20181213小学奥数练习卷(知识点：最佳对策问题)含答案解析
-
小学奥数练习卷（知识点：最佳对策问题）
题号
得分
注意事项：
一
二
三
总分
1
．答
题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2
．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人
得分
一．选择题（共
4
小题）
1
．九张纸片，每张纸片上一个数，分别是
1
，
3
，
4
，
5
，
6
，
< br>7
，
8
，
9
，
10
，甲乙
轮流取纸片放入
3
×
3
的方格中，一次一张，最后得分：甲是第一、三行及中
心数的和，乙是第一
、三列及中心数的和，得分多者为胜，由甲先放，甲想
取胜，那么甲第一步应（
）
A
．取
1<
/p>
放入第一列或第三列的中间格内
B
．取
10
放入第
一行或第三行的中间格内
C
．取
9
放入第一列或第三列的中间格内
D
．取
1<
/p>
放入任一角上或者正中心的格内
2
．甲乙二人进行下面的游戏．二人先约定一个整数
N
，然后由甲开始，轮流把
1
，
2
，
3
，
4<
/p>
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这九个数字之一填入下面任一方格中：
□□□□□□
，
每一方格只填入一个数字，形
成一个数字可以重复的六位数．若这个六位数
能被
N
整除，乙胜；否则甲胜．当
N
小于
15
时，使得乙有必胜策略的
N
有
（
）
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
3
．如图所示是一个游戏板，它由
14
个正方形组成．在标有
S
的正方形处放有一
枚棋子；游戏规则是每步可将这枚棋子移动到与它所在方格关于图中的某条
直线对称的方格中去．
从开始位置
S
移到终点
T
，
需要移动的次数
最少是
（
）
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
4
．
甲、
乙两人玩
拿火柴棍游戏，
桌上共有
10
根火柴棍
，
谁取走最后一根谁胜．
甲
每次可以取
走
1
根、
3
根
或
4
根
（只能取恰好的数量，
如果最后剩
2
根火柴棍，
甲只能取
1
根）
，乙每次可以取
1
根或
2
根．如果
甲先取，那么甲为了取胜，
第一次应（
）
A
．取
1
根
C
．取
4
根
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
B
．取
3
根<
/p>
D
．无论怎么取都无法获胜
得分
二．填空题（共
29
小题）
5
．
甲、
乙两人轮流在黑板上写不超过
10
的自然数，
规定每人每次只能写一个数，
并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，并欲胜，则甲的写
法是
．
6
．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，
移动的规则为：
每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少
1
个）的小球，并将其移动
到该木格右边紧邻的那一木格中；<
/p>
当所有小球全部移动到最右端的木格中时，
游戏结束，移动最后一
个小球的一方获胜．
面对如图所示的局面
（格中的数字代表小球的数目，
木格下方的数字表示木格编
号）
，先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号
木格
中的
个小球．
7
．在一个摆满棋子的长方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某
行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取）
，不允许不
取，
也不能在多行（多列）中拿取．当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束．取走
最后一颗棋子的一方获胜．面对如图所示的棋盘，先手有必胜策略．先手第
一步应该取走
（写出所有的正确
方案）
，才能确保获胜．
8
．在一个摆满棋子的正方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为
：在某
行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取）
，不允许不取，
也不能在多行（多列）中拿取，当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束
．取走
最后一棵棋子的一方获胜．
面
对如图所示的棋盘，
先手有必胜策略，
先手第一步应该取走
（写出所有的
正确方案）
，才能确保获胜．
9
