小学奥数辅导与练习21三阶幻方
-
三阶幻方
同学们：
在
（三行
三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填
上
1
—
9
这
9
个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个
自然数的和均相等，这样
的图形叫做三阶幻方。如果在
（四行
四列）的正方形方格中进行
填数，就要不重复，不遗漏地在
方
格内填上
16
个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自
然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。一般地，在几×几（几
行几列）的方格里，既
不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，
（注意这几×几个连续自然数不一定非要从
1
开始），每个数占一
个格，且每行、
每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们
把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶，
这样排成的数的图形叫做几
阶幻方。
（一）思路指导与解答
例
1.
用
1
～
9
这九个
数编排一个三阶幻方。
分析：
我们先用
a
、
b
、
c
、
d<
/p>
、
e
、
f
、
g
、
h
、
i
分别填入九个空格
内
以代表应填的数。看图（
2
）：
（
1
）通过审题，我们知道幻和是多少才好
进行填数。同时可以
看到图（
2
）中，
e
是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第
二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果
都等于幻和
；其次是三阶幻方中四个角上的数：
a
、
c
、
g
、
i
它们各
自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果<
/p>
e
以及四个
角上的数被确定之后，其它的
数字便可以根据幻和是多少填写出来
了。
（
2
）求幻和：
幻和
（
3
）选择
突破口，显然是
e
，看图
2
。
因为：
所以：
1
也就是：
又因为：
所以
也就是说，
图
1
中的中心方格中应填
5
，
请注意，
这个数正好是
1
～
9
这九个数中正中间的数。
（
4
）四个角上的数，
a
、
c
、
g
、
i
的特点。
我们先从
a
开始：想：
a
是奇数还是偶数。如果
a
为
奇数，因为
，所以
也是奇数。因为奇＋奇＝偶。又因为
，
所以
d
与
g
同是奇数或同是偶数。分两种情况：
<1>
当
d
、
g
都是奇数时，
因为
，
，
其中
e
，
i
都是奇数，所以
f
、
h
也只能是奇数。这样在图
1
中应填的数有
a
、
< br>d
、
e
、
f
、
g
、
h
、
i
这七个奇数，而
< br>1
～
9
中九个数只有五个奇数，
所
以矛盾，说明
d
、
< br>g
不可能为奇数。
<2>
当
d
、
g
为偶数时，因为
，
，
因为
i
为奇数，所以
f
、
h
、
c
< br>只能是偶数，这样就有
c
、
d<
/p>
、
f
、
g
、
h
五个偶数，而
1
～
9
这九个数中只有四个偶数，矛盾。
说明
d
、
g
都
是偶数也不行。
所以<
/p>
a
不能是奇数，那么只能是偶数，于是由
知
i
也是
偶数。
用同样的方法可以得到
c
、
g
也只能是偶数。也就是说图
1
< br>中四
个角上的数都应填偶数。
（
5
）试验填数排出幻方。
因为
是偶数，所以
a
的范围有
2
、
4
、
6
、
8
四个
数，根据幻和等于
15
进行试验。
当
时，
或<
/p>
6
，若
，则有
，若
，则有
，这样可填出两个幻方。
当
时，请同学们自己练习填写。
用
1
～
9
这九个数编排的三阶幻方有八个：
2
说明：
在
上面图形中给出的用
1
～
9
这九个数字编排的八个三阶
幻方中的任何一个，
都
可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。
从而得到其它七个图形。
< br>
例
2.
请编出一个三阶幻方，使其幻
和为
24
。
分析：
根据题意，要使三阶幻方的幻和为
2
4
，所以中心数必为
，那么与
8
在一条直线上的各个组的其余两个数的和为
16
。
因为：
按上述条件填出并调整可得到一个
三阶幻方，其幻和为
24
。
例
3.
在下面图中的
A
、
B
、
C
、
D
处填上适当的数，使其成为
一个
三阶幻方。
分析：
从第一行和对角线可得：
3