20181213小学奥数练习卷(知识点：约数个数与约数和定理)含答案解析
-
小学奥数练习卷（知识点：约数个数与约数和定理）
题号
得分
注意事项：
一
二
三
总分
1
．答
题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得分
一．选择题（共
1
小题）
1
．恰有
20
个因数的最小自然数是（
< br>
）
A
．
120
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
B
．
240
C
．
360
D
．
432
得分
二．填空题（共
40
小题）
2
．写出不大于
100
且恰有
8
个约数的所有自然数是
．
3
．已知
自然数
n
有
10
个约数，
2n
有
20
个约数，
3n
有
15
个约数，那么
6n
有
个约数．
4
．一个自然数恰有
48
个约数，并且
其中有
10
个连续的自然数，那么这个数的
最小值是
．
5
．自然
数
N
有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其
中最小
的为
4
，最大的为
2684
，
N
有
个约数．
6
．
四位数
四位数
的所有因数中，
有
3
个是质数，
其它
39
个不是质数．<
/p>
那么，
有
个因数．
7
．
四位数
的值是
．
的约数
中，
恰有
3
个是质数，
39
个不是质数，
四位数
8<
/p>
．大于
0
的自然数，如果满足所有因数之
和等于它自身的
2
倍，则这样的数称
为
完美数或完全数．比如，
6
的所有因数为
1
，
2
，
3
，
6
，
1
+
2
+
3
+
6=12
，
6
就
是最小的完美数．是否有无限多个完美数的问题至今仍然是困扰人类
的难题
之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和开始，
81
的所有因数之
和为
．
9
．恰好有
12
个不同因数的最小的自然数为
．
10
．有
10
个不
同因数的最小自然数为
．
11
．两
个正方形的面积之差为
2016
平方厘米，如果这样的一对正方
形的边长都
是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有
对．
12
．
60
的不同约数（
< br>1
除外）的个数是
．
13
．如
果一个自然数
N
（
< br>N
＞
1
）满足：
N
的因数个数就是其个位数字，那么这
样的
N
就称为
“
中环数
”
（比如
34=2
×
17
，所以它有
4
个因数，正好就是
34
的个位数字，所以
< br>34
就是一个
”
中环数
”
）
．在
2
～
84
中，一共有
个
“
中环<
/p>
数
”
．
14
．在所有正整数中，因数的和不超过
30
的共有
个．
15
．
一个五位数
最小值是
．
16
．整
数
n
一共有
10
个因数，这些因数从小到大排列，第
8
个是
< br>．那么整数
n
的最大值是
．
17<
/p>
．一个数恰好有
8
个因数，已知
35
和
77
是其中两个
，则这个数是
．
18
．在
1
～
600
中
，恰好有
3
个约数的数有
个．
19
．已知
a
、
b
是两个不同的正整数，并且
a
、
b
的约数个数与
2013
的约数个数
相同，则两数之差（大减小）的最小值为
．
20<
/p>
．用
表示
a
的不
同约数的个数．如
4
的不同约数有
1<
/p>
，
2
，
4
共
3
个，所以
=3<
/p>
，那么（
﹣
）÷
=
．
是
2014
的倍数，并且
恰好有
16
个因数，则
的
21
．一个自然数恰有
9
个互不相同的约数，其中
3
个约数
A
，
B
，
C
满足：
①
A
+
B
+
C=79
②
A
×
A=B
×
C
那么，这个自然数是
．
22<
/p>
．有一个自然数
A
，它的平方有
9
个约数，老师
9
个约
数写在
9
张卡片上，发
给学学三张、思
思三张．学学说：
“
我手中的三个数乘积是
A
3
．
”
思思说：
“
我
手中的三个数乘积就是<
/p>
A
2
，而且我知道你手中的三个数和是<
/p>
625
．
”
那么
，思
思手中的三个数和是
．
23
．<
/p>
一个四位数，
他最小的
8
个约数的和是
43
，
那么这个
四位回文数是
．
< br>（回
文数例如：
1111
、
4334
、
3210123
