-

2021年2月28日发(作者：第一次心动)

第

29

周抽屉原理（ 一

)

专题简析

如果给你

< br>5

盒饼干，让你把它们放到

4

个 抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有

2

盒饼干。

如果把

4

封信投到

3

个邮箱中，

那么肯定有一个邮箱中至少有

2< /p>

封信。

如果把

3

本练习册分

给两名同学，

那么肯定其中有一名同学至少分到

2

本练习册。

这些事例中蕴含着数学中的< /p>

“抽

屉原理”

。

基本的抽屉原理有两条

:

（

< p>
1)

如果把×

+k(k

≥

1)

个元素放到×个抽屉里，那么至少有一个抽

屉里含有

2

个或

2

< p>
个以上的元素。

（

2)

如 果把

那么至少有一个抽屉里含有

(m+1)

个或

(m+1)

个以上的元素。

利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”

，哪些是“元素 ”

。然后按以下步骤解答

:a.

构造抽 屉，指出元素。

；

b.

把元素放入

(

或取出）抽屉。

c.

说明理由，得出结论。

本周我们先来学习第一条原理及其应用。

王牌例题

1

某校六年级有

367

名学生，请问有没有

2

名学生的生日是在

同一天？为什么？

【思路导航】把一年的天数看成是抽屉，把学生数看成是元素。

把

367

个元素放到

< br>366

个

抽屉中

,

至少有一个抽屉中有

2

个元素，

即至少有

2

名学生的生日是在同 一天。

平年一年有

365

< p>
天，闰年一年有

366

天。把天数看作抽屉，考< /p>

虑闰年，共

366

个抽屉。把

367

名学生分别放入

366

个抽屉中，至

少在一个抽屉里 有

2

名学生，因此肯定有

2

< p>
名学生

的生日是在同一天。

举一反三

1

1.

某校有

370

< br>名

1992

年出生的学生，

其中 至少有

2

名学生的

生日是在同一天，

为什么？

2.

某校有

30

名学生是

2

月份出生的。能否至少有

2

名学生

的生日是在同一天？

3.

15

个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生？

< br>

王牌例题

2

< p>
某班学生去买语文书、数学书、英语书。买书的情

]i

是

r

有买

一本的、两本的，也有买三

本的，

问至少要去几名学生才能保 证一

定有

2

名学生买到相同的书？

（每种书最多买一本）

个元素放到×个抽屉里，

【思路导航】首先考虑买书的几种可能性，买一本、两本、三 本共有

7

种类型，把

7

种类

型看成

7

个抽屉，去的人 数看成元素。要保证至

少有一个抽屉里有

2

名学生，那么去的人

数应大于抽屉数。所以至少

要去

7+1=8(

名

)

学生才能保证一定有

2

名学生买到相同的书。

买书的类型有：

买一本的

< p>
:

有语文、数学、英语

3

种。

买两本的

:

有语文和数学、语文和英语、数学和英语

3

种。

< p>

买三本的

:

有语文、数 学和英语

1

种。

3

十

3

十

1 = 7(

种）

。把

7

种类型看作

7

个抽屉，要保证一定有

2

名学生买到相同的书，至

少要去

< br>8

名学生。

举一反三

2

1.

某班学生去买数学书、语文书、美术书、自然书。买书的情

< /p>

况是

:

有买一本、两本、三

本或四本的。问至少去几名学生才能保

证一定有< /p>

2

名学生买到相同的书？（每种书最多买

一本）

2.

学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。每名学生从中任

< /p>

意借两本，那么至少要几

名学生才能保证一定有

< br>2

名学生所借的

图书属于同一种？

3.

—个布袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜

色有绿、红、黄三种。问最

少要取出多少个珠子才能保证有

2

个是

同色的？

王牌例题

3

一个布袋中装有大小相同 但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。问最少要摸出多

少只手套才能保证有< /p>

3

副各自相同色的？

< br>【思路导航】把四种不同的颜色看成是

4

个抽屉，把手套 看成

是元素，要保证有

1

< p>
副同色

的，就是

1

个抽屉 里至少有

2

只手套，

根据抽屉原理，最少要摸出

5

只手套。这时拿出

1

副同色的后，

4

个抽屉中还剩下

3

只手套。再根据抽屉原理，只要再摸出

2

只手

套，又能< /p>

保证有

1

副手套是同色的，以此类推。< /p>

把四种颜色看作

4

个抽屉，要保证有

3

副同色的，先考虑保证

有

1

副就要摸出

< p>
5

只手套。

这时拿出

1< /p>

副同色的后，

4

个抽屉中还

剩下

3

只手套。根据抽屉 原理，只要再摸出

2

只手

套，又能保证 有

1

副是同色的。以此类推，要保证有

3

副同色的，共摸出的手套有

5+ 2+2=9(

只）

。

答

:

最少要摸出

9

只手套才能保证有

< p>
3

副各自同色的。

举一反三

3

1.

一个布袋中装有大小相同、颜色不同的手套。颜色有黑、

红、蓝、黄四种。问最少要

摸出多少只手套才能保证有

4

副各自

同色的？

2.

—个布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。颜色有

白、黑、蓝三种。问最少要

摸出多少只袜子才能保证有

3

双各自同

色的？

3.

—个布袋里有红色、黄色、蓝色的袜子各

8

只。每次从布袋< /p>

中拿出

1

只袜 子，最少要

拿出多少只才能保证其中至少有

2

< br>双颜

色不同的袜子？

王牌例题

4

任意

5

个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是

4

的倍数，这是为什么？

【思路导航】一个自然数除以

4

的余数只能是

0

，

1

，

< br>2

，

3

。如果

< br>

有两个自然数除以

4

的余

数相同

,

那么这两个自然数的差就是

4

的倍数。

一个 自然数除以

4

的余数可能是

0

，

1,2

，

3

，所以，把这

4

种情

况看作是

4

个抽屉，把任

意

5

个不相同的自然数看作

5

个元素，再

根据抽屉原理，必有一 个抽屉中至少有两个数，

而这两个数的余数

< br>是相同的，

它们的差一定是

4

的 倍数。

所以，

任意

5

< br>个不相同的自

然数，

其中至少 有两个数的差是

4

的倍数。

举一反三

4

1.

任意

6

个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是

5

的

倍数，这是为什么？

2.

任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差

是

8

的倍数？

3.

证明在任意的

n+1

< p>
个不相同的自然数中，必有两个数之差

为

n

的倍数。

王牌例题

5

能否在图

29

—

1

< br>的

5

行

5

列方格表的每个空格

中

,

分别填上

1

，

2

，

3

这三个数中的任何一个，

使得每

行、每列及对角线

A C

，

BD

上的各个数的和互不

相同？

-

-

-

-

-

-

-

-