小学奥数7-4-1 简单的排列问题.专项练习(精品)
-
7-4-1.
简单的排列问题
教学目标
1.
使学生正确理解排列的意义；
<
/p>
2.
了解排列、排列数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求
的排列；
3.
掌握排列的计算公式；
4.
会分析与数字有关的计数问题，
以及与其他
专题的综合运用，
培养学生的抽象能力和
逻辑思维能力；
通过本讲的学习，
对排列的一些计数问题进
行归纳总结，
并掌握一些排列技巧，
如捆绑
法等．
知识要点
一、排列问题
在实际生活中经常会遇到这样的问题，
就是要把一些事物排在一起，
构成一列，
计算有
多少种排法，就是排列问题．在排的
过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所
在的先后顺序有关．
一般地，从
n
个不同的元
素中取出
m
(
m
n
)
个元素，按照一定的顺序排成
一列，叫做
从
n
个不同元素中取出
m
个元素的一个排列．
< br>根据排列的定义，
两个排列相同，
指的是两个排列的元素
完全相同，
并且元素的排列顺
序也相同．如果两个排列中，元素
不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然
元素完全相同，但元素的排列顺
序不同，它们也是不同的排列．
排列的基本问题是计算排列的总个数．
从
n
个不同的元素中取出
m
(
m
n
)
个元素的所有排列的个数，叫做从
n
个不同的元素
的排列中取出
m
个元素的排列数，我们把它记做
P
n
m
．
根据排列的定义，做一个
m
元素的排列由
m
个
步骤完成：
步骤
1
< br>：从
n
个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有
n
种方法；
步骤
2
：从剩下的
(
n
1
)
个
元素中任取一个元素排在第二位，有
(
n
1
)
种方法；
……
m
1
)
个
]
元
素
中
任
取
一
个
元
素
排
在
第
m
个
位
置
< br>，
有
步
骤
m
：
从
剩
下
的
[
n
(
n
（
m
1
）
n
m
< br>
1
(
种
)
方法；
由乘法原理，从
n
个不同元素中取出
m
个元素的排列数是
n
（
n
1
）
< br>（
n
2
）
（
n
m
1
）
，即
P
n
m
（
，这里，
m
n
，且等号
n
n
1
）
（
.
n
2
）（
n
m
< br>1
）
右边从
n
< br>开始，后面每个因数比前一个因数小
1
，共有
m
个因数相乘．
二、排列数
一般地，对于
m
n
的情况，排列数公
式变为
P
n
n
n
（
n<
/p>
1
）
（
n
2
）
3
2
1
．
表示从
n
个不同元素中取
n
个元素排成一列所构成排列的排列数．这
种
n
个排列全部取
出的排列，叫做
n
个不同元素的全排列．式子右边是从
n<
/p>
开始，后面每一个因数比前一个因
数小
1
，一直乘到
1
的乘积，记为
n
!
，读做
n
的阶乘，则
P
n
n
还可以写为：
P
n
n
n
!
，其中
n
!
n
（
n
1
）
（
n
2
）
< br>
3
2
1
．
例题精讲
7
-
4
-1.
简单的排列问题
.
< br>题库
教师版
page
1
of
8
模块一、排列之计算
【例
1
】
计算：⑴
P
5
2
；⑵
P
7
4
P
7
3
．
【考点】简单排列问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【解析】
由排列数公式
P
n
m
< br>（
知：
n
n
1
）
（
.
