小学五年级奥数思维训练全集
-
小学五年级奥数思维训练全集
小学五年级奥数思维训练全集
第一周
平均数（一
)
专题简析
:
把几个不相等的数
,
在总数不变的条件
下，
通过移多补少
,
使它们完全相等
,
求得的相等的数就
是平均数。
平均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
< br>
总份数
=
总
数量×平均数
例
< br>1:
有
4
箱水果
,
已知苹果、梨、橘子平均每箱
42
< br>个，梨、橘子、桃平均每箱
3
６个，苹果和桃平均每
箱３
7
个。一箱苹果多少个？
分析
:
①
:1
箱苹果＋１箱梨
+1
箱
橘子
=4
2
×
3=
１３
6(
个）
；
②
:
１箱桃＋１箱梨＋
1
箱橘子
=3
６×
3
＝
108(<
/p>
个）
③
:1<
/p>
箱苹果
+1
箱桃
=3
７×
2=74(
个）
由①、
②可知：
1
箱苹果比
1
箱桃多
1
２
6
－
108
＝
18(
个
)
,
再根据等式③
,
用和差关系求出
:1
箱桃有（
74
－
18
）
÷２＝２
8(
个）
,1
箱苹果有２
8+
１
8
＝
46(
个）
.
试一试１
:
甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、
丁三人共重
1
２０千克，甲、丙、丁三人共重
126
千
克，丙、丁二人的平均体重是
4
０千克。求四人的平
均体重是多少千克
?
例
2
：
某
3
个数的平均数是
2
，如果把其中一个数改
为４
,
平均数就变成了３。被改的数原来是多少
?
分析：
原来三个数的和是２×
3=6,
后来三个数的和
是
3
×３＝９，
9
比
6
多出了３，
是因为把那个数改成
了４。因此
,
原来的数应该是
4
－３
=1
。
试一试
< br>2
：
有五个数
,
平均数是
9
。如果把其中的一
个数改为１
,
那么这五个数的平均数为
8.
这个改动的
数原来是多少？
例３：
五一班同学数学考试平均成绩
9
１
.5
分，事
后复
查发现计算成绩时将一位同学的９
8
分误作
8
９
分计算了。经重新计算
,
全班的平均成绩是
91
。
< br>7
分，
五一班有多少名同学
?<
/p>
分析
:
9
８分比８
9
分多
9
分
.
多算
9<
/p>
分就能使全班平
均每人的成绩上升
91<
/p>
。
7
－
9
１。
5=
０。
2(<
/p>
分
)
。
9
里面
包含有几个
0
．
2
，五一班就有几名同学。
试一试
3:
某班的一次测验
,
平均成绩是
9
１
.3
分．
复
查时发现把张静的
89
分误看作
97
分计算
,
经重新计算
,
该班平均成绩是９１。
1
分。全班有多少同学？<
/p>
专题二
平均数
(
二）
专题简析
:
平
均数
=
总数量÷总份数
总数量
=
平均数×总份数
总份数
=
总数量×平均数
< br>例
1
:
小明前几次数学测验的平
均成绩是８
4
分
,
这次
要考
1
０
0
分，才能把平均成绩提高到
86
分。问这是
他第几次测验
?
分析：<
/p>
每次应多考
:8
6-84=2
（分）
。１
00
分比
86
分
多１４分，１
4
里面有
7
个
2
分
,
所以
,
前面已经测验
了
7
< br>次
,
这是第
8
< br>次测验。
试一试１
:
一位同学在期中测验中
,
除了数学外
,
其
它几门功课的平均成绩是
9
４分
,
如果数学算在内，
平
均每门
95
分。已
知他数学得了
100
分
,
问这位同学一
共考了多少门功课？
例
2:
小亮在期末考试中
< br>,
政治、语文、数学、英语、
自然五科的平均成绩是
89
分
,
政治、<
/p>
数学两科平均
91
。
５分
,
政治、英语两科平均
86<
/p>
分，语文、英语两科平
均分
84
分，英语比语文多
1
０分
.
小亮的各科成绩是
多少分
?
分析：
因为语文、英语两科平均分
84
分，即语文＋
英语
=1
６
8
分，而英语比语文多
1
０分
,
即英语－语文
=10
分
,
所以，语文：
（
16
８－
10
）÷
2=79
分，英语是
79+10
＝８
9
分。又因为政治、英
语两科平均
86
分，
所以政治是
86
×２
-8
９
=8
３分；而政治、数学两科平
均分９１。
５分
,
数学
:
9
１。
5
×２
-83=10
０分
;
最后根
据五科的平均成绩是
89
分可知
< br>,
自然
:
８９×
5
－（７
9
＋
8
９
+
８
< br>3+100)=
９４分。
试一
试
2:
甲、乙、丙三个数的平均数是
8
2
，甲、
乙两数的平均数是
8
６，乙、丙两数的平均数是７
7
。
乙数是多少
?
甲、丙两个数的平均数是多少
?
例３
:
两地
相距３
60
千米，一艘汽艇顺水行全程需
要
10
小时
,
已知这条河的水流速度为每小时
6
千米。
往返两地的平均速度是每小时多少千米？
分析：
用往返的路程除以往返所用的时间就等于往
返两地的平均速度。顺水速度
＝
3
６
0
÷<
/p>
10=36
（千米）
是，顺水速度＝汽艇
的静水速度与水流速度的和，所
以
,
静
水速度是３
6-6=30
（千米）
。<
/p>
而逆水速度
=
静水速
度－水流速度
,
所以汽艇的逆水速度是
30-6=2
４（千
米）
。
逆水行全程时所用时间是３
60
÷２
4=
１
5(
小时
),
往返的平均速度是
360
×
2
÷
(10+15)=28
。
8(
千米）
。
小学五年级奥数思维训练全集
<
/p>
试一试
3
：
一艘
客轮从甲港驶向乙港
,
全程要行
165
千米。
已知客轮的静水速度是每小时
3
0
千米，
水速每
小时
< br>3
千米．现在正好是顺流而行
,
行全程需要几小
时？
例４：
幼
儿园小班的２
0
个小朋友和大班的
30
个小
朋友一起分饼干，
小班的小朋友每
人分
1
０块
,
大班的
小朋友每人比大、
小班小朋友的平均数多２块
.
求一共
分掉多少块饼干？
分析
:
只要知道了大、小班小朋友
分得的平均数
,
再
乘
< br>(
３
0+20)
人就能求出饼干
的总块数。因为大班的小
朋友每人比大、
小班小朋友的平均数多
2
块
,
３
0
个小
朋友一共多
2
×
30=60
（块
< br>)
，这
60
块平均分给
20
个
小班的小朋友，每人可得
6
０÷
20=3
（块
)
．因此
,
大、
小班小朋友分得平均块数是１０
+3=
１
3
（块）
。
一共分
掉
1
３×
(3
０
+2
０）＝６５
0
（块）
。
试一试４
:
两组同学跳绳，
第一组
有
2
５人
,
平
均每
人跳
80
下
;
第二组有
20
人
< br>,
平均每人比两组同学跳的
平均数多
5
下，两组同学平均每人跳几下
?
例
5
：
王强从
A
地到
B
地，先骑自行车行完全程的
一半
,
每小时行
12k
m
。剩下的步行
,
每小时走４
km
。王
强行完全程的平均速度是每小时多少<
/p>
km?
分析
:
求行完全程的平均速度，
应该用全程除以行全
程所用的时间。由
于题中没有告诉我们Ａ地到
B
地间
的路
程，我们可以设全程为
24km(
也可以设其他数
)
，
这样
,
就可以算出行全程所用的时间是
12
÷
12
＋
12
÷
4=4(
小时）
,
再用２
4
÷
4
就能得到行
全程的平均速度
是每小时
6km
。
试一试
5:
运动
员进行长跑训练，他在前一半路程
中每分钟跑
150
米，后一半路程中每分钟跑
10
０米。
求他在整个长跑中的平均速度。
第
3
讲
长方形、正方形的周长
专题简析：<
/p>
长方形的周长＝
(
长＋宽
)
×
2,
正方形的周
长
=
边长×
4
。表面上看起来不是长方形或正方形的图
形的周长
,
需灵活应用已学知识，掌握转化的思考方
法，
把复杂的问题转化为标准的图形
,
以便计算它们的<
/p>
周长。
例
1:
有
5
张同样大小的纸如下图
(a)
重叠着
,
每张纸都
是边长６厘米的正方形
,
重叠的部分为
边长的一半
,
求
重叠后图形的周长。<
/p>
分析：
根据题意
,
我们可以把每个正方形的边长的一
半同时向左、右、上、下
平移
(
如图
b
）
，转化成一个
大正方形
,
这个大正方形的周长和原来
5
个小正方形重
叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是
1
8
×
4
＝
72
厘米
.
