小升初奥数—排列组合问题
-
小升初奥数—排列组合问题
一、
排列组合的应用
【例
1
】
小新、
阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？
（
1
）七个人排成一排；
（
2
）七个人排成一排，小新必须站在中间
.
（
3
）七个人
排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间
.
（
4
）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边
.
（
5
）七个人排成一排，小新、阿呆都
没有站在边上
.
（
6
）七个人战成两排，前排三人，后排四人
.
（
7
）七个人战成两排，前排三人，后排四人
.
小新、阿呆不在同一排。
【解析】
（
1
）
P
7
7<
/p>
5040
（种）
。
（
2
）
只需排其余
6
个人站剩下的
6
个位置．
P
6
6
720
（种）
.
（
3
）先确定中间的位置站谁，冉排剩
下的
6
个位置．
2
×
P
6
=
1440
(
种
)
．
（
4
）
先排两边，再排剩下的
5
个位置，
其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．
2
P
5
5
<
/p>
240
(
种
)
．
<
/p>
（
5
）
先排两边
，
从除小新、
阿呆之外的
5
个人中选
2
人，
再排剩下
的
5
个人，
P
5
2
P
5<
/p>
5
2400
（
种）
.
（
6
）七个人排成一排时，
7
个位置就是各不相同的．现在排成两排
，不管前后排各有几个人，
7
个
位置还
是各不相同的，所以本题实质就是
7
个元素的全排列．
P
7
7
5040
（种）
.
（
7
）可以分为两类情况：
“小新在前，阿呆
在后”和“小新在前，阿呆在后”
，两种情况是对等的，
所以只
要求出其中一种的排法数，再乘以
2
即可．
4
×
3
×
P
5
×
2
=<
/p>
2880
(
种
)
．排队问题，一般先考虑
特殊情况再去全排列。
【例
2
】
某管理
员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非
0
数码组
成，且四个数码之和是
9
，
那么确保打
开保险柜至少要试几次？
【解析】
四
个非
0
数码
之和等于
9
的组合有
1
，
1
，
1
，
6
；
1
，
1
，
2
，<
/p>
5
；
1
，
1
，
3
，
4
；
1
，
2
，
2
，
4
；
1
，
2
，
3
，
3<
/p>
；
2
，
2
，
2
，
3
六种。
第一种中，
可以
组成多少个密码呢？只要考虑
6
的位置就可以了，
6
可以任意选择
4
个位置中
的一个，
其余位置放
1
，共有
4
种选择；
第二种中
，先考虑放
2
，有
4
< br>种选择，再考虑
5
的位置，可以有
3
种选择，剩下的位置放
1
，共有<
/p>
4
3
12
(
种
)
选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有
12
< br>种选择．最后一种，与第一种的
情形相似，
3
的位置有
4
种选择，其余位置放
< br>2
，共有
4
种选择．
综上所述，
由加法原理，
一共可以组成
4
12
12
12
12
4
56
(
个
< br>)
不同的四位数，
即确保能打开
保险柜至少要试
56
次．
【例
3
】
一种电
子表在
6
时
24
分
30
秒时的显示为
6
:
24
：
30
，那么从
8
时到
9
时这段时间里，此表的
5
个
数字都不相同的时刻一共有多少个
?
