小学奥数：变速问题.专项练习
-
变速问题
教学目标
1
、
能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点
2
、
能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。
3
、
变速变道问题的关键是如何处理“变”
知识精讲
变速变道问题属于行程中的综合题，
用到了比例、
分步、
分段处理等多种处理问题等解
题方法。对于这种分段变速问题，利用算
术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。
算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；
折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；
<
/p>
方程的优点在于无需考虑得非常仔细，
只需要知道变速点就可以列
出等量关系式，
把大
量的推理过程转化成了计算．
行程问题常用的解题方法有
⑴公式法
即根据常用的行程问题的公
式进行求解，
这种方法看似简单，
其实也有很多技巧，
使用
公式不仅包括公式的原形，
也包括公式的各
种变形形式；
有时条件不是直接给出的，
这就需
要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；
⑵图示法
在一些复杂的行程问题中，
为了明确过程，
常用示意图作为辅助工具．
示意图包括线段
图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追
及的地点．另外在多次
相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；
⑶比例法
行程问
题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重
要的是，
在一些较复杂的题目中，有些条件
(
如路程、速度、时间等
)
往往是不确定的，在没
有具体数值的情况
下，只能用比例解题；
⑷分段法
<
/p>
在非匀速即分段变速的行程问题中，
公式不能直接适用．
这时通常把不匀速的运动分为
匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法
去分析，然后再把结果结合起来；
⑸方程法
在关系复杂、
条件分散的题目中，
直接用公式或比例都很难求解时，
设条件关系最多的
未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．<
/p>
3-2-6.
变速问题
.
题库
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学生版
【例
1
】
小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走
52
米，小强每分走
70
米，
二人在途中的
A
处相遇。若小红提前
4
分出发，且速度不变，小强每分走
90
米，则两人仍在
A
处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？
【例
2
】
甲、乙两人沿
400
米环形跑道练
习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方
向跑去。相遇后甲比原来速度增加
2
米／秒，乙比原来速度减少
2
米／秒，结
果都用
24
秒同时回到原地。求甲原来的速度。
【例
3
】
A
、
B
两地相距
7200
米，甲、乙分别从
A
，
B
两地同时出发，结果在距
B
地
2400
米处相遇．
如果乙的速度提高到原来的
3
倍，
那么两人可提前
10
分钟相遇，
则甲的速度是每分钟行多少米？
【例
4
】
甲、乙两车分别从
A
，
B
两地同时出发相向而行，
6
小时后相遇在
C
点．如果
甲车速度不变，乙车每小时多行
5
千米，且两车还从
A
，
B
两地同时出发相向
而行，
则相遇地点距
C
点
12
千米；
如果乙车速度不变，
甲车速度每
小时多行
5
千米，则相遇地点距
C
点
16
千米．甲车原来每小时行多少千米？
【巩固】
甲、乙二人分别从
A
、
B
两地同时出发相向而行，
5
小时后相遇在
C
点。如果甲
速度不变，乙每小时多行
4
千米，且甲、乙还从
A
、
B
两地同时出发相向而行，
则相遇点
D
距
C
点
lO
千米；如果乙速度不变，甲每小时多行
3
千米，且甲、
乙还从
A
、
B
两地同时出发相向而行，则相遇点
E
距
C
点
5
千米。问：甲原来
的速度是每小时多少千米？
< br>
【例
5
】
A
、
B
两地间有一座桥
< br>(
桥的长度忽略不计
)
，甲、乙
二人分别从两地同时出发，
3-2-6.
变速问题
.
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3
小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多走
2
千米，而乙提前
0.5
小
时出发，则仍能恰在桥上相遇．如果甲延迟
0.5
小时出发，乙每小时少走
2
千
米，还会在桥上相遇．则
A
、
B
两地相距多少千米？
【例
6
】
一列火车出发
1
小时后因故停车
0.5
小时，然后
以原速的
3/4
前进，最终到达
目的地
晚
1.5
小时．
若出发
1
小时后又前进
90
公里再因故停车
0.5
小时，
然
后同样以原速的
3/4
< br>前进，则到达目的地仅晚
1
小时，那么整个路程为多少公
里？
【例
7
】
王叔叔开车从北京到上海，从开
始出发，车速即比原计划的速度提高了
1/9
，结
果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶
280
千米后，将车速提
高
1/6
，
于是提前
1
小时
40
分到达北京．
北京、
上海两市间的路程是多少千米？
【例
8
】
甲、乙两人同时从山脚开始爬山
，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度
都是各自上山速度的
1.5
倍，而且甲比乙速度快。两人出发后
1
小时，甲与乙
在离山顶
600
米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发
点共
用多少小时？
【例
9
】
小华以每小时
8/3
千米的速度登山，
走到途中
A
点后，他将速度改为每小时
2
千米，在接下来的
1
小时中，他走到山顶，
又立即下山，并走到
A
点上方
500
米的地方．
如果他下山的速度是每小时
4
千米，
下山比上山少用了
52.5
分钟．
那
么，他往返共走了多少千米？
3-2-6.
变速问题
.
