小学奥数：排列之捆绑法.专项练习
-
7-4-2.
排列之捆绑法
教学目标
1.
使学生正确理解排列的意义；
<
/p>
2.
了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求
的排列；
3.
掌握排列的计算公式；
4.
会分析与数字有关的计数问题，
以及与其他
专题的综合运用，
培养学生的抽象能力和
逻辑思维能力；
通过本讲的学习，
对排列的一些计数问题进
行归纳总结，
并掌握一些排列技巧，
如捆绑
法等．
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇
到这样的问题，
就是要把一些事物排在一起，
构成一列，
计算有
多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的
事物有关，而且与各事物所
在的先后顺序有关．
一般地，从
n
个不同的元素中取出
< br>m
(
m
n
)
个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
根据排列的定义，<
/p>
两个排列相同，
指的是两个排列的元素完全相同，
并且元素的排列顺
序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的
排列；如果两个排列中，虽然
元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排
列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素
的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个
步骤完成：
步骤
1
< br>：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的
(
n
1
)
个
元素中任取一个元素排在第二位，有
(
n
1
)
种方法；
……
步
骤
m
：
从
剩
下
的
[
n
(
m
1)]
个
元
素
中
任
取
一
个
元
素
排
< br>在
第
m
个
位
置
，
有
n
（
m
1
）
n
m
1
(
种
)
方法；
由乘法原理，从
n
个不同
元素中取出
m
个元素的排列数是
n
n
1
）
（
.
n
2
）（
L
n
m
1
）
，即
P
n
m
（
，这里，
m
n
，且等号
< br>n
（
n
1
）
（
n
2
）
L
（
n
m
1
）
右边从
n
开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，共有
m
个因数相乘．
二、排列数
n
1
）
（
n
2
）
L
3
2
1
．
一般地，对于
m
n
的情况，排列
数公式变为
P
n
n
n
（
表示从
n
个不同元素中取
n
个元素排成一
列所构成排列的排列数．这种
n
个排列全部取
< br>出的排列，叫做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从<
/p>
n
开始，后面每一个因数比前一个因
7<
/p>
-
4
-2.
排列
之捆绑法
.
题库
教师版
page
1
of
4
<
/p>
数小
1
，一直乘到
1
的乘积，记为
n
!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
n
!
，其中
n
!
n
（
n
1
）
（
n
< br>2
）
L
L
3
2
1
．
在排列问题中，有时候会要求某些物体
或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法
数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在
一起进行计算．
【例
1
】
4
个男生
2
个
女生
6
人站成一排合影留念，有多少种排法？如果要求
2
个女生紧
挨着排在正中间有多少种不同的排法
？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
⑴
4
男
2
女
6
人站成一排相当于
6
个人站成一排的方法，可以分为六步来进行，
第一步，确定第一个位置的人，有
6
种选择；第二步，确定第二个位置的人，有
5
种选择；第三步，排列第三个位置的人，有
4
种选择，依此类推，第六步，最后一
个位置只有一种选择．根据乘法原理，一
共有
6
5
4
3
2
1
720
种排法．
⑵
根据题意分为两步来排列．第一步，先排
4
个男生，一共有
4
3
2
1
24
种不同的排
法；第二步，将
2
个女生安排完次序后再插到中间一共有
2
种方法．根据乘法原理，一共有
24
2
48
种排法．
【答案】⑴
720
⑵
48
【巩固】
4
男
2
女
6
个人
站成一排合影留念，要求
2
个女的紧挨着有多少种不同的排法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
分
为三步：
第一步：
4
个男得先排，一共有
4
3
2
1
24
种不同的排法；
第二步：
2
个女的排次序一共有
2
种方法；<
/p>
第三步：将排完次序的两名女生插到排完次序的男生中间，一共
有
5
个位置可插．
< br>根据乘法原理，一共有
24
2
5
240
种排法．
【答案】
240
【例
2
】
将
A<
/p>
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
、
G
七位同学在操场排成一列，
其中学生
B
与
C
必须相邻．
请
问共有多少种不同的排列方法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】
2007
年，台湾，第十一届，小学数学世界邀请赛
【解析】
（
< br>法
1
）七人排成一列，其中
B<
/p>
要与
C
相邻，分两种情况进行考虑．
若
B
站在两端，
B
有两种选择，
C
只有一种选择，另五人的排列共有
P
5
5
种，所以这种情况
有
2
1
P
5
5
240
种不同的站法．若
B
站在中间，
B
有五种选择，
B
无论在中间何处
，
C
都
有两种选择．另五人的排列共有
P
5
5
种，所
以这种情况共有
5
2
P
5
5
1200
种不同的站法．
所以共有
240
1200
1440
种不同的站法．<
/p>
（法
2
）由于
B
与
C
必须相
邻，可以把
B
与
C
当作一个整体来考虑，这样相当于
6
个元素的
全排列，另外注意
B
、
C<
/p>
内部有
2
种不同的站法，
所以共有
2
P
6
6
< br>1440
种不同的站法．
【答案】
1440
【巩固】
6
名小朋友
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
站成一排，若
A
，
B
两人必须相邻，一共有多少种
不同的站法？若
A
、
B
两人不能相邻，一共有
多少种不同的站法？
【考点】排列之捆绑法
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
若
A
、
B
两人必须站在一起，那么可以用
“捆绑”的思想考虑，甲和乙两个人占据
一个位置，但在这个位置上，
< br>可以甲在左乙在右，
也可以甲在右乙在左．
因此站法
总数为
P
2
2
P
5
5
=2×120=240（种）
7
-
4
-2.
排列之捆绑法<
/p>
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题库
教师版
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例题精讲