小学五年级奥数思维训练全集.
-
小学五年级奥数思维训练全集
第一周
平均数（一）
专题简析：
把几个不相等的数，在总数不变的条
件下，通过移多补少，使它们完全相等
，求得的相等
的数就是平均数。
平均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
< br>
总份数
=
总
数量×平均数
例
< br>1
：
有
4
箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱
42
个，梨、橘子、桃
平均每箱
36
个，苹果和桃平均
每箱<
/p>
37
个。一箱苹果多少个？
分析：
①：
1
箱苹果＋
1
箱梨＋
< br>1
箱橘子
=4
2
×
3=136
（个）
；
②：
1
箱桃＋
1
箱梨＋
1
箱橘子
=36
×
3=108
< br>（个）
③：
1
箱苹果＋
1
箱桃
=37
×
2=74
（个）
由①、
②可知：
1
箱苹果比
1
箱桃多
126
－
108=18
（
个）
，
再根据等式③，用和差关系求出：
1
箱桃有（
74
－
18
）
÷
2=28
< br>（个）
，
1
箱苹果有
28
＋
18=46
（个）
。
试一试
1
：
甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、
丁三人共重
120
千克，
甲、
丙、
丁三人共重
126
千克，
丙、
丁二人的平均体重是
40
千克。
求四人的平均体重
是多少千克？
例
2
：
某
3
个数的平均数是
2
，如果把其中一个数改
为
4
，平均数就变成了
3
。被改的数原来是多少？
分析：
原来三个数的和是
2
×
3=6
，后来三个数
的和
是
3
×
3
=9
，
9
比
6
多出了
3
，
是
因为把那个数改成了
4
。
因此，原来的
数应该是
4
－
3=1
< br>。
试一试
2
< br>：
有五个数，平均数是
9
。如果
把其中的
一个数改为
1
，
那么这五个数的平均数为
8
。
这个改动
的数原来是多少？
例
3
：
五一班同学数学考试平均成绩
91.5
分，事后
复查发现计算成绩时将一位同
学的
98
分误作
89
< br>分计
算了。经重新计算，全班的平均成绩是
91.7
分，五一
班有多少名同学？
分析：
98
分比
89
分多
9
分。多算
9<
/p>
分就能使全班
平均每人的成绩上升
91.
7
－
91.5=0.2
（分）
。
9
里面包
含有几个
0.2
，五一班就有几名同学。
试一试
3
：
某班的一次测验，平均成绩是
91.3
分。
复查时发现把张静的
89
分误看作
97
分计算，经重新
计算，该班平均成绩是
91.1
分。全班有多少同学？
专题二
平均数（二）
专题简析：
平
均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
总份数
=
总数量×平均数
例
1
：
小明前几次数学测验的平均成绩是
84
分，
这
次要考
100
分，
< br>才能把平均成绩提高到
86
分。
问这是
他第几次测验？
分析：
每次应多考：
8
6
－
84=2
（分）
。
100
分比
86
分多
14
分，
14
里面有
7
个
2
分，所以，前
面已经测
验了
7
次，这是第
8
次测验。
试一试
1
：
一位同学在期中测验中，除了数学外，
其它几门功课的平均成绩是
94
分，如
果数学算在内，
平均每门
95
分。
已知他数学得了
100
分，
问这位同学
一共考了多少门功课？
例
2
：
小亮在期末
考试中，政治、语文、数学、英
语、
自然五科的平均成绩是
89
分，
政治、
数
学两科平
均
91.5
分，政治、英语两
科平均
86
分，语文、英语
两科平均分
84
分，英语比语文多
10
分。小亮的各科
成绩是多少分？
分析：
因为语文、英语两科平均分
84
分，即语文＋
英语
=168
分
，而英语比语文多
10
分，即英语－语文
=10
分，所以，语文：
（
168<
/p>
－
10
）÷
2=
79
分，英语是
79
＋
10=89
分。又因为政治、英语两科平均
86
分，所
以政治是
86
×
2
－
89=83
分；
而政治、
数学两科平均分
91
.5
分，数学：
91.5
×
2
－
83=100
分；最
后根据五科
的平均成绩是
89
分可知，
自然：
89
×
5
－（
79
＋
89
＋
83
＋
100
）
=94
分。
试一试
2
< br>：
甲、乙、丙三个数的平均数是
82
，甲、
乙两数的平均数是
86
，<
/p>
乙、
丙两数的平均数是
77
。
乙
数是多少？甲、丙两个数的平均数是多少？
例
3
：
两地相距
360
千米，一艘汽艇顺水行全程
需
要
10
小时，已知这条河的水流速度
为每小时
6
千米。
往返两地的平均速度
是每小时多少千米？
分析：
用往返的
路程除以往返所用的时间就等于往
返两地的平均速度。
顺水速度
=360
÷
10=36
（千米）
是，
顺水速度
=
汽艇的静水速度与水流速度的和，
所以，
静
水速度是
36
－
6=30
（千米）
。而逆水速度
=<
/p>
静水速度－
水流速度，所以汽艇的逆水速度是
30
－
6=24
（千米）
。
逆水行全程时所用时间是
360
÷
24=15
（小时）
，往
返
的平均速度是
360
×
2
÷（
10
＋
15
）
=28.8
（千米）
。
试一试
3
：
一艘客轮从甲港驶向乙港，全程要行
165
千米。已知客轮的静水速度是每小时
30
千米，水
速每小时
3
千米。现
在正好是顺流而行，行全程需要
几小时？
例
4
：
幼儿园小班的
20
个小朋友和大班的
30
个小
朋友一起分饼干，
小班的小朋友每人分
10<
/p>
块，
大班的
小朋友每人比大、小班小朋友
的平均数多
2
块。求一
共分掉多少块饼
干？
分析：
只要知道了大、小班小朋
友分得的平均数，
再乘（
30
＋
20
）人就能求出饼干的总块数。因为大班
的
小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多
2
块，
30
个小朋友一共多
2
×
30=60
（块）
，
这
60
块平均分给
20
个小班的小朋友，每人可得
60
÷
< br>20=3
（块）
。因此，
大、小
班小朋友分得平均块数是
10
＋
3=1
3
（块）
。一
共分掉
< br>13
×（
30
＋
20
）
=650
（块）
。
试一试
4
：
两组同学跳绳，第一组有
25
人，平均
每人跳
80
下；第
二组有
20
人，平均每人比两组同学
跳
的平均数多
5
下，两组同学平均每人跳几下？
< br>
例
5
：
王强从
A
地到
B
地，先骑自行车行完全程的
一半，每小时行
12km
。剩下的步行
，每小时走
4km
。
王强行完全程的平
均速度是每小时多少
km
？
分析：
求行完全程的平均速度，应该用全程除以行
全程所用的时间。由于题中没有告诉我们
A
地到
B
地
间的路程，我们可以设全程为
< br>24km
（也可以设其他
数）
，
这样，就可以算出行全程所用的时间是
12
÷
< br>12
＋
12
÷
< br>4=4
（小时）
，再用
24
÷
4
就能得到行全程的平
< br>均速度是每小时
6km
。
试一试
5
：
运动员
进行长跑训练，他在前一半路程
中每分钟跑
150
米，后一半路程中每分钟跑
100
米。
求他在整个长跑中的平均速度。
第
3
讲
长方形、正方形的周长
专题简析：<
/p>
长方形的周长
=
（长＋宽）×
2
，正方形
的周长
=
边长×
4
。表面上看起来不是长方形或正方
形
的图形的周长，需灵活应用已学知识，掌握转化的思
考方法，
把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算
它们的周长。
例
1
：
有
5