n
2<
/p>
）（
n
m
1
）
2
⑴
P
5
5
4
< br>
20
4
3
4
3
⑵
P
7
7
6
5
4
840
,
P
7
7
6
< br>5
210
，所以
P
7
P
< br>7
840
< br>210
630
．
【答案】⑴
20
⑵
630
2
【巩固】
计算：⑴
P
3
2
；⑵
P
6
3
P
10
．
【考点】简单排列问题
【难度】
1
星
【题型】解答
2
< br>3
2
【解析】
⑴
P
3
3
2
6
⑵
P
6
P
10
6
5
4
10
9
120
90
30
．
【答案】⑴
6
⑵
30
<
/p>
3
2
5
3
【巩固】
计算：⑴
P
14
P
1
4
；
⑵
3
P
6
P
3
．
【考点】简单排列问题
【难度】
1
星
【题型】解答
3
2
【解析】
⑴
P
14
<
/p>
P
14
14<
/p>
13
12<
/p>
14
13<
/p>
2002
；
5
3
⑵
3
P
6
P
3
3
(6
5
4
3
2)
3
2
1
2
154
．
【答案】⑴
2002
⑵
2154
模块二、排列之排队问题
【例
2
】
有
4
个同学一起去郊游，照相时，必须
有一名同学给其他
3
人拍照，共可能有多
少种拍照情况？
(
照相时
3
人站成一排
)
【考点】简单排列问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
由于
4
人中必须有一个人拍照，所以，每张照片只能有
3
人，可以看成有
3
个位置
由这
3
人来站．由于要选一人拍照，也就是要从四个人中选<
/p>
3
人照相，所以，问题就转化成
从四个人
中选
3
人，排在
3
个位置中的排列问题．要计算的是有多少种排法．
由排列
数公式，共可能有：
P
4
3
4
3
2
24
< br>(
种
)
不同的拍照情况．
也可以把照相的人看成一个位置，
那么共可
能有：
P
4
4
4
3
<
/p>
2
1
24
(
种
)
不同的拍照情况．
【答案】
24
【巩固】
4
名同学到照相馆照相．他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？
【考点】简单排列问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
4
个人到照相馆照相，那么
4
个人要分坐在四个不同的位置上．所
以这是一个从
4
个元素中
选
4
个，排成一列的问题．这时
n
< br>
4
，
m
4
．
由
排列数公式知，共有
P
4
4
4
3
2
1
24
(
种
)
不同的排法．
【答案】
24
【巩固】
9
名同学站成两排照相，前排
4
人，后
排
5
人，共有多少种站法？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
如
果问题是
9
名同学站成一排照相，
则是
9
个元素的全排列的问题，
有
P
9
9
种不同站法．<
/p>
而问
题中，
9
个
人要站成两排，这时可以这么想，把
9
个人排成一排后，左边<
/p>
4
个人站在前排，
右边
< br>5
个人站在后排，所以实质上，还是
9
< br>个人站
9
个位置的全排列问题．
9
方法一：由全排列公式，共有
P
9
9
8
7
6
5
< br>4
3
2
1
3
62880
(
种
)
不同的排法．
方法二：根据乘法原理
,
先排四前个，再排后五个．
7
-
4
-1.
简
单的排列问题
.
题库
教师版
page
2
of
8
4
5
p
9
p
5
9
8
7
6
5
< br>
4
3
2
1
362880
【答案】
362880
【巩固】
5
个人并排站成一排，其中甲必须站在中间有多少种不同的站法？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
由
于甲必须站在中间，
那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，
是一个
全排列问题，且
n
4
．由全排列公式，共有
P
4
4
4
3
2
1
24
(
种
)
不同的站法．
【答案】
24
【巩固】
丁丁和爸爸、妈妈、奶奶、哥哥一起照“全家福”
，
5
人并排站成一排，奶奶要站在正中
间，有多少种不同的站法？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
由
于奶奶必须站在中间，
那么问题实质上就是剩下的四个人去站其余四个位置的问题，
是一
个全排列问题，且
n
< br>=4
．
由全排列公式，共有<
/p>
P
4
4
4
3
2
1
24
(
种
)
< br>不同的站法．
【答案】
24
【例
3
】
5
个同
学排成一行照相，其中甲在乙右侧的排法共有
_______
种
？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】学而思杯，
4
年级，第
8
题
5
个人全排列有
< br>5!
120
种，其中甲在乙右
侧应该正好占一半，也就是
60
种
【解析】
【答案】
< br>60
种
【例
4
】
一列往返于北京和上海方向的列车全程停靠
14
个车站
(
包括北京和上海
)<
/p>
，
这条铁
路线共需要多少种不同的车票．
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
2
【解析】
P
14
14
13
182
(
种
)
．
【答案】
182
【例
5
】
班集体中选出了
5
名班委，他们要分别担任班长，学习委员、生活委员、宣传委
员和体育委员．问：有多少种不同的分工方式？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
5
【解析】
P
5
120
(
种
)
．
【答案】
120
【例
6
】
有五面颜色不同的小旗，任意取
出三面排成一行表示一种信号，问：共可以表示
多少种不同的信号？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
这里五面不同颜色的小旗就
是五个不同的元素，
三面小旗表示一种信号，
就是有三
个位置．
我们的问题就是要从五个不同的元素中取三个，
排在三个位置的问题．
由于信号不
仅与旗子的颜色有关
，而且与不同旗子所在的位置有关，所以是排列问题，且其中
n
5
，
m
<
/p>
3
．
3
由排列数公式知，共可组成
P
5
5
4
< br>
3
60
(
种
)
不同的信号．
【答案】
60
【巩固】
有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面上、下挂在旗杆上都可以表示一种信号，问共可
以
组成多少种不同的信号？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
7
< br>-
4
-1.
