苏教版小学数学五年级下册单元教材分析全册
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苏教版小学数学五年级下册教材分析
【第一单元简易方程】
本单元在五年
级上册用字母表示数的基础上编排，教学方程的知识。包括方程的
概念、解方程的方法以
及列方程解决实际问题三大块具体内容。
方程是小学数学代数
初步知识的主要内容。数学学习从算术范围跨入代数范围，
是一次十分重要的飞跃。算术
用数字符号表示数量关系，代数用字母符号表示相等关
系，两者有明显的不同。这种不同
，一方面能促进学生数学能力的迅速发展，另一方
面在初学方程阶段会有一段时间的不适
应。全单元编排十道例题，具体安排见下表：
例
1
等式的含义
例
2
方程的意义
例
3
等式的性质（一）
例
4
用等式的性质（一）解一步计算的方程
例
5
等式的性质（二）
例
6
用等式的性
质（二）解一步计算的方程
例
7
列方程解答一步计算的实际问题
例
8
～例
10
列方程解
答两、三步计算的实际问题
从上表可以看出教材编排的几个特
点。第一，在一步计算的方程和列方程解答一
步计算的实际问题等内容上，教学安排比较
细，编排的例题多，推进的步子小。这是
因为学生从习惯了的算术思考转变到代数思考，
是很不容易的过程，他们克服思维定
势，适应新的思维方式需要一段时间。这期间的教学
适当缓慢些，符合学生的现实，
有利于他们转变思维习惯。第二，编排两道例题教学等式
的两条性质，还编排两道例
题教学解一步计算的方程。可见，用等式性质解方程是学生应
该掌握的基本方法。当
然，用四则计算中的各部分关系，也可以解方程，但不能因它而淡
化应用等式性质解
方程。第三，把解一步计算的方程和列方程解答一步计算的实际问题分
开编排，先教
学解方程，再教学列方程解决实际问题。因为对初学方程的学生来说，解方
程和列方
程是两个知识点，都很重要且都有些困难。分别教学，便于突出重点、分散难点
，有
利于学生稳步掌握基础知识。第四，把解两、三步计算的方程和列方程解决两、三步
计算的实际问题合并着教学。例
8
～例
10
表面上是列方程解决实际问题，其实既在教
学列方程的相等关系和技巧，也在教学解方程的思路与方法。这样的编排，能较好地
体现数学内容与现实生活的密切联系：一方面分析实际问题里的数量关系，抽象成方
程，形成了知识与技能的教学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能
的教
学具有现实意义，能使这个过程成为数学思考、问题解决、情感态度发展的有效
载体。再
说，学生已经有了解一步计算方程和列方程解决一步计算问题的经验与能
力，一并学习解
较复杂的方程和解决较复杂的实际问题，困难不会很大。
（一）
从等式到方程，逐步建构新的数学知识
方程是等式里的一类重要对象，教材用属概念加种差的方式，按“等式
+
含有未知
数→方程”的线索教学方程，帮助学生了解方程的特点。
1.
借助天平感受等式的含义。
等式是方
程概念的生长点，认识方程需要先理解等式，例
1
就是为教学等
式而安
排的。在前面的数学学习中，学生对等式已经有了较多接触，但还没有明确等式的
概
念。为了认识方程，需要进一步体会等式的含义，建立等式的概念。
< br>
天平两边平衡，表示它两边的物体质量相等；两边不平衡，表示两边物体的质量
不相等。把天平两边平衡的现象抽象成等式，可以借助直观情境体会等式的含义。例
1
给出了一架天平，左边的盘里放一个
50
克的物体和一个
50
克的砝码，右边的
盘里放
一个
100
克的砝码，看图能写
出一个等式“
50+50=100
”。这个等式的含义，一方面
能
从天平两边平衡的现象直观感受，另一方面能通过计算
50+
50
体验。教材没有给等式
下定义，只要求明白等式里有一个等
号，表示左右两边的数或式子相等，这就有了等
式的概念。
<
/p>
例
2
继续认识等式，教材里的三点安排应
该注意。第一，有些天平的两边平衡，
有些天平的两边不平衡。根据各个天平的状态，有
时写出了等式，有时写出的不是等
式。在相等与不相等的比较中，进一步体会等式的含义
。第二，写出的四个式子里都
含有未知数，其中两个是含有未知数的等式，另两个是含有
未知数的不等式。如果
说，面对不含未知数的等式（或不等式），可以通过计算以及比较
数的大小体会等号
的两边相等（或不相等）。那么，面对含有未知数的等式（或不等式）
，只能借助天
平的直观，体会等号两边相等（或不相等）。感受含有未知数的等式的含义
，能进一
步加深对等式的认识。第三，由扶到放，帮助学生写出表示天平两边物体质量的
大小
关系的四个式子。第一个式子根据天平不平衡现象，只要在圆圈里填写大于号，就能
得到含有未知数的不等式。第二个式子应先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，
再根据天平两边平衡，在圆圈里写出等号，形成含有未知数的等式。第三个和第四个
式子，都要先写出表示天平左边盘里物体质量的算式，再根据天平不平衡或平衡状
态，在圆圈里写出小于号或等号，形成含有未知数的不等式或等式，获得等式含义的
深一层体会。
2.
教学方程的意义，从形式上认识方程。
“含有未知数”和“等式”是方程的两个显著特征，人们经常以这两点来识别方
程。教
学方程，要让学生知道方程的形式特点。例
1
与例
2
陆续写出了一些等式或不
等式，写出了没有未知数
的等式和含有未知数的等式，这些都是教学方程的感知材
料。教学时，可以先按“是不是
等式”把两道例题写出的式子分类；再按“有没有未
知数”把写出的等式分类。指着分出
的含有未知数的等式那一类，告诉学生“像
x+50
＝
150
、
2x
＝
200
这样含有未知数的等式是方程”，让他们了解这两个式子的共同
特点
是“含有未知数”和“等式”。还可以让学生对两道例题里写出的
< br>50+50=100
、
x+50
＞
100
和
x+50
< br>＜
200
都不能称为方程的原因作出合理的解释，以获得
对方程更加深刻的认
识。
例
2
的最后讨论“等式与方程有什么关系”，加强对方程的体验。“白菜”
卡通
的提问“例
1
中的等式（指
50+50=100
）是方程吗？”突出方程应该含有未知数，没有<
/p>
未知数的等式不是方程。教材还利用集合图表达等式与方程的关系，形象地表现出等
式与方程这两个概念之间的包含与被包含关系。即方程都是等式，而等式不都是方
程。
“练一练”第
1
题，要求先在题目给出的所有式子里找出等式；再在等式里找出
方程
。这个过程又一次体现了等式与方程之间的关系。这道题里，有以
x
为未知数的
式子，还有以
y
为未知
数的式子，使学生对“未知数”有正确的认识，防止把未知数
局限为
x
，把方程狭隘地理解为“含有
x
的等式”。第
2
题给出的三个等式里，未知数
< br>分别用三角形、圆形和正方形表示，要求把用图形符号表示的未知数改写成用字母表
示。首先应肯定，给出的三个用图形表示未知数的等式都是方程。然后体会用字母表
示
未知数比较方便。
3.
用方程表示现实情境里的相等关系，深入体会方程的意义。
<
/p>
在例
1
和例
2<
/p>
里，从等式到方程，学生初步认识了方程。这些认识虽然联系了天
平的平衡现象，但还是停留在方程的外部特征上，没有过多关注方程的本质意义。练
习一
第
1
题根据线段图列方程。线段图半抽象、半直观地表达数量关
系，它排除了有
关对象的非数学内容，直观显示数量之间的实质性联系。根据线段图列方
程，要集中
思考线段图里的相等关系，思维的数学化程度比较高。左边一幅线段图表示“
x
和
22
合起
来是
84
”，列出的方程是
x+22=
84
。右边一幅线段图表示“
3
个
x
是
96
”，列出
的方程是
3x=96
。教学这道题，应
让学生先说说线段图里的数量关系，再列出方程。还
要用线段图里的数量关系解释列出的
方程的具体含义，感受方程的本质特征——含有
未知数的、表达相等关系的等式。
第
2
题用方程表示
现实情境里的数量关系，蕴含了列方程解决实际问题的思想方
法，进一步凸显了方程的本
质特征。第一个情境是电视机原价
x
元，优惠
< br>112
元，现
价
988
元。数量关系是“原价
-
优惠的元数
=
现价”，列出的方程是
x-112=988
。当然，
根据数量关系“原价
-
现价
=
优惠的元数”列出的
x-988=112
也是方程。但不要根据数
量关系“现价<
/p>
+
优惠的元数
=
原价”列出
988+112=x
这样的方程。问题不在于
988+112=x
是不是方程的争论上，而在于像这样求原价仍然是
算术的思想方法，不是代数的思想
方法。第二个情境里，每杯饮料
x
毫升，
3
杯一共
< br>480
毫升，列出的方程最好是
3x=480
，不必要求列出
480
÷
x=3
这个方程，更不必列出
480
÷
3=x
这种方程。因为这
个情境最基本
的数量关系是“每杯饮料的毫升数×杯数
=
饮料的总数”，至于
“饮料总
数÷每杯的毫升数
=
杯数”和
“饮料总数÷杯数
=
每杯的毫升数”都是基本数量关系根
据乘法中各部分关系改写出来的。列方程应该根据最基本的数量关系，一般不应用变
化出来的数量关系。类似地，第三个情境里大树高
7.3
< br>米，小树高
x
米，大树比小树
高
6.4
米，一般根据“大树高度
-
小树高度
=
大树比小树高的米数”列出方程
7.3-
x=6.4
。
（二）
利用等式性质解方程
过去，小学数学
主要应用四则计算的各部分关系解方程。如，一个加数
=
和
-
另一
个加数、被除数
=
除数×商等。因为学生对这些关系比较熟悉，用来解方程似乎很顺
手。其实，这样的方法，只适宜解简单的方程，不适用解较复杂的方程。而且和中学
里的解方程很不一致，以后还要改变解方程的思路与方法。教材从学生的长远发展和
中小学教学的衔接出发，侧重引导利用等式的性质解方程。这就需要先教学等式的性
质，
才能用来解方程。这些内容分两段教学：第一段是等式的两边同时加上或减去相
同的数，
结果仍然是等式；第二段是等式的两边同时乘或除以相同的、不是
0
的数，
结果仍然是等式。在每一段教学等式性质以后，都编排例题及时应用于解方程
，引导
学生循序渐进地学会解方程的一般思路与方法。
1.