．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，移动
的规则为：
每人每次可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木格右边<
/p>
紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，
移动最后一个小球的一方获胜．面对如图所示的局面（每个木格中的数字代
表小
球的数目，木格下方的数字表示木格编号）
，先手必胜策略，那么，为确
保获胜，先手第一步应该移动
号木格中的
个小球．
10
．
甲、
乙两人玩井字棋游戏，
轮流在一个
3
×
3
的方格棋盘内画符号，
甲画
“
○
”
先走，乙画
“
×
”
后走，谁能将棋盘的一整行，一整列或
一整条对角线的
3
个
格都画上自己的符
号，谁就赢．如果前
4
步甲乙所下位置如图
1
所示，那么
甲下一步应该下在
号位置（位置编号如图
2
所示）
，才能保证必胜．
11
．甲、乙两人轮流从
1
～
17
这
17
个整数中选数，规定：不能选双方已选过的
数，
不能选已选数的
2
倍，不能选已选数的
，谁没有数可选谁就输，现在
甲已选
8
，乙要保证自己必胜，乙接着应该选的数是
．
12
．甲
和乙在一张
20
×
15
的棋盘上玩游戏，开始时把一个皇后放在棋盘除了右
上角外的某格内；从甲开始
，两个人轮流挪动皇后，每次可以按直线或斜线
走若干格，但只能往右、上或右上走；谁
把皇后挪到了右上角的格子，谁就
获胜．那么这个棋盘上，有
个起始格是让甲有必胜策略的．
13
．这是一种两人玩的游戏．两位
选手轮流在一条
20
×
1
的矩形长带上移动筹
码．每一轮都可将四个筹码的任意一个向右移动任意方格
．但不能放在其他
筹码上面或超过其他筹码．开始时如图中看到的各筹码位置，赢家是最
后移
动筹码者．
（他移动后，四个筹码恰好占据了长带右端的四
个放个，不可能在
移动了）
．先移动者应将
向右移动
格，才能保证获胜．
14
．如图是一个棋盘，开始时，警
察在位置
A
，小偷在位置
B
．双方交替走棋，
警察先走，每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走
步才能保证抓
住小偷．
15
．有一个两人游戏，
22
颗围棋子是游戏道具，用抓阄等方式确定谁先走，把
< br>先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方，游戏规则如下：先走方必
须选择
拿走
1
颗或
2
颗围棋子；先手完成后，后手方开始按照同样的规则取
围棋子：双方轮流抓取，直到取完
所有的棋子．取走最后一颗围棋子的人获
胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取
胜，先手方应该留给对手的
围棋子数目从第一轮开始到取胜依次为
．
1
6
．有一个两人游戏，
13
颗围棋子是
游戏道具，用抓阄等方式确定谁先走，把
先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手方
，游戏规则如下：先走方必
须选择拿走
1
颗或
2
颗围棋子；先手完成后，后手方开始按照同样的规则取
围棋子：双方轮流抓取，直到取完所有的棋子．取走最后一颗围棋子的人获
胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方应该留给对手的
围
棋子数目从第一轮开始到取胜依次为
．
17
．有
一个两人游戏，两堆黑（
5
颗）白（
8
颗）棋子是游戏道具，用抓阄或猜
叮壳等方式确定谁先走，
把先走的一方称为先手方，
后走的一方称为后手方，
游戏规则如下：先手方必须在两堆棋子中选定一堆，至少选择一颗取走，也
可以
选择将这一堆全部棋子取走；先手方完成之后，后手方开始按照同样的
规则取围棋子：双
方轮流抓取，直到取完所有棋子，取走最后一颗围棋子的
人获胜．
这个游戏先手方有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始应该取走
．
< br>18
．
甲、
乙两人轮流往立方体
的任意一个顶点填入
1
～
20
中的一个数
（不能重复）
，
要求每次填的数一定比
3
个相邻位置中已有的数大，谁无法
填出谁负．甲先
填，第一次填了
17
（
如图所示）
，那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最
小是<
/p>
．
19
．有
6
张牌，每张牌上写有
1
个数字，分别写
着数字
1
～
6
．佳佳和俊俊两人
轮流抓牌，
从佳佳开始，
每人每次抓
1
张，
把牌抓完．
在抓牌的整个过程中，
佳佳手中牌的数字之和一直比俊俊的大，但俊
俊抓完最后一张牌后，手中牌
的数字之和反而比佳佳的大
1
．
那么，
两人的抓牌顺序共有
种不同的可能．
20
．
有一个二人游戏，
< br>游戏道具为一支笔和一张白纸，
游戏过程为两人轮流在白
