3年级高斯课本
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目
录
第一讲
差倍问题
第二讲
第三讲
第四讲
第五讲
第六讲
和差倍中隐藏的条件
蜗牛爬行
日期问题
还原问题
最不利原则
第一讲
差倍问题
小热身
画出线段图并求出
(1)
小高和墨莫一共挖了
60
个土豆，且小高是墨莫挖
的
3
倍，那么墨莫挖
了多少个土豆
?
(2)
小高和墨莫跳绳，一共跳了
40
个，且小高比墨莫多跳
10
个，那么墨
莫跳了多少个
?
知识精讲
我们已经学过和倍与和差问题，解决此类问题最常用的方法是画线段图。
画图时一般选取
较少的数量画成一段，再根据倍数关系画出其他量的长度，然
后求出一段所代表的量。<
/p>
这一讲中，我们主要学习差倍问题，也就是条件中给出了数量间
的倍数及
差的问题。
例题
1
：
学校合唱团成员中，女生人数是男生人数的<
/p>
3
倍，而且女生比
男生多
80
人，合唱团里男生和女生各有多少人
?
练习<
/p>
1
：
阿呆和阿瓜两人买了一些西瓜，阿呆
买的瓜的重量是阿瓜的
2
倍，而且阿呆比阿瓜多买了
9
斤，他们两人一共买了多少斤西瓜
?
在和倍问题中，当一个量是另一个量的“几倍多几”或者“几倍少几”时，可以
先把“多”的去掉，把“少”的补上，把问题变成整倍数来解决。那么在差倍问题中，
这种方法还适用吗？
例题
2
：
羊村里住了一些羊和狼，羊的数量比狼的
5<
/p>
倍多
2
只，且羊比
狼多
42
只。请问：羊村里羊和狼分别有多少只
?
练习
2
：
狼村里住了一些狼和
羊，狼比羊多
23
只，且狼的数量比羊的
3
倍多
1
只。请问：狼村有多少只狼
?
例题
3
：<
/p>
米老鼠和唐老鸭一起去挖土豆，唐老鸭挖的土豆数量比米老鼠的
3
倍少
4
个，且唐老鸭挖的土豆数量比米
老鼠多
20
个。请问
:
唐老鸭挖了多少
个土豆
?
练习
3<
/p>
：
阿呆的高思积分比阿瓜的多
150
分，且阿呆的高思积分比阿瓜的
4
倍少
30
分，阿呆和阿瓜分别有多少个高思积分
?
有暗差的差倍问题，做题一般步骤
:
(1)
先从倍数关系入手，分析出是现在的倍数关系还是原来的倍数关系，即
现倍或原倍。
(2)
接
下来去寻找题目中的现差或原差，若已知现倍则找现差，若已知原倍
则找原差。
(3)
然后将现差或原差通过画线段图的方法
画出来，曾在移多补少与等量代
换中学习过。
(4)
画出差倍的线段图，标清差以及倍数关系。
<
/p>
(5)
审题，看题目最后的问题是现在的还是原来的，学会还原的
思想。
例题
4
：
有块数一样多的两盒糖，第一盒放入
8
块，第二盒拿走
18
块，
这时第一
盒的糖是第二盒的
3
倍，这两盒原来各有多少块糖
?
练习
4
：
有两款价格一样的大
小冰箱，夏季大促销，大冰箱的价格下降
了
100
元，小冰箱的价格下降了
400
元，这时大冰箱的价
格是小冰箱的
2
倍。
请问：这两款冰箱
原来的价格是多少元
?
选做题
阿呆和阿瓜原来的苹果一样多，现在阿呆给阿瓜
12
个苹果，结果阿瓜的
苹果比阿呆的
3
倍少
2
个
.
两个人原来各有多少个苹果
?
课堂内外
长颈鹿（学名：
Griaffa camelopardal
is
）是一种生长在非洲的反刍偶蹄
动物。拉丁文名字的意思是
“长着豹纹的骆驼”。它们是世界上现存最高的陆
生动物。一般的长颈鹿站立时由头至脚
可达
4.8
—
5.5
< br>米，体重约
1200
千克，
刚出
生的幼仔就有
1.7
米左右高
;
皮毛颜色花纹有斑点和网纹型，头的额部宽，
吻部较尖，耳大竖立，头
顶有
1
对骨质短角，角外包覆皮肤和茸毛
;
颈特别长
(
约
2
米左右
)
，颈背有
1
行鬃毛；体较短；四肢高而强健，前肢略长于后肢，
蹄阔大
;
尾端为黑色簇毛。牙齿为原始的低冠齿，不能以草为
主食，只能以树叶
为主食；舌较长，可以用于取食。生活于非洲稀树草原地带，是草食动
物，以
树叶及小树枝为主食
.