试一试
1
：
下图由
8
个边长都是
< br>2
厘米的正方形组
成，求这个图形的周长
.
例
2
：
一块长方形木板，
沿着它的长度不同的两
条边
各截去
4
厘米
,
截掉的面积为１
92
平方厘米。
现在这
块木板的周长是多少厘米
?
分析
:
把截
掉的
192
平方厘米分成
A
、
B
、
C
三块
（如
图）
,
其中
AB
的面积
是１
92-4
×
4
＝
17
６
(
平方厘米
）
。把
A
和
B
移到一起拼成一个
宽
4
厘米的长方形
,
而此长方形的长就是这块木板剩下部分
的周长的一
半。
176
÷
4=4
４
(
厘米
)
，现在这块木板的周长是
44
< br>×
2=88(
厘米
)
。
试一试
2
：
有一个长方形
,
如果长
减少４米
,
宽减少
2
< br>米
,
面积就比原来减少
44
平方米
,
且剩下部分正好是
一个正方形。求这个正方形的周长。
例
3
已知下图中，甲是正方形，乙是长方形
,
整个图形的周长是多少
?
分析<
/p>
:
从图中可以看出
,
整个图形的周长由六条
线段围成，其中三条横
着，三条竖着
．三条横着
的线段和是（ａ＋
b
）×<
/p>
２，三条竖着的线段和是
b
×
2.
所以，整个图形的周
长是（
< br>a+b)
×２＋
b
×
2,
即
2
ａ＋４
b.
试一试
3
：
有一张长
40
厘米
,
宽
30
厘米的硬纸板，
在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一
个长方体纸盒
,
求被剪后硬纸板的周长．
例
4:
如下
图，阴影部分是正方形，
DF
＝
6
厘米
,AB
＝
９厘
米，求最大的长方形的周长。
小学五年级奥数思维训练全集
分析：
根据题意可知
,
最大
< br>长方形的宽就是正方形的边
长
.
因为
BC=EF
，
C
< br>Ｆ
=DE,
所
以
,AB+BC
＋
CF
＝Ａ
B+F
Ｅ＋
ED=
９＋６
=15
（厘米
),
这正
好是最大长方形周长的一半
.
< br>因此，
最大长方形的周长
是
(9
＋
6)
×２
=
30
（厘米
)
。
试一试
5:
下面三个正方形的面积
相等
,
剪去阴影部
分的面积也相等，求
原来正方形的周长发生了什么变
化
?(
单位
:
厘米）
专题
4
长方形、正方形的面积
专题简析
:
长方形的面积
=
长×宽，正方形的面积
=
边长×边长。
当已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单
地用公式直接求
出面积的题目时。
要利用
“割补”
、<
/p>
“平
移”
、
“旋
转”等方法
,
使复杂的问题转化为普通的求长
< br>方形、正方形面积的问题
,
从而正确解答
.
例
1
< br>:
已知大正方形比小正方形边长多
2
厘米，大正
方形比小正方形的面积大
40
< br>平方厘米。
求大、
小正方
形的面
积各是多少平方厘米？
分析：
从图中
可以看出，大正
方形的面积比小正方形的面积大
出的４
0
平方厘米，可以分成三
部分，其中Ａ和
B
的面积相等。
因此
,
用
40
平方厘米减去阴影部
分的面积
,
再除以
2<
/p>
就能得到长方
形
A
和
B
的面积
,
再用
A
或
B
的面积除以
2
就是小正
方形的边长。求
到了小正方形的边长
,
计算大、小正方
形的面积就非常简单了。
试一试１：
有一块长方形草地
,
长
20
米，宽
15
米。
在它的四
周向外筑一条宽
2
米的小路
,
求小路的面积。
例
2
：
一个大长方
形被两条平行于它的两条边的线
段分成四个较小的长方形
,
其中三个长方形的面积如
下图所求，求第四个长方形的面积
.
分析
:
因为
A
E
×
C
Ｅ
=6
，
DE
×
E
Ｂ＝
35
，把两个式子
相乘
A
Ｅ×
CE
×
D
Ｅ×
E
Ｂ
=
３
5
×
6
，而ＣＥ×
E
Ｂ
=14
，
所以Ａ
E
×
DE=35
×
6
÷１
4=15
。
试一试２
:
下图一个长方形被分成四个小长方形，
其中三个长方形的面积分别是
24
平方厘米、
３０平方
厘米和３
２平方厘米，求阴影部分的面积。
例
3
：
把
2
０分米长的线段分成两段，并且在每一段
上作
一正方形
,
已知两个正方形的面积相差
40
平方分
米
,
大正方形的面积是多少平方分米
?
分析
:
我们可以把小正方形移至大正方形里
面进行
分析。
两个正方形的面积差
40
平方分米就是图中的
A
和
B
两部分，
如图。
如果把<
/p>
B
移到原来小正方形的上
面，
不难看出
,
Ａ和
B
正好组成一个长方形，
此长方形
的面积是
40
平方分米
,
长
２
0
分米
,
宽
是
4
0
÷２
0
＝
2(
分
米<
/p>
)
，即大、小两个正方形的边长相差
2<
/p>
分米。因此，
大正方形的边长就是（２
0
+2)
÷
2
＝
11(
分米
),
面积是
11
×
1
１＝
121(
平方分米）
试一试
３
：
有一个正方形草坪
,
沿草坪四周向外修
建一米宽的小路
,
路面面积是
80
平方米。求草坪的面
< br>积
.
例
4:
有一
个正方形
A
Ｂ
C
Ｄ如下图
,
请把这个正方形
的面积扩
大
1
倍，并画出来。
分析
：
由于不知道正方形的边长和面积，所以，也
没有办法计算出所画正方形的边
长或面积。我们可以利用两个正
方形之间的关系进行分析。以正
方形的四条边为准
,
分别作出４
个等腰直角三角形
,
如图中虚线
< br>部分
,
显然
,
< br>虚线表示的正方形的
面积就是原正方形面积的２倍。
小学五年级奥数思维训练全集
试一试
4
：
四个完
全一样的长方形和一个小正方形
组成了一个大正方形
,
如果大、
小正方形的面积分别是
49m
2
和
4m
２
,
求其中一个长方形的宽。
例５：
有一个周长是
72
厘米的长方形
,
它是由三
个大小相等的正方形拼成的。一个
正方形的面积是多
少平方厘米
?
分析
：
三个同样大小的正
方形拼成的长方形
,
它的周
长是原正方形边长的
8
倍
,
正
方形的边长为
7
2
÷
8=<
/p>
９
(
厘米
)
，
一个正方形的面积就
是
< br>9
×
9=
８１
< br>(
平方厘米
)
。
试一试
5:
五个同样大小的
正方形拼成一个长方形，
这个长方形的周长是３
6
厘米，求每个正方形的面积
是多少平方厘米？
专题五
尾数和余数
专题简析
:
自然数末位的数字称为自然数的尾数
;
除法中
,
被除数减去商与除数积的差叫做余数。
尾数和
余数在运算时是有规律可寻的
,
利用这种规律能解决
一些看起来无从下手的问题。
< br>
例题１：
写出除２
13
后余
3
的全部两位
数。
分析
:
因为２
13=21
０
+3
，
把
210
分解质因数：<
/p>
210=2
×
3
×
5
×
7,
所
以，符号题目要求的两位数有
2
×
5=
１
0,
２×
7
＝
14,3
×
5=
１
5,3
×
7=21,5
×
7=3
５
,
２×
3
×
５
=30
，
２×３×
7=
４
2
，
一共有７个两位数
:10
、
1
４、
15
、２１、３５、
3
０、
42
。
试一试１
:
17<
/p>
８除以一个两位数后余数是
3
，适合
条件的两位数有哪些？
例题
2:
(1
）
１
2
5
×
125
×
1
25
×……×
1
２
5[
１
00
个
２
5]
积的尾数是几
?
（２）
(
２
1
×２
6
）×（
21
×
2
６）×……×（
21
×２
6)[100
个（２
1
×
26)
］积的尾
数是几
?