简单的排列问题
.
题库
教师版
page
3
of
8
2
P
3
3
2
6
．
【答案】
6
【巩固】
在航海中，
船舰常以
“旗语”
相互联系，
即利用不同颜色的旗子发送出各种不同的信号．
如
有红、黄、绿
三面不同颜色的旗子，按一定顺序同时升起表示一定的信号，问这样总共可
以表示出多少
种不同的信号？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
方法一：这里三面不同颜色
的旗子就是三个不同的元素，
红、
黄、绿三面旗子按一
定顺序的一个排法表示一种信号，也就是从三个元素中选三个的全排列的问题．
< br>
3
由排列数公式，共可以组成
P
3
3
<
/p>
2
1
6
(
种
)
不同的信号．
【解析】
方法二：首先，先确定最高位置的旗子，在红、黄、绿这三面旗子中任取一个，有
3
种方法；
其次
，
确定中间位置的旗子，
当最高位置确定之后，
中间位置的旗子只能从余下的两面旗中
去取，有
2
种方法．剩下那面旗子，放在最低位置．
根据乘法原理，
用红、
黄、
绿这三面旗
子同时升起表示出所有信号种数是：
3
2
1
6
(
种
)
．
【补充说明】
这个问题也可以用乘法原理
来做，
一般，
乘法原理中与顺序有关的问题常常可
以用排列数公式做，
用排列数公式解决问题时，
可避
免一步步地分析考虑，
使
问题简化．
【答案】
6
模块三、排列之数字问题
【例
7
】
用
1
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
、
8
< br>可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【考点】简单排列问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【解析】
这是一个从
8
个元素中取
4
个元素的排列
问题，已知
n
8
，
m
4
，根据排列数公
4
式，一共可以组成
P
8
8
7
6
5
1680
(
个
)
不同的四位数．
【答案】
1680
【巩固】
由数字
1
、
2
、
3
、
4
、<
/p>
5
、
6
可以组成
多少没有重复数字的三位数？
【考点】简单排列问题
【难度】
2
星
【题型】解答
3
【解析】
P
6
120
．
【答案】
120
【例
8
】
用
0<
/p>
、
1
、
2
、
3
、
4
可以组成多少个没重复数字的三位数？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
【解析】
（法
1
）本题中要注意的是
0
不能为首位
数字，因此，百位上的数字只能从
1
、
2
、
3
、
4<
/p>
这四个数字中选择一个，有
4
种方法；十
位和个位上的数字可以从余下的
4
个数字中任选
两个进行排列，有
P
4
2
种方法．由乘法原理得，此种三位数的个数是：
4
< br>
P
4
2
48
(
个
)
．
（法
2
）
：从
0
、<
/p>
1
、
2
、
3
、
4
中任选三个数
字进行排列，再减去其中不合要求的，即首位
是
0
的．从
0
、
1
、
2
、
3
< br>、
4
这五个数字中任选三个数字的排列数为
P
5
3
，其中首位是
0
的三
位数有
P
4
2
个．三位数的个数是：
3
2
P
5
P
4
5
4
<
/p>
3
4
3
48
(
个
)
．
本题不是简单的全排列，
有一些其它的限制，
这样要
么先全排列再剔除不合题意的情况，
要
么直接在排列的时候考虑
这些限制因素．
【答案】
48
【例
9
】
用
1<
/p>
、
2
、
3
、
4
、
5
、
6
可以组成多少个没有重复数字的个位是
5
的三位数？
【考点】简单排列问题
【难度】
3
星
【题型】解答
7
< br>-
4
-1.
简单的排列问题
.
题库
教师版
page
4
of
8