小学奥数 等差数列的认识与公式运用 精选例题练习习题(含知识点拨)
-
等差数列的认识与公式运用
教学目标
本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容
稍大，最突出一点就是把公式用字母表
示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中
找出对应的各个量进行计算。
知识点拨
一、等差数列的定义
⑴
先介绍一下一些定义和表示方法
定义
：
从第二项起，
每一项都比前一项大
(
或小
)
一个常数
(
固定不变的数
)
，
这样的数列我们称它为等差
数列．
< br>譬如：
2
、
5
< br>、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
从第二项起，每一项比前一项大
3
，递增数列
100
< br>、
95
、
90
< br>、
85
、
80
< br>、
从第二项起，每一项比前一项小
5
，递减数列
⑵
首项：一个数列的第一项，通常用
a
1
表示
<
/p>
末项：一个数列的最后一项，通常用
a
n
表示，它也可表示数列的第
n
项。
项数：一个数列全部项的个数，通常用
n
来表示；
公差：等差数列每两项之间
固定不变的差，通常用
d
来表示；
和
：一个
数列的前
n
项的和，常用
S
n
来表示
．
二、等差数列的相关公式
(1)
三个重要的公式
（
n
1
< br>）
d
①
通项公式：递增数列：末项
首项
(
项数
1
)
公差，
a
n
a
1
（
n
1
）
d
递减数列：末项
首项
(
项数
1
)
公差，
a
n
a
1
回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生
明白
末项其
实
就是首项加上
(
末项与首项的
)
间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个
（
n
m
）
（
n
m
）
d
，
有用的公式：
a
n
<
/p>
a
m
②
项数公式：项数
< br>
(
末项
首项
)
公差
+1
（
a
n
a
1
）
d
1
(
若
a
n
a
1
)
；
n
< br>
（
a
1
a
n
）
d
1
(
若
a
1
a
n
)
．
由通项公式可以得到：
n
找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用
到的．
譬如：找找下面数列的项数：
4
、
7
、
10
、
13
、
、<
/p>
40
、
43
、<
/p>
46
，
分析
：配组：
(4
、
5
、
6)
、
(7
、
8
、
9)
、
(10
、
11
、
12)
、
(13
、
14
、
15)
、
、
(46
、
47
、
48)
，注意等差是
3
，
那么每组有
3
个数，
我们数列中的数都在每组的第
1
位，
所以
46
< br>应在最后一组第
1
位，
4
到
48
有
48
4
1
45
项，每组
3
个数，所以共
45
3
15
组，原数列有
15
组．
当然还可以有其他的配组方法．
③
求和公式：和
=(
首项
末项
< br>)
项数
÷
2
对于这个公式的得到可以从两个方面入手：
(
思路
1)
1
2
3<
/p>
98
99
100
（
1
100
）
（
2
99
）
（
3
98
）
共
50
个
101
101
50
5050
（
50
51
）
(
思路
2)
这道题目，还可以这样理解：
和
=
1
2
3
4
+
和
100
99
98
97
2
倍
和
101
101
101
101
98
< br>
99
100
3
2
1
即，
101
101
< br>
101
和
< br> (100
1)
100
2
101
50
5050
(2)
中
项定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等
于首
项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．
< br>
譬如：
①
< br>4
8
12
32
36
（
4
36
）
9
2
20
9
1800
，
题中的
等差数列有
9
项，中间一项即第
5
项的值是
20
，而和恰等于
20
9
；
< br>
②
65
63
61
5
3
1
（<
/p>
1
65
）
33
2
33
33
1089
，
题中的等差数列有
33
项，中间一项即第<
/p>
17
项的值是
33
，而和恰等于
33
33
．
例题精讲
模块一、等差数列基本概念及公式的简单应用
等差数列的基本认识
【例
1
】
下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①
6
，
10
，
14
，
18
，
22
，
…
，
98
；
< br>
②
1
，
2
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
；
③
1
，
2
，
4
，
8
，
16
< br>，
32
，
64
< br>；
④
9
，
8
，
7
，
6
，
5
，<
/p>
4
，
3
，
2
；
⑤
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
，
3
；
<
/p>
⑥
1
，
0
，
1
，
0
，
l
，
0
，
1
，
0
；
【例
2
】
小朋友们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？
（
1
）
3
、
4
、
5
、
6
、
……
、
76
、
77
、
78
（
2
）
2
、
4
、
6
、
8
、
……
、
96
、
98
、
100
（
3
）
1
、
3
、
5
、
7
、
……
、
87
、
89
、
91
（
4
）
4
、
7
、
10
、
13
、
……
、
40
、
43
、
46
【
巩
固
】
1
，
3
，
5
，
7
< br>，
……
是从
1
< br>开始的奇数，其中第
2005
个奇数是
< br>________
。
【例
3
】
3
12
、<
/p>
6
10
、
12
8
、
24
6
、
48
4
、
……
是按一定规律排列的一串算式，其中第六个算式
的计算结果是
。
【例
4
】
把比
1
00
大的奇数从小到大排成一列，其中第
21
< br>个是多少？
【
巩
固
】
