新人教版初中数学[中考冲刺：数形结合问题--知识点整理及重点题型梳理](提高)
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新人教版初中数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（提高）
【中考展望】
1.
用数形结合的思想解题可分两类
:
(1)
利用几何图形的直观性表示数的问题
,
它常借用数轴、函数图象等；
(2)
运用数量关系来研究几何图形问题
,
常需要建立方程
(
组
)
或建立函数关系式等
.
2.
热点内容：
在初中教材中，
数的常见表现形式为
:
实数、
代数式、
函数和不等式等，
而形的常见表现形式为
:
直
线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等
.
在直角坐标系下，一次函数的
图象对应着一条直线，二次函数的图象
对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容
.
特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学
中得到最
充分体现
.
在平面直角坐标系
中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等
都与其系数
a
，
b
，
c
密不可分
.
事实上，
数
a
决定抛物线的开口方向
, b
与
a
一起决定抛物线的对称轴
位置
, c
决定了抛物线与
y
轴的交点位置，与
a
、
b
一起
决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线的平移
的图形关系只是顶点坐标发生变化，其实从
代数的角度看是
b
、
c
的大小变化
.
【方法点拨】
数形结合：就是通过数
与形之间的对应和转化来解决数学问题
,
它包含“以形助数”和
“以数解形”
两个方面
.
利用它可使复
杂问题简单化
,
抽象问题具体化
,
它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长
,
是优
化解题过程的重要途径之一
,
是一
种基本的数学方法
.
数形结
合问题，也可以看作代数几何综合问题
.
从内容上来说，是把代
数中的数与式、方程与不等
式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及
解直角三角形的方法、图形的变换、相似
等内容有机地结合在一起，同时也会融入开放性
、探究性等问题
.
经常考查的题目类型主要有坐标系中
的几何问题
(
简称坐标几何问题
)
，以及图形运动过程中求函数解析式的问题等．
<
/p>
解决这类问题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件
；第二，
要善于将复杂问题分解为基本问题；第三，要善于联系与转化，进一步得到新的
结论
.
尤其要注意的是，
恰当地使用综
合分析法及方程与函数的思想、转化思想、数形结合思想、分类与整合思想等数学思想方
法，能更有效地解决问题．
【典型例题】
类型一、
利用数形结合探究数字的变化规律
1.
如图，网格中的每个四边形都是菱形．如果格点三角形
ABC
的面积为
S
，按照如图所示方式得
到的格点三角形
A
1
B
1
C
1
的面积是
7
S
，格点三角形
A
2
B
< br>2
C
2
的面积是
19
S
，那么格点三角形
A<
/p>
3
B
3
C
3
的面积为
（
）
.
A.39S
B. 36S C.37S D.43S
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【思路点拨】
设网络中每个小菱形的
边长为一个单位，由于
ABC
的面积为
S
，则小菱形的面积为
2S
；从图上观
察
可知三角形
A
2
B
2
C
2
三个顶点分别在边长为
3
个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱
形重合，另两顶点在
与前一顶点不相连的两边上，三角形
A
n
B
n
C
n
三顶点分别在边长为（
2n+1
）个单位的菱形的内部，此菱形
与三角形
A
n
B
n
C
n
不重合的部分为三个小三角形；
由此得到关于三角
形
A
n
B
n<
/p>
C
n
面积公式，
把
n=3
代入即可求
出三角形
A
3
B
3
C
3
的面积．
【答案】
C.