在直观的情境里，按“形象感受→抽象概括”的线索教学
等式性质。
教材仍然联系天平的直观情境教学等式的性质。因
为在两边平衡的天平上，左右
两边物体的质量发生相同的变化，天平两边仍然保持平衡。
这种事实如果抽象成数学
现象，就是要教学的等式性质。利用天平两边物体的质量有规律
地变化，天平保持平
衡的事实，能够形象地表示等式的性质，有利于学生理解数学知识。
例
3
教学等
式的一个性质。先呈现一架天平，左边盘里放一个质量
50
克的
方块，
右边盘里放一个
50
克的砝码。
根据天平两边平衡，写出等式
50=50
。例题问学生“怎
样在天平两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？”激活他们的已有生活经验和数学知
识。具体地说，可以在天平两边各添一个
10
克
的砝码，原来的等式就变成
50+10=50+10
，仍然是等
式。抽象地想，可以在天平两边各添上一个
a
克的砝码，写出<
/p>
等式
50+a=50+a
。根据上述的直
观体验和形象思考，初步得出结论：等式两边同时加上
同一个数，其结果仍然是等式。<
/p>
例题接着呈现两幅连续的天平图。其中一幅图的天平左右两边都
有一个
50
克的砝
码和一个
a
克的砝码，根据天平两边平衡，应该在
50+a
○
50+a
的圆圈里写出“
=
”，
形成一个等式；另一幅图在前面的天平两边
，各去掉一个
a
克的砝码，天平仍然保持
两边平衡，这就应该在
a+5-
（）○
a+5-
（）的括号里填去掉的
a
，
在圆圈里写“
=
”。
这一组天平图表明
等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式。
综合上面发生
的两种现象，可以得出“等式两边同时加上或减去同一个数，所得
结果仍然是等式”。教
材指出这是等式的性质，学生由此意义接受了等式的一条性
质。
“试一试”给出方程
x-25=60
，
要求根据等号左边的变化“
x-25+25
”写出右边的
变化“
60
○□”，保持左右两边相等。给出
方程
x+18=48
，根据等号左边的变化
“
x+18-18
”写出右边的变化“
48
○□”，使结果仍然是等式。这些练习，初步应用了
等
式的性质，加强对等式性质的体验，还渗透了解方程的思想方法。
例
5
继续教学等式的性质，利用前面学习等式性质的数学活
动经验，认识等式的
另一条性质。教材仍然根据天平图，在它下面式子的方框里填数，圆
圈里填等号，感
知等式的变与不变。第一组图，左边的天平表示
x=20
，右边天平的两边分别添上一个
x
克的方块和一个
20
克的砝码。看图填空，体会○左边已经
写出的
2x
，表示原来等式
的左边“×
2
”，○右边应该是
20
×
2
，即方框里填“
2
”，表示右边和左边发生相同的
变化。在○里填“
< br>=
”，表示“结果仍然是等式”。这组天平图直观显示了“等式两边
乘同一个数，结果仍然是等式”。类似地，第二组图左边的天平，一端的盘里有
3
个
质量都是
x
克的方块，另一端盘里
3
个
20<
/p>
克的砝码，表示天平两边平衡的等式是
3x=60
。右边的天平，一端隐去
2
个方块，另一端隐去
2
个砝码。○左边写出的“÷
3
”，表示原来等式的左边“除以
3
”，学生就会在○
的右边方框里也填“
3
”，表示右
边的
式子也“÷
3
”，而且画等号表示左右两个式子相等。这组天平
图直观显示了“等
式两边除以同一个数，结果仍然是等式”。综合两组天平图里的数学内
容，初步得出
等式的另一条性质。不过，等式的两边同时乘
0<
/p>
，等式会变成
0=0
，而人们通常不让等
式的两边都乘
0
；由于除法的除数不能
是
0
，所以等式的两边不能同时除以
0
。学生一
般不会独立想到这些，教材提醒他们“等式两边可以同
时除以
0
吗？”在初步得出的
等式性质
里明确（等式两边）同时乘或除以同一个“不等于
0
的数”。使
等式性质的
表述更加严密。
“试一试
”给出方程
x
÷
6=18
，要求根据等号左边的变化“
x
÷
< br>6
×
6
”写出右边的
变化“
18
○□”，保持左右两边相等。给出方程
0.7x=3.5
，根据等号左边的变化
“
0.7x
÷
0.7
”写出右边的变化“
3.5
○□”，使结果仍然是等式
。一边应用等式的性
质，一边继续体验等式性质。
2.
应用等式性质解方程。
例
4
和例
6
都是教学解方程。教材把解方程置于现实的情境之中，体现它是解决
实际
问题的方法，有现实意义。
例
4
根据天平图列出方程
x+10
＝
50
，很容易看出
x
是<
/p>
40
。学生虽然能说出未知数
的值，但却
是应用已有的算术方法，并不清楚解方程的方法。教材示范了方程
x+10
＝
50
的两边同时减去
10
，得出
x=40
的过程。这是应用等式
性质的解方程，关键在于通
过方程两边同时减去
10
，使等号左边只剩下
x
。可见，小学数学解方程的
思想方法是
应用等式性质，使方程含有未知数的一边只剩下
x<
/p>
，从而得出方程的解的过程。如果利
用加法中各部分的关系“和减
一个加数等于另一个加数”，也能求出这个方程
x
的
值。但不是教材教学的解方程。
用等式性质解方
程，关键是方程等号的两边都加（减）几、乘（除以）几，教材
对此有精心的设计。例<
/p>
4
第一次教学解方程，在天平图上得到求
x
值的启示：只要在
天平的左右两边各去掉
10
克的砝码。这种想法表现在方程上，是应用等式性质与方程
的特点，在等号的两边都减去
10
，使等号的左边只剩下<
/p>
x
。这样，未知数的值只要通
过等号右边
的计算就能得到。例
6
是第二次教学解方程，编写上有三个特点
：第一，
在现实的情境里先列出方程，再解方程。教材用图画表示一块长方形试验田的面
积是
960
平方米，这块地的长
40<
/p>
米，宽
x
米。根据长方形的面积公式，很
容易列出方程
40x
＝
960
。这就体现了方程能解决实际问题，蕴含了列方程解决实际问题的思想。第
二，学生用自己想到的方法求长方形地的宽是多少米。这是因为他们对已知长方形的
面
积与长，求宽的问题比较熟悉，一般都会选择“面积÷长
=
宽”
来解决这个问题。让
他们先用自己的方法解题，有利于集中心向继续学习用等式性质解方
程。第三，
“扶”着学生经历解方程的过程。写出了解方程的关键一步
< br>40x
÷
40=960
÷
40
，让他们
解释“方程两边为什么都要除以
40
”，以体会解方程的方法和要领。
另外，例
4
和例
6
的编写还注意了三点：一是关于解方程的书写格式，强调等式
变换时，各个等式的等号要上下对齐，教学应该严格遵循。二是求得
x
的值以后，通
过“是不是正确答案”的质疑，引导学生根据“左右两边是不是相
等”进行检验。教
材里解方程的数据都不大，运算不复杂，经常可以用口算检验方程的解
。三是回顾求
x
值的过程，指出什么是方程的解、什么是解方程
，这是以后经常要使用的概念，也是
学生可能混淆的概念。
3.
逐渐掌握解方程的方法并形成相应的技能。
< br>学生在两道例题里只是初步学会解方程，如何帮助他们掌握解方程的方法，形成
相
应的技能，是教材认真思考的问题。用好教材里的两段安排，能培养这方面的能
力。一段
安排是两道例题后面的“练一练”。为了使方程
x-30=80
的左边只剩下未知
数
x
，左边需要加<
/p>
30
，右边应该同时加
30
。即
x-30+30=80+30
。为了使方程
x
÷
0.2=0.8
的左边只剩下未知数
x
，左边需要乘
0.2
，右边应该同时乘
0.2
。即<
/p>
x
÷
0.2
×<
/p>
0.2=0.8
×
0.2
。这是刚教学解方程时的练习设计，只有抓住解方程的关键步骤，呈现
应用等式
性质、求得未知数值的具体过程，才能体会解方程的策略和思路。另一个安
排是练习一第
8
题起，在初步学会解方程的基础上，把关键步骤想在头脑里，
直接写
出求未知数值的那一步。帮助学生适当简化解方程的书写过程，压缩思路。如，解
方
程
x-20
＝
30
，在方程的两边都加上
20
，一
边想
x-20+20
＝
30+20
，同时写出
x
＝
3
0+20
；解方程
0.6x=4.2
，
把
0.6x
÷
0.6
< br>＝
4.2
÷
0.6
想在头脑里，直接写出
x
＝
4.2
÷
0.6
。这样书写，能使解方
程的思考更加流畅，也与中学里解方程的“移项”等方法相
接轨，有利于提升解方程的能
力。
（三）
精心设计练习题，加强对简单方程的理解
练习一配合例
1~
例
6
的教学，编排了相当丰富的练习内容，帮助学生逐步丰富对
简单方程的认识
，掌握有关的知识，形成初步的技能。
前面曾经讲到，练习一
里的第
1
、
2
两题通过看图列方程，体验现实情境里的比较
简单的相等关系，并依据相等关系列出方程
，理解方程的意义。第
4
、
6
、
8
三题通过
解方程的
练习，逐渐掌握解方程的思路与方法，形成初步的解方程技能。除了这些，
教材里还有以
下的内容安排。
1.
在直观情境中加强对等式性质的体验。
例
3
和例
5
借助天平平衡现象，教学了两条等式性质。配合例
4
的“练一练
”第
2
题仍然利用天平图给出：两个梨的质量和
1
个梨加
3
个桃的质量相等，
问
1
个梨和几
个桃同样重；
1
个苹果加
3
个橘子的质
量和
5
个橘子的质量相等，问几个橘子和
1
个苹
果同样重。在直观情境里很容易想到，天平两边各去掉
1
个梨，就能得出
1
< br>个梨和
3
个桃同样重；天平两边各去掉
< br>3
个橘子，就能得出
1
个苹果和
2
个橘子同样重。这就
联系现实情境体
会了“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等式”。
练习
一第
13
题，吴伟兵买
1
本练习本和
3
支铅笔，张欣买
8
支同样的铅笔，两人
用去的钱同样多。如果两人各少买
3
支铅笔，就能得到
1
本练习本的价钱等于
5
支铅
笔的价
钱。这里也应用了等式性质“等式两边同时减去同一个数，结果仍然是等
式”。
教材多次安排实例，让学生反复体验等式性质，充分感受等式性质的客
观性和合
理性。学生对等式性质的理解会逐步深入，应用等式性质解方程就越来越自如。
2.
通过检验，体验方程的解。
理解“方
程的解”，首先要明白什么是方程的解，其次要会检验方程的解。前者
是概念，后者是方
法，应该在理解概念的基础上运用方法。
教材指出“使方程左
右两边相等的未知数的值叫作方程的解”。由此可知，检验
未知数的值是不是方程的解，
应该把它代入方程，看它能不能使方程左右两边相等。
例
4
和例
6
就是这样检验的。
< br>
练习一第
3
题，在一个方程的
后面给出两个未知数的值，如
x+22=78
（
x=100
，
x=56
），要
求确认哪一个未知数的值是方程的解。只要把两个未知数的值分别代入方
程，看看哪一个
能使方程左右两边相等。这个过程有助于体验方程的解的含义，掌握
检验方程解的方法。
第
9
题把给定的未知数的值代入方程，看看方程左边是等于右边
还是小于或大于右边。如，当
x=88
时，
x+14
＞
74
< br>；当
x=4
时，
17x=68<
/p>
；当
x=0.1
时，
x
÷
5
＜
0.2
。未知数的值如果能使方程左右两边相等，它就是方程的解；如果不能使方
程左右两边相等，就不是方程的解。这道题也在加强对方程解的认识。
3.