纸上写字．用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先写，把先写的一方称为先手方，
后写的一方称
为后手方，游戏规则如下：先手方必须选择拿走
1
颗或
2
颗围
棋子；
先手方完
成之后，
后手方在先手方写下的数字上选择加
1
或者加
2
．
将
选择后计算的结果写在白纸上，
双方依照这个规则轮流依次写下自己的数字，<
/p>
先写到
22
的人获胜．纸上开始按照同样
的规则取围棋子；双方轮流抓取，直
到取完所有棋子，取走最后一颗棋子的人获胜．这个
游戏先手方是有必胜策
略的，如果要取胜，先手方从第一轮开始到取胜分别写下的数字为
．
21
．
有一个两人游戏，
< br>游戏道具为一支笔和一张白纸，
游戏过程为两人轮流在白
纸上写数字，
用抓阄或猜叮壳等方式确定谁先写，
把先写的一方
称为先手方，
后写的一方称为后手方，
游戏规则如下：
先手方首先选择在白纸上写下
1
或
2
，
先手方写完之后，
后手
方在先手方写下的数字上选择加
1
或加
2
，
将选择后计
算的结果写在白纸上，
双方依照这个规则轮流一次写下自己的数字，先写到
11
的人获
胜．
这个游戏先手方是由必胜策略的，
如果要取胜，
先手方从第一轮开始到取胜分别
写下的数字为<
/p>
．
22
．有一个两人游戏，两堆黑（
5
颗）白（
8
颗）围棋子是游戏道具，用抓阄或<
/p>
猜叮壳等方式确定谁先走，把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手
方，
游戏规则如下：
先手方必须在两堆棋子中选定一堆
，
至少选择一颗取走，
也可以选择将这一堆全部棋子取走；先手
方完成之后，后手方开始按照同样
的规则取围棋子；双方轮流抓取，直到取完所有棋子．
取走最后一颗围棋子
的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在
一开始
应该取走
．
23
．有
一个两人游戏，两堆黑（
10
颗）白（
21
颗）棋子是游戏道具，用抓阄或
猜叮壳等方式确定谁先走，
把先走的一方称为先手方，后走的一方称为后手
方，
游戏规则如
下：
先手方必须在两堆棋子中选定一堆，
至少选择一颗取走，<
/p>
也可以选择将这一堆全部棋子取走；先手方完成之后，后手方开始按照同样
的规则取围棋子；双方轮流抓取，直到取完所有棋子．取走最后一颗围棋子
的人
获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方在一开始
应该取走
．
24
．
有一个两人游戏，
游
戏道具为一支笔和一张白纸，
游戏过程为两人轮流在白
纸上写数
字、用抓阄或者猜叮壳等方式确定谁先写．把先写的一方称为先手
方，
< br>后写的一方称为后手方，
游戏规则如下：
先手方首先选择
在白纸上写下
1
或
2
< br>，
先手方完成之后，
后手方在先手方写下的数字上选择加
1
或者加
2
，
将
选择后计算的结果写在白纸上，
双
方依照这个规则轮流一次写下自己的数字，
先写到
22
的人获胜．这个游戏先手方是有必胜策略的，如果要取胜，先手方
从第一
轮开始到取胜分别写下的数字为
．
25
．一
个箱子装着苹果、一个箱子装着梨、一个箱子装着苹果和梨．但粗心的人
把三个标签全贴
错了．现在要求只能从一个箱子中取出一只水果（看不到箱
子里面的水果）
，
就能把标签全部改正，
应从贴着
< br>
标签的箱子中取出水果．
26
．
由单位正方形组成的
m
×
n
的矩形棋盘
（其中
m
，
n
为不超过
10
的正整数）
，
在棋盘的左下角单位正方形里放有一枚棋子，甲乙两人轮流行棋．规则是：
或者向上走任意多格，
或者向右走任意多格，
但是不能走出棋盘或者不走．
若
规定不能再走者为负（即最先将
棋子移至右上角者获胜）
．那么能使先行棋的
甲有必胜策略的正
整数对（
m
，
n
）共有
个．
27
．
两人做一种游戏：轮流报数，报出的数不能超过
8
（也不能是
0
）
，把两
个人报出的数连加起来，谁报数后，加起来的数是
88
（或
88
以上的数）
，谁
就获胜．如果让你先报，就一定会赢，那么你
第一个数应该报
．
28
．甲
、乙两人玩游戏，他们轮流从一堆有
1999
个硬币中取硬币中取硬币，规
定每次只能取
1
个或
2
个或
3
个，
取到最后一个硬币者算输．
现在甲先取先
取硬币．试问：甲第一
次必须取
个硬币，才能保证他一定会赢．
29
．如果在
81
个零件混杂了一个重量稍
轻的次品，用天平（不用砝码）至少称
次就能把次品找出来．
30
．甲乙两人轮流从
65
，
119
，
133
，
< br>143
，
170
，
285
，
418
，
546
，
561
这
9
个数
中取数，
谁
先取到最大公约数大于
1
的三个数，
谁
胜利．
假设甲先取走了
418
，
乙接着要取
才可能保证不败．
31
．图的
9
个圆圈间，连有
9
条直线，每条直线上有
3
个圆圈．甲先乙后轮流将
9