【解析】
设
A
:
BC
DE
是满足题意的时刻，有
A
为
8
，
B
、
D
应从
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
这
6
个数字中选择两个不
同的数字，所
以有
P
6
种选法，而
< br>C
、
E
应从剩下的
7
个数字中选择两个不同的数字，所以有
P
7
种
选法，所以共有
P
6
×
P
7
=
1260
种选法。
从
8
时到
9
时这段时间里，此表的
5
个数字都不
相同的时刻一共有
1260
个。
【例
4
】
4
名男生，
5
名女生，全体排成一行，问下列
情形各有多少种不同的排法：
⑴
甲不在中间也不在两端；
⑵
甲、乙两人必须排在两端；
⑶
男、女生分别排在一起；
2
2
2
2
6
5
⑷
男女相间．
【解析】
⑴
先排甲，
9
个位置除了中间和两端之外
的
6
个位置都可以，有
6
种选择，剩下的
8
个人随
8
意排，
也就是
8
个元素全排列的问题，
有
P
由乘法原
8
8
7
6
5
4
3
2
< br>
1
40320
(
种
)
选择．
理，共有
6
40320<
/p>
241920
(
种
)
排法．
⑵
甲、乙先排，有
< br>P
2
2
2
1
2
(
种
)
排法；
剩下的
7
个人随意排，有
P
7
7
7
6
5
4
3
2
1<
/p>
5040
(
种
)
排法．由乘法原理，共有
2
5040
1008
0
(
种
)
排法
．
⑶
分别
把男生、女生看成一个整体进行排列，有
P
2
< br>2
2
1
2
(
种
)
不同排列方法，再分别对男生、
女生
内部进行排列，分别是
4
个元素与
5<
/p>
个元素的全排列问题，分别有
P
4
4
4
3
2
1
24
< br>(
种
)
和
P
5
5
5
4
3
2
1
120
(
种
)
排法．
由乘法原理
，共有
2
24
120
5760
(
种
)
排法．
⑷
先排
< br>4
名男生，有
P
4
4
4
< br>3
2
1
24
(
种
)
排法，再把
5
名女生排到
5
个空档中，有
P
5
5
5
4
3
2
1
< br>
120
(
种
< br>)
排法．由乘法原理，一共有
24
120
2880
(
种
)
排法。
【例
5
】
一台晚
会上有
6
个演唱节目和
4
个舞蹈节目．求：
⑴
<
/p>
当
4
个舞蹈节目要排在一起时，有多少不
同的安排节目的顺序？
⑵
当要求每
2
个舞蹈节目之间至少安排
1
个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？
【解析】
⑴
先将
4<
/p>
个舞蹈节目看成
1
个节目，与
6
个演唱节目一起排，则是
7
个元素全排列的问题，有
P
7
7
7!
7
6
5
4
3
2
1
5040
(
种
)
方法．第二步再排
4
个舞蹈节目，也就是
4
个舞蹈节
目全排列
的问题，有
P
4
4
4!
4
3
2
1
24
(<
/p>
种
)
方法．
<
/p>
根据乘法原理，一共有
5040
24
120960
(
种
)
方法．
⑵
首先将
6
个演唱节目排成一列
(
如下图中的“□
”
)
，是
6
个
元素全排列的问题，一共有
P
6
6
6!
6
5
4
3
2
1
720
(
种
)
方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将
4
个舞蹈节目排在一头一尾或
2
个演唱节目之间
(
即上图中
“×”的位置
)
，这相当
于从
7
个“×”中选
4
个来
排，一共有
P
7
4
7
6
5
4
<
/p>
840
(
种
)<
/p>
方法．
根据乘法原理，一共有
720
840
604800
(
种
)
方法。
【例
6
】
⑴从<
/p>
1
，
2
，…，<
/p>
8
中任取
3
个数
组成无重复数字的三位数，共有多少个？（只要求列式）
⑵从
8
位候选人中任选三位分别任团支书，组织委员，宣传委员，共
有多少种不同的选法？
⑶
3
位同学坐
8
个座位，每个座位坐
1
人，共有几种坐法？
⑷<
/p>
8
个人坐
3
个座
位，每个座位坐
1
人，共有多少种坐法？
⑸一火车站有
8
股车道，停放
3
列火车，有多少种不同的停放方法？
<
/p>
⑹
8
种不同的菜籽，任选
3
种种在不同土质的三块土地上，有多少种不同的种法？
【解析】
⑴
按顺序，有百位、十位、个位三个位置，
8
个数字（
8
个元素）取出
3
个
往上排，有
P
8
3
种．
⑵
3
种职务
3
个位置，从
8
位候选人（
8
个元素）任取
3
位往上排，有
P
8
< br>3
种．
⑶
3
位同学看成是三个位置，任取
8
个座位号（
8
个元素）中的
3
个往上排（座号找人）
，每确定一
种号码即对应
一种坐法，有
P
8
3
< br>种．
⑷
3
个坐位排号
1
，
2
，
3
三个位置，从
8
人中任取
3
个往上排（人找座位）
，有
P
8
3
种．
⑸
3
< br>列火车编为
1
，
2
，
3
号，从
8
股车道中任取
3
股往上排，共有
P
8
3
种．
⑹土地编
1
，
2
，
3
号，从
8
种菜籽中任选
3
种往上排，有<