看图列方程并解方程，为后面列方程解决实际问题作铺垫。
<
/p>
学习方程，应该应用它解决实际问题。找到实际问题里的相等关系，列出方程是
十分重要的环节，也是学生感到困难的环节。教材意识到学生的年龄特点与学习困
< br>难，在练习一里提前作些铺垫性安排。如，第
5
、
7
、
10
、
12
等题，让学生找到图画情
境里的相等关系列
出方程，并解答。又如第
11
题，要求找到表格里的相等关系列
方程
和解方程。这些练习有两个特点：一是题目已经给定了要求的数量为
x
，列方程不需要
再设定未知数和写出设句。二是寻找
相等关系的难度不大，通常把平面图形的面积公
式或周长公式、单价×数量
=
总价、
1
倍数×倍数
=
几倍数等作为列方程的依据。获得用
这些
相等关系列方程的思想方法，对以后的教学很有作用。
（四）
列方程解决稍难的一步计算实际问题
例
7
解决的一步计算问题在第一学段没有出现过，有时我们把它
称之为“逆叙
述”的问题。已知今年体重
36
< br>千克，求去年体重多少千克，如果列算式计算，要把
“今年比去年增加
2.5
千克”理解成“去年比今年少
2.5
千克”。由于低年级学生进
行逆向推理比较困难，因此那时不安排这种
问题的教学。第二学段列方程解答这种问
题，利用题中最基本的数量关系，避免了逆向思
维，降低了思考的难度。类似的一步
计算问题还有像例
7
的“练一练”，已知一个数的几倍是多少，求这个数的问题。
列方程解决实际问题的关键是找到问题里的相等关系。尽管相等关系也是数量关
系，但列方程的数量关系与列算式的数量关系是明显不同的。列算式的数量关系，把
已知数量和未知数量分开，已知条件作为一方，要求的问题作为另一方，通过已知数
量的运算得到未知数量。而列方程的数量关系，“平等”看待已知数量和未知数量，
把两
者融合起来，共同参与运算，人们一般称之为相等关系（也称等量关系）。寻找
相等关系
是列方程解决实际问题的教学重点，如果找不到相等关系，就列不出方程。
寻找相等关系
还是教学难点，习惯了的列算式思维会干扰对相等关系的思考。为此，
教材里有三点安排
。
1.
教学方程意义的时候，用方程表示简单现象里的相等关系。
<
/p>
练习一第
1
、
2
两题，采用学生熟悉的线段图、带括线的图画、图文结合的叙述等
形式呈现简单现象，要求用方程表示其中的数量关系，让学生初步感受什么是方程、
怎
样列方程，尤其对依据什么列方程、列出的方程表示什么意思，获得初步的感受。
指导学生寻找相等关系和列方程要注意两点：一点是联系生活经验和常识，按照
事情发生与发展的线索，理顺数量关系。如，联系商品降价出售的经验，得出“原来
< br>的价钱
-
优惠的钱数＝现在的价钱”；从大树比小树高的
事实，得出“大树的高度
-
小
树的高度
＝大树比小树高的米数”……有了这些数量关系，列方程就方便了。另一点
是不要过分鼓
励对数量关系的发散性思考，也不要过分提倡列出的方程多样化，而要
把握住简单事件里
最基本的相等关系，这对以后的教学十分重要。
2.
教学解方程的时候，渗透列方程解决问题的思想。
例
4
求天平左边正方体的质量，例
6
求长方形试验田的宽，都是先列出方程再求
解。这两
道例题的教学重点是应用等式性质解方程，但以解决实际问题为载体有两点
好处：一是体
现了列方程是解决实际问题的一种方法；二是体现了列方程要依据实际
问题里的相等关系
。例
4
的相等关系是天平两边物体的质量相等，学生已相当熟悉
。
例
6
依据长方形的面积公式列方程，
是对相等关系的又一次引导。在练习一里还有
“看图列方程并解答”的习题。教学这些内
容，既不要冲淡解方程这个重点，也要让
学生获得上面所说的两点体会，为正式教学列方
程解决实际问题多作些铺垫。
3.
例
7
及其“练一练”主要解决逆叙述的相差关系和倍数关系的问
题。
例
7
有
一个关于“相差多少”的已知条件，“练一练”有一个“是几倍”的已知
条件，只要抓住
这些数量分析相差数或倍数的具体含义，就能找到实际问题里的相等
关系。
首次教学列方程解决实际问题，例
7
里依次安排三个重要内容：一是怎样寻找数
量之间的相等关系；二是这个问题
为什么列方程解答；三是列方程解答实际问题的步
骤与书写格式。这三个内容中，第一个
最重要，另两个内容都能在第一个内容里得到
启示。
这道例题的相等关系“小红去年的体重
+2.5
＝今年的体重”，是从“今年比去年
增加了
2.5
千克”得出的。分析这个已知条件，会想到小红今年的体重、去年的体
重、<
/p>
2.5
千克是三个有关系的数量；接着会想到今年的体重重些、去
年的体重轻些，
2.5
千克是两年体重的相差数；然后把上面的
想法用数学式子表示成相等关系式，列方
程便有了依据。只要带领学生经历这些思考，他
们能够像“萝卜”卡通那样说出相等
关系，从列算式的思维转变为列方程的思维。
教材指出，可以根据“去年的体重
+2.5
=
今年的体重”列出方程。为什么列方程解
题？必须让学生明白
这个问题。在相等关系式上，有两个数量已知、一个数量未知，
两个已知数量不在等号的
同一边，而是一个已知数量与未知数量在等号的一边，另一
个已知数量在等号另一边。<
/p>
去年的体重
/
？千克
+2.5=
今年的体重
/36<
/p>
千克
遇到这种情况，如果把未知的数量
设为
x
千克，很容易列出方程；通过解方程，
< br>就能求出未知的数量。这就是为什么列方程解题的原因。明白这一点，就体会了列方
程是解决问题的一种有效方法。解题活动就会在寻找相等关系的基础上，很自然地按
照
“写设句——列方程——解方程”的顺序进行，列方程解决实际问题的步骤由此得
出。<
/p>
例题还根据“今年的体重
-
去年的体重＝
2.5
”，列方程解题。这是出于两
点考
虑：首先是学生分析相差关系，不会都得出像“萝卜”卡通那样的相等关系式。他们
从今年的体重重些、去年的体重轻些、两年体重相差
2.5
千克，完全有可能想到“番
茄”卡通的相等关系式，况且不同的相等
关系对列方程，并没有明显的好与坏、优与
劣的区别，都可以用于解题。其次是用等式性
质解方程
36-x
＝
2.5
，会遇到一个小矛
盾：未知数在方程里是减数，等号两边同时加上
x
，左边的
x
被消去，
而右边却有了
x
。这时可以把方程的左边与右边相交换，使未知
数回到等号的左边，继续解方程。教
材为处理这个小矛盾，作了示范。
< br>
需要强调的是，例题先后采用两个数量关系，列出两个方程，用两种解法解答了
实际问题。这并不是“一题多解”，并不要求学生用两种方法解题。而是提醒教师，
根据“今年比去年增加
2.5
千克”寻找实
际问题的相等关系，学生中很可能出现不同
的表达，从而列出不同的方程。要允许学生按
自己对“今年比去年增加
2.5
千克”的
理解，用自己想到的相等关系列出方程来解决问题。
“练一
练”已知一个数的几倍是多少，求这个数。一般从“蓝鲸的体重是非洲象
的
33
倍”这个条件，得出数量关系式：非洲象的体重×
33
＝蓝鲸的体重，并以此为相
等关系列方程求非洲象的体重
。这是已知两个乘数的积与一个乘数，求另一个乘数经
常使用的方法。教材希望学生独立
解决这个实际问题，经历“分析已知的倍数关系→
得出相等关系→感受需要列方程解答→
按列方程的步骤解题”的过程。教学应利用交
流与评价的机会，突出怎样找到相等关系、
为什么列方程解答等思考的重点，帮助学
生逐步形成有关列方程解决问题的思想与方法。
4.
检验答案是否正确，反思解决
问题的过程与方法，是教学列方程解决实际问题
不可忽视的环节。
列方程解决实际问题的两个要点分别是列出方程和解方程，检验答案应该在这两
个环节上进行。首先要检查列方程的相等关系是否符合实际问题的题意，然后检查未
知数的值是否符合方程。然而，人们往往直接检验答案是否符合实际问题的数量关
系，这种做法是很好的。就例
4
来说，求得去年体重<
/p>
33.5
千克以后，只要检验今年体
重是
不是比去年增加
2.5
千克。如果今年体重确实比去年增加
2.5
千克，则解题正
确；如果今年体重不
是比去年增加
2.5
千克，则答案错误。就“练一练”来说，求
得
非洲象大约重
5
吨，只要检验蓝鲸的
体重是不是非洲象的
33
倍，或是通过
5
×
33
检
验
，或者通过
165
÷
5
检验。
反思解决问题的过程与方法，是为了积累列方
程解决问题的经验。应围绕列方程
解决实际问题的主要步骤有哪些，以及怎样寻找实际问
题中的相等关系、怎样按相等
关系列出方程、怎样检验解题结果等要点，组织学生体会数
学活动，内化解题要领，
掌握解题步骤。
（五）
解稍复杂方程的策略——转化成简单的方程
< br>例
8
、例
9
和例
10
都是解答两、三步计算的实际问题，列出的方程稍
复杂些。这
三道例题都同时教学两个知识，一个是怎样解稍复杂的方程，还有一个是如何
列稍复
杂的方程。把两个知识结合着教学，能体现数学内容（方程）和现实生活（实际问
题）的联系，一方面分析实际问题里的数量关系，抽象出方程，形成知识与技能的教
学内容；另一方面利用方程解决实际问题，使知识与技能的教学具有现实意义，成为
数学思考、问题解决、情感态度有效发展的载体。把两个知识结合着教学也有其可行
性，因为学生已经具有列方程解答一步计算问题的能力，以此为基础，有条件探索并
< br>掌握解决较复杂问题的方法，列出稍复杂的方程并求解。
三道例题涉及的方程分别形如
ax
±
b
＝
c
、
ax
±
bx
＝
c<
/p>
、
ax
±
b
×
c
＝
d
。解这些方程
都要通过计算或者利用等式性质，把原方程化归成简单方程
而求出未知数的值。像这
样化复杂为简单、变新知为旧知是人们解决问题的常用策略，也
是探索与创新不可缺
少的思想方法。引导学生通过转化解稍复杂的方程，能充分体验转化
思想，发展解决
问题的策略。
1.
从各个方程的特点出发，使用不同的化简方法。
解
ax
±
b
＝
c
这样的方程，一般根据“等式两边同时加上或减去
相同的数，结果仍
然是等式”这条性质化简原来的方程。例
8<
/p>
在列出方程
2x-22
＝
64
以后，写出了解这
个方程的第一步：
2x-22+22
＝
64+22
，使原方程化简成
2x=86
。这是学生能够看懂的。
教学应让他们说说这一步在做什么以及为什么这样做，体会利用等式性质化简方程的
意图。过去教材强调把
ax
看成“一个数”，目
的是把
ax
作为被减数，应用加、减法
中各部分的关系解方程。而新课程应用等式性质解方程，突出的是化繁为简的思想与
方法
。
解
ax
±
bx
＝
c
这样
的方程，一般应用运算律和相应的计算化简方程。例
9
中方程<
/p>
的左边是
x+3x
可以改写成（
1+3
）
x
，方程
x+3x=290
可以化简成
4x=290
。这种改写在
五年级上册用字母表示数时已经教学，现在只要计
算
1+3
就能实现化简原来方程的目
的
。教学时还是应让学生说说这样改写的依据是什么、目的是什么。
解
ax
±
b
×
c
＝
d
这
样的方程，一般按运算顺序先算出
b
×
c
的积，原来的方程就变
成像例
8
里的方程，也就实现了化新为旧。例
10
列
出的方程
3x+95
×
3=540
，算出
95
×
3<
/p>
的积，原方程就化简成
3x+285=540
。
通过上面的分析，应该看到解稍复杂的方程是很重要的
知识与技能。如果不能正
确地解稍复杂方程，就不能解答较复杂的实际问题。而解稍复杂
的方程，如果能抓住
化繁为简的转化思想，学生就能主动调整自己的认知结构，迅速形成
解方程的能力。
2.