在野外长
颈鹿的寿命为
27
年左右，动物园里的能活超过
29
年，主要分布在非洲的埃塞俄比亚、苏丹、肯尼亚、坦桑尼亚和赞比亚等国
。
第二讲
和差倍中的隐藏条件
小热身
阿朵和阿瓜去包子铺买包子，
一其买了
250
个包子，阿呆看阿瓜不够吃，
< br>分了
10
个包子给阿瓜，阿瓜不好意思，把自己的一半拿
出来给了阿朵，阿朵不
高兴了，把自己的包子分成
10
份，挑了其中的
8
份给阿瓜，阿瓜执拗不过阿朵
，
最后给了阿朵一个包子，这么折腾下来，现在两人一共有多少个包子
< br>?
以上面的故事你能得到什么样的结论
?
总结
:
。
知识精讲
之前我们已经学习了基础的和差倍问题，而很多时候，无法一眼看出问题
中的数量关系，这时候就需要把“隐藏”的和差倍关系找出来，其中寻找不变
量
就是一个重要的手段。
例题
1
：
米老鼠和唐老鸭一共有
32
颗糖，米老鼠给了唐老鸭一些糖后，
米老鼠是唐老鸭的的
3
倍，那么此时唐老鸭有多少颗糖
?
练习
1<
/p>
：
阿朵和阿瓜一
40
张积分卡，阿朵给了阿瓜若干张，此时阿朵的
张数是阿瓜的
4
倍，那么此时阿朵有多少张积分卡？
例题
2
：
小高和墨
览玩游戏，每玩一局，输的都要给赢的一枚棋子。一开
始小高有
18
枚棋子，墨莫则有
22
枚棋子。玩
了若干局之后，小高反而比墨莫
多了
10
枚棋子。请问：此时小高有多少枚棋子？
练习
2:
有大小两个水瓶，分别装有
690
毫升和
210
毫升水。现在从大瓶中
倒了一些水到小瓶后
(
< br>水没有溢出
)
，大瓶里的水量变成了小瓶的
2
倍。请问
:
从
大瓶中倒了多少毫升水到小瓶
?
例题
3
：
爷爷比爸
爸大
20
岁，当爷爷是爸爸年龄
3
倍时，爸爸多少岁
?
练习
3
：
大冰箱比
小冰箱多
1000
元，因为春节促销，大小冰箱的价格都
下降了同样多的钱，大冰箱的价格是小冰箱的
6
倍时，小冰箱多少元
?
例题
4
：<
/p>
小高家有两根绳子，长的那根有
163
米
，短的只有
97
米，他把
两根绳子剪去
同样多的长度，结果长绳所剩长度比短绳所剩长度的
7
倍还多<
/p>
6
米
.
请问
:
两根绳子各剪去了几米
?
练习<
/p>
4
：
两只老鼠“叽叽”和“喳喳”在吃面
条，“叽叽”吃的面条比较
长，“喳喳”吃的比较短，只有
25
厘米。它们吃面条的速度相同，过了一段时
间后，长面条的长度
是短面条的
2
倍，请问
:
此时短面条还剩多少厘米？
前面
4<
/p>
道例题都是通过寻找不变量来进行解决的，不变量主要有两种情
形
:“和不变”与“差不变”，在寻找不变量时，有两句小口诀可以记下
:
给来给去和不变，同增同减差不变
小判断
小山羊把
10
捆草分给大山羊，不变量
:
。
两根木头，每次锯掉的部分一样长，不变量
:
。
小糊涂和大糊涂去炒股，最后都赚
了
250
元，不变量
:
。
儿子和爸爸比年龄，无论过了几年，不变量
:
。
选做题
阿呆和阿瓜一共有
130
元钱。每包瓜子
5
元钱，阿呆买了两包瓜子两人分
着吃，吃完后阿瓜把自己的钱两人平分。这时阿呆的钱是
阿瓜的
5
倍请问
:
后来
阿呆有多少元
?
课堂内外
爱迪生与电灯
爱迪生是美国人，生于
1847
年。他从小很喜欢问大人“为什么”，让大人
无法回答。
5
岁时，他看见鹅在孵蛋，就把鹅赶
走，自己蹲在那里，想帮母鹅
孵蛋，爱迪生进小学读了
3
个月，老师说他是低能儿，他只好回家靠妈妈的教
导及自修努力学习。
爱迪生
13
岁时在火车上边卖报边做实验。一次意外实验的时候磷倒了出来，
烧坏了车箱地板，他被
管理员打伤右耳，从此成了半个聋子。他
23
岁到纽约闯
天下，发明了一部电报机，赚了
40000
美
元，辞掉工作专心研究。
爱迪生在
1
879
年
10
月
21
日发明电灯。他每天工作超过
18
小时以上，不
停地努力，不断发明有用的东西。他在美国拥有
1093
项专利。有人认为他是天
才，他认为天才是百分之一的
灵感加上百分之九十九的努力，他有很大的勇气
和坚强的毅力承受失败的打击，也常常鼓
励别人。他到
80
岁还在研究他完全不
懂的植物。
第三讲
蜗牛爬行
小热身
请看开篇漫画中的小蜗牛，请你在下图中画出每个时间点小蜗牛的位置，
用黑点表示，
直到它爬出井口为止，最后用线段将黑点依次连出。
知识精讲
同学们看看没画中的小蜗牛，它在第几天爬出井呢
?