张同样大小的纸如下图（
a
< br>）重叠着，每
张纸都是边长
6
厘
米的正方形，重叠的部分为边长的
一半，求重叠后图形的周长。
分析：
根据题意，我们可以把每个正方形的边长的
一半同时向左、右、上、下平移（如图
b
）
，转化成一
个大正方形，这个大正方形的周长和原来
5
个小正方
形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是
1
8
×
4=7
2
厘米。
试一试
1
：
下图由
8
个边长都是
2
厘米的正方形组
成，求这个图形的周长。
例
2
:
一块长方形
木板，沿着它的长度不同的两条边
各截去
4
厘米，截掉的面积为
192
平方厘米。现在这
块木板的周长是多少厘米？
分析：
把截掉的
192
平方厘米分成
A
、
B
、
C
三块
（如图）
，其中
AB
的<
/p>
面
积
是
192<
/p>
－
4
×
4=17
6
（平方厘米）
。
把
< br>A
和
B
移到一起拼
成一个宽
4
厘米的长
方形，
而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长
的一半。
176<
/p>
÷
4=44
（厘米）
，现在这块木板的周长是
44
×
2
=88
（厘米）
。
< br>试一试
2
：
有一个长方形，如果
长减少
4
米，宽减
少
< br>2
米，
面积就比原来减少
44<
/p>
平方米，
且剩下部分正
好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
例
3
<
/p>
已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整
个图形的周长是多少？
分析：
从图中可以看出，
整个图形的周长由六条
线段围成，其中三条横
着，
三条竖着。三条横着
的线段和是（
a
＋
b
）×
2
，<
/p>
三条竖着的线段和是
b
×
2
。所以，整个图形的周长是
（
a
＋
b
）×
2
＋
b
×
2<
/p>
，即
2a
＋
4b
。
试一试
3
：
有一张长
40
厘米，
宽
30
厘米的硬纸板，
在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一
个长方体纸盒，求
被剪后硬纸板的周长。
例
4
：
如下图，
阴影
部分是正方形，
DF=6
厘米，
AB=
9
厘米，求最大的长方形的周长。
分
析：
根据题意可知，最
大长方形的宽就是正方形的
边长。因为
BC=EF
，
C
F=DE
，
所以，
AB
＋
BC
＋
CF=AB
＋
FE
＋
ED=9
＋
6=15
（厘米）
，
这正
好是最大长方形周长的一半。因此，最大长方形的周<
/p>
长是（
9
＋
6<
/p>
）×
2=30
（厘米）
< br>。
试一试
5
< br>：
下面三个正方形的面积相等，剪去阴影
部分的面积也相
等，求原来正方形的周长发生了什么
变化？（单位：厘米）
专题
4
长方形、正方形的面积
专题简析：<
/p>
长方形的面积
=
长×宽，正方形的面积<
/p>
=
边长×边长。
当已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单
地用公式直接求出面积的题目时。
要利用
“割补”
、
“平
移”
、
“旋转”等方法，使复杂的
问题转化为普通的求
长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例
1
：
已知大正方形比小正方形边长多
2
厘米
，
大正
方形比小正方形的面积大
40<
/p>
平方厘米。
求大、
小正方
形的面积各是多少平方厘米？
分析：
从图中可以看出，大正
方形的面积比小正方形的面积大
出的
40
平方厘米，
可以分成三部
分，
其中
A
和
B
的面积相等。
因
此，
用
40
平方厘米减去阴影部分
的面积，再除以
2
就能得到长方
形
A
和
B
的面积，再用
A
或
B
的面积除以
2
就是小
正
方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小
正方形的面积就非常简单了。
试一试
1
：
有一块长方形草地，
长
20
米，
宽
15
米。
< br>在它的四周向外筑一条宽
2
米的小路，
< br>求小路的面积。
例
2
：
一个大长方形被两条平行于它的两条边的线
段分成四个较小的长方形
，其中三个长方形的面积如
下图所求，求第四个长方形的面积。
分析：
因为
A
E
×
CE=6
，
DE
×
EB=35
，把两个式子相<
/p>
乘
A
E
×
CE
×
DE
×
EB=35
×
6
，而
CE
×
EB=14
，
所以
AE
×
DE=35
×
6
÷
14=15
。
试一试
2
：
下图一个长方形被分成四个小长方形，
其中三个长方形的面积分
别是
24
平方厘米、
30
平方
厘米和
32
平方厘米，
求阴影部分的面积。
例
3
：
把
20
分米长的线段分成两段，并且在每一段
上作
一正方形，
已知两个正方形的面积相差
40
平方分
米，大正方形的面积是多少平方分米？
分析：
我们可以把小正方形移至大正
方形里面进行
分析。
两个正方形的面积差
40
平方分米就是图中的
A
和
B
两部分，
如图。
如
果把
B
移到原来小正方形的上
面，不难
看出，
A
和
B
正好组成一个长方形，此长方
形的面积是
40
< br>平方分米，长
20
分米，宽是
4
0
÷
20=2
（分米）
，
即大、
小两个正方形的边长
相差
2
分米。
因
此，大正方形的边长就是（
20+2
）÷
2=11
（分米）
，面
积是
11
×
11=121
（平方分米）
试一试
3
：
有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修
建一米宽的
小路，
路面面积是
80
平方米。
求草坪的面
积。
例
4
：
有一个正方形
ABCD
< br>如下图，请把这个正方
形的面积扩大
1
< br>倍，并画出来。
分析
：
由于不知道正方形的边长和面积，所以，也
没有办法计算出所画正方形
的边
长或面积。我们可以利用两个正
方形之间的关系进行分析。
以正
方形的四条边为准，分别作出
4
个
等腰直角三角形，如图中虚线
部分，显然，虚线表示的正方形
的
面积就是原正方形面积的
2
倍。
试一试
4
：
四个完全一样的长方形和一个小正方形
组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别
是
49m
2
和
4m
2<
/p>
，求其中一个长方形的宽。
例
5
：
有一个周长是
72
< br>厘米的长方形，它是由三
个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多
少平方厘米？
分析：
三个同样大小的正
方形拼成的长方形，它的周
长是原正方形
边长的
8
倍，
正方形的边长为
7
2
÷
8=9
（厘米）
，一个正方形的面积
就是
9
×
9=81
（平方厘米）
。
试一试
5
：
五个同样大小的正方形拼成一个长方形，
这个长方形的周长是
36
厘米，
求
每个正方形的面积是
多少平方厘米？
专题五
尾数和余数
专题简析：
自然数末位的数字称为自然数的尾数；
除法中，被除数减去商与除数积的差叫
做余数。尾数
和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解
决一些看起来无从下手的问题。
例题
1
：
写出除
213
后余
3
的全部两位数。
分析：
因为
213
=21
0
＋
3
，
把
210
分解质因数：
210=2
×
3
×
5
×
7
，
所以，
符号题目要求的两位数有
2
< br>×
5=10
，
2
×
7=14
，
3
×
5=15
，
3
×