各道例题采用不同的教学思路，鼓励学生继续解转化后的方程。
例
8
让学生接着解
2x
＝
86
，求出
x
的值。这是因为他们具有解这种方程的能力。
教材这
样安排，目的是把转化思想与方法放在突出的位置上，促进新旧知识的衔接，
有效地使用
教学资源。检验方程的解已经在前面教过，例
8
要求学生检验，
不仅是培
养良好的习惯，还要通过“结果是正确的”，确认解稍复杂方程的“策略与方法
是正
确的”。
例
9
把原来的方程
x+3x=290
化简成
4x
＝
290
< br>以后，安排学生先算出
x
的值，再算
出
3x
表示的值。这是因为
72.
5
米和
217.5
米是实际问题的两个
答案。以前列方程解
决的实际问题，一般只有一个答案，现在遇到有两个答案的情况，需
要完整呈现解题
过程，在解题步骤和书写格式上作出必要的规范。另外，这道例题在检验
上也有拓
展。列方程解决实际问题，不只是检验解方程是否正确，还要检验列出的方程是
不是
符合现实的数量关系。由于答案是通过解方程得到的，而方程是依据实际问题的数量
关系列出的，所以人们通常把答案直接放到实际问题的数量关系里检验。这道例题给
出的数量关系有两个，分别是颐和园占地（即陆地和水面一共占地）
290
公顷、水面面
积是陆地面积的
3
倍。解题得到的水面面积和陆地面积符合这两个数量关系，才是正
确的。教材就这样的检验，给出引导，要求在检验结果正确以后，再填写答句。
例
10
把列出的方程
3x+95
×
3=540
改写成
3x+285
＝
540
，这就把原方程化归成了例
8
教学的方程，把继续解方程和
检验方程的解留给学生完成是很自然的安排。如果根据
“速度和×时间＝总路程”，列出
（
x+95
）×
3
＝
540
，则又是一种未见过的方程。可
< br>以让学生尝试着解这个方程，应用等式性质，等号两边同时除以
3
，先算出
x+95
＝
180<
/p>
，再得出未知数的值。这样做，仍然应突出化简方程的思想方法。
3.
适量安排解方程的练习。
前面说过，例
8
～例
10
都有列方程和解方程两个教学内容，列出的方程必须正确
求解，才可能得到正确的答案。因此，教材把解稍复杂的方程作为一个重要知识，安
排必
要的练习。练习二从第
5
题起配合例
8
的教学，第
5
题和第
< br>9
题都是解方程，其
中有像
ax
±
b
＝
c
的方程，与例题的方程是一样的。还有像
x
±
a
±
b
＝<
/p>
c
和
ax
÷
2=b
的
方程，用于解决加减两步计算的实
际问题（如第
11
题）以及已知三角形的面积求高或
底的问题（如第
10
题）。解这些方程，只要利用
等式性质都能逐步化简，直到求出方
程的解。练习三第
1
、
4
、
8
题都是解方程的习题，编排的方程与例
9
、例
10
的方程差
不多。学生解
ax
±
bx
＝
c
、
ax
±
< br>b
×
c
＝
d
这些方程应该比较顺手。
（六）
列方程解决较复杂实际问题的关键——找到相等关系
某个实际问题为什么选择列方程解答，或者为什么选择列算式解答，经常是由数
< br>量关系的特点所决定的。列算式解决实际问题，分析数量关系通常把已知条件作为一
个方面，所求问题作为另一方面，着重沟通未知数量与已知数量的关系，利用已知数
量
组成的算式，解决所求问题。列方程的相等关系，把已知数量与未知数量“平等”
联系起
来，共同组成反映实际问题数量关系的等式。学生在列方程解答一步计算的问
题时，已经
初步有了这方面的体会，还要通过列方程解答两、三步计算的实际问题，
进一步加强对相
等关系的认识，提高寻找并利用相等关系的能力。
1.
灵活开展寻找相等关系的思维活动。
较复杂的问题之所以复杂，在于它的数量关系复杂。例
8
里大雁
塔的高度“比小
雁塔高度的
2
倍少
22
米”，其中既有倍数关系，又有相差关系，是两种关系的有序复
合。例
9
里给出两个并列的条件：颐和
园水面面积与陆地面积一共
290
公顷、水面面
积大约是陆地面积的
3
倍，从“和”与“倍”两个角度
分别揭示水面面积和陆地面积
的关系。例
10
< br>是四年级教学的相遇问题的逆向变式，涉及的数量比较多，包括客车行
驶的速度与
时间、货车行驶的速度与时间、两车行驶的总路程等。因此，寻找复杂问
题的相等关系，
要仔细梳理数量关系，分清事件发生与发展过程的主次和先后。
寻找相等关系没有固定的思维模式，三、四年级教学的解决问题策略，仍然是探
索相等
关系的可用资源。可以选择适宜的形式整理实际问题里的数学信息，正确理解
题意。可以
利用从条件向问题或者从问题向条件推理的经验，分析数量之间的关系。
教材从实际问题
的结构特点和学生的思维发展水平出发，灵活设计寻找相等关系的教
学活动。
学生已经能够解决类似红花有
10
朵，求比红花朵数的
2
倍少
4
朵是多少朵的问
题，对“几倍少几”这样的数量关系已有初步
的理解。因此，例
8
要求学生找出“大
雁塔与小雁塔高度之间有什么相等关系”，可以利用已有的倍数概念和相差概念，通
过推
理把“比小雁塔高度的
2
倍少
22
米”改写成数学式子“小雁塔高度×
2-22
”，从
而得到相等关系“小雁塔高度×
2-22=
大雁塔的高度”。为了突出相等关系，教材在它
上面加了色块，让教学注意
相等关系是怎样找到、怎样表达的，加强得出相等关系的
过程。学生中有可能出现“小雁
塔高度×
2-
大雁塔高度＝
22
”这样的相等关系，也能
列方程解题。事实上，人们大多喜欢依据“小
雁塔高度×
2-22=
大雁塔的高度”列方程
< br>解决问题。教学可以让学生知道应用“小雁塔高度×
2-
大雁塔高度＝
22
”也能列出方
程，但
不必在相等关系的举一反三上花费力气。应提倡根据相等关系“小雁塔高度×
2-22=
大雁塔高度”，确定列方程解决问题。
例
9
列方程求颐和园的陆地面积与水面面积，设哪一个数量为
x
，另一个数量怎样
表示，涉及如何合
理利用两个并列的已知条件。为此，教材选择了线段图。通常先画
表示一倍数（陆地面积
）的线段，再画表示三倍数（水面面积）的线段，显然设陆地
面积为
x
公顷，把水面面积表示为
3x
公
顷是很自然的。再根据陆地面积与水面面积相
加的和是颐和园的总面积，就能找到解决这
个问题的相等关系。
例
10
是相遇问题。四年级初步教学相遇问题时，曾经把画示意图作为解决问题的
一种策略。学生已经能画线段图表示相遇问题的题意，也能理解相遇问题里的数量关
系
，会用一方行的路程加另一方行的路程求得双方行的总路程，或者用双方的速度和
乘同时
运动的时间求得两方行的总路程。教材充分利用这些教学资源，仍然让学生画
线段图表示
题意，既感受现在求一方速度的问题与原来求双方路程和问题的不同，又
体现现在问题与
原来问题在运动方式和数量关系上的相同点。从而利用求“路程和”
的方法作为解决现在
问题的相等关系。
2.
加强写出含
有字母式子的练习，进一步把握数量关系，为列方程打基础。
含有字母的式子是方程的重要组成部分，根据相等关系列方程，需要写出含有字
母的式子
。学生是不是具有用字母表示数的意识，能不能写出含有字母的式子表示相
关的数量，对
列方程解决实际问题是至关重要的。因此，教材加强这样的练习。
练习二第
6
题写出表示梨树棵数的式子
3x+15
，表示鳊鱼尾数的式子
4x-80
，都是
解答有关“几倍多几”或“几倍少几”等数量关系的实际问题所需要的
基本技能。安
排这样的练习，能进一步理解这些数量关系，养成顺着“梨树比桃树的
3
倍多
15
棵”<
/p>
“鳊鱼比鲫鱼的
4
倍少
< br>80
尾”这些数量关系的表述进行思考，并转化成数学式子的习
< br>惯，从而选择最适宜的相等关系解决实际问题。所以说，这道习题既是单项练习，也
是思路引导。
例
9
后面的“练一练”第
1
题是配合例题的专项练习，要求
根据黄花
x
朵和红花
朵数是黄花的
3
倍，先想到红花有
3x
< br>朵，然后用式子
x+3x
（或
4
x
）表示黄花和红花
一共的朵数，用式子
3x-x
（或
2x
）表示红花比黄花
多的朵数，发展按数量关系联想的
能力。联想到的含有字母的式子，正是列方程解答“和
倍”或“差倍”问题的核心部
分。
教
材没有编排配合例
10
的单项练习，因为相遇问题的相等关系是
两个积相加，与
例
9
“和倍”问题有些
相似。教学如有需要，也可以适量进行此类的练习。如，一辆汽
车每小时行驶
90
千米，一辆摩托车每小时行驶
x
千米。两车分别从两地同时出发，相
对而行，经过
4
小时相遇。相遇时两车一共行驶多少千米？汽车比摩托车多行多少千
米？
3.