）
24
．一个正整数恰有<
/p>
8
个约数，它的最小的
3
个约数的和为
15
，且这个四位数
的一个质因数减去另一个质因数的
5
倍等于第三个质因数的
2
倍，这个数
是
．
2
5
．定义：
A□B
为
< br>A
和
B
乘积的约数个数，那么，
1□8
+
2□7
+
3□6
+
4□5=
．
26
．已知自然数
N
的个位数字是
0
，且有
8
个
约数，则
N
最小是
．
27<
/p>
．一个合数至少有
3
个约数．
．
（判断对错）
28
．把
72
的所有约数从小到大
排列，第
4
个是
．
29<
/p>
．
把
360
的所
有约数从小到大排列，
第
4
个数是
4
，
那么倒数第
4
个数是
．
30
．已
知
360=2
×
2
×
2
×
3
×
3
×
5
，那
么
360
的约数共有
个．
31
．
一个正整数，
它的
< br>2
倍的约数恰好比它自己的约数多
2
个，
它的
3
倍的约数
恰好比它自己的约数多
3
个．那么，这个正整数是<
/p>
．
32
．已知
300=2
×
2
×
3
×
5
×
5
，则<
/p>
300
一共有
不同的约数．
33
< br>．
A
、
B
两数都只含有质因数
3
和
4
，它们的最大公约数是
36
．已知
A
有
12
个约数，
B
有
9
个约数，那么<
/p>
A
+
B=
．
34<
/p>
．能被
2345
整除且恰有
2345
个约数的数有
个．
35
．
分母是
3553
的最简真分数的和是
．
36<
/p>
．若用
G
（
a<
/p>
）表示自然数
a
的约数的个数，如：自然
数
6
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
，共
4
个，
记作
G
（
6
）
=4
，则
G
（
36
）
+
G<
/p>
（
42
）
=
．
37
．聰聰先求出自然數
N
的所有約數，再將這些約數兩兩求和，結果發現，最
小的和是
3
，最大的和是
2010
，那麼這個
自然數
N
是
．
38
．自
然数
N
有
20
个正约数，
N
的最小值为
．
39<
/p>
．一个自然数恰好有
18
个约数，那么它
最多有
个约数的个位是
3
．
40
．数
2
2
×
3
3
×
5
5
有
个不同的约数．
41
．设数
A
共有
9
个不同约数，
B
共有
6
个不同约数，
C
共有
8
个不同约数，这
三个数中的任何两个都互不整除，则三个数
之积的最小值是
．
评卷人
得分
三．解答题（共
9
小题）
42
．
已知
2008
被一些自然
数去除，
得到的余数都是
10
，
这些自然数共有多少个？
43
．
A
、
B
< br>、
C
、
D
是一个等差数列，并且
A
有
2
个约数、
B
有
3
个约数、
C
有
4<
/p>
个约数、
D
有
5
个约数．那么，这四个数和的最小值是
．
44<
/p>
．如果一个数的奇约数个数有
2
m
个（
m
为自然数）
，
则我们称这样的数为
“
中
环数
”
，比如
3
的奇约数有
1
，
3
，一共
2=2
1
，所以
3
是一个
“
中环数
< br>”
．再比如
21
的奇约数有
1
，
3
，
7
，
21
，
4=2
2
，所以
21 <
/p>
也是一个中环数．我们希望能找
到
n
个连续的中环数．求
n
的最大值．
45
．
如果一个自然
数的约数的个数是奇数，
我们称这个自然数为
“
希望数
”
，
那么，
1000
以内最大的
“
希
望数
”
是
．
46
．求
100
至
160
之间有
8
个约数的数．
47
．
2008
的约数有
个．
<
/p>
48
．
100
以
内共有
8
个约数的数共有多少个？它们各是多少？
49
．已知三位数
240
有
d
个不同的约数（因子）
，求
d
的值．
50
．求
360
所有约
数的和．
参考答案与试题解析
一．选择题（共
1
< br>小题）
1
．恰有
20
个因数的最小自然数是（
）
A
．
120
B
．
240
C
．
360
D
．
432
【分析】
首先把
20
< br>拆成几个数的乘积，利用求约数个数的方法，从最小的质因
数
2
考虑，依次增大，找出问题的答案即可．
【解答】
解：
20=20=2
×
10=4
×
5=2
×
2
×
5
；
四种情况下的最小自然数分别为：
2
19
、
2
9
×
3
、
2
4
×
3
3
、
2
4
×
3
×
5
，其中最小的是
最后一个
2
