小学奥数：定义新运算.专项练习及答案解析
-
定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，
我们大家都习惯
四则运算，
定义新运算
就打破了运算规则，
要求我们要严格按照题目的规定做题．
新定义的运算符号，
常见的如△、
◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答
这类题目的关键
是理解新定义，
严格按照新定义的式子代入数值
，
把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则
运算。
知识点拨
一
定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然<
/p>
后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等
.
如：
2
＋
3
< br>＝
5
2
×
3
＝
6
都是
2
和
3<
/p>
，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同
.
可
见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，
对应法则不同就是不同的运算
.
当然，
这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应
.
只要
符合这个要求，不同的法则就是不同
的运算
.
在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，
它们与我们常用的“＋”
，
“－”
，
“×”
，
“÷”运算不相
同
.
二
定义新运算分类
1.
直接运算型
2.
反解未知数型
3.
观察规律型
4.
其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例
1
】
若
A
*
B
表示
A
3
B
A
B
，求
5*7
的值。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
A
*
B
是这样结果这样计算出来：先计算
A
＋
3
B
的结
果，再计算
A
＋
B
的结果，最后
两个结果求乘积。
1-3-1.
定义新运算
.
题库
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1
of
14
教师版
由
A
*<
/p>
B
＝（
A
＋
3
B
）×（
A
＋
B
）
可知：
5*7
＝（
< br>5
＋
3
×
7
）×（
5
＋
7
）
＝（
5
＋
21
）×
12
＝
26
×
12
＝
312
【答案】
312
【
巩
固
】
定
义新运算为
a
△
b
＝（<
/p>
a
＋
1
）÷
b
，求的值。
6
△
（
3
△
4
）<
/p>
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
所
求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由
a
△
b
＝（
a
＋
1
）÷
b
得，
3
△
4
＝（
3
＋
1
）÷
4
＝
4
÷
4
＝
1
；
6
△（
3
△
4
）＝
6
△
1
＝（
6
＋
1
）÷
1
＝
7
【答案】
7
【
巩
固
】
设
a
△
b
a
a
2
< br>b
，那么，
5
△
6
______
，
(5
△
2)
△
3
_____.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【解析】
5
△
6
5
<
/p>
5
2
6
13
5
△
2
5
5
2
2
21
,
1
△
3
21<
/p>
21
6
435
【答案】
435
P
Q
【
巩
固
】
，求
3
*
(6
*
8)
P
、
Q
表示数，
P
*
Q
表示
2
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
6
< br>
8
3
7
【解析】
3*(6*8)
3*(
)
3*7
5
2
2
【答案】
5
【
巩
固
】
已
知
a
,
< br>b
是任意自然数
,
我们规定
:
a
⊕
b
= <
/p>
a
+
b
-1,<
/p>
a
b
ab
2
,
那么
4
(6
8)
(3
5)
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
原
式
4
[(
6
8
1)
(3
5<
/p>
2)]
4<
/p>
[13
13
]
4
[1
3
13
1
]
4
25
4
25<
/p>
2
98
【答案】
98
【
巩
固
】
M
N
表示
(
M
N
)
2,(2008
2010)
2009
____
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】走美杯，
3
年级，初赛
【解析】
原
式
<
/p>
2008
2010
2
*
2009
2009
*
2009
2009
2009
2
2009
【答案】
2009
【
巩
固
】
规
定运算“☆
”为：若
a
>
b
，则
a
☆
b
=
a
＋
b
；若
a
=
b
，则<
/p>
a
☆
b
=
a
－
b
＋
1
；若
a
<
b
，
则
a
< br>☆
b
=
a
×
b
。那么，
（
2
☆
3
）＋（
4
☆
4
）＋（
7
☆
5
）
=
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试
【解析】
1
9
【答案】
19
【例
2
】
“△”是一种新运算，规定：<
/p>
a
△
b
＝
a
×
c
＋
b
×
d
(
其中
c
，
d
< br>为常数
)
，如
5
△
7
＝
5
×
c
＋
7
×
d
。如果
1
△
2
＝
5
，<
/p>
2
△
3
＝
8
，那么
6
△
1
OOO
的计算结果是
________
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
1
-3-1.