列方程解答有些变化的问题，拓展对相等关系的认识。
教材编排三道例题教学列方程解答两、三步计算的实际问题，学生不仅要能解答
像例题那样的问题，还要能解答有些变化的问题，以达到小学阶段列方程解决实际问
题的总体要求。如练习二第
10
、
11
、
14
题，练习三第
6
、
7
、
< br>11
、
12
题等。既然这些
习题编排在练习里，就要尽量让学生独立解答。当然给他们必要的帮助也是应该的。
对学生的帮助一般在两方面进行：一方面是帮助寻找相等关系。如练习二第
11
题，可
以鼓励学生整理条件与问题，得出邮票枚数变化的
线索“原来的枚数
+
又收集的
24
枚
-
送掉的
30<
/p>
枚
=
剩下
52<
/p>
枚”。练习二第
14
题可以通过列表或者
画图，弄懂这张发票上
购买了两种物品，一共用去
25.10<
/p>
元：一种是文件夹，单价
3.50
元，数
量
1
个；另一
种是墨水，单价不知道，
数量
12
瓶。上述的这些整理，有助于找到实际问题里的相等<
/p>
关系，有利于顺利列出方程。教材希望这些实际问题能够打开学生的思路：如果已知
两个数量的和或差是多少，这里的和或差往往就是解题可以利用的相等关系。练习三
第
15
题，学校舞蹈队为女同学购买上衣和裙子的
问题，数量关系是（上衣价钱
+
裙子
价
钱）×购买套数
=
一共用的钱。已知一共用去
< br>1520
元，求上衣价钱，或者求裙子价
钱、购买套数，
都可以根据这个相等关系列出方程。另一方面是进一步体会什么时候
列方程、什么时候列
算式解决问题。如练习二第
10
题，根据三角形的面积公式，如
果
已知三角形的底和高，可以列算式求面积；如果已知三角形的面积和底（或高）时，<
/p>
可以列方程求高（或底）。第
16
题给出
了华氏温度与摄氏温度的换算公式，把已知的
摄氏温度换算成华氏温度，只要列算式计算
；把已知的华氏温度换算成摄氏温度，列
方程解答比较方便。学生一旦获得这些体会，就
不会把列算式与列方程绝然对立，而
是把两种解题形式有机联系、灵活使用，形成解决问
题的能力。
值得一提的还有单元《整理与练习》里的“探索与
实践”，设计了在画图操作、
探索规律、猜数游戏等活动中应用本单元教学的方程知识。
第
13
题把给定的一条线段
分成两段，
使其中一段的长度是另一段的
4
倍。这是一个“和倍”问题，给
定线段的
长度是已知的“和”，可以测量得到。解决这个分割线段的问题，应该先列方程
求出
分成的两段各长多少厘米，然后画图。第
14
题连续的三个自然数中，每相邻两个数相
差
1
，如果中间的数是
x
，那么它前面的数是
x-1
，后面的数是
x+1
；这三个数的和就
是（
x-1
）
+x+
（
x+1
），化简得到
3x
。如果三个连续自然数的和是
99
，很容易先求得
中间那个数是
33
，再求得相邻的两个数分别是
32
和
34
。写出字母表示的三个相邻自
< br>然数，要进行比较深入的数学思考，分析能力和概括能力都能得到很好的锻炼。
【第二单元折线统计图】
本单元在认
识条形统计图的基础上教学折线统计图。教学目标是学生初步认识折
线统计图，了解其特
点；能够看懂折线图中的数据内容，并利用数据进行简单的分
析；能够在提供的方格纸上
画折线表示数据及其变化态势。全单元编排两道例题，具
体内容安排如下表：
例
1
用单式折线统计图表示一组数据
例
2
用复式折线统计图同时表示两组数据
本单元内容的编排有以下两个特点：
第一，把单式折线图和复式折线图安排在同一个单元里教学。以前教学单式条形
图和复式
条形图是分开进行的，单式条形图在四年级教材里，复式条形图在五年级上
册教材里。本
单元在教学单式折线图以后立即教学复式折线图，是考虑到学生已有单
式条形图与复式条
形图的基础。我们知道，虽然条形图和折线图在表现形式上有很大
不同，但条形图呈现数
据的思想方法与折线图仍然有本质上的一致，学生已有的利用
直条表示数据的经验可以变
式应用于折线统计图。所以，具有同时学习单、复式折线
图的条件。
第二，选择有意义且学生感兴趣的素材教学折线统计图。对小学生来说，有意义<
/p>
的统计素材应该是他们生活中相对熟悉的或感兴趣的现象和事实。因为感兴趣的素材
应该是他们喜欢的，比较熟悉的现象与事实，有助于激发参与统计活动的热情。本单
元例
1
用折线图表示一名儿童从
< br>6
岁到
12
岁身高的变化情况，
“练一练”则用折线图
表示学生自己从一年级到五年级的身高变化情况。例
2
用复式折线图分别表示不锈钢
保温杯和陶瓷保温杯
的保温性能，“练一练”则用复式折线图分别表示陶瓷杯和陶瓷
碗的保温性能。练习四里
的素材更能吸引学生，有表示病人的体温变化的折线图，表
示风信子的根和叶生长情况的
复式折线图，有表示某商场去年各月销售电冰箱数量的
折线图，有比较两架模型飞机飞行
时间与高度的复式折线图，有比较我国上海市和澳
大利亚悉尼市
2011
年各个月平均气温的复式折线图……
（一）
联系统计表里的数据看单式折
线图，体会折线图表达数据的方式与方法
例
< br>1
把张小楠
6~12
岁每年生日
测得的身高数据制成了统计表和折线统计图，要求
学生根据其中的数据讨论并回答一些问
题。学生已经很熟悉单式统计表，能看懂身高
统计表里的数据。在这里首次接触折线统计
图，认识折线图，理解图中的数据所表示
的实际意义，体验折线图的特点，这些都是有待
学习的新知识。教材先呈现统计表，
再呈现折线图，它们都表达张小楠
< br>6~12
岁每年生日那天的身高。学生可以把统计表和
折
线图对照着看，从而看懂折线图里每一个点及其数据的实际意思，理解折线逐渐上
升所表
达的信息。
教学时，应该让学生独立观察例题里的折线图：先
读读统计图的标题，了解这张
统计图所表示的内容；分别看看横轴与纵轴，了解横轴上表
示了什么，纵轴上表示了
什么；说说折线上各个点及其数据所表达的信息；想想这里的折
线为什么逐渐上升。
学生对照着张小楠身高统计表里的数据，通过上面的一系列活动，完
全能够把条形图
的有关经验迁移过来，理解折线图里的各个数据的实际意义。
教材在引导学生初步观察折线图以后，还提出三个问题，引导他们继续关
注张小
楠从
6
岁到
12
岁的身高。算出这几年一共长高了多少厘米，感受这些年里身高增加了
很多；观察并比较统计图里的各段折线，联系有关数据，分析几岁到几岁的身高增加
最快，感受哪一段折线越“陡”，这一年的身高增加就快，哪一段折线比较“平”，
< br>这一年的身高增加就少；根据折线的变化趋势，估计张小楠
13
< br>岁生日时的身高大约会
是多少厘米，既要看看以往每年身高大致增加多少厘米，又
要看看近几年，如
10
到
11
岁、
11
到
12
岁每年身高增加的情况，才能作出比较合理的预测。在上述思考与讨论的
基础上，教材问学生“折线统计图和统计表相比，哪个能更清楚地看出身高的变化情
况
？”帮助学生进一步体会折线统计图能够直观形象地表现一组数据的变化状况，有
助于人
们把握数据的变化趋势，作出恰当的预测或估计。
“练一练”
仍然以身高为素材，要求学生收集自己从一年级到五年级每年体检时
的身高数据，先填入
统计表，再画成折线图。这里的统计表，有整理和记录数据的作
用，有助于学生画出折线
统计图。与画条形图差不多，折线图也画在方格纸上，一般
已经给出统计图的标题、横轴
与纵轴，只要学生描点、连线，画出表示数据及其变化
的折线。在画成折线统计图以后，
一定要联系其中的数据信息，提出一些问题，作出
相应的思考与回答。要让学生逐渐明白
，画统计图表不是统计活动的目的，利用数据
解决问题才是统计活动的价值所在。
（二）
接着完成一幅复式折线图，体会复式折线图的特点
例
2
用复式折线统计图同时表达不锈钢保温杯和陶
瓷保温杯的保温情况。先用统
计表给出两组数据，一组是不锈钢保温杯注入时的热水温度
，以及经过
30
分钟、
60
分
钟、
90
分钟、
120
分钟、
150
分钟后，水的温度各是多少度；另一组是陶瓷保温杯在上
述相应时间的水温。再要求根据
统计表里的数据画折线图，图例规定实线和虚线分别
表示不锈钢保温杯与陶瓷保温杯的水
温数据；已经画出的表示两种保温杯注入时的水
温以及
30
分钟、
60
分钟后水温的点与折线，能启发
学生照样子画下去，完成这幅折线
统计图，进一步体验折线图是怎样表示数据，怎样反映
数据变化状态的。
对比实验的数据分析往往从两个角度进行，
教材通过一些问题来组织。一是注入
热水以后，经过相同时间，两种保温杯里的水温相差
多少度。如
60
分钟后，两种保温
杯里
的水温各是多少度，相差多少度？第
120
分钟后呢？二是注入
热水以后，水温降
到某个温度，两种保温杯各要多少时间。如水温到达
< br>70
°，不锈钢保温杯大约经过多
少时间？陶瓷保温杯大
约经过多少时间？经过上面的数据分析，才能得出哪一种杯子
的保温性能好些的结论。<
/p>
单式折线图只呈现一组数据及其变化情况，复式折线图不仅能同
时表达两组数据
以及各组数据的变化态势，而且能方便地对两组数据进行比较，进行深层
次的数据分
析活动。这正是复式折线图的特点。教材希望学生获得这些体会，因此特别提
出问题
“与单式折线图比较，复式折线图有哪些特点”，以此作为例题教学的收尾。
“练一练”进行陶瓷杯和陶瓷碗保温情况的对比实验，安排学生经
历实验的全过
程。首先明确实验内容：同样多的热水分别倒在陶瓷杯和陶瓷碗中，看哪个
容器中水
温下降的速度快一些。接着给定实验方案：把热水同时倒入两种容器里，每
3
分钟测
量一次水温，记录数据并制作折线
统计图，在统计图表里进行分析比较，得出结论。
然后是学生开展实验、进行数据处理，
并交流实验结果。
与例题相比，“练一练”的统计活动过程更
加完整。学生需要在实验中收集数据
并记录下来，需要根据规定的图例分别画出表示陶瓷
杯和陶瓷碗水温变化的折线图，
需要在统计图表上进行数据分析，需要作出自己的实验结
论。完整的统计过程有利于
形成数据活动的意识与能力。
大多数实验的结果会是杯子的保温性能比碗好一些，杯子里的水温下降要慢一
些。同样是陶瓷做成的容器，为什么保温性能不同？这是数学学科以外的知识，可以
鼓励学生自主探索研究。
（三）
在有意义的练习中体验折线统计图的现实应用
练习四里的题围绕折线统计图设计，使用这些练习题要注意三点：
第一，练习的主要力量应放在观察统计图的上面，提取并利用图中的数据信息，
解决或回答一些问题。这样的练习题占大多数，有四道之多。
第二，适当进行画图练习，且都在方格纸上进行。第
6
题已
经给出统计图的标题
以及横轴、纵轴所表示的内容，只要画出表示各个数据的点，并连成
折线。第
7
题在
教科书附页里的方格纸
上画一周各天最高气温和最低气温变化情况的统计图，可以仿
照第
6
题的平均气温统计图进行。教学应提醒学生按步骤画图：写出统计图的标题，
简明指出统计图的内容；标注画图的日期，写出相应的年、月；画出折线图的横轴与
纵轴，在横轴上表示一周的各天，用纵轴上的一格表示
1
< br>℃或几摄氏度；规定图例，用
不同的线分别表示最高气温与最低气温的变化；先描
点、再连线。即画出表示各天最
高气温的点，连成折线表示其变化情况。一周最低气温的
折线也要这样画。
第三，在练习数学内容的同时，了解其他学
科的一些知识。第
1
题用折线图表示
了
病人体温“上升——下降——趋于平稳”的过程，正常人的体温在
37
< br>℃左右。第
2
题用复式折线图表示了植物一般先长根、后
长叶，根和叶都逐渐生长、慢慢变长。第
4
题用折线图表示了家
电商场一年中销售电冰箱有旺季和淡季，有节日的月份销售量通
常大些。第
5
题用折线图表示了模型飞机的飞行过程，先是高度上升，达到最高点以
后就逐渐高度下降，有时会有一段时间水平飞行。第
6
题的折线图能看出一年中上海
市气温较低的那几个月，悉尼市气温较高，这是
因为上海在北半球，悉尼在南半球，
北半球的冬天，南半球是夏天。
【第三单元因数和倍数】
本单
元继续教学整数的知识，编排目的主要有两点：一是进一步丰富自然数的知
识，二是为即
将教学分数作知识准备。
一到四年级教学整数，重点放在数的
意义和计数方法上。学会了自然数的读写方
法，领会了自然数的基数含义与序数含义，掌
握了自然数的顺序和大小，会用自然数
表示日常生活里的事情或现象……本单元着重教学
自然数之间的因数与倍数关系，求
各个自然数的因数与倍数、两个自然数的公因数与公倍
数。显然，这些知识能丰富学
生对自然数的认识，而且为教学分数的约分、通分作了必要
的知识准备。全单元一共
编排十二道例题，具体安排见下表：
例
1
因数和倍数的含义
例
2
找出一个数的全部因数
例
3
从小到大列举出一个数的倍数
例
4 2
和
5
的倍数的特征
例
5
3
的倍数的特征
例
6
质数和合数的意义
例
7
质因数的意义
例
8
分解质因数
例