/p>
P
8
3
种。
【例
7
】
某校举
行男生乒乓球比赛，比赛分成
3
个阶段进行，第一阶段：将参加
比赛的
48
名选手分成
8
个
小组，每组
6
人，分别进
行单循环赛；第二阶段：将
8
个小组产生的前
< br>2
名共
16
人再分成
4
个小
组，
每组
4
人，
分别进行单循环赛；
第三阶段：
由
4
个小组产生的
4
个第
1
名进行<
/p>
2
场半决赛和
2
场
决赛，确定
1
至
4
名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？
<
/p>
6
5
2
【解析】
第
一阶段
中，每个小组内部的
6
个人每
2
人要赛一场，组内赛
C
6
15
场，共
< br>8
个小组，有
2
1
2
15
8
120
场；第二阶段中，
每个小组内部
4
人中每
2
人赛一场，组内赛
C
4
<
/p>
4
3
6
场，共
4
个小
2
1
组，有
6
4
24
场；第三阶段赛
2
2
4
场．
根据加法原理，整个赛程一共有
120
24
4
148
场比
赛。
【例
8
】
8
个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻）
，小慧和
大智不能相邻，小光和大亮
必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？
< br>
【解析】
冬
冬要站在小悦和阿奇的中间，就意味着只要为这三个人选定了三个位置，中间的位置就一定要留
给冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．
小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻
小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑
3
1
P
2
2
C
4
P
2
2<
/p>
P
3
3
3360
（种）
只满足第一、三个条件的站法总数为：
C
7
3
P
2
2
P
3
2
P
2
2
P
2
2
960
（种）
同时满足第一、
三个条件，
满足小慧和大智必须
相邻的站法总数为：
C
6
因此同时满足三个条件的站法总数为：
3360
960
2400
（种）
。
【例
9
】
某池塘
中有
A
、
B
、
C
三只游船，
A
船可乘坐
3
人，
B
< br>船可乘坐
2
人，
C
船可乘坐
1
人，今有
3
个成
人和
2
个儿童
要分乘这些游船，
为安全起见，
有儿童乘坐的游船上必须至少有
个成人陪同，
那么他
们
5
人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？
【解析】
由
于有儿童乘坐的游船上必须至少有
1
个成人陪同，所以儿童不能
乘坐
C
船．
⑴若这
5
人都不乘坐
C
船，则恰好坐满
A
、
B
两船，①若两个儿童在同一条船上，只能在
A
船上，此
1
3
种方法；②若两个儿童不在同一条船上，即分别在
A
、
B
两船
时
A
船上还必须有
1
个成人，有
C
3
1
1
2
种选择，
1
个成人有
C
3
3
种选择，所以有
上，则
B
船上有
1
个儿童和
1
个成人，
1
个儿童有
< br>C
2
2
3
6
种方法．故
< br>5
人都不乘坐
C
船有
3
6
9
种安全方法；
1
3
种选择．
其余的<
/p>
2
个成人与
2
个
儿童，
⑵若这
5
人中有
1
人乘坐
C
船，
这个人必定是个成人，
有
C
3
1
2
种方
法，所以
①若两个儿童在同一条船上，
只能在
< br>A
船上，
此时
A
船上还必须有
1
个成人，有
C
2
此时有
3
2
6
种方法
；
②若两个儿童不在同一条船上，
那么
B
船上有
1
个儿童和
< br>1
个成人，
此时
1
个
1
2
< br>种选择，
所以此种情况下有
3
2
2
12
种方法；
故
5
人中有
1
人乘坐
C
船
儿童和
1
个成人均有
C
2
有
< br>6
12
18
种安全方法．所以，共有
9
18
27
种
安全乘法．
【例
10
】
从<
/p>
10
名男生，
8
名女生中选出
8
人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种
选法？
⑴恰有
3
名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；
⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人。
5
14112<
/p>
种；
【解析】
⑴
恰有
3
名女
生入选，说明男生有
5
人入选，应为
C
8
3
C
10
⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有
女生入选”都不符合要求．运用包
含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求
的情况：
8
8
7
1
C
18
C
10
C
10
C
8<
/p>
43758
；
4
1001