< br>题库
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【例
10
】
甲、乙两车从
A
、
B
两地同时出发相向而行，
5
小时相遇；如果乙车提前
1
小
时出发，
则差
13
千米到中点时与甲车相遇，
如果甲车提前
1
小时出发，
则过中
点
37
千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米
/<
/p>
小时？
【例
11
】
甲、乙两名运动员在周长
400
米的环形跑道上进行
10000
米长跑比赛，两人从同
一起跑线同时起跑，甲每分钟跑
400
米，乙每分钟跑
360
米，当甲比乙领先整整
1
，甲每分钟比原来多跑
18
米，并且
4
都以这样的
速度保持到终点．问：甲、乙两人谁先到达终点？
一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快
【例
12
】
环形场地的周长为
1800
米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行
(
甲速大于
乙速
)
，
12
分钟后相遇．如果每人每分钟多走
25
米，则相遇点与前次相差
33
< br>米，
求原来二人的速度．
【例
13
】
王刚骑自行车从家到学校去，
平常只用
20
分钟。因途中有
2
千米正在修路，只
1
好推车步行，步行速度只
有骑车速度的
，结果这天用了
36
分钟
才到学校。从
3
王刚家到学校有多少千米？
3-2
-6.
变速问题
.
题库
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4
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学生版
【例
14
】
甲、乙两车分别从
A
、
B
两地同时出发，相
向而行．出发时，甲，乙的速度之比
是
5:
4
，相遇后甲的速度减少
20%
，
乙的速度增加
20%
．这样当甲到达
B
地时，
乙离开
A
地还有
10
千米．那么
A
、
B
两地相距多少千米？
【例
15
】
甲、乙往返于相距
1000
米的
A
，
B
两地．甲先从
A
地
出发，
6
分钟后乙也从
A
地
出发，并在距
A
地
600
米的
C
地追上甲．乙到
B
地后立即原速向
A
地返回，甲
到
B
地休息
1
分钟后加快速度向
A
地返回，并在
C
地追上乙．
问：甲比乙提前多
少分钟回到
A
地？<
/p>
【例
16
】
一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返
回时速度提高
50%
。出发
2
小时后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达
乙地
时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要
多少时间？<
/p>
1
2
【例
17
】
甲、乙两地间平路占
，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的
，
< br>3
5
一辆汽车从甲地到乙地共行了
10
小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢
20%
，
行下山路的速度比平路快
20%
，
照这样计算，
汽车从乙地回到甲地要行多
长时间？
【例
18
】
甲、乙二人在同一条圆形跑道
上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方
向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立
即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的
速度是甲的速度的
3-
2-6.
变速问题
.
题库
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5
of
14
2
1<
/p>
．甲跑第二圈的速度比第一圈提高了
，乙跑第二圈的速度
3
3
学生版
1
提高了
，
已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程
5
< br>是
190
米，问这条跑道长多少米？
【例
19
】
甲、乙两人沿
400
米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向
跑去．相遇后甲比原来速度增加
4
米／秒，乙比原
来速度减少
4
米／秒，结果都
用
25
秒同时回到原地．求甲原来的速度．
【巩固】
从
A
村到
B
村必须经过
< br>C
村，
其中
A
< br>村至
C
村为上坡路，
C
村至
B
村为下坡路，
A
村至
B
村的总路程为
< br>20
千米．某人骑自行车从
A
村
到
B
村用了
2
小时，再从
B
村
返回
< br>A
村又用了
1
小时
45
分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且
< br>下坡时的速度是上坡时速度的
2
倍．求
< br>A
、
C
之间的路程及自行车上坡
时的速度．
【例
20
】
欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨
7:
40
，欢欢从家出发骑车
去学校，
7:
46
追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校
服的贝贝才想起学校的
通知，
欢欢立即调头，
< br>并将速度提高到原来的
2
倍，
回
家换好校服，
再赶往学校；
欢欢
8:0
0
赶到学校时，
贝贝也恰好到学校．
如
果欢欢在家换校服用去
6
分钟且调
头时
间不计，那么贝贝从家里出发时是
点
分．
3-2
-6.
变速问题
.
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学生版
【例
21
】
甲、
乙两人都要从
A
地到
B
地去，
甲骑自行车，
乙步行，
速度为每分钟
60
米
．
乙
比甲早出发
20
分钟，甲在
距
A
地
1920
米的
C
处追上乙，两人继续向前，甲发现
自己忘带东西，
于是将速度提高到原来的
1.5
倍，
马上返回
A
地去取，
并在距离
C
处
720
米的
D
处遇上乙
．
甲到达
A
地后在
A
地停留了
5
分钟，
再以停留前的速度
骑往
B
< br>地，
结果甲、
乙两人同时到达
B
地
．
A
、
B
两地之间的距离是
米
．
【例
22
】
小芳从家到学校有两条一样长
的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下
坡路．小芳上学走这两条路所用的时间
一样多．已知下坡的速度是平路的
1.6
倍，
< br>那么上坡的速度是平路速度的多少倍？
【例
23
】
赵伯伯为锻炼身体，每天步行
3
小时，他先走平路，然后上山，最后又沿原路返
回。假设赵伯伯在平路上每小时行
4
千米，上山每小
时行
3
千米，下山每小时行
6
千米，在每天锻炼中，他共行走多少米？
【例
24
】
王老师每天早上晨练，他第一
天跑步
1000
米，散步
1600
米，共用
25
分钟；第
二天跑步
2000
米，散步
800
米，共用
20
分钟。假设王老师跑步的
速度和散步的
速度均保持不变。求：
(1)
王老师跑步的速度；
(2)
王老师散步
< br>800
米所用的时
间。
【例
25
】
某校在
400
米环形跑道上进行
1
万米比赛
，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的
速度始终保持不变，开始时甲比乙慢，在第
15
分钟时甲加快速度，并保持这个
速度不变
，在第
18
分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第
23
分钟时甲再次追上
乙，而在
23
分
50
秒时甲到达终点。那么
，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？
3-2-6.
变速问题
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