小学奥数系列训练题几何计数_通用版
-
2019
年小学奥数计数专题——几何计数
<
/p>
1
．用
3
根等长
的火柴可以摆成一个等边三角形．如图
,
用这样的等边三角形拼
合成一个
更大的等边三角形．如果这个大等边三角形昀每边由
2
0
根火柴组成，那么一共要用多
少根火柴
?
2
．如图，用长短相同的火柴棍
摆成
3
×
2019
的方格网，其中每个小方格的边都由一根
火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍<
/p>
?
3
．图是
一个跳棋棋盘，请你计算出棋盘上共有多少个棋孔
?
4
．
如图，
在桌面上，
用
6
个边长为
l
的正三角形可以拼成一个边长为
1
的
正六边形．
如
果在桌面上要拼出一个边长为
6
的正六边形，
那么，
需要边长为
1
的正三角形多少个？
5
．
如图，
其中的每条线段
都是水平的或竖直的，
边界上各条线段的长度依次为
5
厘米、
7
厘米、
9
厘米、
2
厘米和
4
厘米、
6
厘米、
5
厘米、
1
厘米．求图中长方形的个
数，以
及所有长方形面积的和．
6
．
如图，
18
个边长相等的正方形组成了一个
3
×
6
的方格表，其中包含“
*
”的长方
形及正方形共有多少个
?
7
．图是由若干个相同的
小正方形组成的．那么，其中共有各种大小的正方形多少个
?
8
．
图中共有多少个三角形
?
9
．
图是由
18
个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小
正三角形可
以拼成较大的正三角形．那么，图中包含“
*
”的各种大小的正三角形一共有多少个
?
10
．
如图
，
AB
，
CD
，
EF
，
MN
互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少
?
11
．
在图中，共有多少个不同的三角形
?
12
．
如图
，
一块木板上有
13
枚钉子．
用橡皮筋套住其中的几枚钉子，
可以构成三角形、
正方形、梯形等等，如图．那么，一共可以构成多少个不同的正方形
?
13
．
<
/p>
如图，用
9
枚钉子钉成水平和竖直间隔都
为
1
厘米的正方阵．用一根橡皮筋将
3
枚不共线的钉子连结起来就形成一个三角形．
在这样得到的三角
形中，
面积等于
1
平方
厘米的三角形共有多少个
?
14
．
如图
，木板上钉着
12
枚钉子，排成三行四列的长方阵．那么用橡皮
筋共可套出多
少个不同的三角形
?
15
．
如图
，正方形
ACEG
的边界上有
A
，
B
，
C
，
D
，
E
，
F
，
G
这
7
个点，其中
B
，
D
，
F
分别在边
AC
，
CE
，
EG
上．以这
7
个点中的
4
个点为顶点组成的不同四边形的个数
等于多少
?
16
．
数一数下列图形中各有多少条线段
.
17
．数出下图中总共有多少个角
.<
/p>
18
．数一数下图中总共有多少个角？
19
．如下图中，各个图形内各有多少个三角形？
20
．如下图中，数一数共有多少条线段？共有多
少个三角形？
21
．如右图中，共有多少个角？
<
/p>
22
．在图中
(
单位：厘米
)
：
①一共有几个长方形
?
②所有这些长方形面积的和是多少
?
23
．
由
20
个边长为
1
的小正方形拼成一个
4
5
长方形中有一
格有
“☆”
图中含有
“☆”
的所有长方形
(
含正方形
)
共有
个，它们的面积总和是
。
☆
24
．图中共有多少个三角形？
第
1
页
/
共
8
页
25
．一个圆上有
12
个点
A
1
，
A
2
，
A
3
，…，
A
11
，
A
12
．以它们为顶点连三角形，使每个
点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法
?
参考答案
1
．
630
【解析】把大的等边三角形分为
20
“
层”分别计算火柴的根数：
最上一“层”只用了
3
根火柴；
从上向下数第
二层用了
3
×
2
＝
6
根火柴；
从上向下数第三层用了
3
×
3
＝
9
根火柴；
<
/p>
从上向下数第
20
层用了
3
×
20
＝
< br>60
根火柴．
所以，总共要用
火柴
3
×
(1+2+3+
…
+20)
＝
630
根．
2
．
13975
【解析】横放需
< br>2019
×
4
根，竖放需
2019
×
3
根，共
需
2019
×
4+2019
×
3
＝
13975
根．
3
．
121
【解析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如下图．平行四边形中棋孔数为
9
×
9
＝
81
，每个小三角形中有
10
个棋孔，所以棋孔共有
81+10
×
4
＝
121
个．
或直接数出有
121
个．
4
．
216
【解析】如图
AB
＝
< br>6
，组成△
AOB
需要边长为<
/p>
1
的正三角形共：
1+3+5+7+9+11
＝
36
个，而拼成边长为
6
的正六边形需要
6
个△
AOB
，因此总共需要边长为
1
的正三角形
36
×
6
＝
216
个．
5
．
1
00
，
10664
< br>【解析】确定好长方形的长和宽，长方形就唯一确定，而图中只需确定好横向线段，竖向线
段，即可．
于是横向线段有
(1+2+3+4)
＝
10
种选法，竖
向线段也有
(1+2+3+4)
＝
10
种选法，则共有
10
×
10
＝
100
个长方形．
这些长方形的面积和为：
(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)