个圆圈涂上颜色；
如果谁先将某条直线上的
3
个圆圈全涂上自
己的颜色，
谁
就获胜；和局判乙胜．现在，甲先选择了
“A”
，乙接着选择了
“B”
< br>．甲要取胜，
接下来的一步应填在标号为
的圆圈中．
（注：写出所有答案！每
多写一个
错误答案抵消一个正确答案，依此类推，不倒扣分．
）
32
．一
次，齐王与大将田忌赛马，每人有四匹马，分为四等．田忌知道齐王这次
比赛马的出场顺
序依次为一等、二等、三等、四等，而且还知道这八匹马跑
的最快的是齐王的一等马，接
着依次为自己的一等，齐王的二等，自己的二
等，
齐王的三等，
自己的三等，
齐王的四等，
自己的四等
．
那么田忌有
种
方法安排自己的马的出场顺序，保证自己至少能赢两场比赛．
33
．一堆火柴有
20
根，甲乙二人轮流从中取出一些火柴，要求每次取的根数是
前一个人所取
根数的约数，谁取走最后一根谁就获胜．如果甲先取，并且第
一次取的根数是一位数，那
么为了确保自己获胜，他第一次应该取
根．
评卷人
得分
三．解答题（共
< br>17
小题）
34
．有分别装了
88
，
99<
/p>
个玻璃球的两个箱子，两人轮流在任意的箱子中取任意
的球数，规
定是一次只能在一个箱子中取球，不能一个不取，取到最后球的
人为输，你能给出方案吗
？
35
．梅川分校四（
2
）班举行取桔子游戏，两位同学轮流把
100
只桔子从筐内取
出．规定每人每次至少取走
1
只，最多取走
5
只，直至把筐内的桔
子取完，
谁取到筐内剩下的最后一只桔子谁获胜．
请你写出取桔
子获胜的方法
（步骤）
．
36
．如图，将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）<
/p>
，再将每
个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作
）
．这样继续操作下
去，完成第
5
次操作后得到若干个小三角形纸板．甲和乙在这些小三角形纸
板上涂
色，每人每次可以在
1
至
10
个小三角形纸板上涂色，谁最后涂完谁
赢．在甲先涂的情况下，请设置一
个方案使得甲赢．
37
．桌子上有
2014
枚棋子，甲乙两人轮流取走棋
子．规则是：每人每次取的个
数是
1
枚
至
5
枚，谁最后取光桌上的棋子谁就获胜．如果甲先取，那么甲
先
取
枚棋子，才能保证自己必胜．
38<
/p>
．一堆计数卡片分别写着
2
，
3
，
4
，
5
，
…
，
2012
．甲先从中抽走
1
张，然
后乙
再从中抽走
1
张，
如此轮流下去．
如果最后的
2
张上的数是互质数时，
甲胜；
如果最后剩下的
< br>2
个数不是互质数时，乙胜．甲想要获胜有几种抽取方法？
各应该怎样抽取卡片？
39
．两个人共同写一个由
1
、
2
、
3
、
4
、
< br>5
组成的
2010
位数，先由甲写第一个
数字，然后两人轮流写数字．
（
1
）
乙是否可以保证最终得到的数是
9
的倍数？若能，
如何做到？若不能请说
明理由．
（
2
）
如果两人共同写一个这样的
2012
位数，
乙是否可以保证最终得到的数是
9
的倍数？若能，如何做到？若不能，请说明甲的策略．
40
．有夫妇带着儿子和女儿，一条狗外出旅行，途中要过一条河，渡
口有一只空
船，最多能载
50
千克，而
夫妇二人各重
50
千克，儿子与女儿各重
25
千克，
狗重
10
千克．请问：他们应该如何过河？
41
．
（选做题）有一架天平，只有
5
< br>克和
30
克砝码，要把
300<
/p>
克盐分成三等分，
最少称几次，写出你的称法．
< br>
42
．
某商店出售啤酒，
规定每
4
个空瓶可以换一瓶啤酒，
小明家买了
24
瓶啤酒，
他一家前后最多能喝到
瓶啤酒．
43
．有
9
张卡片，上面分别标有数字
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
、
9
< br>．淘气与蓝猫
两位小朋友轮流从中取卡片，每次取一张，谁取的卡片中有
3
张卡片上所标
的数字和为
15
，谁就是胜者．如果淘气首先取得了标有
5
的卡片，那么要使
蓝猫不败，蓝猫应该取数字是几的卡片？并说明理由．<
/p>
44
．桌上有
21
根火柴，小刚和小亮两人轮流取，每人每次取
1
根或
2
根．谁取
到最后一
根谁就获胜．小亮该怎样取才能保证获胜？
45
．甲、乙二人轮流在黑板上写下不超过
l0
的自然数
．规定禁止在黑板上写已
写过的数的约数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数
，试问谁一
定获胜？给出一种获胜的方法．
< br>46
．如图，两只蜘蛛同处在一个正方体的顶点
A
，而一只爬虫处在
A
的体对顶点
G
，
假设蜘蛛和爬虫均以同样的速度沿正方体的棱移
动，
任何时候它们都知道
彼此的位置，蜘蛛能预判爬虫的爬行方
向，试给出一个两只蜘蛛必定捉住爬
虫的方案．
47
．有
9
颗钢珠，其中
8
颗一样重，另有一颗比
这
8
颗略轻，用一架天平最少称