定义新运算
.
题库
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2
of
14
教师版
【解析】
1
△
2
＝
1
×<
/p>
c
＋
2
×
d
=5
，
2
△
3
＝
2
×
c
＋
3
< br>×
d
=8
，
可得
c
=1,
< br>d
=2
6
△
< br>1000
＝
6
×
c
＋
1000
×
d
=2006
【答案】
2006
m
a
b
（
m
是一个确定
2
a
b
的整数）
。如
果
1
4
＝<
/p>
2
3
，那么<
/p>
3
4
等于
________
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，六年级，二试
【
巩
固
】
对
于非零自然数
a
和
b
，规定符号
的含义是：
a
b
＝
【解析】
根
据
1
4=2
3
，
得
< br>到
m
1
4
m
2
3
，
解
出
m
=6
。
所
以
，
2
1
4
2
2
3
3
4
【答案】
6
3
4
11
。
<
/p>
2
3
4
12
11
12
6
x
y
,
求
2
△
9
。
< br>
x
2
y
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】北京市
，迎春杯
6
x
y
6<
/p>
2
9
2
【解析】
根
据定义
x
y
=
于是有
2
9
5
x
2
y
2
< br>2
9
5
2
【答案】
5
5
1
1
【
巩
固
】
“
*
”表示一种运算
符号，它的含义是：
x
y
，已知
xy
x
1
y
A
【例
< br> 3
】
对于任意的整数
x
与
y
定义新运算“
△”
：
x
y
=
2
1
1
1
2
，求
1998
1999
。<
/p>
2
1
2
1
1
A
3
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
1
< br>2
1
1
1
【解析】
根
据题意得
,
< br>,
2
1
1
A
6,
A
1
，所以
2
1
1<
/p>
A
3
2
2
1
1
A
6
1998
1999
1
1
1
1
2000
1998
1998<
/p>
1999
1
998
1
1999
1
1998
1999
1999
2000
1998
1999
2000
3998
1
1998
1999
20
00
1998000
【答案】
1
1998000
【例
4
】
[
A
]
表示自
然数
A
的约数的个数
.
例如
4
有
1,2,4
三个约数
,
可以表示成
[4]=3.
计
算
:
([18]
[22])
<
/p>
[7]
= .
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
因
为
18
2
3
2
有
(1<
/p>
1)
(2<
/p>
1)
6
个约数
,
所以
[1
8]=6,
同样可知
[22]=4,[7]=2.
原式
(6
4)
2
5
.
1-3-1.
定义新
运算
.
题库
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3
of
14
教师版
【答案】
5
【
巩
固
】
x
为正数
,<<
/p>
x
>
表示不超过
x
的质数的个数
,
如
< br><5.1>=3,
即不超过
5.1
的质数有
2,3,5
共
3
个
.
那么
<<19>+<
93>+<4>
×
<1>
×
<8>>
的值是
.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
<
19>
为不超过
19
的质数
,
有
2,3,5,7,11,13,17,19<
/p>
共
8
个
.<93
>
为不超过的质数
,
共
24
个
,
易知
<1>=0,
所以，原式
=<<19>+<93>>=
<8+24>=<32>=11.
【答案】
11
【
巩
固
】
定
义运算
“△”
如下
:
对于
两个自然数
a
和
b
,
它们的最大公约数与最小公倍数的和
记
< br>为
a
△
b
.
例
如
:4
△
6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.
根
据
上
面
定
义
的
运
算
< br>,18
△
12= .
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
1
8
△
12=(18,12)+[18,12]=6+36=42
.