×
(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)
＝
124
×
86
＝
10664(
平方厘
米
)<
/p>
．
6
．
36
<
/p>
【解析】我们把所求的长、正方形按占有的行数分为三类，每类的长、正方形的个数相等．
其中只占有下面一行的有如下
12<
/p>
种情况：
于是共有
12
×
3
＝
36
个正、长方形包含“
*
”
．
7
．
130
【解析】每个
4
×
4
正方形中有：
边长为
1
的正方形
4
×
4
个；边长为
2
的正
方形
3
×
3
个
；边长为
3
的正方形
2
×
2
个，边长
为
4
的正方形
1
×
1
个．
总共有
4
×
4+3
×
3+2
×
2+1
×
1
＝
30
个正方形
．
现在
5
个
4
×
4
的正方
形，
它们重叠部分是
4
个
2
×
2
的正方形．
因此，
图中正方形的个数是
30
×
5
－
5
×
4
＝
130
．
8
．
22
<
/p>
【解析】边长为
1
的正三角形，有
16
个．边长为
2
的
正三角形，尖向上的有
3
个，尖向下
的
也有
3
个．因此共有
16+3+3
＝
22
个．
9
．
6
【解析】设小正三角形的边长为
1
，分三类
计算计数包含
*
的三角形中，
边长为
1
的正三角形有
1
个；边长为
2
的正三角形有
4
个，边长为
3
的正
三角形有
1
个；
因此，图中包含“
*
”的所有大、小正三角形一共有
1+4+1
＝
6
个．
第
1
页
/
共
8
页
10
．
20
【解析】
图中共有三角形
(1+2+3
+4)
×
4
＝
40
个，
梯形
(1+2+3+4)
×
(1+2+4)
＝
60
个，
梯形比三
角形多
60
－
40
＝
20
个．
11
．
85
【解析】下图中共有
35
个三角形，两
个叠加成题中图形时，又多出
5+5
×
2
＝
15
个三角形，
< br>共计
35
×
2+15
＝
85
个三角形．
12
．
11
【解析】按正方形的面积分类，设最小的正方形面积为
1
，
面积为
1
的正方形有
5
个，如图
a
所示；
面积为
< br>2
的正方形有
4
个，如图
b
所示；
面积为<
/p>
4
的正方形有
1
个，如图
c
所示；
< br>还有
1
个面积比
4
大的正方形，如图
d
所示；
于是，一共可以构成
5+4+1+1
＝
11
个不同的正方形．
13
．
32
【解析】我们分三种情况来找面积为
1
平方厘米的三角形，这些三角形的底与高分别为
1
厘米或
2
厘米，利用正方形的对称性：
(1)
等腰直角三角形，
如下图
< br>a
所示有△
AOC
，
△
COE
，
△
EOG
，
△
GOA
，
△
BOH
，
△
DFB
，
△
FHD
，△
HBF
，
共计
8
个，其中以
AC
，
CF
，
FG
，
GA
为底的各一个，以
BF
，
DH
为底的
各两个．
(2)
直角三角形，
如图
b
所示有△
AC
H
，
△
CHD
，
△
ACD
，
△
DHA
，
△
BEF
，
△
BCE
，
△
CEF
，
△
CFB
，△
DEG
，△
DGH
，△
EGH
，△
EHD
，△
G
AB
，△
GBF
，△
< br>FAB
，△
FGA
，共计
16
个，其中以
AD
、
CH
、
BE
、
CF
、
DG
、
EH
、
FA
、
GB
为斜边的各两个．
(3)
钝角三角形，
如图
c
所示有△
ABE
，
< br>△
AHE
，
△
< br>ADE
，
△
AFE
，
△
CBG
，
△
CFG
，
△
CDG
，
△
CHG
共计
8
个，其中以
AE
、
CG
为边的各四个．
于是，综上所述，共有面积为
1
平方厘米的三角形
32
个．
14
．
200
【解析】
我们先任意选取三个点，
那么
第
1
个点有
12
个位置可以选择，
第
2
个点有
11
个位
置可以选择，第
3
个点有
10
个位置可以选择，但
是每
6
种选法对应的都是同一个图形，如
下图，
ABC
，
ACB
，
BAC
，
BCA
，
CAB
，
CBA
均是同一个图形．
所以有
12
×
11
×
10
÷
6
＝
< br>220
种选法，但是如果这
3
点
在同一条直线上就无法构成三角形，
其中每行有
4
种情况，共
3
×
4
；每列有
1
种情况，共
1
×
4
；
2<
/p>
个边长为
2
的正方形的
< br>4
条
对角线，共
4
种情况．
所以，可以套出
220
－
3
×
4
－
1
×
4<
/p>
－
4
＝
200<
/p>
个不同的三角形．
15
．
12
【解析】如果暂时不考虑点之间的排列位置关系，从
7
个点中任取
4
个点，则第一个点有
7
个位置可选，
第二个点有
6
个位置可选，
第三个点有
5
个位置可选，
第四个点有
4
个位置可
选，而不考虑先后，那么有
4
×
3
×
2
×
1
＝
24
种
选法的实质是一样的，所有可能的组合数目
应该是
(7
×
6
×
5
×
4)
÷
24
＝
35
．我们只要从中减去不能构成四边形的情形．
对图
19
-
16
而言，
任取
4
个点而又不构成四边形的情形只能发生在所取的
4
个点中有
3
个来
自正方
形
ACEG
的一条边，而另一个则任意选取的时候，例如选定<
/p>
A
、
B
、
C3
点，第
4
个
点无论如何选取都不能构成四边形．
正方
形的
4
条边中有
3
条都存在这样的情况．
而每次这种情况发生时，
第
4
个顶点的选取有
4
种
可能．
所取的顶点只有
4
个，因此不可能出现同时选择了
2
条有
3
点共线的边的情况．