数学广角数与形
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数学广角——数与形
《数学广角
──
数与形》
一、教材分析
数形结合是一种非常重
要的数学思想，把数和形结合起来解决问题，可以使
复杂的问题变得更简单，使抽象的问
题变得更直观。
1
、图形中隐含着数
的规律，可利用数的规律来解决图形的问题。本单元的例
1
以及
相关练
习就属于这种情况。
2
、
有些情况下，
是利用图形来直观地解释一些
比较抽象的数学原理与事实，
让人一目了然。
3
、
还有的时候，
数与形密不可分，
可用
“数”
来解决
“形”
的问题，
也可用
“形”
来解决“数”的问题。例如，解析几何中，函数图象与方程、方程组互为工具，
互为解释
，
有机融合。
小学中的正比例关系和反比例关系图象也很好地反
映了这
样的思想。
《连续奇数数列之和与正方形的关系》
教学内容：
人教版小学数学教材六年级上册第
107
页例
1
及相关练习。
教学目标：
1
．体会数与形的联系，进一步积累数形结合数学活动经验，培养学生数形结合的数学
思
想意识。
2
．
体验数形结合的数学思想方法价值，
激发学生用数形结合思想方法解决问题的兴趣，<
/p>
感受数学的魅力。
3
< br>．在解决数学问题的过程中，体会和掌握数形结合、归纳推理等基本的数学思想。
教学重点：观察、发现数与形的联系，感受数形结合的价值
教学难点：
渗透极限思想
教学准备：
课件，不同颜色的小正方形。
学具准备：
不同颜色的小正方形，吸铁板，作业纸。
< br>
教学过程：
一、谈话导入，出示课题
教师：
最近老师发现，
我有一项非常神奇的本领。
什么本领呢？我发现只要从
1
开始的
连
续奇数相加，比如，
1+3,1+3+5
……像这样的算式，我
都算得特别快。你们信吗？
教师：不信也没关系，我们现场来比一比。
师生比赛，看谁算得快。
教师：这个方法快吗？你们想不想也像老师一样算得快呢？
1
/
9
数学广角——数与形
教师：
老师给你们一点点提示，
我是借助图形发现这个方法的，
今天这节课我们就来研
究──数与形（板书）。
二、动手实践，以形解数
1
．
教师：
我先根据算式中的加数拿出若干个图形
。
比如，
1+3
，
我就先拿一个小正方形，
再拿三个小正方形
（贴在黑板上）
，
我发现这些数量的小正方形刚好可以拼成一个大正方形，
那我就把它们拼成一个大的正方形。
教师
：
接着，我观察图形和算式之间的关系，
就发现了可以快速算得
结果的方法，
你们
想不想自己试试看？
教师：
先来两个加数的，
再来三个加数
的。请同学们在小组内先完成第一步，再完成第
二步，看看哪个小组最先发现老师的方法
。
2
．小组动手操作，教师巡视。
3
．学生汇报，全班交流分析。
先讨论
1+3
，再讨论
1+3+5
。
教师：根据同学们
的汇报，大家认为
1+3=2
，
1+3
+5=3
。除了这两组同学的汇报，你们
还有其他发现吗？
学生：算式中加数的个数是几，和就等于几的平方。
教师：你们认同他的方法吗？能不能举个具体的例子来说一说？
学生
1
：
1+
3+5+7+9=5
。
学生
2
：
1+3+5+7+9+11=6
。
教师：那我们从头来看一看。请看屏幕：
1+3+5+7+9=
（
5
）。
教师：一个小正方形可以看成
< br>1
，想要拼成一个更大的正方形，再增加
1
个是不够的，
增加的个数要比前一个加数再多
2
（也就是
3
）；想拼成更大的正方形，再增
加
3
个是不够
的，还要比
3
个再多
2
个（也就是
5
个），此时是
1+3+5
；再往下去，要加
7
才能拼成更大
的正方形，依此类推，加到了
9
，就能排成每行、每列的个
数是
5
的大正方形。
教师：
那看来只要是
1
开始的
，
连续的奇数相加，
就能排成每行、
每
列个数是几的大正
方形，和也就是几的平方。
4
．练习。
（
1
）
1+3+5+7+9=
（
）
；
1+3+5+7+9+11+13=
（
）
；