其实蜗牛在最后一天的时候直接爬出了井口，井不会往下滑了，所以在考
虑周期的时候候要特别注意整个过程结束的时候是不是完整的周期。
< br>当实际问题并不是一个完整的周期问题时，一定要先把周期之外的问题考
虑好。再
计算周期相关的问题。
比如一串数
1
，
2
，
3
，
4
，
3 4
，
3
，
4
„
,
计算这个数列的相关问题时，一般
要先排除掉前两个数的影响，即有头周期，要先“砍头”。
比如在钢牛爬井问题中，爬出井口的那天不需要再下滑，所以要先去掉最
后
一天的影响，即有尾周期，要先“去尾”
,
注意最后的周期是否
完整。
例题
1
：
桌子上有
6
块巧克力糖，第一天阿
呆吃掉了
2
块，第
2
< br>天妈妈
又放
4
块巧克力，第三天
阿呆又吃掉了
2
块，第四天妈妈又放上
4
块，„„如
此不停循环下去，第
6<
/p>
天后桌子上有多少块巧克力糖？
练习
1<
/p>
：
菜地里有
7
根
成熟的胡萝卜，第
1
天白兔妈妈挖出
3
根，第
2
天又有
4
根胡萝卜成熟了，第
3
天白免妈妈
又挖出
3
根，第
4
天又有
4
根胡萝
卜成熟了，„„照
这样下去，到第
6
天后，菜地里有多少根成熟的胡萝卜
?
例题
2
：一
只蜗牛在一口
1
5
米深的井底，如果它每个白天往上爬
3
米，
但是在晚上又往下滑
1
米，请问
:
这只蜗牛在第几天能爬出这口井
?
练习<
/p>
2
：
一只蜗牛在一口
10
米深的井底，如果它每个白天往上爬
3
米，
但是在晚上又往下滑
2
米
，请问
:
这只蜗牛在第几天能爬出这口井
?
例题
3
：
工厂的仓库里有
80
吨货物，这些货物都由同一辆卡车负责运输。
第
一天卡车往仓库里运进
50
吨，第二天运了
60
吨，第三天又运进
50
吨，第
四
天再运出
60
吨，„„如此不停地循
环下去。第几天的时候，仓库里的货物才会
被运完
?
练习
3
：
砖头厂有
50
块砖头，第一天白天运进
10
块，晚上运出
20
块，
第二天白天运进
10
块，晚上运出
20
块，„„如此不停地循环下去，第几天的
时候，砖头厂里的
砖头才会被运完
?
例题
4<
/p>
：
工厂的仓库里有
80
< br>吨货物，同样是由一辆卡车负责货物的运输。
第一天，卡车从仓库里运出
60
吨，第二天再运进
50
吨，第三天又运出
60
吨，
第四天
再运进
50
吨，„„如此不停地循环下去，第几天的时候，仓库
里的货物
才会被运完
?
练习<
/p>
4:
砖头厂有
50
块砖头，第一天白天运出
20
块，晚上运进
< br>10
块，第
二天白天运出
20<
/p>
块，晚上运进
10
块，„„如此不停地循
环下去
,
第几天的时候，
砖头厂里的砖
头才会被运完
?
选做题
桌子上原本放着
6
块巧克力，第
1
天阿朵吃掉了
2
块
。第
2
天妈妈又放了
4
块巧克力，第
3
天阿呆又吃掉
2
块，第
4
天妈妈又放上
4
块，„„如此不停循
环下去，请问第几天结束的时
候桌子上有
10
块巧克力
?(
请写出所有的可能
)
课堂内外
里斯与蜗牛爬井
里斯
(1880-1956)
，匈牙利数学家，泛函分析创始人之一，
1907
年他和菲
舍尔相互独立地得到著名的“里斯
一菲舍尔定理”，阐明了可积函数的空间同
平方和收敛序列的希尔伯特空间等价，是早期
量子论数学理论基础方面的一个
重大贡献。此外，他在点集拓扑、遍历理论、正交函数系
、傅里叶分析、解析
丽数边界值问题、位势论、函数逼近论、积分方程、半序向量空间理
论等方面
都有建树，同时他还是著名的教育家，培养了许多优秀的数学家。
据说，里斯曾出过这样一道数学题
:
井深
20
尺，蜗牛在井底，白天爬
< br>7
尺，
夜里降
2
尺，几天可以到达井顶
?
聪明的小朋友，你试着算一算吧
!