4
×
3
×
5=240
．
故选：
B
．
【点评】
此题巧用求一个数约数的方法，
从最小的质因数着手，
分析不同的情形，
得出结论．
二．填空题（共
40
小题）
2
．
写出不大于
100
且恰有
8
个约数的所有自然数是
24
、
30
、
40
、
42
、
54
、
56
、
66
、
70
、
78
、
88
．
【分析】
恰有
8
个约数的自然数，具有形式
abc
或
ab
3
或
a
7
（
a
、
b
、
c
是不同的
质数）
，由此可得结论．
【解答】
解：根据题意可得：
2
×
3
×
5=30
，
2
×
3
×
7=42
，
2
×
3
×
11=66
，
2
×
3
×
13=78
，<
/p>
2
×
5
×
7=70
；
3
×
2
3
=24
，
5
×
2
3
=40
，
7
×
2
3
=56
，
11
×
2
3
=88
，
2
×
3
3
=54
；
2
7
=128
＞
100
．
所以，所求的数从小到大依次是：
24
、
30
、
40
、
42
、
54
、
56
、
66
、
70
、
78
、
88
共十个．
<
/p>
故答案为：
24
、
30
、
40
、
42
、
54
、
56
、
66
、
70
、
78
、
88
．
【点评】
< br>本题考查约数个数问题，考查学生分析解决问题的能力，确定恰有
8
个约数的自然数，
具有形式
abc
< br>或
ab
3
或
a
7
（
a
、
b
、
c
是不
同的质数）
是关键．
3
．已知自然数
n
有
10
个约数，
2n
有
2
0
个约数，
3n
有
15
个约数，那么
6n
有
30
个约数．
【分析】
< br>n
有
10
个约数，而
2n
有
20
个约数，按约
数和定理，得知
n
的分解式
中不含有<
/p>
2
，
3n
有
15
个约数，假设
3n
的分解式中不含有
3
，则
3n
的约数应
该是（
1
+
1
）×
10=20
< br>个，则
n
的分解式中含有一个
3
，
6n
分成
2
×
3
×
n
，再
根据约数和定理，可以求得约数的个数．
【解答】
解：根据分析，
n
有
10
个约数，
2n
有
20
个约数，
按约数和定理，又∵
设
n=3
a
m
x
，又∵
，∴
n
的质因数分解式中含有
0
个
2
；
< br>
，∴
n
的质因数分解式中含有
一个
3
，
根
据约数和定理，得
n
的约数和为：
（<
/p>
a
+
1
）
（
x
+
1
）
=10
，
解得：
a=1
，
x=4<
/p>
，此时
n=3
×
m
4
；
故<
/p>
6n=2
×
3
×
n=2
×
3
×
3
×
m
4
=2
×
3
2
×
m
4
，
其约数和为：
（
1
+
1
）×（
2
+
1
）
（
4
+
1
）
=2
×
3
×
5=30
，
故答案是：
30
．
【点评】
本题考查了约数个数与约数和定理，
本题突破点是：
根据约数和定理确
定分解式中
2
< br>和
3
的个数，再算约数的个数．
4
．一个自然数恰有
48
个约数，并且其中有
10
个连续的自然数，那么这个
数的
最小值是
2520
．
【分析】
因为这个数中的因数中有
10
个连续的自然数，
那么这个数最小是
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
< br>、
10
的最小公倍数，然后再验证这个最小公倍数是不<
/p>
是有
48
个约数．如果验证不到，再求<
/p>
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
、
10
、
11
的
最小公倍数，就这样去尝试．
【解答】
< br>解：因为
10=2
×
5
，
9=3
×
3
，
8=4
×
2
，所以这
10
个数的最小公倍数，
也就是
7
、
8
、
9
、
10
的最小公倍数．
7
、
8
的最小公倍数是
56
，
9
、
10
的最小公倍数是
90
，
56
和
90
的最小公倍数是
2520
．
将
2520
分解质因数得
2
3
×
3
2
×
5
×
7
，所以它的因数个数是（
3
+
1<
/p>
）×（
2
+
1<
/p>
）×
（
1
+
1
）×（
1
+
1
）
=48
个
故此题填
2520
．
【点评】
此题考查是求公倍数的
方法，
以及如何去求约数的个数，
采用的是假设
验证的解题策略．
5
．自然
数
N
有很多个约数，把它的这些约数两两求和得到一组新数，其