分析
:
（
１
)
因为个位５乘
5,
积的个位仍然是５，所
以不管多少个
125
相乘，个位还是
5
；
(
２）每个括号里
21
乘
26
积的个位是
6
。因为个位
6
乘<
/p>
6,
积的个位仍然是６
,
所以不管多少个
(
２
1
×
2
６）
连乘，积的
个位还是
6
。
试一试
2:
①
1.5
×
1.
５×
1
．
5
×……×１。
5[200
个
1.5]
积的尾数是几
?
②
(12
×
63
）×
(12
×６
3)
×
(
１２×<
/p>
63)
×……×
(12
< br>×
6
３）
［
10
０
0
个（
12
×６
3
）
］积的尾数是几？
例题３
:
９×
9
×
9
×
…×
9[51
个９］积的个位数是几
?
分析
:
我们在计算乘法时会发现：
对“积的个位”
有
影响的是“因数中的个位
”
，只要找到“个位乘个位
时积的变化规律”就可以了．
因数中个位的数量
积的个位
１个
9
9
2
个
9
1
３个
9
9
积的尾数以“<
/p>
9
、
1
”两个数
字在不断重复出现。
51
÷２＝
25<
/p>
……
1,
余数是
1
，说明５１个９本乘积的
个位是
9.
试一试
3:
(
１
)
２
4
×<
/p>
2
４×
24
×…
×
24
［２
001
个
24],
积的尾数是多少？
(2)1
×
2
×
3
×…
×
98
×
9
９
,
积的尾数是多少
?(
提示：
任何数和
0
相乘积都是
0)
例题
4
：
把１
/7
化
成小数，
那么小数点后面第
100
位上
的数字是多少？
分析：
因为
1/
７≈
0.
１
428571
４
285
７……，化
成的小数是一个无限循环小数，循环节“
142857
”共
有６个数字
.
由于
100
÷
6=16
……
4,
所以，
小数点后面
的第
100
位是第
1
７个循环节的第
4<
/p>
个数字，是
8
。
试一试
4:
把
1/1
１化成小数，
求小数点后面第
2
001
位上的数字。
专题六
一般应用题
(
一）
< br>专题简析
:
在分析应用题的数量关系时
< br>:(1
）可以从
条件出发，逐步推出所求问题
(
综合法
);
（２
)
可以从问
题出发，找出必须的两个条件
(
分析法）
.
实际
解时
,
根
据题中的已知条件
,
灵活运用这两种方法
.
例
1:
某车
间按计划每天应加工
50
个零件，
实际
每天
加工
56
个零件。这样
,
不仅提前
3
天完成原计
划加工
零件的任务，而且还多加工了
120
个零件。这个车间
实际加工了多少个零件
?
分析
:
如果按原计划的天数加工，
< br>加工的零件就会比
原计划多
56
×
3+1
２
0=288(
个
)
。
为什么会多加工２<
/p>
88
个呢
?
是因
为每天多加工了５
6
－５
0=
６（个）
。因此
,
原计
划加工的天数是２
8
８÷６
=48
（天
),
实际加工了
5
０×
48
＋
1
２
0
＝
1
５
20(
个）零件
.
小学五年级奥数思维训练全集
试一试
1:
小明骑车上学，
原计划每
分钟行
200
米
,
正好准时到达学校
,
有一天因下雨
,
他每分钟只能行
120
米
,
结果迟到了
5
分钟。他
家离学校有多远
?
例
2
：
甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工
6
个零件
,
乙中途停了１５天没有加工。
40
天后，乙所
加工的零件个数正好是甲的一半。这时两人各加
工了
多少个零件
?
分析：
甲工作了
40
天
,
而乙停止了
15
天没有加工
< br>,
乙只加工了２
5
天，所以他加
工的零件正好是甲的一
半
,
也就是甲<
/p>
20
天加工的零件和乙
2
５天加工的零件
同样多
.
由于
甲每天比乙多加工
6
个
,20
天一共多加工
6
×
20
=12
０（个）
。这
12
０个零件相当于乙２
5
—
2
0
＝
5
（天）加工的个数，乙每天加工
１２
0
÷（
25
—２
0)=24(
个）
。
乙一共加工了２
4
×
25
＝
600(
个）
,
甲一共
加工了６０
0
×
2=1200(
个
) <
/p>
试一试
2:
甲、乙二人加工一批帽子，甲
每天比乙
多加工
10
个
.
途中乙因事休息了５天
,20
天后
,
甲加工
的帽子正好是乙加工的
2
倍
,
这时两
人各加工帽子多
少个
?
例３
:<
/p>
服装厂要加工一批上衣，原计划
20
天完
成任
务。实际每天比计划多加工
60
件
,
照这样做了
15
天
,
就超过原计划件数
35
０件。
原计划加工上衣多少件？
分析：
由于每天比计划多加工
60
件
,
１５天就比原
计划的
15
天多加工６
0
×
15=9
００
（件）
，
这时已超过
计划件数
3
５０件
,9
０
0<
/p>
件中去掉这
350
件
,
剩下的件
数就是原计划（
2
０－
1
５）天中的工作量
< br>.
所以
,
原计
< br>划每天加工上衣
(90
０
-35
0
）÷
(20-
１
5
）
=110(
件）
,
原计划加工
110
×２０
＝
2200
（件）
。
< br>
试一试
3:
汽车从甲地开往乙
地
,
原计划
10
小时到
达。实际每小时比原计划多行
1
５千米，行了
8
小时
后，发现已超过
乙２
0
千米。甲、乙两地相距多少千
米
?
<
/p>
例
4
：
王师傅原
计划每天做６
0
个零件，实际每天比
原
计划多做２
0
个
,
结果提前
5
在完成任务．
王师傅一
共做了多少个零件？
分析
:
按实际做法再做
5
天<
/p>
,
就会超产
（
6
０
+
２
0
）
×
5
＝
4
０
0(
个
)
。
为什么会超产
400
个呢？是因为每天多
生产了
20
个
,400
里面有几个２
0,
就是原计划生产几
天。
4
０
0
÷
20=20
(
天
),
因此
,
王师傅一共做了
60
×
20=1
２
0
０（个）零件
。
试一试
4:
造纸厂生产一批纸，
计划每天生产
13
。
5
吨，实际每天比原计划多生产
1
。
5
吨，结果提前
2
。
5
天完成了任务．实际用了多
少天？
主题七
< br>一般应用题
(
二）
专题简析
:
较复杂的一般应用题，往往具有两组或
两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应
用题都可以
通过“转化”向基本的问题靠拢。因此
,
我们在解答一般应用题
时要善于分析
,
把复杂的问题
简单化<
/p>
,
从而正确解答。
例１
:
工程队要铺设一段地下排水管道，
< br>用长管子铺
需要
25
根，用短管
子铺需要
35
根。已知这两种管子
的长
相差２米
,
这段排水管道长多少米？
分析：
因为每根长管子比每根短管子长
2
米
,
２
5<
/p>
根
长管子就比
25
根短管子长
50
米。而这５
0
米就相当
于
(3
5<
/p>
－
25)
根短管子的长度。
因此
,
每根短管子的长度
就
是
50
÷
(
３
５－２５
)=5
（米
),
这段排水管道的长度
应是５×
35=
１
75
（米）
。
试一试
1:
一班的小朋友
在操场上做游戏
,
每组
6
人。
玩了一会儿
,
他们觉得
每组人数太少便重新分组
,
正好
每组<
/p>
9
人
,
这样比原
来减少了
2
组。
参加游戏的小朋友
一共有多少人
?
例２<
/p>
:
甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果
,
分配时甲、乙都比丙多拿
24
千
克．结帐时
,
甲和乙都
要付给丙
24
元
,
每千克苹果
多少元
?
分析：
三人拿同样多的钱买
苹果应该分得同样多的
苹果。
2
４×<
/p>
2
÷
3=16(
千克
),
也就是丙少拿１
6
千克苹
果
,
所以得到２<
/p>
4
×
2=48
元
.