几次，
可以找到那颗较轻的钢珠？
48
．<
/p>
有
100
名少先队员在岸边准备坐船去湖
中离岸边
600
米的甲岛，
等最后一人
到达甲岛
15
分钟后，再去离甲岛
900
米的乙岛，现有机船和木船各
1
条，机
船和木船每分钟各行
300
米和
150
米，而机船和木船可各坐
10
人和
25
人，
问最后一批少先队员到达乙岛，最短需要多长时间？（按小时计算）
49
．如图，五行五列共亮着的
25<
/p>
个灯，共有
5
个行开关和
5
个列开关，每个开
关只同时控制一行或一列的
5
个灯泡，规定每次操作都要从中选一列改变状
态，再从中选一行改变状态．问能否通过有限次操作使得
25
盏灯都熄灭？
50
．有一堆棋子共
53
枚，甲，乙两人轮流从中拿走
1
枚或
2
枚棋子．
规定谁拿
走最后一枚棋子，谁获胜．如果甲先拿，乙后拿，谁有必胜的策略？必胜策
略是什么？
参考答案与试题解析
一．选择题（共
4
< br>小题）
1
．九张纸片，每张纸
片上一个数，分别是
1
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，
10
，甲乙
轮流取纸片放入
3
×
3
的方格中，一次
一张，最后得分：甲是第一、三行及中
心数的和，乙是第一、三列及中心数的和，得分多
者为胜，由甲先放，甲想
取胜，那么甲第一步应（
）
A
．取
1
放入第一
列或第三列的中间格内
B
．取
10
放入第一行或第三行的中间格内
C
．取
9
放入第一列或第三列的中间格内
D
．取
1
放入任一角上或
者正中心的格内
【分析】
由题意可知
，左上角、右上角、左下角、右下角以及中心格这个五个格
中的数是大家共有的，各人采
取的策略尽量让较大的数归自己且不与别人共
有，尽量让较小的数归别人且不与自己共有
．
【解答】
解：
按照
A
的策略，乙接下来只能将
10
放到自己第三列或第一列的中格，这样乙与
别人不共有的两个数
的和是
11
，接下去甲取
9
，无论乙怎样放甲都保证了自
己不与乙共有的两个数的和至少是
12
．
所以此题选
A
．
【点评】<
/p>
此题甲只要保证自己不与乙共有的两个数的和大于乙不与甲共有的两个
数的和即可．
2
．甲乙二人进行
下面的游戏．二人先约定一个整数
N
，然后由甲开始，轮流把<
/p>
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这九个数字之一填入下面任一方格中：
□□□□□□
，
每一方格只填入一个数字，形成一个数字可以重复的六位数．若这
个六位数
能被
N
整除，乙胜；否则甲胜
．当
N
小于
15
时，使得乙有必胜策略的
N
有
（
）
A
．
5
B
．
6
C
．
7
D
．
8
【分析】
若
N
是偶
数，甲只需第一次在个位填个奇数，乙必败只需考虑
N
是奇
数．分类讨论，可得结论．
【解答】
解：若
N
是偶数，甲只需第一次在个位填个
奇数，乙必败只需考虑
N
是奇数．
N=1
，显然乙必胜．
N=3
，
9
，乙只需配数字
和
1
﹣
8
，<
/p>
2
﹣
7
，
3
﹣
6
，
4
﹣
5
，
9
﹣
9
即可．
N=5
，甲在个位填不是
5
的数，乙必败．
N=7
，
11
，
13
，乙只需配成
故选：
B
．<
/p>
【点评】
本题考查最佳对策问题，
考查分类讨论的数学思想，
考查学生分析解决
问题的能力，属于中档题．
3
．如
图所示是一个游戏板，它由
14
个正方形组成．在标有
S
的正方形处放有一
枚棋子；游戏规则是每步可
将这枚棋子移动到与它所在方格关于图中的某条
直线对称的方格中去．
< br>从开始位置
S
移到终点
T
，
需要移动的次数最少是
（
< br>
）
=
×
1001=
×
< br>7
×
11
×
13
，
A
．
3
B
．
4
C
．
5
D
．
6
【分析】
如图所示，
S→A→B→C→D→
T
，可得结论．
【解答】
解：如图所示，
S→A→B→C→D→T
，所以从
开始位置
S
移到终点
T
，需
要移动的次数最少是
5
次
，故选
C
．
【点评】
本题考查最佳策略问题，
考查
对称性的应用，
考查学生分析解决问题的
能力，属于中档题．<
/p>
4
．
甲、
乙两人玩拿火柴棍游戏，
桌上共有
10
根火柴棍，
谁取走最后一根谁胜．
甲
每次可以取走
1
根、
3
根或
4
根
（
只能取恰好的数量，
如果最后剩
2
根火
柴棍，
甲只能取
1
根）
，乙每次可以取
1
根或
2
根．如果甲先取，那么甲为了取胜，
第一次应（
）
A
．取
1
根
C
．取
4
根<
/p>
B
．取
3
根
D
．无论怎么取都无法获胜
【分析】
无论甲怎么走，
乙只要让最后火柴棒剩
两根，
甲这时只能取
1
根，
乙胜．
在
这之前只要保证火柴剩下
5
根，甲取
1
根，则乙取
2
根，剩
2
根，乙
胜；或
者甲取
3
根，乙取
2
根，乙胜；或者甲取
4
根
，乙取
1
根，乙胜．所以甲无
论怎么取
都无法获胜．
【解答】
解：无论甲怎