中最小
的为
4
，最大的为
2684
，
N
有
8
个约数．
【分析】
< br>最小的数为
4
，
则约数最小的数
为
1
，
另外一个第二小的约数为
4
﹣
1=3
，
即：
3
是
N
的一个约数，最大的约数是本身，第二大的约数和第二小的约数
相乘结果
即为本身，
所以第二大的约数为：
，
再
根据最大的两约数和为
2684
，
可以
求出
N
的值，用约数和定理求出约数的个数．
< br>
【解答】
解：根据分析，约数最小的数为
1
，最小的两个约数和为
4
，则第二小
的约数为：
4
﹣
1=3
，
约数是成对出
现的，
N=1
×
N=3
×
，
即
是第二大的约数，
由于最大的两约数和
为
2684
，
则有：
，解得：
N=2013
，
分解质因数
2013=3
×
11
×
61
，根据约数和定理，得：
2013
的约数个数为：
（
1
+
1
）×
（
1
+
1
）×
（
1
+
1
）×
（
1
+
1
）<
/p>
=8
个，
故答
案是：
8
．
【点评】
本题考查了约数和定理与因数倍数知识，
突破点是：<
/p>
根据约数和第二大
和第二小约数，再求出
N
，再算其约数的个数．
6
．
四位数
四位数
的所有
因数中，
有
3
个是质数，
其它
39
个不是质数．
那么
，
有
12
个因数．
【分析】
< br>首先判断文字中含有隐含的数字，奇偶位数和相等是
11
的倍数，在分
析因数的个数，同时注意题中说的是
3
个质数．
42
需要分解成
3
个数字相乘
有唯一情况．再枚举即可．
【解答】
解：首先根据奇偶位数和相等一定是
11
的倍数．因数一共的个数是
3
< br>+
39=42
（个）
，将
42
分解成
3
个数字
相乘
42=2
×
3
×
7
．
=a
×
b
2
×
c
6
．
如果是
11
×
5<
/p>
2
×
2
6
=17600
（不是四位数不满足条件）
．再
看一下如果这个数字最
小是
=11
×<
/p>
3
2
×
2
6
=6336
．
<
/p>
=3663=11
×
37
×
3
2
．因数的个数共
2
×
2
×
3=12
（个）
．
故答案为：
12
个．
【点评】
本题考查因数个数的求解同时考查质数与合数的理
解和运用，
题中隐含
数字
11
就是本题的突破口，同时关键分析
42
分解成<
/p>
2
×
3
×
7
的情况．实际
就是特殊的情况，都是最小的
质数．问题解决．
7
．
四位数
的约数中，
恰有
3<
/p>
个是质数，
39
个不是质数，
四位数
的值是
6336
．
【分析】
根据因数个数是
42
个同时需要有
3
个质数，
42
分解成
3
个数字相乘就
有唯一情况．同时这四位数中奇数偶数位数和相等．满足
11
整除特性．接下
来从最小的情况枚举尝试即可．
【解答】
解：根据
奇数偶数位数和相等
，所以一定是
11
的倍数，因数
个数是
3
+
39=42
个．
四位数含有
3
个质数，
需要将
42
分解成
3<
/p>
个数字相乘．
42=2
×
3
×
7
．
所以
可以写成
a
×
b
2
×
c
6
．那么看一下质数是最小的是什么情况．
11
×
3
2
×
2
6
=6336
．
当质数再打一点
b=
5
时，
c=2
时，
11
×
5
2
×
2
6
=17600
（不满足是四位数的条件）
．
故答案为：
6336
．
【点评】
本题考查因数个数的求法，同时对质数的理解和运用，突破口是<
/p>
42
需
要分解成
3
个数字相乘有唯一情况．同时数字是
11
的倍数．最后发现实际都
是特殊情况唯一确定．问题解决．
8
．大于
0
的
自然数，如果满足所有因数之和等于它自身的
2
倍，则这样的数
称
为完美数或完全数．比如，
6
的所有
因数为
1
，
2
，
3
，
6
，<
/p>
1
+
2
+
3
+
6=12
，
6
就
是最小的完美数．是否有无限多个完美
数的问题至今仍然是困扰人类的难题
之一．研究完美数可以从计算自然数的所有因数之和
开始，
81
的所有因数之
和为
121
．
【分析】
先找出
81
的所有因数，再把
81
的所有因数相加即可．
【解答】
解：
81
的因数：
1<
/p>
、
3
、
9
、
27
、
81
，
81
的所有因数
之和为：
1
+
3
+
9
+
27
+
81=121
，
< br>故答案为：
121
．
【点评】
本题关键是找到
81
< br>的所有因数．
9
．恰好有
12