每千克苹果是４
8
< br>÷
16=
３
（元
)
。
试一试
2
：
春游时小明和小军拿出同样多的钱买了
6
个面包
,
中午发现小红
没有带食品
,
结果三人平均分
了这些面
包，
而小红分别给了小明和小军各
2.2
元钱。
每个面包多少元？
例
3:
甲城有
1
７<
/p>
7
吨货物要跑一趟运到乙城。
大卡车
的载重量是
5
吨
,
小卡车的载重量是
2
吨，大、小卡车<
/p>
跑一趟的耗油量分别是
10
升和５升。<
/p>
用多少辆大卡车
和小卡车来运输时耗油最少？
分析
:
大汽车一次运５吨，耗油
10
升，平均运
1
吨
货耗油１０÷
5=
２
(
升
)
；小汽车一次运<
/p>
2
吨，耗油
5
升
，平均运
1
吨货耗油
5
÷
2=2
。
5(
升
)
。显然，为耗
油
量
最
少
应
该
尽
可
能
用
大
卡
车
。
１
77
÷
5=3
５
(
辆
)
……
2
吨，余下的２吨正好用小卡
车运。因此
,
用
３
5
辆大汽车和
1
辆小汽车运耗油量
最少。
试一试
3:
< br>用１元钱买
4
分、
8
分、１角的邮票共
15
张，那么最多可以买
1
角的邮票多少张？
小学五年级奥数思维训练全集
例４：
有一栋居民楼
,
每家都订
2
份不同的报纸，
该
居民楼共订了三种报纸
,
其中北京日
报
34
份，江海晚
报３
0
份
,
电视报２２份．那么订
江海晚报和电视报的
共有多少家
?
分
析：
这栋楼共订报纸
34
＋
3
０
+22
＝８
6
（份
),
因为
每家都订
2
份不同的报纸，所以一共有
8
6
÷２
=
４
3
家。
在这
43
家居民中，
有
34
家订了北京日报
,
剩下的
9
家居民一定是订了江海晚报和电视报。
试一试４：
五
（
1)<
/p>
班全体同学每人带２个不同的水
果去慰问解放军叔叔，全班共带了
三种水果，其中苹
果４
0
个
,
梨
32
个，桔子
26
个。那么
,
带梨
和桔子的有
多少个同学
?
例
5
：
一艘轮船发生漏水事故
,
立即安装两台抽水机
向外抽水，
此时已进水
800
桶
.
一台抽水机每
分钟抽水
18
桶
,
另一台每分钟抽水
14
桶
,
５０分钟把水抽完。
每
分钟进水多少桶
?
分析：
50
分钟
内，两台抽水机一共能抽水（
1
８
+<
/p>
１
4)
×
5
０
=160
０
(<
/p>
桶
)
。
1600
桶水中，有
800
桶是开始
抽之前就漏进的
,
另
8<
/p>
０
0
桶是
5
０分钟又漏进的，因
此
,
< br>每分钟漏进水８
0
０÷５
0=1
6(
桶）
。
试一试５
:
一个水池能装
8
吨水，水池里装有一个
进水管和一个出水管。两管齐开
,
２
0
分钟能把一池水
放完。已知进水管每分钟往池里进水
0
。８吨
,
求出水
管每分钟放水多少吨
?
专题八
一般应用题（三
)
专题简析：
解答一般应用题时
,
可以按下面的步骤
进行
:1
，弄清题意
,
找出已知条件和所求问题
;
2
，分析已知条件和所求问题之间的关系
,
找
出解题的
途径
;
３
,
拟定解答计划
,
列出算式，算出
得数
;
４
,
检验解答方法是否合理
,
结果是否正确，
最后写出答
案。
例
1:
甲、
乙两工人生产同样
的零件
,
原计划每天共生
产
70
０个。由于改进技术，甲每天多生产
1
０
0
个
,
乙
的日产量提高了１倍
,
这样二人一天共生产
10
２
0
个。
甲、乙原计划每天各生产多少个零件？
<
/p>
分析
:
二
人
实
际
每
天
比
原
计
划
多
生
产
１
< br>0
２
0
－
700=320
（个）
。这
320<
/p>
个零件中
,
有
1
0
０个是甲多生
产的
,
那么３
2
０－
100=
２
20
（
个
)
就是乙日产量的１倍
,
即乙原来的日产量
,
甲原来每天生产
700
－
220=
４
< br>80(
个）
。
试一试
1
：
甲、乙两人生产同
样的零件，原计划每
天共生产
80
个．
由于更换了机器
,
甲每天多做４
0
个
,
乙每天生产的是原来的４倍，这样二人
一天共生产零
件３
00
个。甲、乙原计
划每天各生产多少个零件？
例２
:<
/p>
把一根竹竿插入水底
,
竹竿湿了
40
厘米，然后
将竹竿倒转过来插入水底
,
这时
,
竹竿湿的部
分比它的
一半长
13
厘米。求竹竿的长
。
分析
:
因
为竹竿先插了一次
,
湿了
40
厘米，倒转过来
再插一次又湿了４０厘米，所以湿了的部分是
4
０×
2=80(
厘米<
/p>
)
。这时
,
湿的
部分比它的一半长
1
３厘米
,
说明竹竿的长度是
(
８
0-13
）×２
=1
３
4
（厘米）
。
试一试
2:
有一根铁丝
,<
/p>
截去一半多
1
０厘米
,
剩下的
部分正好做一个长８厘米
,
宽
6
厘米的长方形框架。
这
根铁丝原来长多少厘米
?
例
3
：
将一根电线截成
15
段。一部分每段长
8
米，
另一部分每段长
5
米。长８米的总长度比长<
/p>
5
米的总
长度多
3
米。这根铁丝全长多少米？
分析<
/p>
:
设这
15
段中
有
X
段是８米长的
,
< br>则有（１
5
－
X)
段是５米长的。然后根据“
8
米的总长度比
5
米的
总长度多
3
米”列出方程
,
并进行解答。
试一试
3:
食堂里买来<
/p>
1
５袋大米和面粉，
每袋大米
２
5
千克
,
每袋面粉
1
０千克。已知买回的大米比面粉
多
165
千克
,
求买回大米、面粉各多少千克
?
例
4:<
/p>
甲、乙两名工人加工一批零件，甲先花去
2
。
5
小时改装机器，因此前
4
小时甲比乙少做
4
００个零
< br>件
.
又同时加工
4
小时后，
甲总共加工的零件反而比乙
多４
200
个。甲、乙每小时各加工零件多少个
? <
/p>
分析
:
（
1)<
/p>
在后
4
小时内，
甲一共比乙多加工了
4200+
４
00
=4
６
0
０（个
)
零件
,
甲每小时比乙多加工
460
0
÷
4=11
５
0
个零件。
(
２）在前
4
小时
内，甲实际只加工了
4-2
。５
=1<
/p>
．
5
小时
,
甲
1.5
小时比乙
1.
５小时应多做１１
50
×
1.
５＝
1
７
25
个零件
,
因此，<
/p>
17
２
5+400=2
< br>１
25
个零
件就是乙
2.5
小时的工作量
,
即
乙每小时加工２
1
２
5
÷２。
5=850
个，甲每小时加工８
5
０
+1
１
< br>50
＝
2000
个。
试一试
4:
师徒二人生
产同一种零件
,
徒弟比师傅早
2
小时开工
,
当师傅生产了
2
小时后
,
发现自己比徒弟少
做
20
个零件。
二
人又生产了２小时，
师傅反而比徒弟
多生产了
< br>10
个。师傅每小时生产多少个零件
?
例
5
：
加工一批零件，单给甲加工需
10
小时
,
单给乙
加工需
8
小时。
已
知甲每小时比乙少做
3
个零件
,
这批
零件一共有多少个
?
< br>分析
:
因为甲每小时比乙少做３个零件，
8
小时就比
小学五年级奥数思维训练全集
乙少做
3
×
8=24(
个）
零件，
所以
,
２
4
个零件
就是甲
(10
－８
)
< br>小时的工作量。
甲每小时加工
24
÷
（
1
０－
8)=12
（个
),
这批零件一共有<
/p>
1
２×
10=12
０（个）
.
试一试
5
：
快、慢两车同时从甲地开往乙地
,
行完
全程快车只用了
4
小时<
/p>
,
而慢车用了
6
。
5
小时。已知
快车每小时比慢车多行
2
５千米。甲、乙两地相距多
少千米<
/p>
?
