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2021年2月28日发(作者：真的想回家)

数形结合思想与小学生解题能力的研究

内容提 要：

数形结合思想是一种重要的数学思想，

它可以使某些抽象的 数学问题直观化、

生

动化，

能够变抽象 思维为形象思维，

有助于把握数学问题的本质，

因此从小学数学 教学中就

应有效渗透数形结合思想，

提高学生的思维能力和数学 素养，

以及通过数形结合思想提高小

学生的解题能力。

本文结合自己的经验以及其它数学家的研究，

结合自己的理解阐述了数形

结合思想与小学数学教学的结合使学生的解题能力增强的方法和意义。

< br>

关键词：

小学数学教学

数形结合思想

解题能力

正文：

新课程标准中指出，

高中数学课程的目标之一是

“使学生获得必要的数学基础知识和基

本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体

会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用”。数学思想方法有很多，< /p>

以下我想结合自己的教学实践，

以数形结合思想为例，

< p>
谈谈我在教学中是如何使用教材使学

生的数形结合能力逐步得到提高的。< /p>

数学是研究空间形式和数量关系的科学，数形结合思想是重要的 数学思想之一，它是

根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，

既分析研究对象的代数含义，

又揭示其几何意

义，使数量关系 和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合

,

寻找 解题思路

,

使问题得到解决。

它的实质 是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，

在代数与几何的结

合上寻找解题思路。它包含两个方面：

“以形助数”，即借助形的生动和直观性来阐明数 之

间的联系；

“以数辅形”，即借助于数的精确性和规范严密性 来阐明形的某些属性。正如我

国著名的数学家华罗庚先生所说

“ 数缺形时少直观，形离数时难入微，

数形结合百般好，隔

裂分家 万事休”。

一

.

利用直观图示理解抽象概念，体会数形结合的思想

< p>
在进行人教

B

版必修

1< /p>

第一章集合的教学时，

由于学生刚接触集合这一概念，

< p>
对集合之

间的关系的理解感到困难，因此在教学过程中我做了如下处理。< /p>

我先向学生介绍了集合的另一种表示方法维恩

< br>（

Venn

）

图，

即用平面内一条封闭曲线的

内部表示一个集合，

然后 让学生讨论两条封闭曲线能有多少种不同的位置关系，

并让他们画

出来。经过讨论，学生画出了四种不同的位置关系（如图）

1

接下来我让他们观察这四种关系 的异同点，并引导他们用集合语言加以描述，发现（

1

）没

有公共的部分，即集合

没有共同的元素；（

2

）有公共的部分，即集合

完全在

的内 部，（

4

）

叫做集合

< br>与

有共同的

重合，即集合

）。再

的元素完全一

中至少有一个

元素，但有 些元素不在另一集合中；（

3

）

中的任 意一个元素都是集合

深入分析，发现（

3

）中集合

的元素，我们把集合

有的元素不属于集合

< p>
的子集（

，而（

4

）中集 合

样，因此再把子集分为两类：真子集即集合

元素不属于集合< /p>

；集合相等即集合

是集合

B

的子集，并且集合

的每一个元素都是集合

的元素，反 过来，集合

的每一个元素也都是集合

的元素。

< br>通过维恩

（

Venn

）

图的直观表示，学生很快理解了

“子

集”、“真 子集”、“集合相等”这些抽象的概念，体会了数形结合的思想。

在讲集合的运算这一节时，我先让学生试着从字面上理解“交”、“并”、“补”的

含义，然后让他们利用维恩（

Venn

）图，从直观上感受“交 ”、“并”、“补”的意义，最

后再以集合语言加以阐述，让学生从各个不同的角度体会 集合的“交”、“并”、“补”运

算，再次渗透数形结合的思想。

为了考察学生能否运用数形结合思想解决集合的有关问题，

在本章的最后我出了一道这

样的练习题，“某班有

50

名学生，先有

32

人参加电脑绘画比赛，后有< /p>

24

人参加电脑排版

比赛，如果有

3

名学生这两项比赛都没参加，求这个班有多少同学同时参加了两项比 赛？”

从答题的结果来看，大部分学生都能运用维恩（

Venn

）图，以形助数，求出正确答案，对数

形结合这一数学思想有个 初步体会。

二

.

< br>通过对函数解析式的代数分析，画函数的图象，研究函数的性质，初步形成数形

结 合的思想

2

在进行人教

B

版必修

1

< p>
第二章函数的教学时，

虽然学生在初中对函数已有了初步的认识，

但对用集合语言描述函数的概念，

用代数方法研究函数的单调性、

奇偶性等性质还是感到困

难，因此在教学中我做了如下处理。

在讲完函数的概念以后，

我出了一道这样的练 习题：

下列图象中不能作为函数

的图象的是（

< br>

）

让学生从形的角度进一步理解函数的概念；

在研究一次函数和二次函数的性质与 图象时，

由

于学生在初中已用描点法作过一次函数和二次函数的 图象，因此我先从学生已有知识出发，

让学生列表、描点、

连线 ，

作出一次函数和二次函数的图象，引导他们先从数的角度认识单

调性、奇偶性，对称性，然后再通过图象直观感觉单调性、奇偶性，对称性，让学生深刻体

会“数缺形时少直观，形离数时难入微”。

三

.