个不同因数的最小的自然数为
60
．
<
/p>
【分析】
首先把
12
分成两个数的乘积或
3
个数的乘积，用因数减
1
当所求自然
数的质因数个数，从最小的质数
2
开始考虑，使
2
的
个数最多，算出乘积比
较得出答案．
【解答】
解：
12=1
×
12=2
×
6=3
×
4=2
×
2
×
3
，
有
12
个约数的自然数有：
①
2
×
2
×
…
×
2
×
2
（
11
个
2
）
=2048
，<
/p>
②
2
×
2
×
…
×
2
（
5
个
2
）×
3=96
，
③
2
×
2
×
2
×
3
×
3=72
，
< br>
④
2
×
2
×
3
×
5
=60
；
从以上可以看出只有④的乘积最小；
所以有
12
个约数的最小自然数是
60
．
故答案为：
60
．
【点评】
< br>此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=p
α
×
q
β
×
r
γ
（其中
a
为合数，
p
、
q<
/p>
、
r
是质数）
，
则
a
的约数共有（
α
< br>+
1
）
（
β
+
1
）
（
γ
+
1
）个约
数．
10
．有
10
个不同因数的最小自然数为
48
．
<
/p>
【分析】
首先把
10
分成两个数的乘积或
3
个数的乘积，用因数减
1
当所求自然
数的质因数个数，从最小的质数
2
开始考虑，使
2
的
个数最多，算出乘积比
较得出答案．
【解答】
解：因为
10=2
×
5=1
×
10
，
2
10
=1024
，
2
4
×
3=48
，
<
/p>
所以一个自然数有
10
个不同的约数，则
这个自然数最小：
2
4
×
3=48
；
故答案为：<
/p>
48
．
【点评
】
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=p
α
×
q
β
×
r
γ
（其中
a
为合数，
p
、
q
、
r
是质数）
，则
a
的约数共有（
α
+
1
）
（<
/p>
β
+
1
）
（
γ
+
1
）个约数．
11
．两个
正方形的面积之差为
2016
平方厘米，如果这样的一对正方形
的边长都
是整数厘米，那么满足上述条件的所有正方形共有
12
对．
【分析】
假设大正方形的边长为
x
，
小正方形的为
y
，
x
2
﹣
y<
/p>
2
=
（
x
+
y
）
（
x
﹣
y
）
=2016
，
x
+
y
与
x
﹣
y
奇偶性相同，乘积
2016
是偶数，所以必是偶数，据此分解质因数
2016=2
5
×
3
2
×
7
，然后解答即可．
【
解答】
解：假设大正方形的边长为
x
，
小正方形的为
y
，有题意可得：
x
2
﹣
y
2
=2016
，
因式分解：
（
x
+
y
）
（
x
﹣
y
）
=2016
，
x
+
y
与
x
﹣
y
奇偶性相同，乘积
2016
< br>是偶数，所以必是偶数，
2016=2
5
×
3
2
×
7
，
2016
因数的个数：
（
1
+
5
）×（
2
+
1
）×（
1
+
1
）
=36
（个）
，
共有因数
36
÷
2=18
对
因数，
其中奇因数有：
（
2
+
1
）×
2=6
对，
所以偶数有：
18
﹣
6=12
对，
即，满足上述条件的所有正方形共有
12
对．
故
答案为：
12
．
【点评】
本题考查了约数个数的定理和奇偶性问题，关键是得到
2016
的约数的
个数，难点是去掉几个奇因数；本题还可
以根据
x
+
y
与
x
﹣
y
都是
偶数，它们
的积至少含有
4
这个偶数，
所以
2016
÷
4=504
，
然后确定
504
的约数是
24
个，
即
12
对即可．
12
．
60
的不同约数（
1
除外）的个数是
11
．
<
/p>
【分析】
先将
60
分解质因数，
60=2
×
2
×
3
×
5
，再写成标准式是
2
2
×<
/p>
3
×
5
，再
利用约数个数公式，
约数个数
=
不同质因数指数加
1
然后再相乘，
最后减去
1
，
即得答案．
【解答】
60
分
解质因数
60=2
×
2
×
3
×
5
，再下称标准式是
2
2
×
3
×
5
，再利用约
数个数公式，约数个数
=
不同质因数指数加
1
然后再相乘．
60
的不同约数（
1
除外）的个数是（
2
+
1
）×（
1
+
1
）×（
1
+
1
）﹣
1=11
个．
答：答案是
11
个．
【点评】
约数个数公式的推导要用乘法原理，当