7=21
，
5
×
7=35
，
2
×
3
×
5=30
，
2
×
3
×
7=42
，一共有
7
个两位数：
10
、
14
、
15
、
21
、
35
、
30
、
42
。
试一试
1
：
178
除以一个两位数后余数是
3
，适合
条件的两位数有哪些？
例题
2
：
<
/p>
（
1
）
12
5
×
125
×
125
×……×
125[100
个
25]
积的尾数是几？
（
2
）
（
21
×
26
）
×
（
21
×
26
）
×……×
（<
/p>
21
×
26
）<
/p>
[100
个（
21
×
26
）
]
积的尾数是几？
分析：
（
1
）因为个位
5
乘
5
，积的个位仍然是
5
，所
以不管多少个
125
相乘，个位
还是
5
；
（
2
）每个括号里
21
< br>乘
26
积的个位是
6
。因为个位
6
乘
6
，积的个位仍然是
6
，所以不管多少个（
21
×
26
）
连乘，积的个位还是
6
。
< br>
试一试
2
：
< br>①
1.5
×
1.5
×
1.5
×……×
1.5[
200
个
1.5]
积的尾数是几？
②
（
12
×
63
）
×
（
12
×
63
）
×
（
12
×
63
）
×……×
（
12
×
63
）
[1000
个（
1
2
×
63
）
]
积的尾数是几？
例题
3
：
<
/p>
9
×
9
×
9
×…×
9[51
个
9]
积的个位数是几？
分析：
我们在计算乘法时会发现：对“积的个位”
有
影响的是“因数中的个位”
，只要找到“个位乘个
位时积的变化
规律”就可以了。
因数中个位的数量
积的个位
1
个
9 9
2
个
9
1
3
个
9
9
积的尾数以“
9
、
1
”两个数字在不断重复出现。
51
< br>÷
2=25
……
1
，余数是
1
，说明
51
个
9
本乘积的个
位
是
9
。
试一
试
3
：
（
1<
/p>
）
24
×
24<
/p>
×
24
×…×
2
4[2001
个
24]
，
积的尾数是多少？
<
/p>
（
2
）
1
×
2
×
3
×…×
98
×
99
，积的尾数是多少？（提
示：任何数和
0
相乘积都是
0
）
例题
4
：
把
1/7
化成小数，
< br>那么小数点后面第
100
位上的数字是多少？
分析：
因为
1/7
≈
0.7
……
，化成的
小数是一个无限循环小数，循环节“
142857
”共有
6
个数字。由于
100
÷
6=16
……
4
，所以，小数点后面的
第
100
位是第
17
个循环节的第
4
个数字，是
8
。
试一试
4
：
把
1/11
化成小数，
求小数点后面第
2001
位上的数字。
专题六
一般应用题（一）
专题简析：
在分析应用题的数量关系时：
（
1
）可
以从条件出发，逐步推出所求问题（综合法）
；
（
2
）可
以
从问题出发，
找出必须的两个条件
（分析法）
< br>。
实际
解时，根据题中的已知条件，灵活运用这两种方法
。
例
1<
/p>
：
某车间按计划每天应加工
50
个零件，实际每
天加工
56
个零件。
这样，
不仅提前
3
天完成原计划加
工零件的任务，而且还多加工了
120
个零件。这个车
间实际加工了多少个零件？
分析：
如果按原计划的天数加工，加工的零件就
会
比原计划多
56
×
< br>3
＋
120=288
（个）
。为什么会多加工
288
个呢？是因为每天
多加工了
56
－
50=6
（
个）
。
因此，
原计划加工的天数是
288
÷
6=48
（天）
，
实际加工了
50
×
48
＋
120=1520
（个）零件。
试一试
1
：
小明骑车上
学，
原计划每分钟行
200
米，
正好准时到达学校，有一天因下雨，他每分钟只能行
120
米，结果迟到了
5
分钟。他家离学校有多远？
例
2:
甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工
6
个
零件，乙中途停了
15
天没有加工。
40
天后，
乙所加
工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加工了多
少个
零件？
分析
:
甲工作了
40
天，而乙停止了
15<
/p>
天没有加工，
乙只加工了
25
天，所以他加工的零件正好是甲的一
半，也就是甲
20
天加工的零件和乙
25
天加工的零
件
同样多。由于甲每天比乙多加工
6
个
，
20
天一共多加
工
< br>6
×
20=120
（个）
。这
120
个零件相当于乙
< br>25-20=5
（天）加工的个数，乙每天加工
120<
/p>
÷（
25-20
）
=24
（个）
。乙一共加工了
24<
/p>
×
25=600
（个）
< br>，甲一共加工
了
600
×
2=1200
（个）
试一试
2
：
甲、乙二人加工一批帽子
，甲每天比乙
多加工
10
个。途中乙因
事休息了
5
天，
20
< br>天后，甲
加工的帽子正好是乙加工的
2
< br>倍，这时两人各加工帽
子多少个？
例
3:
服装厂要加工一批上衣，原计划
20<
/p>
天完成任
务。
实际每天比计划多加工
60
件，
照这样做了
15
天，
就超过原计划件数
350<
/p>
件。原计划加工上衣多少件？
分析
:
由于每天比计划多加工
60
件，
15
天就比原计
划的<
/p>
15
天多加工
60
×
15=900
（件）
，这时已超过
计划
件数
350
件，
< br>900
件中去掉这
350
件，剩
下的件数就
是原计划（
20
－
15
）天中的工作量。所以，原计划每
天加工上
衣（
900
－
350
< br>）÷（
20
－
15
）
=110
（件）
，原
计划加工
110
×
20=2200
（件）
。
试一试
3
：
汽车从甲地开
往乙地，原计划
10
小时
到达。
实际每小时比原计划多行
15
千米，
行了
8
小时
后，
发现已超过乙
20
千米。
甲、
乙两地相距多少千米？
例
4:<
/p>
王师傅原计划每天做
60
个零件，
实际每天比原
计划多做
20
< br>个，
结果提前
5
在完成任务。<
/p>
王师傅一共
做了多少个零件？
分析
:
按实际做法再做
5
天，就会超产（
60
＋
20
）×
5=400
（个）
。为什么会超产
400
个呢？是因为每
天多
生产了
20
个，
< br>400
里面有几个
20
，
就是原计划生产几
天。
400
÷
20=20
（天）
，因此，
王师傅一共做了
60
×
20=1200
（个）零件。
试一试
4
：
造纸厂生产一批纸，
计划
每天生产
13.5
吨，实际每天比原计划多生产
1.5
吨，结果提前
2.5
天
完成了任务。实际用了多少天？
主题七
一般应用题（二）
专题简析：
较复杂的一般应用题，往往具有两组
或两组以上的数量关系交织在一起
，但是，再复杂的
应用题都可以通过
“转化”
< br>向基本的问题靠拢。
因此，
我们在解答一般应用题时要善
于分析，把复杂的问题
简单化，从而正确解答。
例
1
：
工程队要铺设一段地
下排水管道，用长管子
铺需要
25
根，
用短管子铺需要
35
根。已知这两种管
子的长相差
2
米，这段排水管道长多少米？
分析：
因为每根长管子比每根短管子长
< br>2
米，
25
根
< br>长管子就比
25
根短管子长
50
米。
而这
50
米就相当于
（
3
5
－
25
）根短管子的长度。因此，每根短管子的长
度就是
50
÷（
35<
/p>
－
25
）
=5<
/p>
（米）
，这段排水管道的长
度应是
5
×
35=175
（
米）
。
试一试
1
：
一班的小朋友在操场上做游戏，每组
6
人。
玩了一会儿，
他们觉得每组
人数太少便重新分组，
正好每组
9
人，
这样比原来减少了
2
组。参加游戏的
小
朋友一共有多少人？
例
2
：
甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，
分配时甲、
乙都比丙多拿
24
千克
。
结帐时，
甲和乙都
要付给丙
24
元，每千克苹果多少元？
分析：
三人拿同样多的钱买苹果应该分得同样多的
苹果
。
2
4
×
2<
/p>
÷
3=16
（千克）
，
也就是丙少拿
16
千克苹
果，所以得到
24
×
2=48
元。每千克苹果是
48
÷
16=3
（元）
。
试一试
2
：
春
游时小明和小军拿出同样多的钱买了
6
个面包，中午发现小红没
有带食品，结果三人平均
分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各
< br>2.2
元
钱。每个面包多少元？
例
3
：
甲城有
177
吨货物要跑一趟运到乙城。大卡
车的
载重量是
5
吨，小卡车的载重量是
2<
/p>
吨，大、小
卡车跑一趟的耗油量分别是
1
0
升和
5
升。
用多少辆大
卡车和小卡车来运输时耗油最少？
分析：
大汽车一次运
5
吨，耗
油
10
升，平均运
1
< br>吨货耗油
1
0
÷
5=2
（升）
；小汽车一次运
2
吨，耗油
5
升，平均运
1
吨货耗油
5
÷
2=2.5
（升）
。显然，为耗
< br>油量最少应该尽可能用大卡车。
177
÷
5=35
（辆）
……
2
吨，
余下的
2
吨正好
用小卡车运。
因此，
用
35
辆大汽
车和
1
辆小汽车运
耗油量最少。
试一试
3
：
用
1
元钱买
4
分、
8
分、
1
角的邮票共
15
张，那么
最多可以买
1
角的邮票多少张？
例
4
：
有一栋居民楼，每家都订
2
份不同的报纸，
该居民楼共订了三种报纸，
其中北京
日报
34
份，
江海
晚报
30
份，电视报
22
份。那么订江海晚报和电视报
的共有多少家？
分析：
这栋楼共订报纸
34+30+2
2=86
（份）
，因为每
家都订
2
份不同的报纸，
所以一共有
8
6
÷
2=43
家。
在
这
43
家居民中，有
34
家订了北京日报，剩下的
9
家
居民一定是订了江海晚报和电视报。
试一试
4
：
五（
1
）班全体同学每人带
< br>2
个不同的
水果去慰问解放军叔叔，全班共带了三种水果
，其中
苹果
40
个，
< br>梨
32
个，桔子
26
个。那么，带梨和桔子
的有多少个同学？
例
5
：
一艘轮船发生漏水事故，立即安装两台
抽水
机向外抽水，此时已进水
800
桶
。一台抽水机每分钟
抽水
18
桶，另一
台每分钟抽水
14
桶，
50
分钟把水抽
完。每分钟进水多少桶？
分析：
50
分钟内，
两台
抽水机一共能抽水
（
1
8
＋
14
）
×
50=1600
（桶）
。
16
00
桶水中，有
800
桶是开始抽之<
/p>
前就漏进的，
另
800
< br>桶是
50
分钟又漏进的，
因此，
每
分钟漏进水
800
< br>÷
50=16
（桶）
。
试一试
5
：
一个水池能装
8
吨水，水池里装有一个
进水管和一个出水管。两管齐开，
20
分钟能把
一池水
放完。已知进水管每分钟往池里进水
0.8
吨，求出水
管每分钟放水多少吨？
专题八
一般应用题（三）
专题简析：
解答一般应用题时，可以按下面的步
骤进行：
1
，弄清题意，找出已知条件和所求问题；
< br>2
，
分析已知条件和所求问题之间的关系，
找出解题的
途径；
3
，拟定
解答计划，列出算式，算出得数；
4
，
检验解答方法是否合理，
结果是否正确，
最后写出
答案。
例
1
：
甲、乙两工人生产同
样的零件，原计划每天
共生产
700
个
。
由于改进技术，
甲每天多生产
100
个，
乙的日产量提高了
1
倍，这样二人一天共生产
1020
个。甲、乙原计划
每天各生产多少个零件？
分析：
二人
实际每天比原计划多生产
102
0
－<
/p>
700=320
（个）
。
这
320
个零件中，
有
100
个是甲多生产的，
那
< br>么
320
－
100=220
（个）就是乙日产量的
1
倍，即乙原
来的日产量，甲原来每天生产
700
－
220=480
（个）
。
试一试
1
：
甲、乙两人生产同样的零件，原计划每
天共生产
80
个。
由于更换了机器，
甲每天多做
40
个，
乙每天生产的是原来的
< br>4
倍，这样二人一天共生产零
件
300
个。甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
例
2
：
把一根竹竿插入水
底，竹竿湿了
40
厘米，然
后将竹竿倒
转过来插入水底，这时，竹竿湿的部分比
它的一半长
13
厘米。求竹竿的长。
分析：
因为竹竿先插了一次，湿了
40
厘米，倒转过
来再插一次又湿了
40
厘米，所以湿了的部分是
4
0
×
2=8
0
（厘米）
。
这时，
< br>湿的部分比它的一半长
13
厘米，
说明竹竿的长度是（
80
－
13
）×
2=134
（厘米）
< br>。
试一试
2
< br>：
有一根铁丝，截去一半多
10
厘米，剩
下的部分正好做一个长
8
厘米
，宽
6
厘米的长方形框
架。这根铁丝原
来长多少厘米？
例
3
：
将一根电线截成
15
段。一部分每段长
8
米，
另一部分每段长
5
米。长
8
米的总长度比长
5
米的总
长度多
3<
/p>
米。这根铁丝全长多少米？
分析：
设这
15
段中有
X
段是
8
米长的，则有（
1
5
－
X
）段是
5
米长的。然后根据“
8<
/p>
米的总长度比
5
米
的总长度多
3
米”列出方程，并进行解答。
< br>
试一试
3
：
< br>食堂里买来
15
袋大米和面粉，每袋大
< br>米
25
千克，每袋面粉
10
千克。已知买回的大米比面
粉多
165
千克，求买回大米、面粉各多少千克？
例
4
：
甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去
2.5
小时改装机器，
因此前
4
小时甲比乙少做
400
个零件。
又同时加工
4
小时后，甲总共加工的零件反而比乙多
4200
个。甲、乙每小时各加工零件多少个？
分析：
（
1
）在后
4
小时内，甲一共比乙多加工了
4200+400=4600
（个）
零件，
甲每小时比乙多加工
460
0
÷
4=1150
个零件。
（
2
）
在前
4
小时内，
甲实际只加工了
< br>4
－
2.5=1.5
小时，甲<
/p>
1.5
小时比乙
1.5
< br>小时应多做
1150
×
1.5=
1725
个零件，
因此，
1725
＋
400=2125
个零件就是
乙
2.5
小时的工作量，
即乙每小时加工
2125
÷
2.5=8
50
个，甲每小时加工
850
＋
1150=2000
个。
< br>试一试
4
：
师徒二人生产同一种
零件，徒弟比师傅
早
2
小时开工，当师
傅生产了
2
小时后，发现自己比
徒弟少
做
20
个零件。
二人又生产了
2
小时，
师傅反而
比徒
弟多生产了
10
个。
师傅每小时生产多
少个零件？
例
5
：
加工一批零件，单给甲加工需
10
小时，单
给
乙加工需
8
小时。已知甲每小时比乙
少做
3
个零件，
这批零件一共有多少个
？
分析：
因为甲每小时比乙少做
3
个零件，
8
小时
就
比乙少做
3
×
8=24
（个）零件，所以，
24
个
零件就是
甲（
10
－
< br>8
）小时的工作量。甲每小时加工
24
< br>÷（
10
－
8
< br>）
=12
（个）
，这批零件一共
有
12
×
10=120
（个）
。
试一试
5
：
快、慢两车同时从甲地开往乙地，行完
全程快车只用了
4
小时，而慢车用了
6.5
小时。已知
快车每小时比慢车多行
25
千米。
甲、
乙两
地相距多少
千米？
专题九：
周期问题
专题简析：
周期问题是指事物在运动变化的发展
过程中，某些特征循环往复出现，其连续两
次出现所
经过的时间叫做周期。周期问题解答步骤和技巧