【答案】
42
【例
5
】
我们规定：符号
表示选择两数中较大数的运算，例如：
5
3=3
5=5
，符号△
•
15
23
(0.6
)
(0.625
)
< br>35
表示选择两数中较小数的运算，
例如：
5
△
3=3
△
5=3
，
计算：
•
23
34
11
(0.3
)
(
2.25)
99
6
的结果是多少？
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
•
< br>15
23
2
5
< br>31
(0.6
)
(0.625
)
23
35
3
8
24
1
【解析】
•
34
11
1
9
31
2
(0.3
)
(
2.25)
<
/p>
99
6
3
4
12
1
【答案】
2
【
巩
固
】
规
定：符号“
&
”为选择两数中较大数的运算，<
/p>
“◎”为选择两数中较小数的运算。
计算下式：
< br>[
（
7
◎
3
）
&
5]
×
[
5
◎（
3 &
7
）
]
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
新
定义运算进行计算时如果遇到有括号的，
要先计算小括号里的，
再计算中括号里
的。
[
（
7
◎
6
）
& 5]
×
[
5
◎（
3 &
9
）
]
＝
[
6 & 5]
×
[
5
◎
9 ]
＝
6
×
5
＝
30
【答案】
30
【
巩
固
】
我
们规定：<
/p>
A
○
B
表示
A
、
B
中较大的数
，
A
△
B
表示
A
、
B
中较小
的数。则
10
△
8
6
△
5
11
○
13
+15
△
20
=
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【关键词】走美杯，
3
年级，决赛
【解析】
根
据
题
目
要
求<
/p>
计
算
如
下
10
△
8
6
○
5
11
○
13
+15
△
20
=
8
6
13
15
=2
28=56
【答案】
56
1-3-1.
定义新运算
.
题库
page
4
of
14
：
教师版
【例
6
】
如果规定
a
※
b
=13
×
a
-
b
÷
8
，那么
17
※
24
的最后结果是
______
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
1
7
※
24=13
×
17-24
÷
8=221-3=
218
【答案】
218
【
巩
固
】
若
用
G
（
a
）表示自然数<
/p>
a
的约数的个数，如：自然数
6
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
，共
4
个，记作
G
（
6
）
=4
，则
G
(36)+
G<
/p>
(42)=
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
3
6
的约数有：
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、<
/p>
9
、
12
、
18
、
36
。
42
的约数有：
1
、
2
、
3
、<
/p>
6
、
7
、
14
、
21
、
42
。所以有
G
（<
/p>
36
）
G
（
42
）
9
8
17
。
【答案】
17
【
巩
固
】
如
果
a
&
b
a
b
< br>10
,
那么
2&5
。
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】希望杯，
4
年级，
1
试
【解析】
2
&5=2+5
÷
10=2.5
【答案】
2.5
【例
7
】
“华
”
、
“杯”
、
“赛”三个字的四角号码分别是“
2440
”
< br>、
“
4199
”和“
3088
”
，将
“华杯赛
”
的编码取为
244041993088
，
如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，
偶数位的数码改
变为关于
9
的补码，例如：
0
变
9
，
1
变
8
等，那么“华杯赛”新
的编码是
________.
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，六年级，决赛
【解析】
偶
数位自左至右依次为
4
、
0
、
1
、
9
、
0
、
8
，它们关于
9
的补码自左至右依次为
5
、
9
、
8
、
0
、
9
、
1
，所以“华杯赛”新的编码是：
254948903981
【答案】
254948903981
【例
8
】
羊和狼在一起时，狼要吃掉羊<
/p>
.
所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△
表示：羊△羊
=
羊；羊△狼
=
狼；狼△羊
=
狼；狼△狼
=
狼，以上运算的意思是：羊
与羊在一起还是羊，狼
与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小
朋友总是希望羊能战胜狼
.
所以我们规定另一种运算，
用符号☆表示：
羊☆羊
=
羊；
羊☆狼
=
羊；狼☆羊
=
羊；狼☆狼
=
狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还
是羊，
狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而<
/p>
只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是
从左到右，括号内先算
.
运算的结果或是羊，或是
狼．求下式的结果：羊△
(
狼☆
羊
)
☆羊△
(
狼△狼
)
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
3
星
【题型】计算
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】
因
为狼△狼
=
狼，
所以原式
=
羊△
(
狼☆羊
)
☆羊△狼无论前面结果如何，
最后一步羊
△狼或者狼△狼总等于狼，所以
原式
=
狼
【答案】狼
【例
9
】
一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗
规定：警察
小偷
警察，警察
小偷
小偷．
那么：
（猎人
小兔）
（山羊
白菜）
．
1-3-1.
