>
7
、
2014
＋
201.4
＋
20.14
＋
2.014
＋
986
＋
98.6
＋
9.86
＋
0.986
8
、
(2
＋
3.15
＋
5.87)×
(3.15
＋
5.87
＋
7.32)
－
(2
＋
3.15
＋
5.87
＋
7.32)
×
(3.15
＋
5.87)