（
1
）先确定
1<
/p>
个周期里有几个对象。
（
2
）总数÷周期里的对象数
=
周期数……余数
（
3
）
没有余数最后
1
个对象就
是周期里的最后
1
个对
象。有余数，余
几最后
1
个对象就是周期里的第几个
对
象。
例题
1
：
将奇数如下图排列，各列分别用
A
、
B
、
C
、
D
、
E
为代表，
问：
2001
所在的列以哪个字母为代表？
A B C
D E
1 3 5 7
15 13 11 9
17 19
21 23
31 29 27 25
…
…
…
…
…
…
…
…
分析：
这列数按每
8
< br>个数一组有规律排列着。
2001
是这一列数中的第
1001
个数，
1001
< br>÷
8=125
……
1
，
即
2001
是这列数中
第
126
组的第一个数，
所以它所在的
那一列是以字母
B
为代表的。
试一试
2
：
把自然数按下列规律排列，
865
排在哪
一列？
A B C D
1 2 3
6 5 4
7 8 9
12 11 10
…
…
…
…
…
…
例题
:2
：
888
……
8[100
个
8]
÷
7
，当商是整数时，
余数是几？
分析：
从竖式
中可以看出，被除数除以
7
，每次除得的余数
< br>以
1
、
4
、
6
、
5
、
2
、
0
不断重
复出现。我们可以用
100
除以
6
，观察余数就知道所求问题了。
100<
/p>
÷
6=16
……
4
余数是
4
说明当商是整数时，
余数是
1
、
4
、
6
、
5
、
2
、
0
中的第
4
个数，即
5
。
试一试
2
：
444
……
4[100
个
4]
÷
6
当商是整数时，<
/p>
余数是几？
专题十
盈亏问题
专题简析：
盈亏问题的基本数量关系是：
（盈＋亏）
÷两次所分之
差
=
人数；还有一些非标准的盈亏问题，
它们被分为四类：
1
，两盈：两次分配都有多余；
2
，两不足：两次分配都不够；
3
，盈适足：一次分配有余，一次分配够分；
4
，不足适足：一次分配不够，一次分配正好。
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问
题演
变过来的。解题时我们可以记住：
1
，
“两亏”问题的数量关系是：两次亏数的差
÷两次分得的差<
/p>
=
参与分配对象总数；
2
，
“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差
÷两次分得的差
=
参与分配对象总数；
3
，
“一盈一亏”
问题的数量关系是：盈与亏的
和÷两次分得的差
=
参与分配对象总数。
例
1:
某校乒乓球队有若干名学生，
如果
少一名女生，
增加一名男生，则男生为总数的一半；如果少一名男
生，增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓
球队共有多少名学生？
分析
:
（
1
）由“少一个女生，增加一个男生，则男
生为总人
数的一半”可知：女生比男生多
2
人；
（
2
）
“少一个男生，增加一个女生”后，女生就
比男生多
2
＋
2=4
人，
这时男生为女生人数的一半，
即
现在女生有<
/p>
4
×
2=8
人。
原来女生有
8
－
1=7
人，男生
有
7
－
2=5
人，共有
7
＋
5=12
人。
试一
试
1
：
操场上有两堆货物，如果甲堆增
加
80
吨，乙堆增加
25
吨，则两堆货物一样重；苦甲、乙两
堆各运走
5
吨，剩下的乙堆正好是甲堆的
3
倍。两堆<
/p>
货物一共有多少吨？
例
2
：
幼儿园老师
拿出苹果发给小朋友。如果平均
分给小朋友，
则少
4
个；
如果每个小朋友只发给
4
个，
则老师自己也能留下
4
个。有多少个小朋友？共有多
少个苹果？
<
/p>
分析：
如果平均分给小朋友，则少
4
个，说明小朋
友人数大于
4
；如果每个小朋友只发给
4
个，则教师
也能留下
4
个，说明每人少拿若干个，就少拿
4
＋
4=8
个苹果。因
为小朋友人数大于
4
，所以，一定是每人
少拿
1
个，有
8
÷
1=8
个小朋友，有
8
×
4
＋
4=36
个苹
果。
试一试：
老师把一些铅笔奖给三好学生。每人
5
支
则多
4
支，每人
7
支则少
4
支。老师有多少支铅笔
？
奖给多少个三好学生？
例
3
：
幼儿园老师将一
筐苹果分给小朋友。如果分
给大班的学生每人
5
个余
10
个；
如果分给小班的
学生
每人
8
个缺
2
个。已知大班比小班多
3
人，这筐
苹果
有多少个？
分析：
如果大班减少
3
人，则大班和小班的人数同
样多。这样，大班每人
5
个就多余
3
×
5
＋
< br>10=25
个。
由于两班人数相等，小班每人多分
3
个就要多分（
25
＋
2
）个苹果，用（
25
＋
2
）÷（
8
－
5
）就能得到小班
同学的
人数是
9
人，再用
9
< br>×
8
－
2
就求出了这筐苹果
有多少个。
试一
试
3
：
老师给幼儿园小朋友分糖，每人
3
块还
多
10
块；如果减少
2
个小朋友再分，每人<
/p>
4
块还多
7
块。
原来有多少个小朋友？有多少块糖？
例
4
：
幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班
的小
朋友，
平均每人分得
6
块；
如果只分给中班的小朋友，
平均每人可以多分
得
4
块。
如果只分给小班的小朋友，<
/p>
平均每人分得多少块？
分析：
这箱饼干分给小班和中班的小朋友，平均每
人分得
6
块，如果只分给中班的小朋友，平均每人可
多分
4
块。说明中班的人数是小班人数的
6
÷
4=1.5
倍。因此，这箱饼干分给小班的小朋
友，每位小朋友
可多分到
6
×
1.5=9
块，一共可分到
6
< br>＋
9=15
块饼干。
试一试
4
：
甲、乙两组
同学做红花，每人做
8
朵，
正好送给五
年级每个同学一朵。如果把这些红花让甲
组同学单独做，每人要多做
4
朵。如果把这些红花让
乙组同学单独做，每人要做几朵？
例
5
：
全班同学去划船，如果减少一条船，每条船
正好坐
9
个同学；如果增加一条船，每条船正好坐
6
个同学。这个班有多少个同学？
分析：
根据题意可知：每船坐
9
人，就能减少一条
船，也就是少
9
个同学；每船坐
6
人，就要增加一条
船
，也就是多出
6
个同学。因此，每船坐
9
人比每船
坐
6
人可多坐
9
＋
6=15
人，
15
里面包含
5
个（
9
－
6
）
，
说明有
5
条船。
知道了有
5
条船
，
就可以求全班人数：
9
×（
5
－
1
）
=36
人。
试一试
5
：
老师把一篮苹果分给小班的同学，如果<
/p>
减少一个同学，每个同学正好分得
5
个；
如果增加一
个同学，
正好每人分得
4<
/p>
个。
这篮苹果一共有多少个？
主题十一
长方体和正方体
(
一
)
专题简析
:
解答稍复杂的立体图形问题要注意
: <
/p>
1
，
必须以基本概念和方法为基础，
同时把构成几何图
形的诸多条件沟通起来；
2
，
依赖已经积累的空间观念，
观察经过割、
补后物体
的表面积或体积所发生
的变化；
3
，
求一些不规则的物体体积时，
可以通过变形的方法
来解决。<
/p>
例题
1:<
/p>
一个零件形状大小如
下图：算一算，它的体积
是多少
cm
3
？表面积是
多少平方厘米？
（单位：
cm
）
分析
:
（
1
）可以
把零件沿虚线分成
两部分来求它的体
积，左边的长方体
体积是
1
0
×
4
×
2=80
（立方厘米）
，右
边的长方体的体
积是
10
×（
6
－
2
）×
2=80
（立方厘米）
，整个零件的
体积是
80
×
2=160<
/p>
（立方厘米）
；
（
2
）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，
朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相