2
，
5
，
8
，
11
，
14……
是按照规律排列的一串数，第
21
项是多少？
【例
5
】
已知一个等差数列第
9
项等于
131
，
第
10
项等于
137
，
这个数列的第
1
项是多少？第
19
项是多
少？
【
巩
固
】
一
个数列共有
13
项，每一
项都比它的前一项多
7
，并且末项为
1
25
，求首项是多少？
【
巩
固
】
在
下面
12
个方框中各填入一个数，使这
12
个数从左到右
构成等差数列，其中
10
、
16
已经填好，
这
12
个
数的和为
。
16
<
/p>
10
<
/p>
【例
6
】
从
1<
/p>
开始的奇数：
1
，
3
，
5
，
7
，
……
其中第
100
个奇数是
_____
。
【例
7
】
观察右面的五个数：
19
、
37
、
55
、
a
、
91
排列的规律，推知
a
=________
。
等差数列公式的简单运用
【例
8
】
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是
320
< br>，求它们中最小
的一个．
【
巩
固
】
1
、
3
、
5
、
7
、
9
< br>、
11
、
是个奇数列，如果其中
8
个连续奇数的和是
256
，那么这
8
个奇数中最
大
的数是多少？
【
巩
固
】
1
、
4
、
7
、
10
、
13
、
…
这个数列中，有
6
个连续数字的和是
159
，那么这
6
个数中最小的是几？
【例
9
】
在等差数列
6
，
13
，
20
，
27
，
…
中，从左向右数，第
_____
__
个数是
1994
．
【
巩
固
】
5
、
8
、
11
、
14
、
17
、
20
、
，这个数列有多
少项？它的第
201
项是多少？
65<
/p>
是其中的第几项？
< br>【
巩
固
】
对
于数列
4
、
7
、
10
、
13
、
16
、
19
……
，第
10
项是多少？
49
是这个数列的第
几项？第
100
项与第
50
项的差是多少？
【
巩
固
】
已
知数列
0
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、
……
，它的第
43
项是多少？
【
巩
固
】
聪
明的小朋友
们，
PK
一下吧．
⑴
3
、
5
、
7
、
9
、
11
、
13
、
15
、
……
，这个数列有多少项？它的第
102
项是多少？
⑵
0<
/p>
、
4
、
8
、
12
、
16
、
20
、
……
，它的第
43
项是多少？
< br>
⑶已知等差数列
2
、
5
、
8
、
11
、
14
……
，问
47
是其中第几项？
⑷已知等差数列
9
、
13
、
17
、
21
、
25
、
……
，
问
93
是其中第几项？
【例
10
】
⑴
如果一个等差数列的第
4
项为
21
，第
6
项为
33
，求它的第
8
项
.
⑵如果一个等差数列的第
3
项为
16
，第
11
项为
72
，求
它的第
6
项
.
【
巩
固
】
已
知一个等差数列第
8
项等于
50
，第
15
项等于
71.
请问这个数列的
第
1
项是多少？
【
巩
固
】
如
果一等差数列的第
4
项为
21
，第
10
项为
< br>57
，求它的第
16
项．
等差数列的求和
【例
11
】
一
个等差数列
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，<
/p>
12
，
14
，这
个数列各项的和是多少？
【
巩
固
】
有
20
个数，第
1
个数是
9
，以后每个数都比前一个数大
3
．这
20
个数相加，和是多少？
【
巩
固
】
求
首项是
13
，公差是
5
的等差数列的前
30
项
的和．
【例
12
】
1
5
个连续奇数的和是
1995
，其中最大
的奇数是多少？
【
巩
固
】
把
210
拆成
7
个自然数的和，使这
7
个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是
5
，那么，
第
1
个数与第
6
个数分别是多少？
【例
13
】
小
马
虎计算
1
到
2006
< br>这
2006
个连续整数的平均数。
在求这
2006
个数的和时，
他少算
了其中的
一个数，但他仍按
2006
个
数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小
1
。小马虎求和时
漏掉
的数是
。
模块二、等差数列的运用（提高篇）
【例
14
】
已
知数列：
2
，
1
，
4
，<
/p>
3
，
6
，
5
，
8
，
7
，
，问
2009
是这个数列的第多少项？
【
巩
固
】
已
知数列
2
、
3
、
4
、
6
、
6
、
< br>9
、
8
、
12
、
，问
:
这个数列中第
2000
个数是多少？第
2003
个数是
多少？
【例
15
】
已
知
有一个数列：
1
、
1
< br>、
2
、
2
、
2
、
2
、
3
、
3
、
3
、
3
、
3
、
3
、
4
、
，试问：
⑴
15
是这样的数列中的第几个到第几个数？
⑵
这个数列中第
100
个数是几？
⑶
这个数列前
100
个数的和是多少？
【例
16
】
有
一列数：
l
，
2
，
4
，<
/p>
7
，
1
l
，
16
，
22
，
29
，
37
，
，问这列数第
1001
个数是多少
?
【例
17
】
已
知等差数列
15
，
19
，
23
，
……443
，求这个数列的奇数项之和与偶数项之和的差
是多少？
【
巩
固
】
求
从
1
到
2000
的自然数
中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。
【例
18
】
1
0
0
个连续自然数
(
按从小到大的顺序排
列
)
的和是
8450
< br>，取出其中第
1
个，第
3
个
…
第
99
个，
再把剩下的
50
个
数相加，得多少？
【
巩
固
】
有
20
个数，第
1
个数是
9
，以后每个数都比前一个数大
3
．这
20
个数相加，
和是多少？
【例
19
】
把
2
48
分成
8
个连续偶数的和，其中最大
的那个数是多少？
【
巩
固
】
把
210
拆成
7
个自然数
的和，使这
7
个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是<
/p>
5
，那么，
第
1
个数与第
6
个数分别是多少？