然此题也可以用列举法求解．
13
．
如果一个自然数
N
（
N
＞
1
）满足：
N
的因数个数就是其个位数字，那么这
样的
N
就称为
“
中环数
”
（比如
34=2
×
17
，所以它有
4
< br>个因数，正好就是
34
的个位数字，
所以
34
就是一个
”
中环数
”
）
．
在
2
～
84
中，
一共有
6
个
“
中环
数
”
．
【分析】
由题意，对
N
的因数个数分类讨论，由此即可得出结论．
【解答】
解：由题意，
N
的
因数个数是
2
，
N
就是
2
；
N
的因数个数是
3
，则
N
是完全平方数，由于末尾是
3
，不存在
N
满足题意；
N
的因数个数是
4
，由
于末尾是
4
，则满足条件的数为
14<
/p>
，
34
，
74<
/p>
；
N
的因数个
数是
5
，则
N
是完全平方数，由于末尾是
5
，不存在
N
满足题意；
N
的因数个数是
6
，则
N
是
76
满足题意；
同理
78
满足题意，
所以在
2
～
84
中，
”
中环数
< br>”
是
2
，
14
，
34
，
74
，
76
，
78
，
故答案为
6
．
【点评】
本题考查因数与倍数，考查新定义，解题的关键是对<
/p>
N
的因数个数分
类讨论．
14
．在所有正整数中，因数的和不超过
30
的共有
19
个．
【分析】
由于一个数的因数包括本身，则这个数一定不超过
30
，则依此可以一
一检验得到符合题意的
正整数的个数．
【解答】
解：根据分
析，此正整数不超过
30
，故所有不超过
30
的质数均符合条
件，有
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
共
10
个；
其它非质数有：
1<
/p>
、
4
、
6
、
8
、
9
、
10
、
12
、
14
、
15
共
9
个满足条件，故满足因数
的和不超过
30
的正整数一共有：
10
+
9=19
个．
< br>
故答案为：
19
．
【点评】
本题考查了约数的个数知识，突破点是
：从质数开始排查，再检验其它
非质数．
15
．一个五位数
是
2014
的倍数，并且
恰好有
16
个因数，则
的
最
小值是
24168
．
【分析】
2014
的倍数是五位数的数最小从
10070
开始，再根据
来确定这个五位数的最小值．
【解答】
解：根据分析，
2014
的倍数是五位数的数：
的约数个数，
①最小是
10070=5
×
2014
，
末尾三位是：
70=2
×
5
×
7
，
约数个数为：
（
1<
/p>
+
1
）
（
1
+
1
）
（
1
+
1
）
=8
个；
②
12084=6
×
2014
，末三位是：
84=2
2
×
3
×
7
< br>，约数个数为：
（
2
+
1
）
（
1
+
1
）
（
< br>1
+
1
）
=12
个；
③
14098=7
×
2014
，末三
位是：
98=2
×
7
< br>2
，约数个数为：
（
1
+
1
）
（
2
+
1
）
< br>=6
个；
④
< br>16112=8
×
2014
，末
三位是：
112=2
4
×
7
，约数个数为：
（
4
+
1
）
（
1
+
1
）
=10
个；
⑤
18126=9
×
2014
，
末三位是：
126=2
×
3
2
×
7
，
约数个数为：
（
1
+
1
）
（
2
+
1
）
（
1
+
1
）
=12
个；
< br>⑥
20140=10
×
2014
，
末三位是：
140=2
2
×
5
×
< br>7
，
约数个数为：
（
2
+
1
）
（
1
+
1
）
（
1
+
1
）
=12
个；
⑦
22154=11
×
2014
，
末三位是：
1
54=2
×
7
×
11
，
约数个数为：
（
1
+
1
）
< br>（
1
+
1
）
（
1
+
1
）
=8
个；
⑧
24168=12
×
2014
，
末三位是：
168
=2
3
×
3
×
7
，
约数个数为：
（
3
+
1
）
（
1
+
1<
/p>
）
（
1
+
1
）
=16
个；
显然符合题意的只有：
24168
．
故答案是：
24
168
．
【点评】
< br>本题考查了约数个数与约数和定理，
突破点是：
根据约数
和定理一一检
验，得到符合题意的数．
16
．整数
n
一共有
10
个因数，这些因数从小到大排列，第
8
个是
．那么整数
n
的最大
值是
162
．
【分析】