等；朝右的两个面
的面积和正好与朝左的一个面的面
积相等。因此，此零件的表面积就是（
10
×
6
＋
< br>10
×
4
＋
2
×
2
）×
2=232
（平方厘米）
。
试一试：
一个长
5
厘
米，宽
1
厘米，高
3
< br>厘米的长
方体，
被切去一块后
（
如图）
，
剩下部分的表面积和体
积各是
多少？
例题<
/p>
2
：
有一个长方体形状的零件，中间挖去
一个
正方体的孔
（如图）
，
你能算出它的体积和表面积吗？
（单位：厘米）
分析：
（
1
）
先求
出长方体的体积，
8
×
5
×
6=240
（
cm
3
）
，
由于挖去了一个孔，
所以体积减少了
2
< br>×
2
×
2=8
< br>（
cm
3
）
，
这个零件的体积是
240
－
8=232
（
c
m
3
）
；
<
/p>
（
2
）
长方体完
整的表面积是
（
8
×
< br>5
＋
8
×
6
＋
6
×
5
）
×
2=236
（平方厘米）
，但由于挖去了一个孔，它的表面
积减少了一个
（
2
×
2
）平
方厘米的面，同时又增加了
凹进去的
5
个（
2
×
2
）
平方厘米的面，因此，这个零
件的表面积是
236
＋
2
×
2
< br>×
4=252
（平方厘米）
。<
/p>
试一试
2
：<
/p>
有一个棱长
是
4
厘米的正方体，
从它的
一个顶点处挖去一个棱长
是
1
厘米的正方体后，
剩下<
/p>
物体的体积和表面积各是
多少？
例题
3
：<
/p>
一个正方体和一个长方体拼成了一个新的
长方体，拼成的长方体的
表面积比原来的长方体的表
面积增加了
50
平方厘米。
原正方体的表面积是多少平
方厘米？
分析：
一个正方体和一个长方体拼成
新的长方体，
其表面积比原来的长方体增加了
4
块正方形的面积，
每块正方形的面积是
50
÷
4=12.5
（平方厘米）
。正方
体有
6
个这样的面，
所以，
原来正方体的表面积是
12.5
×
6=75
（平方厘米）
。
试一试
3
：
一根长
80
厘米，宽和高都是<
/p>
12
厘米的
长方体钢材，
从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，
它的表面积减少了多少平方厘米？
例题
4:
一个长方体，前面和上面的面积之和是
209
平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的
数都是质数。这个长方体的体积和表面积各是多少？
分析
:
长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×<
/p>
高
=
长×（宽＋高）
，由于此长方体的长、宽、高用厘
米为单位的数都是质数，
所以有
209=11
×
19=11
×
（
17
＋
2
）
，即长、宽、高分别为
< br>11
、
17
、
< br>2
厘米。知道了
长、宽、高求体积和表面积就容易了。<
/p>
试一试
4:
有
一个长方体，它的前面和上面的面积
和是
88
< br>平方厘米，且长、宽、
高都是质数，那么这个
长方体的体
积是多少？
专题十二
长方体和正方体
(
二
)
专题简析
:
把一个物体变形为另一种形
状的物体；
把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水
中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1
，将一个物体变形为另一种形状的物体（不
计损耗）
，体积不变；
2
，两
个物体熔化成一个物体后，新物体的体
积是原来物体体积的和；
3
，物体浸入水中，排开的水的体积等于物体
< br>的体积。
例题
1:
有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，
乙水箱空着。从里面量，甲水箱
长
40
厘米，宽
32
< br>厘
米，水面高
20
厘米；乙水箱
长
30
厘米，宽
24
< br>厘米，
深
25
厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，
使两箱水
面高度一
样，现在水面高多少厘米？
分析
:<
/p>
由于后来两个水箱里的水面的高度一样，
我们
可以这样思考：把两个水箱并靠在一起，水的体积就
是（甲水箱的底面积
+
乙水箱的底面）×水面的高度。
这样，我们只要
先求出原来甲水箱中的体积：
4
0
×<
/p>
32
×
20=25600
（
立方厘米）
，
再除以两只水
箱的底面积和：
40
×
32
＋
30
×
24=2000
（平方厘米）
，就能得到后来水
面的高
度。
试一试
1
：
1
，有两个水池，甲水池长
8
分米、宽
6
分米、水深
3
分米，乙水池空着，它长
6
分米
、宽
和高都是
4
分米。现在要从甲水池
中抽一部分水到乙
水池，使两个水池中水面同样高。问水面高多少？
例
2
：
将表面
积分别为
54
平方厘米、
96
平方厘米和
150
平方厘米的三个铁质正方体熔
成一个大正方体
（不计损耗）
，求这个大正方体的体积
。
分析：
因为正方体
的六个面都相等，而
54=6
×
9=6
×
（
3
×
3
）
，
所以这个正
方体的棱是
3
厘米。
用同样的
方法求出另两个正方体的棱长：
96=6
×
（
4
×
4
）
，
棱长
是
4
厘米；
150=6
×（
5
×
5
）
，棱长是
5
厘米。知道了
< br>棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体
积就等于它们的体积和。
试一试
2
：
有三个正方体铁块，它们的表面积分别
是
2
4
平方厘米、
54
平方厘米和
294
平方厘米。现将
三块铁熔成一个大正方体
，求这个大正方体的体积。
例题
3<
/p>
：
有一个长方体容器，从里面量长
5dm
、宽
4dm
、高
6dm
，里面注有水，水深
3dm
。
如果把一块
边长
2dm
的正方体铁块浸
入水中，
水面上升多少
dm
？
分析：
铁块的体积是
2
×
2
×
2=
8
（立方分米）
，把它
浸入水中后，它
就占了
8
立方分米的空间，因此，水
上
升的体积也就是
8
立方分米，用这个体积除以底面
积（
5
×
4
）就能得到水上升的高度了。
试一试
3
：
有一个小金鱼缸，
长
4
分米、
宽
3
分米、
水深
2
分米
。
把一块假山石浸入水中后，
水面上升
0.8
分米。这块假山石的体积是多少立方分米？
例题
4
：
有一个长
方体容器（如下图）
，长
30cm
、<
/p>
宽
20cm
、高
10cm
，里面的水深
6cm
。如果把
这个容器
盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少
cm
？
分析：
首先求
出水的体积：
30
×
< br>20
×
6=3600
（立方厘米
）
。
当
容
器<
/p>
竖
起
来
以
后
，
水
流
动
了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是
20
×
10=200
平方厘米的长方
体。
只要用体积除以底面积
就知道现在水的深度了。
试一试
4
：
有两个长方体水缸，甲缸长
3
分米，宽
和高都是
2
分米；乙缸长
4
分米、宽
2
分米，里面的
水深
1.5
分米。现把乙缸中的水倒进甲缸，水在
甲缸
里深几分米？
例题<
/p>
5
：
长方体不同的三个面的面积分别为<
/p>
10cm
2
、
1
5 cm
2
和
6 cm
2
。这个长方体的体积是多少
cm
3
？
分析：
长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、
长×高、宽×高得来的。因此，
15
×
10
×
6=