专题九：
周期问题
专题简析
< br>:
周期问题是指事物在运动变化的发展过
程中
,
某些特征循环往复出现，
其连续两次出现所经过
的时间叫做周期。周期问题解答步骤和技巧
< br>（
1)
先确定
1
个周期里有几个对象。
（
2
）总数÷周期里的对象数
=
周期数……
余数
（
3)
没有余数最后
1
个对象就是周期里的最后
1
个对
象。有余数，余几最后
1
个对象就是周期里的第几个
对象。
例题
1
：<
/p>
将奇数如下图排列
,
各列分别用
A
、
B
、Ｃ、
D
、
E
为代表，
问：
20
０
1
所在的列以哪个字母为代表
?
Ａ
B
C
Ｄ
E
1
3 5
7
１５
13
1
１
9
17 1
９
21
２
3
31 29 27
25
…
…
…
…
…
…
…
…
分析
:
这列数按每
8
个数一组有规律排列着。
20
０
1
是这一列数中的第
1
００
1
个数
,1001
÷
8=125
……１，
即
2
０
01
是这列数中第
126
组的第一个数
,<
/p>
所以它所在
的那一列是以字母
B
为代表的
.
试一试
2
：
把自然数按下列规律排列
,865<
/p>
排在哪
一列？
A
B C
D
１
２
３
６
5
4
７
8
9
12 11
10
…
…
…
…
…
…
例题：
2
：
888
……
8[1
０
< br>0
个
8
］÷
7
，当商是整数
时
,
余数是几
?
分析：
从竖式中可以看出
,
被除数除以
7,
每次除得的余数以
1
、
4
、
6
、５、２、
0
不断重复出现
.
我们可以用
10
０<
/p>
除以
6
，观察余数就知道所求问题了。<
/p>
１
00
÷
6=16
……
4
余数是
4
说明当商是整数时
,
余数是１、
4
、
6
、
5
、
2
、
0
中的第４个数
,
即
5.
试一试２：
４
44
……
4
［
10
０个
4]
÷
6
当商是整
数时
,
余数是几？
专题十
盈亏问题
专题简析：
盈亏问题的基本数量关系是：
(
盈
+
亏
)
÷两次所分之差
=
人数
;
还有一些非标准
的盈亏问题
,
它们被分为四类：
1,
两盈：两次分配都有多余；
2,
两不足：两次分配都不够
;
3,
盈适足
:
一次
分配有余
,
一次分配够分
;
4
，不足适足
:
一次分
配不够
,
一次分配正好
.
一些非标准的盈亏问题都是由标准的盈亏问
题演变过来的。解题时我们可以
记住
:
1,
“两亏”问题的数量关系
是
:
两次亏数的差
÷两次分得的差
=
参与分配对象总数；
< br>2
，
“两盈”问题的数量关系是：两次盈数的差
÷两次分得的差
=
参与分配对象总数；
3,
“一盈一亏
问题的数量关系是：盈与亏的
和÷两次分得的差
=
参与分配对象总数。
例
1:
某校乒乓球队有若干名学生，
如果少一名女生，
增加一名男生
,
则男生为总数的一半；
如果少一名男生
,
增加一名女生，则男生为女生人数的一半。乒乓球队
共有多少名学生
?
分析
:
(1
）由“少一个女生
,
增加一个男生，则男生
为总人数的一半”可知：女生比男生多
2
人
;
（
< br>2)
“少一个男生，
增加一个女生”
后
,
女生就比
男生多
2+2=4
人
,
这时男生为
女生人数的一半，
即现在
女生有
4
×２
=
８人。原来女生有８
-1=
７人，男生有
７－２＝
5
人，共有
7
＋
5=1
２人。
试一试
1
：
操场上有两堆货物，如果甲堆增加
80
吨，乙堆增加２５吨
,
则两堆货物一样重
;
苦甲、乙两
堆各运
走５吨，剩下的乙堆正好是甲堆的
3
倍。两堆
< br>货物一共有多少吨
?
例
2:
幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。如果平均分
< br>小学五年级奥数思维训练全集
给小朋友
,
则少
4
个
< br>;
如果每个小朋友只发给
4
个，
则
老师自己也能留下
4
个
.
有多少个小朋友？共有多少
个苹果？
分析
:
如果平均分给小朋
友
,
则少
4
个
,
说明小朋友
人数大于
4
；如果每个小朋友只发给
4
个，则教师也
能留下
4
个，说明每人少
拿若干个，就少拿
4+4=
８个
苹果<
/p>
.
因为小朋友人数大于
4
，所以，一定是每人少拿
1
个，
有
8
÷１＝
8
个小朋友
,
有８×
4+
４＝
3
６个苹果
.
试一试
:
老师把一些铅笔奖给三好学生。每人
5
支
则多４支，每人
< br>7
支则少
4
支。老师有多少支铅
笔？
奖给多少个三好学生
?
例３
:
幼儿园老师将一筐苹果分给小朋友。<
/p>
如果分给
大班的学生每人
5
个余
1
０个；如果分给小班的学生
< br>每人８个缺
2
个。
已知大班比小
班多
3
人
,
这
筐苹果有
多少个？
分析
:
如果大班减少
3
人，
则大班和小班的人数同样
多．
这样
,
大班每人
5
个就多余
3
×
5
＋
10=25
个．
由于
两班人数相等，小班每人多分３个就要多分（
25
＋
2)
个苹果
,
用
（
25
＋
2)
÷
(8
－
5)
就能得到小班同学的人数
是
9
人
,
再用
9
< br>×８
-2
就求出了这筐苹果有多少个。
< br>
试一试３
:
老师给幼儿园小朋
友分糖
,
每人
3
块还
多
10
块
;
如果减少
2
个小朋友再分
,
每人
4
块还多７
块。原来有多少个小朋友
?
有多少块糖？<
/p>
例
4
：
幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小
朋友，平均每人分得
6
块
;
如果只分给
中班的小朋友
,
平均每人可以多分得
4
块
.
如果只分给小班的小朋友
,
平均每人分得多少块？
分析
:
这箱饼干分给小班和中班的小朋友
< br>,
平均每人
分得
6
块
,
如果只分给中班的小朋友
,
平均每人可多分
4
块。说明中班的
人数是小班人数的
6
÷
4
＝１。
5
倍。
因此
,
这箱饼干分给小班的小朋友
,
每位小朋友可多分
到６×
1
。
5=9
块，一共可分到
6
＋
9=15
块饼干。
试一试４
:
甲、乙两组同学做红花，每人做
8
朵，
正好送给五年级每个同学一朵。
如果把这些红花让甲
组同学单独做
,
每
人要多做４朵。
如果把这些红花让乙
组同学单独做，每人要做几
朵
?
例
5:<
/p>
全班同学去划船
,
如果减少一条船，
每条船正好
坐９个同学
;
< br>如果增加一条船
,
每条船正好坐６个同
< br>学。这个班有多少个同学
?
分析：
根据题意可知
:
每船坐
9
人
,
就能减少一条船，
也就是少
9
个同学
;
< br>每船坐
6
人
,
< br>就要增加一条船，也
就是多出６个同学。因此，每船坐
9
人比每船坐
6
人
可多坐
9+6
＝
15
人
,15
里面包含
5
个
(9-6)
，
说明有
５
条
船
。
知道
了
有５
条
船<
/p>
,
就可
以
求
全班
人
数
:9
×
（
5-1)=36
人。
试一试
5:
< br>老师把一篮苹果分给小班的同学，如果
减少一个同学，
每
个同学正好分得５个
;
如果增加一个
同
学，正好每人分得４个。这篮苹果一共有多少个
?
主题十一
长方体和正方体
（一
)
专题简析
:
解答稍复杂的立体图形问题要注意：
1
，
必须以基本
概念和方法为基础，
同时把构成几何图
形的诸多条件沟通起来；
2
，依赖已经积累的空间观念
,
观察经过割、补后物体
的表面积或体积所发
生的变化；
3,
求一些不规则的物体
体积时
,
可以通过变形的方法来
解决。
例题
1:
一个零件形状大小如
下图
:
算一算，它的体积
是
多少
c
ｍ
3
?
表面积是
多少平方厘米
?