么走，乙只要让最后火柴棒剩两根，甲这时只能取
1
根，
乙胜；
在这之前只要保证火柴剩下
5
根，甲取
1
根，则乙
取
2
根，剩
2
根，乙胜；
或者甲取
3
根，乙取
2
根，乙胜；或者甲取
4
根，乙取
1
根，乙胜．
所以甲无论怎么取都无法获胜．
故选：
D
．
【点评】
本题的关键是甲先拿，然后保证让最后火柴棒剩两根，
就一定会获胜．
二．填空题（共
29
小题）
5
．
甲、
乙两
人轮流在黑板上写不超过
10
的自然数，
规定每人每次只能写一个数，
并禁止写黑板上数的约数，最后不能写者败．若甲先写，
并欲胜，则甲的写
法是
甲先把
（
4
，
5
）
，
（
7
，
9
）
，
（
8
，
10
）
分组，
先写出
6
< br>，
则乙只能写
4
，
5
，
7
，
< br>8
，
9
，
10
中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个
．
【分析】
甲先写
6
，由于
6
的约数有
1
，
2
< br>，
3
，
6
．接下来乙可以写的数只有
4
、
5<
/p>
、
7
、
8
、
9
、
10
．把这
6
个数分成三组：
（
4
，
7
）
、
（
5
，
8
）
、
（
9
，
10
）
，当然也
可（
4
，
5
）
、
（
8
，
10
）
、
（
7
，
< br>9
）或（
4
，
< br>9
）
、
（
5
，
7
）
、
（
8
，
10<
/p>
）等等，只要组
内两数大数不是小数的倍数即可，由此即可找到最
佳对策．
【解答】
解：甲先写
6
，由于
6
的约数有
1
，
2
，
3
，
6
，
接下来乙可以写的数只有
4
< br>、
5
、
7
、
8
、
9
、
10
，
把这
6
个数分成三组：
（
< br>4
，
7
）
、
（
5
，
8
）
、
（
9
，
10
）
，
当然也可（
4
，<
/p>
5
）
、
（
8
，
10
）
、
（
7
，
9
）或（
4
，
9
）
、
（
< br>5
，
7
）
、
（
8
，
1
0
）等等，
只要组内两数大数不是小数的倍数即可，
这样，
乙写某组数中的某个数时，
甲就写同组中的另一数，
从而甲一定写最后一
个，甲必获胜，
答：甲先把（
4
，
5
）
，
（
7
，
9
）
，<
/p>
（
8
，
10
）分组，先写出
6
，则乙只能写
4
，
5
，
7
，
8
，
9
，
10
中一个，乙写任何组中一
个，甲则写另一个．
故答案为：甲先把（
4
，
5
）
，
（
7
，
9<
/p>
）
，
（
8
，
10
）分组，先写出
6
，则乙只能写
4
，
5
，
7
，
8
，
9
，
10
中一个，乙写任何组中一个，甲则写另一个．
【点评】
解答此题的关键是，根据数的特点，以及题目的要求，只要找到先
写的
数，然后再将有关数进行合理分组，即可找到最佳对策．
6
．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小球，
移动的规则为：
每人每次可以选择某一木格中的任意数目（至少
1
个）的小球，并将其移动
到该木格右边紧邻的那一木格中；<
/p>
当所有小球全部移动到最右端的木格中时，
游戏结束，移动最后一
个小球的一方获胜．
面对如图所示的局面
（格中的数字代表小球的数目，
木格下方的数字表示木格编
号）
，先手有必胜策略，那么，为确保获胜，先手第一步应该移动号
1
木
格中的
3
个小球．
【分析】
第一次从
< br>1
号格中移
3
个球到
0
号格．
这样就变成了
（
2
）
（
6
）
（
2
）
（
）
，
以后无论后手方怎么移，先手都必胜．
【解答】
解：第一次从
1
号格中移
3
个球到
0
号格．这样就变成了（
2
）
（
6
）
（
2
）
（
）
，以后无论后手方怎么移，先手都必胜．
这时后手有三种移动情况：
[
情况
1
和情况
2
]
如果后手方从
3
号格（
1
号格）移几个球，那么先手方都从
1
号格（
3
号格）移相同数目的球
；
[
情况
3
]
如果后手方移
2
号格中的球，无论后手移动几个球，先手就从
1
号格中
移动相同数目的球；一直这样移下去，只要后手方有球可移，先手方就一定
< br>有球可移，这样先手方必胜．
【点评】
本题给出实际问题，
考查最佳对策问题，
考查学生分析
解决问题的能力，
属于中档题．
7<
/p>
．在一个摆满棋子的长方形棋盘中，甲、乙两人轮流拿取棋子，规则为：在某
行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取）
，不允许不取，
也不能在多行（多列）中拿取．当棋盘中所有棋子被取尽时游戏结束．取走
最后一颗棋子的一方获胜．面对如图所示的棋盘，先手有必胜策略．先手第
一
步应该取走
4
（写出所有的正确方案）
，才能确保获胜．
【分析】
这种策略型的游戏，
通常是使剩下的部分呈对称性，
以保证先手获胜．
顺
着这个思路去思考，就能得到取胜的策略．
【解答】
解：
（
1
）假设先手取
1
，则后手取