种；
⑶
4
人
必须入选，则从剩下的
14
人中再选出另外
4
人，有
C
14
< br>8
4
⑷从所有的选法
C
18
种中减去这
4
个人
同时入选的
C
14
种：
8
4
C
18
C
14
43758
1001
42757
．
⑸分三类情况：
4
人无人入选；
4
人仅有
1
人入选；
4
人中有
2
人入选
，共：
8
1
7
2
6
C
14
C
4
C
14
C
4
C
14
34749
。
【例
11
】
在<
/p>
10
名学生中，有
5
人会装电脑，有
3
人会安装音响设备，其余
2
人既会安装电脑，又会安装音
响设备，今选派由
6
人组成的安装小组，组内安装电脑要
3<
/p>
人，安装音响设备要
3
人，共有多少种<
/p>
不同的选人方案？
【解析】
按
具有双项技术的学生分类：
5
4
3
10
(
种
)
选派方法；
3
2
1
⑵
两人中选派
1
人，有
2
种选法．而
针对此人的任务又分两类：
3
⑴
两人都
不选派，有
C
5
5
4
10
(
种
)
选
法，
而另外会安装音响设备的
2
1
3
人全选派上，只有
1
种选法．由乘法原理，有
10
1
10
(<
/p>
种
)
选法；
<
/p>
3
2
若此人安
装音响设备，
则还需从
3
人中选
2
人安装音响设备，
有
C
3
2
需
从
5
人
3<
/p>
(
种
)
选法，<
/p>
2
1
5
4
3
3
中选
3
人安装电脑，有
C
5
10
(
种
)
选法．由乘法原理，有
3
< br>10
30
(
< br>种
)
选法．
< br>3
2
1
根据加法原理，有
10
30
40
(
种
)
选法；
综上所述，一共有
2
40
80
(
种
)
选派方法．
⑶
两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：
①两人全安装电脑，则还需要从
5
人中选
1
人安装电脑，另外会安装音响设备的
3
人全选上安装
音响设备，有
5
1
5
(
种
)
选派方案；
若此人要安装电脑，
则还需
2<
/p>
人安装电脑，
有
C
5
2
②两人一个安装电脑，一个安
装音响设备，有
C
5
2
C
3
2
3
③两人全安装音响设备，有
3
C
5
3
5
4
3
2
60
(
种
)
选派方案；
2
1
2
1
5
4
3
30
(
种
)
选
派方案．
3
2
1
根据加法原理，共有
5
60
30
95
(
种
)
选派方案．
综合以上所述，符合条件的方案一共有
10
80
95
185
(
种
)
．
【例
12
】
有<
/p>
11
名外语翻译人员，
其中
5
名是英语翻译员，
4
名是
日语翻译员，
另外两名英语、
日语都精通．
从
中找出
8
人，使他们组成两个翻
译小组，其中
4
人翻译英文，另
4
人翻译日文，这两个小组能同时
工作．问这样的分配名单共可以开出
多少张？
【解析】
针
对两名英语、日语都精通人员
(
以下称多面手
)
的参考情况分成三类：
1
5
种选择，需从
4
名日语翻译员
⑴
多面手不参加，则需从
5
< br>名英语翻译员中选出
4
人，有
C
5
4
C
5
中选出
4
人，有
1
种选择．由乘法原理，有
5
1
5
种选择．
⑵
多面手中有一人入选，有
2
种选择，而选出的这个
人又有参加英文或日文翻译两种可能：
5
4
3
10
种选择，需从
4
名
3
2
1
日语翻译员中选出
4
人，有
1
种选择．由乘法原理，有
2
10
1
20
种选择；
3
如果参加英文翻译，则需从
< br>5
名英语翻译员中再选出
3
人，
有
C
5
1
5
种选择，需
从
4
名日语翻
如果参加日文翻译，则需
从
5
名英语翻译员中选出
4
人，有
C
5
4
C
5
3
1
C
4
4
种选择．由乘法原理，有
2<
/p>
5
4
40
种选择．根据加法原理，
译员中再选出
3
名，有
C<
/p>
4
多面手中有一人入选，有
20
40
60
种选择．
⑶
多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：
①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．
<
/p>
5
4
10
种选择．需从
4
名日语翻译员中
2
1
选
4
人，
1
< br>种选择．由乘法原理，有
1
1
0
1
10
种选择．
情况①中，还需从
5
名英语翻译员中选出
2
人，有
C
5
2
1
5
种
选择．还需从
4
名日语翻译员中选
情况
②中，需从
5
名英语翻译员中选出
4<
/p>
人，有
C
5
4<
/p>
C
5
4
3
6
种选择．根据乘法原理，共有
1
5
6
30
种选择．
2
1
情况③中，
两人各译一个
语种，
有两种安排即两种选择．
剩下的需从
5
名英语翻译员中选出
3
人，
2
出
2
人，有
C
4
5
4
3
3
1
C
< br>4
4
种选择．由乘法原
10
种选择，需从
4
名日语翻译员中选出
3
人，有
C
4
3
2
1
理，有
1
2
10
4
< br>80
种选择．
根据加法原理，
多面手中两人均入选，一共有
10
3
0
80
1
20
种选择．
3
有
C
5