（单位：
cm)
分析：
(1
）可以
把零件沿虚线分成
两部分来求它的体
积，左边的长方体
体积是
1
0
×
4
×
2=8
０
（立方厘米
),
右边的长方体的体
积是１
0
×
（
6-2
）
×
2
＝
80(
立方厘米）
,
整个零件的体
积是
80
×
2
＝１
6
０
(<
/p>
立方厘米
)
；
（
2
）求这个零件的表面积，看起来比
较复杂
,
其实
,
朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相
等；朝右的两个面的面积和正好与
朝左的一个面的面
积相等。
因此
,
此零件的表面积就是
（１
0
×６＋
10
×
4
＋
2
×２
)
×
2=232(
平方厘米）
。
试一试：
一个长
5
厘米
,
宽
1
厘米
,
高
3
厘米的长方
体
,
被切去一块后（如图
)
，剩下部分的表面积和体积
各是多少？
例题
2
：<
/p>
有一个长方体形状的零件
,
中间挖去一个
正
方体的孔
(
如图
),
你能算出它的体积和表面积吗
?
（单
位
:
厘米
)
分析
:
(1)
先求
出长方体的体积，
8
×
5
×
6=
< br>２
40(
cm
3
）
,
由于挖去了一个孔
,
小学五年级奥数思维训练全集
所以体积减少了
2
< br>×
2
×
2=
８
(
ｃ
m
3
),
这个零件的体积是２
40
－
8
＝
232(<
/p>
cm
3
);
（
2
）长方体完整的表面积是
(8
×
5
＋８×６
+6<
/p>
×
5)
×
２
=23
６
（平方厘米
)
，
但由于挖去了一个孔
,
它的表面
积减少了一个
(2
×
2)
平方厘米的面
,
同时又增加了凹
进去的
5
个（
2
×
2)
平方厘米的面，因此
,
这个零件的
表面
积是
236
＋
2
×
2
×
4=
２
5
２（平方厘米
)
< br>。
试一试２
:
有一个棱长
是４厘米的正方体，
从它的
一个顶点处挖去一个棱长
是
1
厘米的正方体后
,
剩下
物体的体积和表
面积各是
多少？
例题
3
：
一个正方
体和一个长方体拼成了一个新的
长方体
,
拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表
面积增加了
50<
/p>
平方厘米。
原正方体的表面积是多少平
方
厘米
?
分析
:<
/p>
一个正方体和一个长方体拼成新的长方体
,
其
表面积比原来的长方体增加了４块正方形的面积
,
每
块正方形的面积是
50
÷
4=12
。
5
（平方厘米）
。正方体
有６个这样的面，所以
,
原来正方体的表面积是１
2
。
５×
6=
７
5(
平方厘米
)
。
< br>
试一试
3:
一根长
80
厘米
,
宽和高都是<
/p>
1
２厘米的长
方体钢材
< br>,
从钢材的一端锯下一个最大的正方体后
,
它
的表面积减少了多少平方厘米？
例题<
/p>
4:
一个长方体
,
前面和上面的面积之和是２
09
平方厘米，这个长方体的长、
宽、高以厘为为单位的
数都是质数．这个长方体的体积和表面积各是多少
?
分析
:
长方体的前面和上
面的面积是长×宽
+
长×高
＝长×
(
宽＋高）
，由于此长方体的长、宽、高用
厘米
为单位的数都是质数
,
所以有
2
０
9=
１
1
×１
9
＝
1
１×
（
17+2
）
,
即长、宽、高分别为
< br>11
、
1
７、
< br>2
厘米
.
知道
< br>了长、宽、高求体积和表面积就容易了
.
试一试４：
有一个长方体，它的前面和上面的面
积和
是８
8
平方厘米
,
且长、宽、高都是质数
,
那么这
个
长方体的体积是多少
?
专题十二
长方体和正方体
(
< br>二
)
专题简析：
把一个物体变
形为另一种形状的物体；
把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水
中
,
物体在水中会占领一部分的体积．
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1,
将一个物体变形为另一种形状的物体（不计
损耗
),
体积不变
;
2
，两个物体熔化成一个物体后，新物体的体
积是原来
物体体积的和
;
3,
物体浸入水中<
/p>
,
排开的水的体积等于物体的
体积
.
例题
1:
有两个
无盖的长方体水箱
,
甲水箱里有水
,<
/p>
乙
水箱空着。
从里面量，
甲水箱长
4
０厘米，
宽
32
厘米
,
水面高<
/p>
20
厘米
;
乙水
箱长
30
厘米，
宽
2
４厘米，
深２
5
厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱
,
使两箱水面高度
一样，现在水面高多少厘米？
分析：
由于后来两个水箱里的水面的高度一样
,
我们
可以这样思考：
把两个水箱并靠
在一起
,
水的体积就是
（甲水箱的底面
积
+
乙水箱的底面
)
< br>×水面的高度。这
样
,
我们只要
先求出原来甲水箱中的体积：
4
0
×<
/p>
32
×
20
＝<
/p>
2
５
60
０
（立方厘米）
,
再除以两只水箱的底面积和
:
４
0
×
32
＋
3
０×
2
４
=2
００
0(
平方厘米
),
就能得到后
来水面的高度
.
试一试<
/p>
1:
1
，有两个水池
,
甲水池长
8
分米、宽
6
分米、水深３分米
,
乙
水池空着
,
它长
6
分米、宽和高
都是
4
分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池
,
使两
个水池中水面同样高。问水面高多少
?
例
2:
将表面积分别为
54
< br>平方厘米、
9
６平方厘米和
１５
０平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体
（不计损耗
),
求这个大正方体的体积
.
分析：
因为正方体的六个面都相等
,
而
54=6
×９
=6
×
(3
×３）
,
所以
这个正方体的棱是３厘米。
用同样的
方法求出另两个正方体的棱
长
:96=6
×
(
４×
4)
，棱长
是
4
厘米；
1
５０
=6
×
(5
×
5
）
，
棱长是
5
厘米．
知道了
棱长就可以
分别算出它们的体积
,
这个大正方体的体
积就等于它们的体积和。
试一试
2
：
有三个正方体铁块，它们的表面积分别
是
24
平方厘米、
54
平方厘米和
294
平方厘米。现将
< br>三块铁熔成一个大正方体
,
求这个大正方体的体积
.
例题
3
：<
/p>
有一个长方体容器，从里面量长
5d
ｍ、
宽
４ｄ
m
、高
6dm
，里面注有水，水深３
dm
。如
果把一
小学五年级奥数思维训练全集
块边长
2d
ｍ的正方体铁块浸入水中，水面上升多少
dm
？
分析
:
铁块的体积是２×
2
×
２
=8(
立方分米
)
< br>，把它
浸入水中后，它就占了
8
立方分米的空间，因此，水
上升的体积也就是
8
立方分米
,
用这个体积除以底面
积（
5
×
4
）就能得到水上升的高度了．
试一试
3
：
有一个小金鱼缸，
长
4
分米、
宽３分米、
水深<
/p>
2
分米。
把一块假山石浸入水中后
,
水面上升
0
．
８
分米。这块假山石的体积是多少立方分米？
例题
4
：
有一
个长方体容器
(
如下图
)
，长３
0cm
、宽
20cm
、高
10
ｃ
m
,
里面的水深
6cm.
如果把这个容器
盖
紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少
c
ｍ
?
分析：
首先求
出水的体积
:30
×
2
0
×６
=36
０
0(
立方厘米）
。
当
容
器
竖
起
来
以
后
,
水
流
动
了，但体积没有变，这时水的形
状是一个底面积是
2
０×１
0=200
平方厘米的长方体。只要用体积除以底
面积就知道现在水的深度
了。
试一试４：
有两个长方体水缸，
甲缸长３分米
,
宽
和高都是
2
分米；
乙缸长
4
分米、
宽
2
分米
,
里面的水
深１
.
５分米。现把乙缸中的水倒进甲缸
,
水
在甲缸里
深几分米
?
例题<
/p>
5
：
长方体不同的三个面的面积分别为<
/p>
1
０
cm
2
、
1
５
cm
２
和
6 c
ｍ
2
。这个长方体的体积是多少
cm
3
？
分析：
长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、
长×高、
宽×高得来的．
因此，
15
×
10
×
6=(
长×宽×
高
)
×（长×宽×高
)
，而
15
×
10
×
6=9
０<
/p>
0=30
×
3
０
。
所以
,
这个长方体的体积是
30
立方厘米。
试一
试
5:
一个长方体，不同的三个面的面积分别
< br>是
35
c
ｍ
< br>2
、
21
cm
2
和
15
ｃ
m
2
，且长、宽、高都是
质数
,
这个长方体的体积是多少
cm
3
?