由于整数的因数都是成对出现，
则这
10
个约数必然是
1
、
、
3
、
、
、
、
、
、
、
n
，立即可以填出
1
、
2
、
3
、
、
、
、
、
、
、
n
，也就是说
n
必然含有质因数
2
和
3
，然后结合因数个数定理可求解．
【解答】
解：根据分析可知
10
< br>个因数分别为
1
、
2
、
3
、
、
、
、
、
、
、
n
，
根据因数个数定理
10=1
×（
9
+
1
）
=
（
1
+
1
）×（
4
+
1
）
，
由于含质因数
2
和
3
，则
n
应为
2
1
×
3
4
或
2
4
×
3
1
，其中
2
1
×
3
4
=162
< br>更大．
故答案为：
162
．
【点评】
解答
本题关键是：能根据因数成对出现的特点结合因数个数和定理．
17
．一个数恰好有
8
个因数，已知
35
和
77
是
其中两个，则这个数是
385
．
【分析】
先把
35
和
77
分解质因数，
即
35=5
×
7
，
77=7
×
11
，
则这个数至少数是：
< br>5
×
7
×
11
，然后根据求一个数约数的个数的计算方法：所有相同质因数的个
数加
1
连乘的积就是这个数约数的个数，即（
1
+
1
）×（
1
+
1
）×（
1
+
1
）
=8
个，正好符合要求，然后解答可得出答案．
<
/p>
【解答】
解：
35=5
< br>×
7
，
77=7
×
11
，
< br>则这个数至少数是：
5
×
7
×
11=385
，
共有（
1
+
1
）×（
1
+
1
）×（
1
+
1
）
=8
（个）因数，正好符合要求．<
/p>
答：这个数是
385
．
故
答案为：
385
．
< br>【点评】
此题主要考查一个合数的约数个数的计算公式：
a=p
α
×
q
β
×
r
γ
（其
中
a
为合数，
p
、
q
、
r
是
质数）
，则
a
的约数共有（
α
+
1
）
（
β
+
1
）
（
γ
+
1
）个约数．
18
< br>．在
1
～
600
中，恰好有
3
个约数的数有
9
个．
<
/p>
【分析】
如果一个数恰好有
3
个约数，则这个数分解质因数的形式为
P
2
（
P
为质
数）
，然后确定在
1
～
6
00
中，完全平方数的个数即可．
【
解答】
解：如果一个数恰好有
3
个约数
，则这个数分解质因数的形式为
P
2
（
P
为质数）
，
因为，
24
2
=576
，
25
2
=625
，
所以，
P
是不大于
24
的质数，即
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
，共有
9
个；
答：在
1
～
600
中，恰好有
3
个约数的数有
9
个．
故答
案为：
9
．
【点评】
本题考查了约数个数与约数和定理的灵活逆用；
关键是
明确：
当一个数
的因数的个数是奇数个数时，这个数是完全平方
数．
19
．已知
a
、
b
是两个不同的正整数，并且
a
、
b
的约数
个数与
2013
的约数个数
相同，则两
数之差（大减小）的最小值为
1
．
【分析】
显然先分解质因数
2013
，可以求得其约数的个数为（
1
+
1
）×（
1
+
1
）
×（
1
+
1
）
=8
，而
8=2
×
2
×
2=2
×
4
，故而可以确定
a
和
b
的分解质因数的形
式，再一一检验找出差值最小的数．
【解答】
解：根据分析，分解质因数
2013=3
×<
/p>
11
×
61
，有
（
1
+
1
）×
（
1
+
1
）×
（
1
+
1
）
=8
个约数，
而一个数有
8
个余数，那么这个数分解
质因数一定可以写成
m
3
×
n
或
m
×
n
×
w
（
m
、
n
、
w
为互不相同的质数）
，
故约数个数为
8
的数有多个，现举例说明两数之差
最小的几组：
①
104=2
3
×
13
与
105=3
×
5
×
7
均有
8
个约数（这
是最小的满足差是
1
的一组）
；
②
189=3
3<
/p>
×
7
与
190=
2
×
5
×
19
均有
8
个约数；
③
2
3
×
37=296
与
297=3
3
×
11
均有
8
个约数；
④
2013=3
×
11
×
61
，
2014=2
< br>×
19
×
53
< br>均有
8
个约数．
综上，
a
、
b
两数之差（大减小）的最小值为
1
．<
/p>
故答案是：
1
．
【点评】
本题考查了约数个数与约
数和定理，本题突破点是：先分解质因数，求