借助单位圆的直观性，

利用与单位圆有关的三角函数线，

运用数形结合思想解决有

关问题

在进行人教

B

版必修

4

第一章基本初等函数（Ⅱ）的教学 时，因为在必修

1

中对数形

结合思想已 经进行了有效的渗透，

因此想在这一章中试着慢慢放手，

让学生 自己运用数形结

合思想解决有关问题。以下我以

《单位圆与三角 函数线》

这一节为例，

说说我是如何借助单

位圆

,

利用与单位圆有关的三角函数线引导学生运用数形结 合思想的。

在《单位圆与三角函数线》这一节之前学习了三角 函数的定义，该定义从代数角度揭

示了三角函数值是一个“比值”。我让学生从代数形式 分析了三角函数在各象限的符号

,

还

让 学生求了一些轴线角如

的三角函数值，并分析了正弦函数、余弦函数、正切

函数的定义域，

学生都能得出答案，

但让学生记住这 些结论时就感到困难了。

因此在完成单

位圆与三角函数线的教学 后，

我让学生从几何的角度重新分析了以上问题。

因为三角函数 线

是用轴上向量的长度表示三角函数的绝对值，

用方向表示三角 函数值的正负号，

所以三角函

3 < /p>

数在各象限的符号直接能通过三角函数线的方向看出

,

< p>
对于

这些轴线角的三角

函数值及正弦函数、

余弦函数、

正切函数的定义域，我自制了几何画板课件，让学生直接从

形的角度得到了答案。

不仅如此，

在角 的变化过程中，

有些学生还发现正弦值从

0

开始慢慢

增大直到

1

，然后慢慢减 小，当角的终边落在

轴的非正半轴时，正弦值为

0

，再继续逆时

针旋转，正弦值还是慢慢减小直到

，接 下来慢慢增大，当角的终边落在

轴的非负半轴

轴的非负半轴时， 余弦值

时，正弦值为

0

；而余弦值从< /p>

1

开始慢慢减小，当角的终边落在

为

0

，再继续逆时针旋转，余弦值还是慢慢减小直到

< br>在

，接下来慢慢增大，当角的终边落

轴的非正半轴时，余 弦值为

0

，然后继续增大直到

1

。继续观察，还发现每当角旋转一

与

的三角函 数间

，

也为以后理解三角函数的单

周时 ，正弦线、余弦线都会重复出现，这就得到了角

的关系，

即

，

调性、周期性等性质打下了基础。课后我留了两道选做题

,

一道是比较不是特殊角的三角函

数值的大小< /p>

,

另一道是已知

,

求

的值。从课后反馈来看，有一部分学生还是能通

过三角函数 线，利用数形结合的思想加以解决。

教师要认真研究教材，< /p>

从数学发展的全局着眼，

从具体的教学过程着手，

逐步渗透数形

结合的思想，让学生养成数形结合的良好习惯，使它成为分析问题 、解决问题的工具，

这是

我们所有数学教育工作者应该追求的目 标。

参考文献：

1

、《数学课程标准（实验）》人民教育出版社

2

< p>
、沈文选：《中学数学思想方法》湖南师范大学出版社

摘

要：本文从数形结合的内涵及地位 ，数形结合思想在新教材中的

体现，以及在中

学教学中的应用及注意原则四个方面阐明了数形结合

在中学教学中的的灵活应用。

4

关键词：数形结合

中学教学

恩格斯 曾说过：

“数学是研究现实世界的量的关系与空

间形式的科学。

”数与形是数学知识的两大体系，在数学教学中数形

结合思想是 应用十分广泛的一种数学思想。

中学教学中注重数形结合

思想的 培养，是提高学生数学素养的一个重要途径。

1

数形结合的内涵及地位

数与形是显示世界中客观事物的抽象和反映，

是数学的

基石。

“数”主要指实数、复数或代数对象及 其关系，属于数学抽象

思维范畴，是人的左脑思维的产物；

“形 ”

主要指几何图形，

属于形象思维范畴，

是人的右脑思维

的产物。

数形结合是通过数、

形间的对应与互助来研究问题并解决问

题的思想。因此，数形结合能使人充分运用左、右脑的思维功能，相

互依存、 彼此激发，全面、协调、深入地发展人的思维能力。

数形结合作为一种思想方法，其内容包含三方面：

（

1

）以形 助数。即根据给出的“数”的结构特点构造

出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数 问题。

(2)

以数助形。即用代数方法研究几何问题。

(3)