专题十三
长方体和正方体
（三）
专题简析：
解答有关长方体和正方体的拼、切问
题<
/p>
,
除了要切实掌握长方体、正方体的特征，熟悉计算
方法，仔细分析每一步操作后表面几何体积的等比情
况外
,
还必须知道：
把一个长方体或正方体沿水平方向
或垂直方向切割成两部分，新增加的表面积等于切面
面积的两倍。
例题
1
：
一个棱长为
6
厘米的正方体木块，如果把
它锯成棱长为
2
厘米的正方体若干块，表面积
增加多
少厘米
?
分析：
把棱长为
6
厘米的正方体锯成棱
长为
2
厘米的正方体
,
可以按下图中的线共
锯
6
次
,
每锯一次就增
加两个
6
×
6
＝
< br>36
平方
厘米的面
,
锯
6
次共增
加
36
×
2
×
6=4
３
2
平
方厘米的面积。
因此
,
锯好
后表面积增加
43
２平方厘米。
试一试
1
：
有一个
棱长是１米的正方体木块
,
如果
把它锯
成体积相等的
8
个小正方体
,
表面积增加多少
平方米？
例题
2
：
有一个正
方体木块，把它分成两个长方体
后
,
表
面积增加了
24
平方厘米
,
这个正方体木块原来
的表面积是多少平方厘米？
分析：
把正方体分成两个长方体后
,<
/p>
增加了两个面，
每个面的面积是２４÷
2
＝
12
平方厘米，
而正方体有
6
个这样的面。
所以原
正方体的表面积是
12
×６
=7
２平
方厘米
.
试一
试２：
有一个正方体木块
,
长
4
分米、宽
3
分
米、
高
6
分米，
现在把它锯成两个长方体
,
表面积最多
增加多少平方分米
?
例题<
/p>
3:
有一个正方体，棱长是
3dm
。如果按下图把
它切成棱长是
1dm
的小正方体，这些小正方体的表面
积的和是多少
?
分析：
在切的过程
中
,
每切一切
,
就会增
加两个面。
共切
2+2+2
< br>＝
6
次，
增加６×
2=12
面。加上正方体原先
的
6
个面
,
这些小正方
体的面积的和就相当
于大正方体
18
个面的
面
积
之
和
.18
×
(3
×
3)=1
６２ｄｍ
3
。
试一试
3
：
有一个长方体，长
10
< br>厘米、宽
6
厘米、
高
4
厘米，如果把它锯成棱长是
1
< br>厘米的小正方体，
小学五年级奥数思维训练全集
一共能锯多少个？这些小正方体的表面积和是多少
?
例题
4
：
<
/p>
一个长方体的长、宽、高分别是
6
ｃ
m
、
５
cm
和
4
ｃ
m
，若把它切割成三个体积相等的小长方
体
,
这三个小长方体表面积的和最大是多少平方厘
米？
分析
:
这个长方体原来的表面积
是（
6
×
5
＋
6
×
4
＋
5
×
4)
×２
=14
８平方厘米
,
每切割一刀
,
增加
2
个面
.
切
成三个体积相等的小
长方体要切
2
刀，一共增加２×
２＝<
/p>
4
个面
.
要求表
面积和最大，应该增加４个
6
×５
=3
0
平方厘米的面。所以，三个小长方体表面积和最
大是
148+6
×５×４＝２６
8
< br>平方厘米。
试一试４：
把８个
同样大小的小正方体拼成一个
大正方体，已知每个小正方体的表面积是
< br>7
２平方厘
米
,
拼成的大正方体的表面积是多少平方厘米
?
专题十四
倍数问题（一
)
专题简析
:
解答倍数问题
,
必须先
确定一个数
(
通常
选用较小的数
)
作为标准数
,
即<
/p>
1
倍数，再根据其它几
个数与这个１倍数
的关系
,
确定“和”或“差”相当于
这
样的几倍，最后用除法求出
1
倍数
.
例１：
两根同样长的铁丝，第一根剪
去１
8
厘米，
第二根剪去
26
厘米
,
余下的铁丝第一
根是第二根的
3
倍．原来两根铁丝各长多少厘米
?
分析：
由于第二根比第一根多剪去２６
-
１
8=
８厘
米，所以剩下的铁丝第一根就比第二根多
(3-
１
)
倍
.
因此，
８÷（
3
－１
)=4(
厘米
)
。就是现在第二根铁丝
的长度
,
它原来长
4+2
６
=30
厘米．
试一试１
:
两根绳子一样长
,
第一根用去
6.
５米，
第
二根用去０
.
９米，
剩下部分第二根是第一根的
3
倍。
两根
绳子原来各长多少米
?
例２<
/p>
:
甲组有图书是乙组的
3
倍
,
若乙组给甲组
6
本
,
则甲组的图书是乙组的
5
倍。
原来甲组有图书多少本
?
分析：
甲组的图书是乙组的
3
倍，若乙组拿出
6
本
,
甲组相应的也拿出
6
×
3=18
本，则甲组仍是乙组的
3
倍。事实上甲组不但没有拿出１
8
本，反而接受了乙
组的
6
本，
18
＋
6
就正好对应着后来乙组的
(5
－
3
）
倍。
因此，后来乙组有图书（
18
＋
6)
÷
(5-3)=12
本
,
乙组
原来有
12+
６
=
１
8
本
,
甲组原来有
１
8
×
3=
５
4
本
.
试一试
2
：
原来小
明的画片是小红的
3
倍
,
后来二
人各买了
3
张，这样
小明的画片就是小红的２倍。原
来二人各有多少张画片？
例
3
：
幼儿园买来
苹果的个数是梨的
2
倍。大班的
同学每
7
人一组，
每组领
3
个梨和
4
个苹果
,
结果梨正
好分完
,
苹果还剩下１６个。大班共有多少个同学？
分
析
:
因为苹果是梨的
2
倍
,
每组分
3
个梨和３×２
=6
个苹果最后就一起分完。可每组分<
/p>
4
个苹果，少分
6
－
4=
２个
,
所以有
8
组同学
,
< br>全班有
7
×８＝
56
人
.
试一试
3
：
高年级同学植树
,<
/p>
共有杉树苗和杨树苗
１
00
棵。如果每个小组分给杉树苗
6
棵
< br>,
杨树苗
8
棵，
那么，杉树苗正好分完
,
杨树苗还剩
< br>2
棵。两种树苗原
来各有多少棵？
例
4:
有两筐桔子，如果从甲筐拿出
8<
/p>
个放进乙筐，
两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出
1
３个放到甲
筐
,
甲筐的桔子是乙筐的
2
倍。甲、乙两筐原来各有
多
少个桔子
?
分析：
根据“从甲筐拿出８个放进乙筐，两筐的橘
子就同样多”
可知，
原来甲筐比乙筐多
8
×２
=16
个橘
子
;<
/p>
如果从乙筐拿出
1
３个放到甲筐
,
这时
,
甲筐就比
乙筐多
1
６＋
1<
/p>
３×
2=
４２个。因此，乙筐里还有
42
÷
（
2-
１
)=42
个，
原
来乙筐里有４
2+13=55
个
,
甲筐里
原来有
5
５
＋１
6=
７
1
个。
试一试
4:
甲、
乙两仓存有货物，
若从甲仓取
3
１吨
放入乙仓
,
则两仓所存货物同样多
;
若乙仓取
14
吨放入
甲仓，
则甲仓的货物是乙仓
的
4
倍
.
原来
两仓各存货物
多少吨
?
专题十五：
倍数问题
(
二
)
专题简析
:
解决倍数问题的关键是，必须确定一个
数作为
标准数，找出其它几个数与这个标准数的倍数
关系
,
再用除法求出这个标准数
.
和倍问题的数量关系是
:
和数÷
(
倍数＋
1)
＝较
小数
较小数×倍数
=
较大数
差倍问题的数量关系是
:
差数÷
(
倍数－１）
=
较
小数
较小数×倍数
=
较大数
例
1:
养鸡场的母鸡只数是公鸡的６倍
,
后来公鸡和
母鸡各增加
60
只
,
结果母鸡只数就是公鸡的
4
倍
.
原来
养鸡场一共养了多少只鸡
?
分析
:
养鸡场原来母鸡的
只数是公鸡的
6
倍，
如果公
鸡增加
60
只，母鸡增加
6
0
×
6=360
只，那么
,
后来的
母鸡只数还是公
鸡的６倍
.
