浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用
-
毕
业
论
文
学
生
姓
名
学
院
陈碧玉
学
号
161001049
数学科学学院
数学与应用数学
专
业
题
目
浅谈数形结合思想在中学数学解题中
指
导
教
师
2014
年
05
月
的应用
王爱峰
副教授
/
博士
（姓
名）
（专业技术职称
< br>/
学位）
淮阴师范学院毕业论文
摘
要
:
数形结合是中学数学中一种十分常见且重要的数学思想之一
.
利用数形之间的
相互转化，可以化繁为简、化难为易、化抽象为
具体，从而达到简洁明了的解题效果
.
本
文主要探讨了数形结合思想在集合、函数、方程、几何、三角函数、线性规划、复数问题
中的应用
.
关键词
:
数形结合
,
线性规划，复数，应用
2
淮阴师范学院毕业论文
Abstract:
The combination of number
and shape is one of a very common and important
mathematical thought in middle school
mathematics. Using mutual conversion between
number
and form, we can make hard
problems simple and easy and turn the abstract to
the concrete. In
this paper, we mainly
discuss the combination of number and shape in col
lection
、
functions
、
equations
、
geomet
ry
、
trigonometric
functions
、
linear programming
and complex number.
Keywords:
the combination
of number and shape,
linear
programming,
complex number,
application
3
淮阴师范学院毕业论文
目
录
1
前言
……………………………………………………………………
…………………………………
4
2
数形结合思想在中学数学中的应用
………………………………………………………
5
2.1
数形结合思想在集合中的应用
……………………………………………………………
5
2.2
数形结合思想在函数中的应用
……………………………………………………………
6
2.3
数形结合思想在方程与不等式中的应用
……………………………………………
11
2.4
数形结合思想在三角函数中的应用
…………………………………………………
13
2.5
数形结合思想在中学几何中的应用
…………………………………………………
14
2.6
数形结合思想在线性规划中的应用
…………………………………………………
15
2.7
数形结合思想在复数中的应用
…………………………………………………………
16
结
论
<
/p>
……………………………………………………………………………………………………
18
参考文献
…………………………………………………………………………………………………
19
致
谢<
/p>
………………………………………………………………………………………………………<
/p>
20
4
淮阴师范学院毕业论文
1
前言
数学思想，是指现实世界的空间
形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动产
生的结果，它是对数学事实和数学理
论经过概括后产生的本质认识
.
基本数学思想则是应
该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想
.
中学阶段的基本数学思想包括：分类整合思想、归纳推理思想、数形结合思想、函数
思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想、类比思想、抽样统计思想等
.
在
中学阶段的数学教学中时时刻刻都渗透着这些
基本数学思想，如果教师能够将这些基本的
思想真正落实到课堂学习中，那么它就能够发
展学生学习数学的能力
.
本文主要探讨了这
< br>些基本数学思想中的数形结合思想，它是一种十分重要且常见的思想方法之一，贯穿于整
< br>个中学数学的教学过程
.
我国著名数学家华罗庚曾经说
过：数与形，本是相依倚，焉能分作两边飞；数无形时
少直观，形少数时难入微；数形结
合百般好，隔离分家万事休；切莫忘，几何代数统一体，
永远联系切莫分离
[
1
]
.
这就说明数与形是紧密联系、
不可分割的
.
而数形结合主要是指数学
语言与几何图形之间一一对应的关系
.
数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间的相互转化，把抽
象的数量通
过抽象化的方法，转化为适当的几何图形，从图形的结构直观地发现数量之间
存在的内在
联系，解决数量关系的数学问题
;
< br>或者是把关于几何图形的问题，用数量或方程等来表示，
从它们的结构研究几何图
形的性质和特征
[
2
]
.
数形结合思想可以使某些抽象的不易于理
解的数学
问题生动直观，能够变抽象问题为形象问题，便于学生把握数学问题的本质
.
此
外，借助数形结合的方法使得很多抽象的问题迎刃而解
.
这种思想的应用非但可以培养学
生的自己观察思考
、综合运用各种知识的能力，而且还培养了学生的自主创新的能力，增
强了学生发散性思
维的能力
.
数形结合思想作为一种基本的数学思想，其应用一
般可以分为以下两种情形：第一种
情形就是“以数解形”，而第二种情形则是“以形助数
”
.
“以数解形”就是将“形”的
问
题转化为用数量关系去解决，运用代数，函数知识进行讨论，它是将技巧性极强的的推
理
论证转化为可操作的代数运算，起到了化难为易的作用
.
“以
形助数”顾名思义就是将
“数”的问题转化为图形的问题来解决，直观生动，便于理解和
解题
.
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
第一是明白概念和运算的几何
意义，对于题目中的的条件和结论既分析其代数意义又要分
析其几何意义；第二是恰当设
5
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立参数、合理
运用参数，建立正确关系，做好数与形的相互转化；第三是正确确定参数的
取值范围
.
下面我将具体从这几个方面来探讨数形结合思想在中学数学解题
中的应用
.
(1)
在集
合问题中的应用
.
(2)
在函数问题中的应用
. (3)
在方程、不等式问题中的应用
.(4)
在三角
< br>函数问题中的应用
.
(5)
在几何问题中的应用
.
(6)
在线性规划问题中的应用
.
(7)
在复数
问题中的应用
.
通过对这些例题的分析讲解充分展现数形结合思想在中学数学解题中的
特点，从而将数形结合思想运用到实际教学中
.