数形互助。即数形相互结合 ，使问题变得直观、简

明。

纵观多年来的高考试题，

能巧妙运用数形结合的思想方

5

法是高考重点考察的思维能力之一（见下表）

1998

——

2004

年高考试题中对数型结合的考查统计表

< p>

年

题数

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

15

15

14

12

12

11

14

苏教版 高中数学新教材中几乎处处渗透着数形结合的思想。

如：

在三角 函数及其性质的学习中，

发挥单位圆的直观作用，

借助单

位圆认识任意角、任意角的三角函数等。另一方面，以数助形，如应

用 三角函数的周期性来简化函数图象的作用。

再如：

数形结合还是 解

析几何的一个核心思想。

综上所述，

数形结合思想是数学教学 中要求学生重点掌

握的最基本的数学思想方法之一。

一、

数形 结合思想在新教材中的若干体现（这里仅以

必修课本作为参考）

在必修

1

中 ，集合一章充分利用

Venn

图和数轴等帮助

< br>学生形象地理解集合的含义与运算，

体现了数形结合的思想。

特别是

在分析子集、真子集、补集之间的区别和联系时，可充分利用

Venn

图从“形”的角度帮助学生理解这些不同的概念，同时可借助

Venn

图和数轴来加深对交集和并集概念的理解和进行“交”与“并” 的运

算。

至于函数这一章的教学主要是借助于函数图象对函数的 性质进行

研究，同时图象本身也可加深对函数概念的理解。

6

必修

2

中立体几何中各个立体图形的侧面积 和体积的

内在联系，体现了“数”与“形”的完美结合，例如教材

P50

通过

分析正棱台、

正棱锥、< /p>

正棱柱的侧面展开图形的内在联系，

让学生发

现正棱台、

正棱锥、

正棱柱的侧面积之间的关系，

体会

“数”

与

“形”< /p>

的完美结合。

S

正棱柱侧

=ch

c

’

=c

S

正棱台侧

=1/2(c+c

’

)h

’

< p>
c

’

=0

< p>
S

正棱锥侧

=1/2ch

’

(h,h

’均为侧面上的高

)

解析几何是

17

世纪数学发展的重大成果之一，其本质

是用代数方法研究几何图形的性质，

即通过引进直角坐标系，

建立点

与坐标、

曲线与方程之间的对应关系几何问题转化为代数问题，

从而

< p>
用代数方法研究几何问题。

解析几何充分体现了数形结合的思想。

对

于本章的学习侧重于将“形”的问题转化为“数”的问题来研究。在< /p>

教学过程中，

教师要通过引导，

使学生经 历下列过程：

首先建立坐标

系，

将几何 问题代数化，

用代数语言描述几何要素及其相互关系；

进

而，

将几何问题转化为代数问题；

处理代数问 题；

分析代数结论的几

何含义，最终解决几何问题。

< p>

几何问题

解析表示建立坐标系

代数问题

代数方法

7

几何问题

解析表示建立坐标系

代数问题

通过上述活动，

让学生感受到解析法 研究问题的一般程

序，

要求学生学会在平面指教坐标系中建立直 线和圆的代数方程，

运

用代数方法研究他们的几何性质及其相互 位置关系，

并了解空间直角

坐标系，

体 会数型结合的思想，

初步形成用代数方法解决几何问题的

能力。

“依性作图，以图识性”是数型结合思想的重要体现，

必修

4

的三角函数则充分反映了这一点。

教材先探讨 了三角函数的最

重要性质——周期性，

然后利用周期性画出了正 弦、

余弦和正切函数

的图象，

根据图象 得出这些函数的一些基本性质。

三角函数在本质上

是对单位圆圆 周上点运动的“动态描述”

，它的种种性质和公式都是

和单位圆 的几何性质密切关联的，是研究三角函数的重要思想方法。

在解决三角函数的有关问题中 ，

应引导学生自觉运用单位圆中的三角

函数线和三角函数的图象 ，以形助数，数形结合。

另外，

向量作为数形结合的载体，

教科书一 直坚持从形

和数两方面来建构和研究向量。

具体地说，

向量的几何表示、

向量的

三角形运算法则等等都 是从几何的角度对向量的研究，

而向量的坐标

表示、

< p>
坐标运算就是用代数的方法来研究向量。

这种数形结合的方法

一直贯穿于本章始终，而在有关数量积的教学中更得到集中的体现。

8

至于必修

5

在学习不等式时教参要求：

学习时注重数形

结合，

学会通过函数图象理 解一元二次不等式与一元二次方程、

二次

函数的联系，并能解释 二元一次不等式和基本不等式的几何意义。

2

数形结合在数学教学中的一些灵活应用

新教材中数形结合的典范给我们新教师今后的教学工

作提供了一种重要的方向。

下面通过若干道例题来阐明数形结合在教

学中的灵活应用。

2.1

以形助数

2.1.1

利用

< br>Venn

图和数轴解决集合的有关问题

例

1

有

48

名学生，每人至少参加一个活动小组，参加

数理化小组的人数分别为

28

，

2 5

，

15

，同时参加数理小组的

8

人，

同时参加数化小组的

< br>6

人，

同时参加理化小组的

7< /p>

人，

问同时参加数

理化小组的有多少人？

分析： 我们可用圆

A

、

B

、

C

分别表示参加数理化小组

的人 数（如图

1

）则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的

人数。

用

n

表示集合的表示个数，则有：

n(A)+n(B)+n(C)-n( )-n( )-n( )+n( )=48

即：

9

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