（长×宽
×高）×（长×宽×高）
，而
15
×
10
×
6=900=30
×
30
。
所以，这个长方体的体积是
3
0
立方厘米。
试一试
5
：
一个长方体，不同的三个面的面积分别
是
35
cm
2
、
21
cm
2
和
15 cm
< br>2
，且长、宽、高都是质数，
这个长方体的体积是多少<
/p>
cm
3
？
专题十三
长方体和正方体（三）
专题简析：<
/p>
解答有关长方体和正方体的拼、切问
题，除了要切实掌握长方体、
正方体的特征，熟悉计
算方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比
情况外，还必须知道：把一个长方体或正方体沿水平
方向或垂直方向切割成两
部分，新增加的表面积等于
切面面积的两倍。
例题
1
：
一个棱长为
6
厘米的正方体木块，如果把
它锯成棱长为
2
厘米的正方体若干块，表面积增加多
少厘
米？
分析：
把棱长为
6
厘米的正方体锯成棱
长为
2
厘米的正方体，
可以按下图中的线共
锯
6
次，每锯一次就
增加两个
6
×
6=36
平
方厘米的面，锯
6
次
共
增加
36
×
2
×
6=432
平方厘米的面积。因
此，
锯好后表面积增加
432
平方厘米。
试一试
1
：
有
一个棱长是
1
米的正方体木块，如果
把
它锯成体积相等的
8
个小正方体，表面积增加多少
平方米？
例题
2<
/p>
：
有一个正方体木块，把它分成两个长方体
后，
表面积增加了
24
平方厘米，<
/p>
这个正方体木块原来
的表面积是多少平方厘米？
< br>
分析：
把正方体分成两个长方体后，
< br>增加了两个面，
每个面的面积是
24
÷
2=12
平方厘米，而正方体有
6
个这样的面。
所以原正方体的表面积是
12
×
6=72
平方
厘米。
试一试
2
：
有一个正方体木块，长
4
分米、宽
3
分
米、高
6
分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最
多增加多
少平方分米？
例题
3<
/p>
：
有一个正方体，棱长是
3dm
。如果按下图
把它切成棱长是
1dm
的小正方体，这些小正方体的表
面积的和是多少？
分析：
在切的过程
中，每切一切，就会
增加两个面。共切
2
＋
2
＋
2=6
次，增加
6
×
2=12
面。加上
正方
体原先的
6
个面，这
些小正方体的面积的
和就相当于大正方体
18
个面的面积之和。
18
×（
< br>3
×
3
）
=162dm
3
。
试一试
3
：
有一个长方体，长
10
厘米、宽
6
厘米、
高
4
厘米，如果把它锯成棱长
是
1
厘米的小正方体，
一共能锯多少个
？这些小正方体的表面积和是多少？
例题
4:
一
个长方体的长、
宽、
高分别是
6cm<
/p>
、
5cm
和
4c
m
，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这
三个小长方体表
面积的和最大是多少平方厘米？
分析：
这个长方体原来的表面积是
（
6
×<
/p>
5
＋
6
×
4
＋
5
×
4
）×
2=148
平方厘
米，每切割一刀，增加
2
个面。
切成三
个体积相等的小长方体要切
2
刀，一共增加
2
×
2=4
个面。
要求表面积和最大，
应该增加
4
个
6
×
5=30
平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最大是
148
＋
6
×
5
×<
/p>
4=268
平方厘米。
试一试
4
：
把
8
个同样大小的小正方体拼成一个大
正方体，已知每个
小正方体的表面积是
72
平方厘米，
拼
成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
专题十四
倍数问题（一）
专题简析：
解答倍数问题，
必须先确定一个数
（通
常选用较小的数）作为标准数，即
1
倍数，再根
据其
它几个数与这个
1
倍数的关系，确
定“和”或“差”
相当于这样的几倍，最后用除法求出
1
倍数。
例１：<
/p>
两根同样长的铁丝，第一根剪去
18
厘米
，第
二根剪去
26
厘米，余下的铁丝第
一根是第二根的
3
倍。原来两根铁丝各长多少厘米？
分析：
由于第二根比第一根多剪去
2
6
－
18=8
厘米，
所以剩下的铁丝第一根就比第二根多（
3<
/p>
－
1
）倍。因
此
，
8
÷（
3
－
1
）
=4
（厘
米）
。就是现在第二根铁丝的
长度，它原来长
< br>4
＋
26=30
厘米。
试一试
1
：
两根绳子一样长，第一根用去
6.5
米，
第二根用去
0.9
米，
剩下部分第二根是第一根的
3
倍。
两
根绳子原来各长多少米？
例
2
：
甲组有图书是乙组的
< br>3
倍，若乙组给甲组
6
本，则甲
组的图书是乙组的
5
倍。原来甲组有图书多
少本？
分析：
甲组的图书是乙组
的
3
倍，
若乙组拿出
< br>6
本，
甲组相应的也拿出
6
×
3=18
本，则甲组仍是乙组的
3
倍。
事实上甲组不但没有拿出
18
本，
反而接受了乙组
的<
/p>
6
本，
18
＋<
/p>
6
就正好对应着后来乙组的（
5
－
3
）倍。
因此，后来
乙组有图书（
18
＋
6
）÷（
5
－
3
）
=12
本，
乙组原来有
12
＋
6=18
本
，甲组原来有
18
×
3=54
本。
试一试
2
：
原来小明的画片是小红的
3
倍，后来二
人各买了
3
张，这
样小明的画片就是小红的
2
倍。原
来二
人各有多少张画片？
例
3
：
幼儿园买来苹果的个数是梨的
2
倍。大班的
同学每
7
人一组，
每组领
3
个梨和
4
个苹果，结果梨
正好分完，
苹果还剩下
16
个。
大班共有多少个同学？
分析：
因为苹果是梨的
2
倍，每组分
3
个梨和
3
×
2=6
个苹果最后就一起分完。可每组分
4
个苹果，少
分
6
－
4=2
个，所以有
8
组同学，全班有
7
×
8=56
人。
试
一试
3
：
高年级同学植树，共有杉树苗
和杨树苗
100
棵。如果每个小组分给杉树苗
< br>6
棵，杨树苗
8
棵，
那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩
2
棵。两种树
苗
原来各有多少棵？
例
4
：
有两筐桔子，如果从甲筐拿出
8
个放进乙筐，
两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出
13
个放到甲
筐，甲筐的桔子是乙筐的
2
倍。甲、乙两筐原来各有
多少个桔子？
< br>
分析：
根据“从甲筐拿出
8<
/p>
个放进乙筐，两筐的橘
子就同样多”可知，原来甲筐比乙筐多
8
×
2=16
个橘
子；
如果从乙筐拿出
13
个放到甲筐，
这时，
甲筐就比
乙筐多
16
＋
13
< br>×
2=42
个。因此，乙筐里还有
42
÷（
2
－
1
）
=42
个，原来乙筐里有
42
＋
13=55
个
，甲筐里原
来有
55
＋
16=71
个。
试一试
4
：
甲、乙两仓存有货物，若从甲仓取
31
吨放入乙仓，则两仓所存货物同样多；若乙仓取
14
吨放入甲仓，则甲仓的货物是乙仓的
4
倍。原来两仓
各存货物多少吨？
专题十五：
倍数问题（二）
专题简析：
解决倍数问题的关键是，必须确定一
个数作为标准数，找出其它几个数与
这个标准数的倍
数关系，再用除法求出这个标准数。
和倍问题的数量关系是：
和数÷（倍
数＋
1
）
=
较
小数
较小数×倍数
=
较大数
差倍问题的数量关系是：
差数÷（倍
数－
1
）
=
较
小数
较小数×倍数
=
较大数
例
1
：
养鸡场的母鸡只数是公鸡的
6
倍，后来公鸡
和母鸡各增加
60
只，
结果母鸡只数就是公鸡的
4
倍。
原来养
鸡场一共养了多少只鸡？
分析：
养鸡
场原来母鸡的只数是公鸡的
6
倍，如果