9
公因数的意义
例
10
求两个数的公因数与最大公因数
例
11
公倍数的意义
例
12
求两个数的公倍数与最小公倍数
从上表可以看到本单元教学内容的编排有以下两个特点：
第一，十分重视知识的内在联系，把相关的知识内容组织成“块”，一块一块地
教学，帮助学生建立良好的认知结构。如，因数和倍数是两个既相互对立又密切联系
< br>的概念，把因数与倍数的教学结合起来，有助于理解两个有关自然数之间的因数与倍
数关系，并在理解概念的基础上，掌握求一个数的因数与倍数的方法。又如，
2
、
3
、
5
的倍数的特点直接关系到分数的四则计算，必须很好地掌握。
2
和
5
的倍数的特点表现
在
这些数的个位上，
3
的倍数特点表现在它各位上的数的和上面。
把
2
和
5
的特
点结合
起来教学能节省教学时间，避免乏味的重复。把
3
的倍数特点和
2
、
5
的倍数特点分开
教学，有利于分散难点、突破难点。再如，把质
数、合数以及分解质因数结合起来教
学，可以突出“质数”概念，既理解其意义，又应用
于分解质因数的活动。另外，两
个数的公因数、公倍数知识，要建立在一个数的因数与倍
数的基础上，尽管公因数与
公倍数是不同的概念，却也有一定的相似性。例
9
～
12
先教学两个数的公
因数，接着
教学两个数的公倍数，前面知识的教学会影响后面知识的教学。像这些有次序
地安排
概念教学，体现了概念形成的一条原理：适当改变已有概念的内涵，能产生新的概
念。
第二，密切关注基本技能的及时
形成。本单元教学的知识将直接影响分数的四则
计算，进行分数加、减计算经常要通分，
需要求两个数的最小公倍数；进行分数乘、
除计算经常要约分，需要求两个数的最大公因
数。这些都表明，求两个数的最大公因
数和最小公倍数是分数计算的基础，必须很好地掌
握。为此，教材细致地安排了求一
个数的因数与倍数，求两个数的公因数与公倍数，以及
2
、
5
、
3
的倍数特征的教学，
并且配备了比较充分
的练习，确保基本技能的逐步形成。（一）
联系具体的乘法算
式，教学非
0
自然数之间的因数与倍数
关系，探索找出一个数的全部因数与部分倍数
的方法
研究因数和倍数一般在非
0
自然数范围内进行，
可以避免不必要的麻烦，使因数
和倍数知识更有应用价值。教材在本单元的标题上加了<
/p>
*
号，用底注明确规定了“所说
的数一般
指不是
0
的自然数”。
本单元的前三道例题，先教学因数与倍数的概念，再分别教学求一个数的因数和
倍数的方法。这三道例题密切相关，是建立概念并应用概念的过程，为全单元的教学
奠
定了基础。
1.
在拼长方形活动中
得出乘法算式，利用乘法算式介绍因数和倍数的概念。
例
1
的教学分两段进行：先是用
12
个同样大的正方形拼一个长方形。学生对这个
活动应该很熟悉，几乎人人
都知道有不同的拼法，能够顺利地拼出三个长、宽各不相
同的长方形，并且根据各个长方
形中每行正方形的个数与行数，把三个长方形分别表
示成
4
×
3
＝
12
、
6
×
2
＝
12
、
12
×
1
＝
12
。然后以
4
×
3
＝
12
为例，指出
4
和
3
都是
12
的
因数，
12
是<
/p>
4
的倍数，也是
3
的倍数。揭示了整数乘法式子里的因数和倍数关系。还
要求学生说出另两道乘法算式里
，谁是谁的因数、谁是谁的倍数，初步内化因数和倍
数的概念。教材这样安排有两个原因
：一是置枯燥的数学内容于有趣的操作活动之
中，在现实的情境里提取数学材料，给抽象
的概念以具体的背景，有助于学生联系现
实情境和已有经验，意义接受因数和倍数的含义
。二是给学生提供举一反三的机会，
用
4
×
3
＝
12
里学到的因数、倍数知识，解释
6
×
2
＝
12
、
12
×
1
＝
12<
/p>
这两个乘法式子里
的因数、倍数关系，能调动学习的积极性和主动
性，在比较丰富的素材里充分体会数
学概念的内涵与外延，使形成的概念扎实、厚实。教
学这道例题一定要注意，因数和
倍数是描述自然数之间关系的概念，客观存在于两个具体
的自然数之间。因此要用完
整的语句表示这些关系。如
12
是
4
的倍数，
4<
/p>
是
12
的因数。不能说成
12
是倍数、
4
是因数。
小学数学不给因数和倍数下抽象的定义，只是列举若干个实例，指
出两个自然数
之间的因数与倍数关系。为了使学生充分体会因数和倍数的概念，练习五第
1
、
2
两
题，联系做团体操排队和乘坐小艇付费这些具体事例，根据“每排人数×排数＝
24
（人）”“
4
（元）×
乘坐人数＝应付钱数”，理解这里的每排人数和排数都是
24
的
因数，应付元数都是
4
的倍数。这两题
有充实体验、加强概念的作用。
2.
在因数和倍数概念的基础上，探索求一个数的因数与倍数的方法。
< br>例
2
和例
3
分别求一个数的因数和求一个数的倍数。虽然教学内容不同，教学方
法却很相似。都
是利用初步建立的因数或倍数概念，联系已经掌握的乘、除法口算，
在探索中推理、计算
，找到相应的方法。
例
2
要求找出
36
的全部因数。教材围绕两点组织教学
活动：一是什么样的数才是
36
的因数？二是怎样找到
36
的全部因数？关于前面一点，抓住因数的概念可以得出
“凡是乘积为
36
的两个自然数，都是
36
的因数”，这就是“辣椒”卡通的想法“看
36
是哪两个数相乘得到的”。如果用数学式子表示就是“蘑菇”卡通想的“依次列举
积是
36
的乘法算式：
1
×
36=36
，
< br>2
×
18=36
……”每一个这
样的乘法算式中，都能找到
36
的两个（或一个）因数。这是求
一个数因数的基本思路，它既从因数的概念得出，
又加强了对因数概念的理解。部分学生
还能在除法算式里看出因数与倍数关系，所以
也会有人像“萝卜”卡通那样思考“依次列
举除法算式：
36
÷
1=36
，
36
÷
2=18
……”
在每一个除法算式里找到
36
的两个（或一个）因数。教学不要把上面两种方法割裂开
来，更不要对
立起来，而应该有机联系起来。利用乘、除法的关系，把想乘法式子里
的乘数，转化为想
除法算式的除数与商。如果一个乘数是
2
，另一个乘数是
36
÷
2
＝
18
；如果一个乘数是
3
，另一个乘数是
36
÷
3
＝
12
……例题里可以找到的乘数比较多，
也就是
36
的因数比较多，需要有序地寻找，
才会不重复、不遗漏地找到
36
的全部因
数。于是从
1
×（）
=36
或者从
36
÷
1=
（）开始，依次尝试
2
×（）
=36
或
36
÷
2=
（）、
3
×（）
=36
或
36
÷<
/p>
3=
（）、
4
×
（）
=36
或
36
÷
4=
（）、
6
< br>×（）
=36
或
36
÷
6=
（）。教材只写出少量几道乘法算式或除法
算式，留出大部分算式让学生填写，按照
乘数或除数是
1
、
2
、
3
……的次序，继续列举后面的乘法算式或除法算式。教学还应该
在
5
不是
36
的因数，以
及算到
36
÷
6
为止这两点上稍作停留，让学生体会有序寻找的
重要性。找到一个数的全部因数以后，
可以用陈述的语言把因数从小到大一一列出，
如“
36
的因数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
9
、
12
、
18
、
36
”或者用集合的形式表示，画一个椭
圆，在它上面注明“
36
的因数”，里面写找到的
全部因数。
“试一试”分别找出
15
、
16
的因数。
15
的因数较少，容易找全；
16
的
因数较
多，往往会遗漏。仍然要抓住什么样的数是
15
（
16
）的因数，怎样有序地找到
15
（
16
）的所有因数，
以帮助学生及时消化求一个数的因数的思路与方法。教材还要求
观察
36
、
15
、
16
的因数，寻找其中蕴含的规律，发现一个数的因数的个数是有限的，
最小的因数是
1
，最大的因数是它本身。这些规律
有助于学生开展找因数的活动：通常
从
1
开始，找到本身为止，其他因数都在
1
和它本身之间。
例
3
从小到大找出
若干个
3
的倍数，教学线索与例
2
相似，也是先形成思路，再
有序地寻找。采用的思路是“
3
和任何非
0
自然数的乘
积都是
3
的倍数”，这个思路与
倍数的
意义完全一致，容易理解，还容易操作。教学这道例题要注意两点：一是引导
学生从“<
/p>
3
的倍数是什么样的数”想起，形成思路、确定算法。然后从小到
大逐个寻
找，并按顺序写出来。二是让学生注意教材写出的几个省略号。写在“蘑菇”卡
通的
算式
3
×
1=3
、
3
×
2=6
下面的那个省略号，表示继续把
3
依次乘
3
、
4
、
5
、
6
等
等，可
以一直乘下去，每个乘积都是
3
的倍数。写在“萝卜”卡通自然数
1
、
2
、
3
后面的那
个省略号，表示有无数多个自然数与
3
相乘。写在排列
3
的倍数的陈述语句后面的省
略号，表示
3
的倍数的个数无限多。这样，学生就能理解一个数的倍数的个数是
无限
的，最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
练习五第
3
题配合例
2
和例
3
的教学。
3
0
的因数应该一个不漏全部写出；
4
的
倍
数只能从小到大列举出若干个，并用省略号表示还有许许多多没有写出来；
50
以内
7
的倍数有
7
、
14
、
21
、
28
、
35
、
42
和
49
，应该依次全部写出，但不能写省略号，因为
50
以内
7
的倍数只有七个。第<
/p>
4
题，数轴上已经表示出
0~24
各数，要求在
6
的因数上
画“△”，在
6
的倍数上画“○”。这题能帮助学生体会<
/p>
6
的因数都小于或等于
6
，
6
的倍数都等于或大于
6<
/p>
，
6
的最大因数和最小倍数是它本身。<
/p>
（二）
在
“百数表”里找
5
的倍数、
2
的倍数、
3
的倍数，认识
5
、
2
、
3
的倍数
的特征
例
4
和例
5
教学
5
、
2
、
3
的倍数的特征。掌握这些特征，能够判断哪些数有因数
5
、
2
、
3
，将对以后的约分有积极的作用。
判断一个数是不是
2
的倍数，是不是
5
的倍数，都看这个数的个位上是几，方法
是一致的
。判断一个数是不是
3
的倍数，要看它各位上数的和是不是
3
的倍数，方法
与
2
和
5
的倍数完全不同。所以教材编排
两道例题，把
5
和
2
< br>的倍数特征安排在一道
例题里教学，把
3
的倍数特征放在另一道例题里教学。两道例题以及配套的“练一
练”都是“寻找
特点——利用特点”的教学线索，给学生很大的自主活动空间。
1. 5
的倍数的特征比
2
的倍数更为简单，例
4
由易到难，先教学
5
的倍数的特
征，再教学
2
的倍数的特征。
教材给出一张“
百数表”，便于寻找
5
的倍数和
2
的倍数，容易看到
5
的倍数与
2
的倍数的特点。圈数、观察、归纳、验证是主要的学习活动。
在百数表里
5
的倍数上画
“△”，
2
的倍数上画“○”，于是表里出现二列画
“△”的数、五列画“○”的数，其中一列数上既画“△”也画“○”。这些符号把
学生的注意集中到
5
的倍数或
2
的倍数上，启发学生发现它们个位上的规律，产生关
于
5
的倍数或
2
的倍数
的特征猜想。
百数表里还有许多没有画“△”也没有画“○”
的数，它们个位上的数与
5
的倍
数、<
/p>
2
的倍数个位上的数不同，它们都不是
5
的倍数或不是
2
的倍数。这些反例也证
实
5
、
2
的倍
数特征表现在数的个位上，于是得出像“蘑菇”“萝卜”卡通说的那些结
论：
5
的倍数，个位上是
5
或
0
；
2
的倍数
，个位上是
2
、
4
、
6
、
8
或
0
。
在初
步认识
5
的倍数与
2
< br>的倍数的特征的基础上，教材里还安排两点内容：一是
什么样的数既是
2
的倍数，又是
5
的倍数
？这样的数同时具有
2
的倍数特征和
5
的倍
数特征，即具备
2
的倍数和
5
的倍数的共同特征。在个位上是
5
和
0
的数中，后者也<
/p>
是
2
的倍数。在个位上是
2
、
4
、
6
、
8
、
0
的数中，最后一种也是
5
的倍数。所
以说，
一个数如果既是
2
的倍数，又是
5
的倍数，它的个位上一定是
0
。这个规律在“百数
表”中既画“△”又画“○”的那一列数上表现得
很清楚。二是什么样的数是偶数，
什么样的数是奇数？认识偶数与奇数，能进一步加强对
2
的倍数的体验，也是对自然
数的进一
步了解。在教学奇数、偶数以后，还可以组织学生反思
5
的倍数
、
2
的倍数的
特征。
< br>5
的倍数是
5
乘
1
、
2
、
3
……的积，如果
5
乘一个奇数，
积的个位上一定是
“
5
”；如果
5
乘一个偶数，积的个位上一定是“
0
”。这些也表明
5
的倍数特征表现
在它的个位上。关于
2
的倍数特征，也能像这样体
会。
2.