出约数的个数，再算出
a
，
b
最小的差．
20
．用
表示
a
的不同约数的个数．如
4
的不同约数有
1
，
2
< br>，
4
共
3
个，所以
=3
，那么（
﹣
）÷
=
1
．
【分析】
由题意，
12
的约数个数是
6
个，
6
的约数个数是
4
个，
5<
/p>
的约数个数是
2
个，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，
< br>12
的约数个数是
6
个，
6
的约数个数是
4
个
，
5
的约数个
数是
2
个，
所以（
< br>﹣
）÷
=
（
6
﹣
4
）÷
2=1
，
故答案为
1
．
【点评】
本题考查因数与倍数，考查学生的计算能力，正确理解
题意是关键．
21
．一个自然数恰有
9
个互不相同的约数，其中
3
个约数
A
，
B
，
C
满足：
①
A
+
B
+
C=79
②
A
×
A=B
×
C
那么，这个自然数是
441
．
【分析】
一个自然数
N
恰有
9
个互不相同的约数，则可得
N=x
2
y
2
，或者
N=x
8
，
利用其中
3
个约数
A
，
B
，
C
满足：①
A
+
B
+
C=79
；②
A
×
A=B
×
C
，进行验证即
可得出结论．
【解答】
解：
一个自然数
N<
/p>
恰有
9
个互不相同的约数，
则可得
N=x
2
y
2
，
或者
N=x
8
，
（
1
）当
N=x
8
，则九个约
数分别是：
1
，
x
，
x
2
，
x
3
，
x
4<
/p>
，
x
5
，
x
6
，
x
7
，
x
8
，其中
有
3
个约数
A
、
B
、
C
且满足
A
×
A=B
×
C
，不可能．
（
2
）当
N=x
2
y
2
，则九个约数分别是：
1
，
x
，
y
，
x
2
，
xy
，
y
2
，
x
2
y
，
xy
2
，
x
2
y
2
，其
中有
3
个约数
A
、
B
、
C
且满足
A
×
A=B
×
C
，
①
A=x
，
B=1
，
C=x
2
，则
x
+
1
+
x
2
=79
，无解．
②
A=xy
，
B=1
，
C=x
2
y
2
，则
xy
+
1
+
x
2
y
2
=79
，无解
．
③
A=xy
，
B=x
，
C=xy
2
，则
xy
+
x
+
xy
2
< br>=79
，无解．
④
A=xy
，
B=x
2
，
C=y
2
，则<
/p>
xy
+
x
2
+
y
2
=79
，解得：
，则
N=3
2
×
7
2
=
441
．
⑤
A=x
2
y
，
B=x
2
y
2
，
C=x
2
，则
x
2
y
+
x
2
y
2
+
x
2
=79
，无解
．
故答案为
441
< br>．
【点评】
本题考查约数个数
和约数和定理，
考查分类讨论的数学思想，
解题的关
键是一个自然数
N
恰有
9
个互不相同的约数，则可得
N=x
2<
/p>
y
2
，或者
N=
x
8
．
22
．有一个自然数
A
，它的平方有
9
个约数，老师
9
个
约数写在
9
张卡片上，发
给学学三张、
思思三张．学学说：
“
我手中的三个数乘积是
< br>A
3
．
”
思思说：
“
我
手中的三个数乘积就是
A
2
，而且我知道你手中的三个数和是
625
．
”
那
么，思
思手中的三个数和是
55
．
<
/p>
【分析】
A
2
有
9
个约数，故由约数个数定理可逆推出：
A
的质因数分解形式为
p
4
或
pq
（
p
、
q
为不相同的质数）
，
分类讨论，即可得出结论．
【解答】
解：
A
2
有
9
个约数，故由约数个数定理可逆推出：
A
的质因数分解形式
为
p
4
或
pq
（
p
、
q
为不相同的质数）
；<
/p>
若
A=p
4<
/p>
，那么可把
A
2
的
9
个约数写成如下的表格形式（幻方）
：
p
7
p
2
p
3
1
p
4
p
8
p
5
p
6
p
学学手中必拿到了一行或一列或一
条对角线；
思思手中拿到的可能是
（
1
、
p
、
p
7
）
（
1
、
p
2
、
p
6
）
（
< br>1
、
p
3
、
p
5
）
（
p
、
p
2
、
p
5
）
（
p
、
p
3
、
p
4
< br>）
；只有后两组才能确定
学学手中的牌，但后两组所确定
的数需要
1
+
p
4
+
p
8
=
625
或
1
+
p
5
+
p
7<
/p>
=625
，可是
这两种情况
p
均无解；故知
A
的质因数
分解形式不能为
p
4
，只能为
pq
；