公鸡增加
60
只，
母鸡增加
6
0
×
6=360
只，
那么，
后来
的母
鸡只数还是公鸡的
6
倍。
可实际母鸡只
增加了
60
只，比
360
只少
300
只。因此，现在母鸡只数只有公
鸡的
4
倍，少了
2
倍。所以，现在公鸡的只数是
300
÷
2=150
只，
原来有公鸡
150
－
60=90
只，
一共养了
90
×（
1
＋
6
）
=6
30
只鸡。
试一试
< br>1
：
今年，爸爸的年龄是小明的
6
倍，再过
4
年，
爸爸的年龄就是小明的
4
倍。
今年
小明多少岁？
例
2
：
有
1800
千克
的货物，分装在甲、乙、丙三辆
车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的
2
倍，乙车
比丙车多装
200
千克。甲、乙、丙三辆车各装货物多
少千克？
< br>
分析：
如果丙车多装
200<
/p>
千克，就和乙车装的货物
同样多，
这样三
辆车装的总重量就是
180
0
＋
200=2000
千克。
再把
2000
千克平均分成
4
份，
就得到乙车上装
的货物是
500
千克，甲车上装
500
×
2=1000
千克，丙
车上装有
5
00
－
200=300
千克。
试一试
2
：
三堆货物共
1800
箱，甲堆的箱数是乙
堆的
2
倍，乙堆的箱数比丙堆少
200
箱。三堆货物各
多少箱？
例
3
：
甲、乙两个书架，已知甲书架有
书
600
本，
从甲书架借出三分之一，
从乙书架借出四分之三后，
甲书架的书是乙书架的
2
倍还多
150
本。乙书架原来
有书多少本？
分析：
借出后，甲
剩下
600
×
(1
－
1
3
)=400
本
乙剩下（
400
－
150
）÷
2=125
本
乙原
来
125
÷（
1
－
3
4
）
=500
本
试一试
3
：
某
校有男生
630
人，选出男生人数的三
分之一和女生人数的四分之三去排练团体操，剩下的
男生人数是女生人数的
2
倍。这个学校共有学生多少
人？
< br>
专题十六：
组合图形面积（一）
专题简析：
组合图形是由两个或两个以上的简单
的几何图形组合而成的。组合的
形式分为两种：一是
拼合组合，二是重叠组合。要正确解答组合图形的面
积，应该注意以下几点：
1
、
切实掌握有关简单图形的概念、
公式，
牢固建
立空间观念；
2
、
仔细观察，
认真思考，
看清所求图形是由哪几
个基本图形组合而成的；
3
、适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4
、采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问
题变得简单。
例
1:
<
/p>
一个等腰直角三角形，最长的边是
12
厘
米，
这个三角形的面积是多少平方厘米？
分析：
由于此三角形
中只知道最长的边是
< br>12
厘米，所以，不能用三
角形的面积公式来计算
它的面积。我们可以假
设有
4
个这样的三角
形，且拼成了下图正方
形。显然，这个正
方形
的面积是
1
2
×
12
，
那么，
< br>一个三角形的面积。就是
12
×
12
÷
4=36
平方厘米。
试一试
1
：
求四边形
ABCD
的面积。
（单位：厘米）
例
2
：
正图正方形中套着一个长方形，正方形的边
长是
12
厘米，
长方形的四个角的顶点把正方形的四条
边各分成两段，其中长的一段是短的
2
倍。求中
间长
方形的面积。
分析：
图中的两个小三角形
平移后可拼得一个小正方形，
两个大三角形平移后可拼得一
个大正方形。这两个正方形的
边长
分别是
1
2
÷
（
1
＋
2
）<
/p>
=4
（厘
米）和
4
×
2=8
（厘米）
< br>。中间
长方形的面积只要用总面积减
去这两个拼起来的正
方形的面积就可以得到。
即：
12<
/p>
×
12
－（
4<
/p>
×
4
＋
8
×
8
）
=64
（平方厘米）
试一试
2
：
下图长方形
ABCD
的面积是
16
平方厘米，
E
、
F
都是所在边的中点，求三角形<
/p>
AEF
的面积。
例
3:
四边
形
ABCD
和四边形
DEFG
都是正方形，已知
三角形
AFH
的面积是
7
平方厘米。三角形
CDH
的面积
是多少平方厘米？
分析
:
设大正方形的边长是
a
，
小正方形的边长是
b
。
（
1
）梯形
EFAD
的面积
是（
a+b
）×
b
÷
2
，三
角形
EFC
的面积也是
（
a+b
）
×
b
÷
2
。
所以，
两者的面积相
等。
（
2
）
因为三角形
AFH
的面积
=
梯形
EFAD
的面积－梯形
EFHD
的面积，
而三角
形
CDH
的面积
=
三角形
EFC
的面积－梯形
EFHD
的面积，
所以，三角形
CDH
< br>的面积与三角形
AFH
的面积相等，
也是
7
平方厘米。
试一试
3
：
（
1
）图中两个正方形的边长分别是<
/p>
6
厘米和
4
厘米
，
求阴影部分的面积。
（
2
）
下图中两个
完全一样的三角形重叠在一起，
求阴
影部分的面积。
（单位：厘米）
例
4:
下图中正方形的边长为
8
厘米，
CE
为
20
厘米，
梯形
BCDF
的
面积是多少平方厘米？
分析：
要求<
/p>
梯形的面积，
关键是要求出
上底
FD
的长
度。
连接
FC
后
就能得到一个
三角形
EFC
，用三角形
EBC
的面积减去三角形
FBC
的面积就能得到三
角形
EFC
的面积：
8
×
20
÷
2
< br>－
8
×
8
÷
2=48 cm
2
。
FD=48
×
2
÷
20=4.8cm
，所求梯形的面积
就是（
4.8
＋
8
）×<
/p>
8
÷
2=51.2cm
< br>2
。
试一试
< br>4
：
如下图，
正方形
ABCD
中，
AB=4
厘
米，
EC=10
厘米，求阴影部分的面积。
例
5
：
图中
ABCD
是长方形，三角形
EFD
的面积比
三角形
A
BF
的面积大
6
平方厘米，求
ED
的长。
分析：<
/p>
因为三
角形
EFD
的面
积
比
三
角
形
ABF
的面积大
< br>6
平方厘米，
所以，
三角形
BCE
的
面
积
比
长
方
形
ABCD
的面积大
6
平
方厘米。三角形
BCE
的面积是
6
×
4
＋
6=30<
/p>
平方
厘米，
EC
的长则是
30
×
2
÷
6=10
厘米。
因此，
ED
的长
是
10
－
4=6
厘米。
试一试
4
：
如图，平行四边形
BCEF
中，
BC=8
厘米，直
角三角形中，
AC=10
厘米，
阴影
部
分面积比
三角形
< br>ADH
的面积
大
8
平方
厘米。求
AH
长多少
厘米？
专题十七
组合图形的面积
(
二
)
专题简析：<
/p>
在组合图形中，三角形的面积出现的
机会很多，解题时我们还可以
记住下面三点：
1
、两个三角形等底
、等高，其面积相等；
2
、
两个三角形底相等，
高成倍数关系，
面积也成倍
数
关系；
3
、
两个三角形高相等，
底成倍数关系，
面积也成倍数
关系。
例题
1
：
如图，
ABCD
是直角梯形，求阴影部分的
面积和。
（单位：厘米）
分析：
< br>按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然
后减去空白部分
的面积即得所求
面积。其实，只
要连接
AC
，显
然
三
角
形
AEC
与
三
角
形
DEC
同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合
成了一个三角形
< br>ABC
。
面积是：
6
×
3
÷
2=9
平方厘米。
试一试
1
：
（
1
）求下图中阴影部分的面积。
（
2
）求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）
（
3
）
下图的长方形是一块草坪，
中间有两条宽
1
米的