【解析】
网络中每个小菱形的边长为一个单位，由于
ABC<
/p>
的面积为
S
，则小菱形的面积为
2S
；从图上观
察可知三角形
< br>A
2
B
2
C
2
三个顶点分别在边长为
3
个单位的菱形的内部，其中一顶点与菱形重合，另两顶点
在与前一顶点
不相连的两边上，三角形
A
n
B
n
C
n
三顶点分别在
边长为
2n+1
个单位的菱形的内部，此菱形与
三角形
A
n
B
n
C
n
不重合的部分为三个小
三角形；而三角形
A
n
B
n
C
n
面积
=
边长为
2n+1
个单位的菱
形面积
-
三个
小三角形面积
=2S
（
2n+1
）
-
2
2
(2
n
1)
n
2
s
(2
n
1)
(
n
< br>1)
2
s
n
(
n
1)
2
s
,
2
2
2
2
2
2
=S
（
8n
+8n+2-2n
-n-2n
-3n-1-n
-n
）
，
2
=S
（
3n
+3n+1
）
，
2
把
n=3
分别代入上式得：
S
3
=S
（3×3
+3×3+1）
=37S
．
故选
C
．
【总结升华】
此题主要考查菱形的性
质，也考查了学生的读图能力以及探究问题的规律并有规律解决问题的能
力．
举一反三
:
【
变式
】
（
2016•
潍坊）在平面直角坐标系中，直线
l
：
y=x
﹣
1
与
x
轴交于点
A
1
，如图所示依次作正方形
A
1
B
1
C
1
O
、正方形
A
2
B
2
C
2
C
1
、
…
< br>、正方形
A
n
B
n
C
n
C
n
﹣
1
，使得点
< br>A
1
、
A
2
、
A
3
、
…
在直线
l
上
，点
C
1
、
C
2
、
C
3
、
…
在
y
轴正半轴上，则点
B
n
的坐标是
．
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【答案】
< br>（
2
n
1
，
2
n
﹣
1
）
﹣
【解析
】
解：∵
y=x
﹣
1
与
x
轴交于点
< br>A
1
，
∴
A
1
点坐标（
1
，
0
）
，
∵四边形
A
1
B
1
C
1
O
是正方形，
∴
B
1
坐标（
1
，
1
）
，
∵
C
1
A
2
∥
x
轴，
∴
A
2
坐标（
2
，
1
）
，
∵四边形
A
2
B
2
C
2
C
< br>1
是正方形，
∴
B
2
坐标（
2
，
3
）
，
< br>
∵
C
2
A
3
∥
x
轴
，
∴
A
3<
/p>
坐标（
4
，
3<
/p>
）
，
∵四边形
A
3
B
3
C
3
C
2
是正方形，
∴
B
3
（
4
，
7
）
，
∵
B
1
（
< br>2
0
，
2
1
﹣
1
）
，
B
2
（
2
1
，
2
2
﹣
1
）
，
B
3
（
2
< br>2
，
2
3
﹣
1
）
，
…
，
∴
B
n
坐标（
2
n
1
，
2
n
﹣
1
）
．
﹣
类型二
、利用数形结合解决数与式的问题
2.
已知实数
a
在数轴上的位置如图所示，则化简
|2-a|+
a
2
的结果为
____
______.
【思路点拨】
由数轴可知，
0
＜
a
＜
2
，由此去绝对值，对二次根式化简．
【答案与解析】
解：∵
0
＜
a
＜
2
，
∴
|2-a|+
a
2
=2-a+a=2.
故答案为：
2
．
【总结升华】
本题考查了绝对值的化
简和二次根式的性质与化简，实数与数轴的对应关系．关键是根据数轴上的
点的位置来判
断数
a
的取值范围，根据取值范围去绝对值，化简二次根式．<
/p>
类型三、利用数形结合解决代数式的恒等变形问题
3.(1)
在边长为
a
的正方形纸片中剪去一个边长为
b
< br>的小正方形，
把余下的部分沿虚线剪开，
拼成
一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是
_
_________________
（用字母
表示）
．
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（
2
）设直
角三角形的直角边分别是
a
，
b
，斜边为
c
，将这样的四个完全相同的直角三
角形拼成正方形，
2
2
2
验证等式
a
+b
=c
成立。
【思路点拨】
(1)
根据阴影部分的面积相等，即可得到公式；
(2)<
/p>
直角三角形的直角边分别是
a
，
b
，斜边为
c
，这样的
4
个三角形，即可拼成正方形，据此即可得
到．
【答案与解析】
2
2
解：
（
1
）
a
-b
=
（
a+b
）
（
a-b
）
；
2
（
2
< br>）验证：利用面积公式可得正方形的面积是：
c
，
正方形的面积是四个直角三角形的面积加上里面较小的正方形的面积
，
得到：
4×
2
2
2
2
2
2
2
1
2
ab+
（
b-a
）
=
2ab+
2
（
a
-2ab+b
）
=a
+b
，则
a
+b
=c
．
【总结升华】
<
/p>
本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．
类型四、利用数形结合思想解决极值问题
4.
我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，
常可利用它
来解决两条线段和最小的相关问题，
下面
是大家非常熟悉的一道
习题：
如图
1
，已知，
A
，
B
在直线
l
的同一侧，在
l
上求作一点，使得
PA+PB
最小．
我们只要作点
B
关于<
/p>
l
的对称点
B′，
（如图
2
所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求<
/p>
AP+BP
最小
就相当于求
AP+PB′最小，显然当
A
、
P
、B′在一条直线上时
AP+PB′最小，因此连接
AB′，与直线
l
的交点就是要求的点
P
．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
探究：
（
1
）如图
3
，正方形
ABCD
的边长为
2
，
E
为
BC
的中点，
P
是
BD
上一动点．
连接
EP
，
CP
，则
EP+CP
的最
小值是
________
；
运用：
（
2
）如图
4
，平面直角坐标系中有三点<
/p>
A
（
6
，
4
）
、
B
（
4
，
6
）
、
C
（
0
，
2
）
，在
x
轴上找一点
D
< br>，使得四边
形
ABCD
的周长最
小，则点
D
的坐标应该是
______
_______.
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