27
，剩下正方形，先手此时已经无法取胜
；
如果先手再取
34
，后手取
56
胜；反之亦然．
如果先手再取
3
，后手就取
5
，后手胜；反之亦然．
（
2
）假设先手取
2
，则后手取
5
，剩下
1347
6
，先手此时无论是取
1
个还是取
2
个，后手总能取胜；
< br>（
3
）假设先手取
3
，则后手还是取
5
，剩下
12476
，先手此时无论是取
1
个还
是
取
2
个，后手总能取胜；
（
4
）假设先手取
4
，则后手如果取
1
或
5
，先手就取
5
< br>或
1
就变成正方形，先手
胜；<
/p>
后手如果取
12
或
56
，先手就取
56
或
12
，先手胜；
后手如果取
123
，先手去
< br>567
获胜；
后手如果取
23
或
76
，先手
取
76
或
23
获胜；
后手如果取
27
或
36
，先手取
36
或
27
获胜．
（
5
）假设先手取
5
，则后手取
3
，就变成（
3
）
，后手胜．
（
6
）假设先手取
6
，后手取
1234
，后手胜．
（
7
）假设先手取<
/p>
7
，后手取
12
，变成（
1
）
（
8
）先手除上述取法外，无论咋取，后手均可获胜．
故此题填
4
【点评】
此题要分析每种可能，根据先手的取法确定接下去的取法．
在游戏时，
要注意几种固定的模式，如呈正方形，此时谁先取谁就输．
< br>
8
．在一个摆满棋子的正方形棋盘中，甲、乙两人轮流
拿取棋子，规则为：在某
行或某列中，取走任意连续放置的棋子（即不能跨空格拿取）<
/p>
，不允许不取，
也不能在多行（多列）中拿取，当棋盘中所有棋子
被取尽时游戏结束．取走
最后一棵棋子的一方获胜．
面对如图所示的棋盘，
先手有必胜策略，
先手第
一步应该取走
1
、
< br>3
、
5
、
7
、
9
、
2
58
、
456
（写出所有的正确方案）
，才能确保获胜．
【分析】
这个游戏的策略主要是利用
图形有对称性
（
1
< br>）先手取
5
号以及
258
、
456
号后，图形完全对称，显然是先手可
以取胜．
（
2
）先手取
1
号，
< br>①后手取
2
、
3
、
4
、
7
中的一个或两个，先手都可以取成正方形获胜；
如果后手
取
3
，那先手就取
7
< br>，后手再取
4
，那先手就取
2<
/p>
，这样就剩下
5689
这
个正方形，在这种情况下，谁先取谁就输．
如果后手
取
23
，那先手就取
47
，剩下
5689
正方形．
②后手取
59
中的一个，先手可以取另
一个形成对称图形而获胜．
③后手取
3678
中的一个或两个，先手一定可以获胜．
如果后手取
36
，先手就可以取
8
，这时剩下
47259
，此时后
手无论怎样取，先手
都可以获胜．
如
果后手取
8
，先手就取
36
，情况同上．
如果后手取
78
，那先手就取
6
，这时剩下
23459
，此时后手无论怎样取，先手都
可以获胜．
7
如果后手取
6
，那先手就取
78
，情
况同上．
如果后手取
3
或
7
，先手可以参照①的情况获胜．
（
3
）同理，先手取
3
、
7
、
9
也可以确保获胜．
（
4
）除上述情况外，取任意其他一个或相邻两个、三个，后手都
可以取成对称
图形导致先手失败．
（
对称图形不包括
2
×
3
这样的
6
个）
【解答】
解：先手确保获胜只能取
<
/p>
1
、
3
、
5
、
7
、
9
、
258
、
456
这七种．
【点评】
这题题目是利用图形的对称知识获胜的，
< br>只有在形成对称图形之后才能
保证自己获得最后一个棋子．
9
．在放置有若干小球的一排木格中，甲乙两人轮流移动小
球，移动的规则为：
每人每次可以选择某一木格中的任意数目的小球，并将其移动到该木
格右边
紧邻的那一木格中；当所有小球全部移动到最右端的木格中时，游戏结束，
移动最后一个小球的一方获胜．面对如图所示的局面（每个木格中的数字代
表小球的数目，木格下方的数字表示木格编号）
，先手必胜策略，那么，为确
保获胜，先手第一步应该移动
1
号木格中的
2
个小球．
【分析】
由题意可知，这个游戏的题
的策略是奇数性的利用，由图可知，
3
号格
和
1
号格里的球数不相同，要确保获胜，先手必须先要取成
3
号格和
1
号
格
里的球数相同，所以先手必须将
1
号
格中的
2
个小球移入
0
号格，后手无论
怎么移，
都会导致这两格球数不一样，
先手只须保持两格一样即可最后获胜；
据此解答即可．
【解答】
解：由图可知，
3
号格和
1
号格里的球数不相同，
要确保获胜，先手必
须先要取成
3
号格
和
1
号格里的球数相同，所以先手必须将
1
号格中的
2
个
小球移入
0
号格，后手无论怎么移，都会导致这两格球数不
一样，先手只须
保持两格一样即可最后获胜．所以为确保获胜，先手第一步应该移动
1
号木
格中的
2<
/p>
个小球．
故答案为：
< br>1
，
2
．
【点评】
解答此题要明确：
先手必
须先要取成
3
号格和
1
号格里的球数相同才能
获胜．
10
．
甲、
乙两人玩井字棋游戏，<