定义新运算
.
题库
page
5
of
14
教师版
【考点】定义新运算之直接运算
【难度】
2
星
【题型】计算
【关键词】学而思杯
，
4
年级
【解析】
谁
握着枪就留下谁，结果应该是
白菜
【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例
10
】
如
果
a
△
b
表示
(
a
2)
b
,
例如
3
△
4
(3
2)
4
4
,
那么
,
< br>当
a
△
5=30
时
,
a
= .
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
依
题意
,
得
(
a
2)
5<
/p>
30
,
解得<
/p>
a
8
.
【答案】
8
【
巩
固
】
规定新运算※
:
a
※
b
=3
a
-2
b
.
若<
/p>
x
※
(4
※
1)=7,
则
x
=
.
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
因
为
4
※
1=
3
4
2
1
10
,
所以
x
※
(4
※
1)=
x
※
10=3
x
-2
0.
故
3
x
-
20=7,
解得
x
=9.
【答案】
9
【
巩
固
】
如
果
a
⊙
b
表示
3
a
2
b
,
例如
4
⊙
< br>5=3
×
4-2
×
5=2,
那么
,
当
x
⊙
5
比
5
⊙
x
大
< br>5
时
,
x
=
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
根
据题意
x
⊙
5-5
⊙
x
=(3
x
-2
×
5)-(3
×
5-2
x
)=5
x
-25,
由
5
x
-25=5,
解得
x
=6.
【答案】
6
【
巩
固
】
对
于数
a
、
b
、
c
、
d
，规定，
<
a
、
b
、
c
、
d
>
＝
2
ab
－
c
＋
d
，已知
< 1
、
3
、
5
、
x
>
＝
7
，求
x
的值。
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【解析】
根
据新定义的算式，列出关于
x
的等式，解出
x
即可。
将
< br>1
、
3
、
5
、
x
代入新定
义的运算得：
2
×
1
×
3
－
5
< br>＋
x
＝
1
＋
x
，又根据已知
<
1
、
3
、
< br>5
、
x
>
＝
7
，故
1
＋
x
＝
7<
/p>
，
x
＝
6
。
【答案】
6
a
1
【例<
/p>
11
】
定<
/p>
义新运算为
a
e
b
，
⑴求
2
e
(3
e
4)
的值；
⑵若
x
e
4
1.35
则
x
的值为多
b
少？
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
3
< br>
1
2
1
【解析】
⑴
因为
3
e
4
1
，所以
2
e
(3
e
4)
2
e
1
3
4
1
x
1
⑵
x
e
4
1.35
，
x
1
4
1.35
5.4,
x
4.4
，所以
x
的值为<
/p>
4.4.
4
【答案】⑴
3
⑵
4.4
【
巩
固
】
对
于任意的两个自然数
< br>a
和
b
，规定新运算
：
a
b
a
(
a
1)(
a
2)
L
(
a
b
1
)
，
其中
a
、
b
表示自然数
.
如果
(
x
3)
2
3
660
，那么
x
等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
4
星
【题型】计算
【解析】
方
法一：
由题中所给定义可知，
b
为多少
，
则就有多少个乘数．
3660
60
61
，
即：
60
2
3660
，则
x
3
60<
/p>
；
60
3
4
5
，即
3
3
60
,
所以
x
3
．
方
法
二
：
可
以
先
将
（
x
3<
/p>
）
看
作
一
个
整
体
y
，
那
么
就
是
y
2
3660
，
y
< br>
2
y
(
y
1)
3660
60
61
,
所以
y
60
，那么也就有
x
3
60
，
60
3
4
5
，即
3
3
60
，所以
x
3
．
1-3-1.
定义新运算
.