2
数形结合思想的应用
2.1
数形结合思想在集合中的应用
在集合运算问题中，当所给问题的数量比较复杂，不好找线索时，我们常常要借助数
轴、韦恩图来处理集合中的交、并、补等运算，利用直观的图形，从而使问题更加简化，
运算更加快捷
.
1
例
1
已知集合
A
{
x
|
x
2
3
x
4<
/p>
0
}
,
B
x
0
，则
A
B
等于多少
?
x
解
如图
1.
集合
A
的解集为
A
{
x
|
4
x
0
}
,
集合
B
的解集为
B
{
x
x
0
}
，所以
A
B
{
x
|
0
x
1
}
.
4
3
2
1
0
1
图
1
例
2
[
3
]
某班有
48
个学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化的人数分别
为
28
,
25
,
15
，
同时参加数、理小组有
8
人，同时参加理、化的有
6
人，同时参加数、化的有
7
人，问同时参加数、理、
化的有多少人
?
分析
本题中，
我们可以用
A
、
B
、
C
三个圆分别表示参加数、
理、
化
的人
（如图
2
）
，
则三个圆的公共部分就是表示同时参加数、理、化三个活动小组的人数
.
假设用
n
来表示
6
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集合中的元素，则有
n
(
A
)
n
(
B
)
n
(
C
)
n
(
A<
/p>
B
)
n
(
A
C
)
n
(
B
C
)
n
(
A
B
C<
/p>
)
48
，
即
所以
n
(<
/p>
A
B
C
)
1
，
28
25
15
8
6
< br>
7
n
(
A
B
C
)
48<
/p>
，
因而同时参加数、理、化活动小组的
有
1
人
.
数
理
化
图
2
2.2
数形结合思想在函数中的应用
利用函
数图像来研究函数的性质是一般常见的数学方法之一
.
函数图像
的几何特征和
数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征和方法
.
利用函数图像的直观性来讨论函数的
最值问题，求解变量的
取值范围，运用数形结合思想考察转化能力，逻辑思维能力，是函
数教学中的重要内容之
一
.
例
3
若函数
f
x
是定义在
R
上的偶函数，在
(
,
0
]
上是减函数，且
f
(
2
)
0
，求
f
(
x
)
0
的
x
的取值范围
.
解
因为
f
x
是定义
在
R
上的偶函数，
所以
y
f
(
x
)
关于
y
轴对称，
又因为
y
f
(
x
)
在
(
,
0
)
上为减函数，且
f
(
2
)
< br>f
(
2
)
0
，因此可以作出图
3,
所以由图像性质可知
f
(
x
)
0
，
7
淮阴师范学院毕业论文
所以
x
<
/p>
(
2
,
2
)
.
y
2
0
2
x
图
3
例
4
求函
数
y
x
2<
/p>
1
x
2
4
x
8
的最小值
.
分析
观察
y
x
2
<
/p>
1
x
2
4
x
8
的特点，直接从代数方面求解，学生很难解答
.
本题中，我们需要借助数形结合的思想，以此思想为转化手段，让学生巧妙地使用两点间
的距离公式
.
解
x
2<
/p>
1
x
2
4
x
8
(
x
0
)
2
(
0
1
)
2
<
/p>
(
x
2
)
2
(
0
2
)
2
.
令
A
< br>(
0
,
1
)
，
B
(
2
,
2
)
，
P
(
x
,
0
)
，则问题转化为在
x
轴上求一点
P
，使
< br>PA
PB
有最小值
.
y
B
A
0
P
x
C
图
4
8
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如图
4
所示，由于
AB
在<
/p>
x
轴同侧，故
取
A
关于
x
轴
的对称点
C
(
0
,
1
)
，
因此
<
/p>
PA
PB
<
/p>
min
CB
(
2
0
)
2
(
2
1
)
2
13
.
例
5
函数
f
x
x
2
ax
3
，当
x
[
2
,
2
]
< br>时，
f
(
x
)
a
恒成立，求
a
的取值范围
.
分析
本题是二次函数问题中典型的
“轴变区间定”问题
.
根据函数解析式画出函数
图像，分情况讨论，思路清晰，不易出错
.
a
解
由解
析式知，函数的对称轴为
x
.
2
1
当
a
2
，即
a
4
< br>时
(
图
5)
，
f
x
在
[
2<
/p>
,
2
]
上单调递
增，所以
当
x
2
时，有
2
f
(
x
)
min
f
(
2
)
2
a
7
，
依题意得
2
a
7
<
/p>
a
，
即
a
7
，
3
所以
a
不存在
.
y
f
(
x
)
x
2
ax
3
2
0
2
x
x
a
2
图
6
a
<
/p>
a
2
当
2
a
2
< br>，
即
4
a
4
时
（图
6
）
，<
/p>
f
x
在
2
,
上单调递减，
在
,
2
上
2
2
< br>2
a
单调递增
.
所以
当
< br>x
时，有
< br>
2
9
淮阴师范学院毕业论文
f
x
min
依题意得
a
2
a
.
f
3
2
4
a
2
3
<
/p>
a
,
4
即
6
a
2
,
所以
4
a
2
.
y
f
(
x
)
x
2
ax
3
2
0
2
x
x
a
2
图
6
3
<
/p>
当
a
2
，即
a
4
时（图
7
）
，
f
x
在
[
< br>
2
,
2
]
上单调递增
,
所以
当
x
2
时，有
2
f
(
x
)
min
f
(
2
)
<
/p>
2
a
7
.
依题意得
2<
/p>
a
7
a
,
即
a
7
,
所以
7
a
< br>
4
.
10