/p>
轮流在一个
3
×
3
的方格棋盘内画符号，
甲画
“
○
”
先走，乙画
“<
/p>
×
”
后走，谁能将棋盘的一整行，一整列
或一整条对角线的
3
个
格都画上自己的
符号，谁就赢．如果前
4
步甲乙所下位置如图
< br>1
所示，那么
甲下一步应该下在
1
号位置（位置编号如图
2
所示）
，才能保证必胜．
【分析】
因为左上角已经有两个
“
×
”
，所以
甲下一步应该下在
1
号位置，否则要
被
乙杀死，只要甲下在
1
号位置，不论乙下一步下在何处，甲都可
以下在
3
或
4
的位置双杀，乙都挡不住．
【解答】
解：根据分析可得，
因为左上角已经有两个
“
×
< br>”
，甲不得不走
1
，此时
3
或
4
的位置甲可以
双杀，乙
都挡不住．
答：甲下一步应该下在
1
号位置，才能保证必胜．
故答案为：
1
．
【点评】
本题考查了最佳对策问题，
关键是
确定甲下在
1
号位置，
然后怎样保证<
/p>
下一步能获胜．
11
< br>．甲、乙两人轮流从
1
～
17<
/p>
这
17
个整数中选数，规定：不能选双方
已选过的
数，不能选已选数的
2
倍，不
能选已选数的
，谁没有数可选谁就输，现在
甲已选
8
，乙要保证自己必胜，乙接着应该选的数是
6
．
【分析】
根据题意，可以将数按下面这样去分配：
< br>
4
、
8
、
16
5
、
10
<
/p>
3
、
6
、
12
7
、
14
1
、
2
9
11
13
15
17
这样一共十组，这后面九组中只
有
3
、
6
、<
/p>
12
很特殊，如果选
3
< br>或
12
，那就变成
了两组，就多
出了一组，乙要想赢就要保证
3
、
6<
/p>
、
12
一次选好后，对方不能
再选中里面的数．
【解答】
解：
根据上面的分析，乙只有选
6
，那甲就不能再选
3
或
12
了．接下去这六组
就随
便选了．
5
、
10
7
、
14
1
、
2
9
11
13
15
17
故此题应填
6
．
【点评】
< br>这题的采取的策略的分组，
分析每组中的情况，
抓住特殊
情况进行分析．
12
．甲和乙在一张
20
×
15
的
棋盘上玩游戏，开始时把一个皇后放在棋盘除了右
上角外的某格内；从甲开始，两个人轮
流挪动皇后，每次可以按直线或斜线
走若干格，但只能往右、上或右上走；谁把皇后挪到
了右上角的格子，谁就
获胜．那么这个棋盘上，有
287
个起始格是让甲有必胜策略的．
<
/p>
【分析】
因为甲先走，
甲可以直接走到右
上角的格子，
也可以经过若干步后走到
右上角的格子．但是在不
能保证一步走到右上角的情况时，走完一步也要保
证下一步乙走一步也不能直接走到右上
角的格子．当乙走完后一步后，甲就
能走到右上角的格子．
上图中除了阴影格子之外，乙只要走一步，甲就能走到右上角
的格子．
【解答】
解：
上面阴影的格子一共
13
个．
棋盘上一共有
20
×
15=300
个格子，
300
﹣
13=287
故此题填
287
．
< br>【点评】
此题采用是排除法，
图中阴影部分的点谁从这些
点出发都是不能直达右
上角的．
13
．这是一种两人玩的游戏．两位选手轮流在一条
20
×
1
的矩形长带上移动筹
码．每一轮都可将四个筹码的任意一个向右移动任意方格．但不能放在其他
筹码上面或超
过其他筹码．开始时如图中看到的各筹码位置，赢家是最后移
动筹码者．
（他移动后，四个筹码恰好占据了长带右端的四个放个，不可能在
移动了）
．先移动者应将
A
向右移动
2
格，才能保证获胜．
【分析】
先手要想获胜，
必须在后手移动后有对应的
移动，
即后手移动一个筹码
一格，先手也要能移动一个筹码一格
．所以此题只要从对应筹码出发，就能
得到取胜的策略．
【解答】
解：
这里有
ABCD
四个筹码，可以将
A
和
C
对应起来，
B
和
D
对应起来．
< br>A
和
B
之间
有
4
格，
C
和
D
之间只有
2
格，所以只要将
A
和
B
之间变成
2
格或
C
和
D
之
间变成
4
格，此时就能保证先手获胜了．
方法
1
：将
A
向右移动
2
格
方法
2
：将
D
向右移动
2
格
在这种情况下，
不管后手如何移动，
先手只
要保证
A
和
B
之间的间隔，
与
C
与
< br>D
之间的间隔相同即可．
【点
评】
这题主要考查学生对一一对应思想的理解和运用，
在这题移
动的过程中
是不是有点亦步亦趋的意思．
14
．如图是一个棋盘，开始时，警察在位置
A
，小偷在位置
B
．双方交替走棋，
警察先走，每次必须沿着线走一步．那么警察至少需要走
4
步才能保证抓
住小偷．
【分析】
如图，把六个位置编号如下
：第一步警察由
F
走到
C
，小偷只能由
B
走
到
A
；
第二步警察由
C
走到
D
，
小偷
只能由
A
走到
B
；
第三步警察由
D
走到
F
，
小偷只能由
B
到
A
或者
B
到
C
；第四步小偷无论往哪个方向走都会被警察抓
住．
【解答】
解：如图，把六个位置编号如下：
第一步警察由
F
走到
C
，小偷只能由
B
走到
A
；