发现
3
的倍数的特征比较难，应给学生较多点拨与帮助。
教学
3
的倍数的特征，例
< br>5
作了五步安排，既给学生充分的活动空间，又及时调
控
他们的思考。
第一步在百数表里
3<
/p>
的倍数上画“○”，初步看到
3
的倍数与
2
或
5
的倍数
不
同，分散在表的各行各列。由此联想
3
的倍数的特征可能与
2
、
5
的倍数不同。
第二步集体讨论“个位是
3
、
6
、
9
的数都是
3
的倍数吗？
”在百数表里看到画
“○”的数的个位上不都是
3
、
6
、
9
< br>，还有其他的数。而有些个位上是
3
、
< br>6
、
9
的数上
< br>没有画“○”，它们不是
3
的倍数。如果再写出一些稍大
的、个位上是
3
、
6
< br>或
9
的
数，逐一检验是不是
3
的倍数，能进一步知道，
3
的倍数的特征不表现在数的个位上。
于是产生像“辣椒”卡通那样的疑问“从
个位上看不出
3
的倍数的特征，该怎么
办”。从而形成继续探索的心向。
第三步指点新的探索方向：
把
3
的倍数表示到计数器上，看看用了几颗数珠。先
找些较小的数，再找些较大的数。算出表示每个数所用数珠的颗数，初步发现数珠的
颗数总是
3
、
6
、
9
、
12
等。这一步对发现
3
的倍数特征十分重要，要适当多安
排些时
间。使学生知道，在计数器上表示
3
的倍数，需要的数珠会是
3
颗、
6
颗、
9
颗、
1
2
颗……而
3
、
6
、
9
、
1
2
等数，都是
3
的倍数。
第四步把数珠颗数转化为各位上数的和，初步发现
3
的倍数的特点。这一步是教
学的难点，要引导学生从“数的某
一位上是几，计数器的这一位上就拨几颗数珠”这
一事实，理解计数器上数珠的总颗数就
是这个数各位上数的和。从数珠颗数是
3
的倍
< br>数，推理出各位上数的和是
3
的倍数。
< br>
第五步通过反例证实
3
的倍数
的特点。找几个不是
3
的倍数，算算它们各位上数
的和，看看是不是
3
的倍数。从不是
3
的倍数，各位上数的和不是
3
的倍数，进一步
确认
3
的倍数的特征
。
上面五步教学活动是连贯的，步步深入，逐渐接近数学的本
质内容。还是严谨
的，不仅研究了事件的正例，也研究了反例，得到的结论站得住脚。更
是符合儿童认
识规律的，借助形象直观，及时进行抽象与归纳，能够有效地突破难点。<
/p>
关于
3
的倍数
的“练一练”，教材围绕“各位上数的和”这个关键，进一步加强
对特征的认识。除了直
接根据
3
的倍数的特征，判断一些数是不是
3
的倍数，还有判
断除数是
3
的除法有没有余数，其实就是判断被除数是不是
3
< br>的倍数。这种变化的问
题能维持学生的练习热情，提高练习质量。值得注意的是练
习五第
8
题，像
20
< br>□这样
的三位数，如果是
3
的倍
数，□里可以填
1
、
4
或
7
。这样具有一定开放性的题，突出
的是基础知识，活跃的是数学思考。
练习五第
7
题先让学生列举一些
4
的倍数，进而发现它们都是
2
的倍数。第
< br>10
题
列举一些
6
的倍数，想想它们也是几的倍数。从这些实例中可以概括出这样的结论：
某个
数的倍数，一定是这个数因数的倍数。第
14
题，
3
个连续自然数的和一定是
3
的
倍数，
3
个连续奇数的和或
3
个连续偶数的和，也一定是
3
的倍数。可以通过具体的数
来证实，如
15
、
16
、
17
的和
48
，是
3
的倍数；
24
、
26
、
28
的和
7
8
，是
3
的倍数；
17
、
19
、
21
的和
57
，是
3
的倍数。利用字母表示数也可以证明出上述结论是正确的。
< br>如
3
个连续自然数
a-1
、
a
、
a+1
，它们的和
3a
，是
3
的倍数。
3
个连续偶数（奇数）
a-
2
、
a
、
a+2
，它们的和
3a
，是
3
的倍数。
< br>
（三）
通过写因数、比因数个数等活动，建立质数和合数的概念
例
6
教学质数和合数。教学活动的线索是：
分别找出
2
、
3
、
5
、
6
、
8
、
9
的因数
→
按因数的个数把这些自然数分类→揭示质数和合数的概念。写出六个自然数的因数并<
/p>
不难，按因数个数把六个自然数分类，需要稍微点拨一下。否则，学生有可能分成
2
个因数、
3
个因数、
4
个因数等几类，不按质数与合数的概念需要来分类。揭示质数
和
合数的意义，教学语言必须十分准确。尤其是“只有”“除了……还有”，一定要咬<
/p>
文嚼字，不能有半点含糊。
这部分教材
在编写上有三个特点：一是在写
2
、
3
、
5
、
6
、
8
、
9
的因数时，利用已
有能力，让学生在独立写因数的过程中，体会这些自然
数的因数个数不同。二是用填
空形式，把
2
、
3
、
5
、
6
、
8
、<
/p>
9
按因数个数分成“因数只有两个”“因数有两个以上”
两类，避免分类时的混乱和不必要的纠缠。三是突出质数概念的内涵“只有……两个
因数”，合数概念的内涵“除了……还有……”。另外，教材还通过
1
只有一个因
数，得出
1
既不是质数，也不是合数。
关于质数和合数的教学要求是：
理解质数与合数的意义，能够根据概念判断一个
数是质数还是合数。“试一试”和“练一
练”都要求先写出各个自然数的所有因数，
再说出这些自然数是质数还是合数。练习六第
1
题运用“筛法”，在
2
～
50
这些数中
划掉所有的
合数，剩下
50
以内的质数。从中能够体会到这样几点：一是<
/p>
2
、
3
、
5
、
7
等质数，除了
本身，它们的倍数都是合数（应该划去的数）；二是
2
～
50
这些数，不
是质数，就是合数；三是非<
/p>
0
自然数按因数的个数分类，有
1
、质数、合数三类。如果
能够记住
20
以内的八个质数：
2
、
3
、
5
、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
，会有利于以后的约分。
其实，判断
一个数是不是质数，并不要把它所有因数都写出来。如果这个数只有
1
< br>和它本身两个因数，则一定是质数。如果一个数除了
1
和
它本身，只要再找到另一个
因数，就能确认一定是合数。如，练习六第
< br>6
题，
13
、
< br>23
、
33
、
< br>43
这四个数中，
33
除
了
1
和它本身，还有因数
3
，肯定是合数。
19
、
29
、
39
、
49
这四个数中，
49
除了
1
和
它本身，还有因数
7
，一定是合数。
教学
质数和合数以后，学生可能对质数、合数、奇数、偶数等概念混淆不清。为
此，单元整理
与练习中设计了第
6
题，在
1
～
20
的数表中，用“○”圈出偶数，用
“△”圈出质数。圈数时必须想什么是质数、什么是偶数，这就澄清了质数和偶数的
概念。还会思考“所有质数都是奇数吗？所有合数都是偶数吗？”数表里的
2
既圈
○，又圈了△，表明质数中有一个偶数。数表里有些奇数
没有被圈△，表明合数有可
能是奇数，即合数不都是偶数。这些现象，能帮助学生进一步
区分质数与奇数、合数
与偶数等不同的概念。教学一定要注意，这里不是让学生记住两个
问题的答案，而是
分清各个概念。明白质数和合数是把自然数按因数的个数分类，奇数和
偶数是按自然
数有没有因数
2
（是不是
2
的倍数）分类。
（四）
在认识质数与合数的基础上，教学分解质因数
质因数指的是整数乘法算式里的某些因数，分解质因数是把合数写成两个或几个
质数相乘的形式。小学数学教学质因数的概念和分解质因数的方法，有助于后面进行
的分
数四则计算，也有益于第三学段教学因式分解。
教学质因数是
形成一个数学概念，而分解质因数是质因数概念的具体应用。所以
教材编排两道例题，分
别教学质因数的概念和分解质因数的方法。
1.