可实际母鸡只增加了６０
只
，比
36
０只少３
00
只。因此
,
现在母鸡只数只有公
鸡的
4
倍
,
少了２倍。所以
,
现在公鸡的只数是
3
00
÷
小学五年级奥数思维训练全集
2=15
０只
,
原来有公鸡
150-6
０
=90
只，一共养了
9
０
×
(1
＋
6)=6
３
0
只鸡。
试一试
1:
今年，爸爸的年龄是小明的
6
倍
,
再过４
年，爸爸的年龄就是小明的
4
倍。今年小明多少岁
?
例２：
有
1
80
０千克的货物
,
分装在甲、乙、丙
三辆
车上。已知甲车装的千克数正好是乙车的
2
倍，乙车
比丙车多装
200
千
克
.
甲、乙、丙三辆车各装货物多少
千
克？
分析
:
如果丙车多装２
00
千克
,
就和乙车装的货物同
样多，这样三辆车装的总重量就是
1
８０
0
＋
2
０
0=2000
千克。再把
2
０
00
千克平均分
成
4
份，就得到
乙车上装的货物是
500
千克
,
甲车
上装５
0
０×
2
＝１
０
00
千克，丙车上装有５
00
－２
00=3
０
0
千克
.
试一试
2:
三堆货物共
1800
箱，
甲堆的箱数是乙堆
的２倍，
乙堆的箱数比丙堆少
20
０
箱
.
三堆货物各多少
箱？
< br>例
3
：
甲、乙两个书架
,
已知甲书架有书６
00
本
,
从甲
书架借出三分之一
,
从乙书架借出四分之三后，
甲书架
的书是乙书架的
2
倍还多１
5
０本。
乙书架原来有书多
少本
?
分析
:
借出后
,
甲剩下
6
０
0
×（
1
－<
/p>
错误
!
)=4
０
0
本
乙剩下
（
4
００
-15
０
)
÷
2=125
< br>本
乙原来
125
÷
(1
－
错误
!
）
=5
０
0
本
试一试
3:
某校有男生６３
0
人
,
选出男生人数的三
分之一和女生人数的四
分之三去排练团体操
,
剩下的
男生人数
是女生人数的２倍。这个学校共有学生多少
人
?
专题十六
:
组合图形面积（一
)
专题简析
:
组合图形是由两个或两个以上的简单的
几何
图形组合而成的。组合的形式分为两种：一是拼
合组合
,
二是重叠组合．要正确解答组合图形的面积
,
应该注意以下几点
:
1
、切实掌握有
关简单图形的概念、公式
,
牢固建
立空
间观念；
2
、仔细观察
,
认真思考
,
看清所求图形
是由哪几个
基本图形组合而成的
;
3
、适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4
、采用割、补、分解、代换等方法
,
可将复杂问
题变得简单。
例
1:
<
/p>
一个等腰直角三角形
,
最长的边是
12
厘米
,
这个三角
形的面积是多少平方厘米
?
分析
:<
/p>
由于此三角形中只知道最长的边是
12
厘
米
,
所
以
,<
/p>
不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可
以假设有
4
个这样的三
角形，
且拼成了下图正
方形。显然
,
这个正方
形
的面积是
1
2
×
12,
那么
,
一个三角形的面积。就
是
1
２×<
/p>
1
２÷
4=36
平
方厘米
.
试一试１：
求四边
形
AB
ＣＤ的面积。
(
单
位：厘米
)
例
2:
正图
正方形中套着一个长方形
,
正方形的边长
是
12
厘米
,
长方形的四个角的顶点把正方形的四条边
各分成两段
,
其中长的一段是短的２倍。
求中间长方形
的面
积。
分析
:
图中的两个小三角形
平移后可拼得一个小正方形
,
两个大三角形平移后可拼得一
个大正方形．这两个正方形的
< br>边长分别是
1
２÷
(1+2)=
4
（厘
米）和
4
×２
=8(
厘米
)
< br>。中间
长方形的面积只要用总面积减
去这两个拼起来的正
方形的面积就可以得到。
即：
12<
/p>
×
1
２－（
4<
/p>
×４＋
8
×
8<
/p>
）
=64
（平方厘米
)
试一试
2
：
< br>下图长方形
ABC
Ｄ的面积是
1
6
平方厘
米，
E
、
F
都是所在边的中点，求三角形
A
Ｅ
F
的面积．
例
3:
四边
形
ABCD
和四边形
DEFG
都是正方形，已知
三角形
AFH
的面积是
7
平方厘米
.
三角形ＣＤ
H
的面积
是多少平方厘米？
分析
:
设大正方形的边长是ａ，
小正方形的边长是
b
。
(1)
梯形Ｅ
FAD
的面积
是（ａ
< br>+
ｂ
)
×ｂ÷２
,
三角形
EF
Ｃ的面积也
是
（ａ＋
b)
×<
/p>
b
÷
2
。
所
以
,
两者的面积相
等。
（
2)
因为三角形
AFH
的
小学五年级奥数思维训练全集
面积＝
梯形Ｅ
FAD
的面积
-
梯形
EFHD
的面积，而三角
形
CD
Ｈ的面积
=
三角形Ｅ
F
Ｃ的面积－梯形
EFH
D
的面
积
,
所
以
,
三角形
CDH
的面积与三角形
A
ＦＨ的面积相
等
,
也是
7
平方
厘米。
试一试
3
：
（１）
图中两个正方形的边长分别是
6
厘米和
4
厘米，
求阴影部分的面积
.
（
2)
下图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴
影部分的面积。
（单位
:
厘米
)
例
4
：
下图中正方形的边长为８厘米
,CE
为
2
０厘米
,
梯形
B
ＣＤＦ的面积是多少平方厘米？
分析：
要求
梯形
的面积
,
关
键是要求出上
底
F
Ｄ的长度。
连接
FC
后就
能得到一个三
角形
E
Ｆ
C
，用三角形
E
Ｂ
C
的面积减去三角形
FBC
的面积就能得到三角形
EF
Ｃ的面积：
8
×
20
÷
2-8
×<
/p>
8
÷
2=
４
8 cm
2
。
FD
=48
×
2
÷２
0=
４．
8cm
，所求梯形的
面积就是
(
４。
8<
/p>
＋
8
）×８÷
2
=51.2
ｃ
m
2
.
试一试４：
如下图
,
正方形
ABC
Ｄ中
,A
Ｂ
=4
厘米，
EC=10
厘米
,
求阴影部分的面积
.
例
5
：
图中Ａ
BCD
是长方形
,
三角形Ｅ
< br>FD
的面积比
三角形
AB
Ｆ的面积大
6
平方厘米
,
求
E
Ｄ的长。
分析
:
因
为
三
角形
EF
Ｄ的面
积
比
三
角
形
ABF
的
面
积
大
６
平
方
厘
米
,
所
以
,
三角形Ｂ<
/p>
C
Ｅ
的面积比长方形
Ａ
BCD
的
面
积
大６平方厘米。三角形
BCE
的
面积是
6
×
4
＋
6=30
平
方厘米，
EC
的长则是
3
０×
2
÷
6=
１０厘米
.
因此
,ED
的长
是
10-4=6
厘米。
试一试４：
如图
,
平行四边形ＢＣＥ
F
中
,
Ｂ
C=8
厘米，<
/p>
直角
三角形中，
Ａ
C=10
厘米
,
< br>阴影部
分面积比
三角形Ａ
ＤＨ的面
积大
8
平
方
厘米
.
求
AH
长多少
厘米？
专题十七
组合图形的面积
(
二）
专题简析：
在组合图形中
,
三角形的面积出现的机
会很多，解题时我们还可以记住下面三点：
1
、两个三角形等底、等高，其面积相等
;
２、两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍
数关系
;
3
、两个三角形高相等<
/p>
,
底成倍数关系
,
面积也成倍数关
系。
例题
1:
如图，
ABC<
/p>
Ｄ是直角梯形，
求阴影部分的面
积和。<
/p>
（单位：厘米）
分析：
按照一般解法
,
首先要求出梯形的面积
,
然后减
去
空
白
部
分
的
面
积
即
得
所
求
面积。
其实
,
只要
连接
AC
，显然
三角形Ａ
E
Ｃ与
三角形
DEC
同
底等高其
面积相等
,
这样
,
我们把两个阴影部分合成了
一个三角形
ABC.
面积是：
6
×
3
÷
2=9
平方厘米。
试一试
1:
(1)
求下图中阴影部分的面积。
(2
）求图中阴影部分的面积。
（单位
:
厘米
)