____________________________=9
。
2
/
9
2
2
2<
/p>
2
2
2
2
2
2
数学广角——数与形
教师请学生独立完成，然后全班核对答案。
（
2
）利用规律，算一算。
1+3+5+7+5+3+1=
（
）；
1+
3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=
（
）。
全班交流，请学生说明计算结果和原因。
5
．小结。
教师：
我们同学都很细心，
现在不但能很快算出从
1
开始的连续奇数的和，
稍加一点变
化，你们也照样算得很快。现在知道老师是用什么方法来快速计算这些题的吧？
教师：这么巧妙的方法，我们是借助什么发现的？（图形）。看来，有的计算问题借助<
/p>
图形解决会更容易。就像这个题一样，我们借助图形发现了更巧妙、更简便的方法。
【设计意图】
充分让学生动手实践，
感受如何将数和形结合，
体会数和形之间的紧密联
系，同时让学生感受到“形”可以展示“数”的特点，通过“形”使解决“数”的问题变得
< br>更加容易。
三、练习巩固
<
/p>
1
．下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形
？
学生回答，课件出示答案。
教师：请
你认真思考、观察，上边的图形和对应的数之间有什么规律？四人小组交流。
教师：刚才有一个同学说，蓝色的小正方形顺次增加
1
< br>个，红色的小正方形顺次增加
2
个。为什么蓝色的小正方
形每次增加
1
个，而红色的小正方形每次增加
< br>2
个呢？
教师：我们一起来看
一看。第一个图形，若要增加
1
个蓝色小正方形，其上方、下方
就
要各增加
1
个红色小正方形；
依此类推，
第三个图形在第二个图形的基础上增加了
< br>1
个蓝色
小正方形，则红色小正方形就要增加几个？
教师：如果不让你看图，照这样画下去，第
6
个和第
10
个图形各有几个红色小
正方形
和蓝色小正方形呢？你能写出来吗？在草稿本上写一写。
教师请学生介绍，说说是怎么算出来的。
教师：观察发现，图形中左右两侧的红色小正方形个数固定不变（为
6
个），在中间部
分，
蓝色小正方形的个数乘以
2
就是红色小正方形的个数。
即使在蓝色小正
方形个数较多的
3
/
9
数学广角——数与形
情况下，仍然可
以算得很快，看来图形问题确实也蕴涵着数的规律。找到了其中的规律，解
决问题就清晰
、容易多了。
2
．课件出示教材第<
/p>
109
页练习二十二第
2
题。
（
< br>1
）
教师：
上方有图，
下方有对应的数字，
请你观察和思考，
图和数之
间有什么规律？
小组交流一下。
全班交流。
学生：第
2
个图形中小圆的个数为
1+2
，第
3
个图形中小圆的个数为
1+2
+3
，第
4
个图
形中小圆的个数为
1+2+3+4
。
学生：是第几个图形，其中就有几行小圆。
< br>教师：
照这个规律往下画，
你能画出来吗？图形下方的数
字表示的是什么？第
5
个、
第
6
个、第
7
个图形下方
的数，你能不能很快写出来？
教师请学生独立完成在练习纸上。
教师请学生汇报，说说是怎么得到结果的。
教师：图形中的最后一行是第几行？含有几个小圆？
教师：现在如果老师不让你画图，你能不能想象一下第
10
个图形，它是什么样子的？
一共有多少个小圆呢？现在我们就不画图，算一算
，第
10
个图形下方的那个数是多少？能
算出来吗？动笔试一试。
展示学生作品，请学生介绍方法。
（
2
）教师介绍“三角形数”“正方形数”。
教师：同学们发现没有，
55
个
小圆能排成什么图形？（三角形）而且这个三角形的每
一行的小圆的个数分别是从
1
到
10
。
教师：回过头来看看。
3
、
6
、
10
、
15
、
21
呢？它们是否也具有同样的特点？
教师：在数学上，我们把
1
、
3
、
6
、
10
、
15
、
21
、
28
这样的数称为“三角形数”。请同
学们想
一想，
28
后面的下一个三角形数是多少？（
< br>36
）
4
/
9