题库
page
6
of
14
教师版
【答案】
3
【例
12
】
定
义
a
b
为
a
与
b
之间（包含
a
、
b
）所有与
a
奇偶
性相同的自然数的平均数，
例如：
7
14=(7+9+11+13)
4=
10
，
18
10=(18+16+14+12+10)
5=14
．在算术
(19
99)=80
的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么
所填的数是多
少？
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
4
星
【题型】计算
【解析】
19
99=(19+99)
2=59
，所以方格中填的数一定大于
80
．如
果填的是个奇数，那
么只能是
80
<
/p>
2
59
101
；如果填的是个偶数，那么这个数与
60
的平均数应该是
80
，所以只能是
80
2
<
/p>
60
100
．
因此所填的数可能是
100
和
101<
/p>
．
【答案】
1
00
和
101
【
巩
固
】
如
有
a
#
b
新运算，
a
#
b
表示
a
、
b
中较大的数除以
较小数后的余数
.
例如；
2#7=1<
/p>
，
8#3=2
，
9#16=7
，
21#2=1.
如（<
/p>
21#
（
21#
x
）
）
=5
，
则
x
可以是
________
（
x
小于
50
）
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
4
星
【题型】计算
【关键词】
101
中学，入学测试
【解析】
这
是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题
.
可采
用枚举与筛选的方法
.
第一步先把（
21#
x
）看成一个整
体
y
.
对于
2
1#
y
5
，
这个式子，一方面可把
21
作被
除数，
则
y
等
于<
/p>
（
21-5
）
16
的大于
5
的约数，
有两个解
8
与
16
；
另一方面可把
21
作除数，
这样满足要求的数为
26
，
47
…，即形如<
/p>
21
N
+5
这样
的数有无数个
.
但必须得考虑，这些
解
都是由
y
所
代
表的式子（
21#
x
）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个
数的，也就是余数必须
比被除数与除数都要小才行，因此大于
21
的那些
y
的值都得舍
去
.
现在只剩下
8
，与
16.
第二步求：
（
21#
x
）
8
与（
21#
< br>x
）
16.
< br>对于（
21#
x
）
8
可分别解得，把
21<
/p>
作被除
数时：
x
13
，
把
21
作除数时为：
x
29
，
50
，…形如
21
N
+8
的整数（
N
是正整数）
.
对于（
21#
x
）
16
，把
21
作被除数无解，
21
作
除数时同理可得：
x
37
，
58
……所
有形如
21
N
+16
这
样的整数
.
（
N
是正整数）
.
所以符合条件的答案是
13,29,37
．
【答案】
13,29,37
．
【例
13
】
已
知
x
、
y
满足<
/p>
x
[
y
]
2009
，
{
y
}
y
20.09
；其中
[
x
]
表示不
大于
x
的最大整
数，
< br>{
x
}
表示
x
的小数部分，即
{
x
}
x
[
x
]
，那么
x
。
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【关键词】学而思杯
，
6
年级，第
3
题
【解析】
根
据题意，
[
y
< br>]
是整数，所以
x
2009
[
y
]
也是整数，那么
{
x
}
x
[
x
]
0
，由此
可
得
，
所
以
，
y
20.09
{
x
}
20.09
0
20.09
[
y
]
20
x
2009
[
y
]
2009
<
/p>
20
1989
。
【答案】
1989
【例
14
】
规
定
：
A
○
B
表示
A
、
B
中较大
的数，
A
△
B
表示
A
、
B
中
较小的数．若（
A
○
5
＋
B
△
3
）×（
B
○
5+
A
△
3
）＝
< br>96
，且
A
、
< br>B
均为大于
0
的自然数，
A
×
B
的所有取值<
/p>
为
．
（
8
级）<
/p>
【考点】定义新运算之反解未知数
【难度】
3
星
【题型】计算
【关键词】走美杯，
6
年级，决赛
【解析】
分
类讨论，
由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，
则对于
A
或者
B
有
3
类不同的范围，
A
小于
3
，
A
大于等于
3
，小于
5
，
A
大于等于
5
。对于
B
也有类似，两者合起来共有
3
×
3=9
种
不同的组合，我们分别讨论。
1-3-1.
< br>定义新运算
.
题库
page
7
of
14
教师版