联系实例教学质因数的概念。
任何一
个非
0
自然数都能看成两个自然数的乘积，都能写成两个自然数
相乘的形
式，这两个相乘的数都是积的因数。如果一个数的因数是质数，这个因数就是它
的质
因数。可见，质因数是因数与质数这两个概念的“复合”。更确切地说，一个数的质
因数是它所有因数中的一部分，是它的质数因数。所以，例
7<
/p>
教学质因数概念，采用
了“因数概念
+<
/p>
质数概念”的模式。先指出乘法算式
5=1
×
5
、
28=4
×
7
里的因数，再从
因数中找出质
数，针对找到的“质数因数”介绍质因数概念的内涵，让学生意义接受
质因数这个概念。
教学例
7
可
以让学生“看”给出的两个乘法算式，“识”乘法算式的因数是质数
还是合数，“读”教
材里关于质因数概念的介绍，“想”质因数的概念内涵，“找”
乘法算式里的质因数。在
一系列学习活动中，逐步建立质因数概念，体验质因数概念
的本质特征。一般而言，质数
可以写成
1
乘本身的形式，
1
不是质数，不可能是质因
数，本身是这个数的质因数。合数可以写成两个
数（
1
和本身除外）相乘的形式，这两
个因数可能是积的质因数，可能不是积的质因数，也可能一个是积的质因数，另一个
不是
积的质因数。学生理解这些情况需要一个过程，需要在现实的情境里逐步学会识
别。练习
六第
4
题为辨别因数与质因数而设计安排，
35=5
×
7
里，
5
和
7
都是
< br>35
的质
因数；
27=3
×
9
里，
3
是
27
的质因数，
9<
/p>
只是
27
的因数，不是质因数。
2.
分解质因数是应用质因数概念的推理过程。
< br>把一个合数写成两个或几个质因数相乘的形式叫作分解质因数。如果被分解的合
数
不是很大，一般通过口算来分解质因数。
例
< br>8
教学分解质因数，包括两个内容：一是分解质因数的含义，即什么是分解质
因数；二是分解质因数的方法，即怎样分解质因数。教材把这两个内容结合起来，让
学生“把
30
用几个质因数相乘的形式表示出来
”。为了便于分解，例题设计了分解
30
的“板块”：先把
30
写成
2
×
15
，
2
是
30
的质因数，
15
不是质因数；再把
15
写成
3
×
5
，
3
和
5
都是
15
的质因数，也就是
30
的质因数。所以
30
分解质因数应该写成
30=2
< br>×
3
×
5
的形式。学生在上面的分解过程中，感受了把一个合数写成几个质因数相
乘的思想方法
，体验了分解质因数的含义和方法。教学例
8
还应该让学生明白
两点：
首先，合数才能分解质因数。因为质数只能写成
1
与本身相乘的形式，而
1
既不是质
数，也不是合数，所以质数谈不上分解质因数。其次，分解质因数是改变已有合数的
表现形式，把某个合数写成两个或几个质数相乘的式子，它有特定的书写格式。
（五）
在铺图形的活动中引出数学
概念，教学公因数、公倍数的意义；利用概
念，探索求两个数公因数和公倍数的方法
经过前面几道例题的教学，学生建立了因数和倍数的概念，会找到
一、两位数的
全部因数，会求较小数的倍数，已经具有教学两个数的公因数和公倍数的条
件。例
9
与例
11
分别教学公因数、公倍数的概念，例
10
与例
12
分别教学求两个数的公因数与
最大公因数、求两
个数的公倍数与最小公倍数的方法。教学这些概念和方法，能为以
后约分、通分，进行分
数四则计算作些准备。
1.
公因数和公倍数都从铺图形的活动中引出。
< br>例
9
分别用边长
6
厘米、
4
厘米的正方形铺长
18
厘米、宽
12
厘米的长方形，出现
正好铺满和不正好铺满两种情况。研究铺满和不铺满的原因，是认识公因数的现实素
材。例
11
用长
3
厘米、宽
2
厘米的长方形分别铺边长<
/p>
6
厘米和
8
厘米
的正方形，也出
现正好铺满和不能铺满两种情况，是认识公倍数的现实素材。
选择铺图形活动引出新的数学概念，是因为这个活动比较现实，也比较有
趣，能
吸引学生从中发现问题、提出问题，进而研究问题。他们按例题的安排，一定会铺
出
两种不同的结果，因此能够提出“为什么有时正好铺满、有时不能”“什么时候能够<
/p>
铺满、什么时候不能”这些有价值的问题。研究这些问题，就联系实际体会了公因数
和公倍数的含义，为形成新的数学概念积累了感性认识。
教学这两道例题，要注意教材里的几点安排：第一，让学生开展铺图形的活动，
得到正好铺满和不能铺满两种结果。或是课前准备需要的图形，课上铺一下；或者在
教科书的图形上画一画，感受铺的活动。第二，从数学角度、用数学知识解释铺满与
不铺
满的原因。例
9
里的“萝卜”卡通用两个没有余数的除法算式说
明正好铺满的原
因，“番茄”卡通用有余数除法算式说明不能铺满的理由。当铺图形的结
果用除法解
释时，就可能与因数和倍数知识建立联系了。第三，继续联想还有哪些边长是
整厘米
的正方形，也能铺满长
18
厘米
、宽
12
厘米的长方形；长
3
厘米、宽
2
厘米的长方形
还能铺满边长多少厘米的正方形。这些联想基于已经进行过的操作，有利于丰富对公
因
数与公倍数的感性认识。例
9
与例
11
里“辣椒”卡通和“蘑菇”卡通的交流，是两
个层次的思考。前
者形象的成分多些，一边说、一边想铺图形的状况。后者理性一
点，用因数或倍数知识作
出比较概括的描述。多数学生会先形象思考，后理性思考，
而且理性思考需要教师的点拨
和扶持。
关于公因数与公倍数的意义，和因数与倍数一样，教
材没有给出定义，只是结合
实例作出描述。理解概念要正确认识它的内涵、把握它的外延
。所谓概念的内涵，是
指概念反映的一切对象的共同的本质属性。公因数是几个数公有的
因数，公倍数是几
个数公有的倍数。可见，“几个数公有的”是公因数与公倍数这两个概
念的本质属
性。在因数与倍数的基础上建立公因数、公倍数的概念，教材利用“既是……
又
是……”这样的句式，凸显“公有”的含义，突出了概念的内涵。所谓概念的外延，<
/p>
是指概念包括的一切对象。对具体事例是否属于概念作出判断，就是识别概念的外
延。作出的判断，有时是肯定，即具体对象是概念的一个实例；有时会否定，即具体
对象不属于概念的范围。例
9
在揭示
12
和
18
的公因数概念以后
，提出“
4
是
12
和
18
的公因数吗？”例
11
在揭示
2
和
3
的公倍数概念以后，提出“
8
是
2
和
3
的公倍数
吗？”都是利用反例进一步加强概念。学生在“是……不是……”的情境里，可以加
强对概念的认识。
2.
运用数学概念，探索找两个数的公因数与公倍数的方法。
本单元只教学两个数的公因数、最大公因数，两个数的公倍数、最小公倍数。这
些都是最基础的知识与技能，约分或通分时会经常应用。不把短除法求两个数的最大
< br>公因数、最小公倍数作为基本内容与要求，有两点原因：一是求两个一位数或较小的
两位数的最大公因数、最小公倍数，一般利用口算就能解决，不需要短除法。二是通
过
写出两个数的因数或倍数，找出两个数的最大公因数、最小公倍数，不仅有可操作
性，而
且应用了数学概念，有加强概念的作用。
例
< br>10
求两个数的公因数与最大公因数。教学起点是学生会求一个数的全部因数，<
/p>
已经建立了公因数的概念。教学的基本线索是：先分别列出两个数的所有因数，再找
出两个数的全部公因数，然后确定两个数的最大公因数。
根据公因数的概念求
8
和
12
的公因数，一般会有两条思路：一条像“辣椒”卡通
那样“
既是
8
的因数，又是
12
的因数，才是
8
和
12
的公因数”。于是分别写出
8
和
12
的因数，找出其中的公因数。另一条像“蘑菇”卡通那样“如果
8
的因数也是
12
的
因数，那么就是
8
和
< br>12
的公因数”。于是写出
8
的
因数，从中找出
12
的因数，得到
8<
/p>
和
12
的公因数。两条思路在本质上是一
致的，都从公因数概念出发，思考“什么样的
数是
8
和
12
的公因数”，通过推理找到公因数。两种方
法不同在于，前一种需要较多
的记录，必须把
8
的因数、
12
的因数都写出来，才能找出公因数；后一
种可以逐个地
想
8
的因数，同时看是不
是
12
的因数，如果是
8
和
12
的公因数就写下来，如果不是
8
和
12
的公因数就随时排除
。显然后一种方法稍快些，比较适合通分的需要。当然把后
一种思路改成先找出
12
的因数，再从中找
8
的因数也可以。
最大公因数是从公因数派生出来的概念。两
个数的公因数里最大的一个，是这两
个数的最大公因数。教材没有给出最大公因数的定义
，而是联系
8
和
12
< br>的公因数
1
、
2
、
4
，指出其中最大的
4
，是
8
和
12
的最大公因数。
集合图能直观形象地显示
公因数、最大公因数的含义。例
10
把
8
的因数与
12
的
因数分别写到两个集合圈里，两个集合圈有一部分数相同。如果把两个集合圈重叠起
来，重叠部分写的数既是
8
的因数，又是
12
的因数，即是
8
和
12
的公因数，由此可
以直观地表现出两个数公因数
的含义。应该让学生仔细观察集合图，看清它的结构，
看懂它的填法，体会公共部分表示
的意思，并适当进行填写集合图的练习，加强数学
概念的教学。
练习七第
1~8
题配合例
9
与例
10
编排。第
1
题把公因数、最大公因数的概念与找
公因数
、最大公因数的方法结合起来，要求先分别写出两个数的全部因数，再找出两
个数的公因
数和最大公因数。第
4
、
5
、
6
题都是求两个数的最大公因数，其中第
4
题
要引导学生采用“从较小数的因数里寻找
公因数”的方法，因为这道题的各组数中，
两个数既不是因数与倍数关系，也不是互质数
，是求公因数的一般情况，对以后的分
数加、减计算有很大影响。第
5
题左边四组数中，每组的大数与小数都有倍数、因数
关系
；右边四组数中，每组的两个数都只有公因数
1
。可以先利用求
两个数公因数的一
般方法得出最大公因数，分别发现“较小数是最大公因数”“最大公因
数是
1
”这些规
律。以后遇到类似的情
况（如第
6
题），就能利用规律直接找到两个数的最大公因
数。第
7
题说出分数的分子和分母的最大公
因数，是第
6
题的变式，本质上仍然是求
两个数的最大公因数，却渗透了约分的思想方法。第
8
题把一
张长
15
厘米、宽
9
< br>厘米
的长方形纸裁成同样大的正方形，利用公因数和最大公因数的知识解决实际问
题。教
材希望学生通过画示意图，体会这样的问题与公因数有关，并采用求两个数的公因
数
的方法来解题。
例
11
与例
12
教学两个数的公
倍数的概念以及求两个数的公倍数与最小公倍数的
方法，安排的教学线索、教学活动，以
及练习题，都和公因数、最大公因数的教学相
似。学习公因数的经验如果用到学习公倍数
上，学生的主动性和能动性都会有很好的
发挥，教学效率和效果都会更加好些。
需要再次说明的是本单元编排了少量与两个数的公因数、公倍数有关的
实际问
题。除了上面已经提及的练习七第
8
题，还有练习七第
14
题，整理与练习第
< br>11
、
12
题等。这些题确实在
应用最大公因数、最小公倍数的知识，然而，更重要的是在现实
情境里体验公因数、公倍
数的意义，加强对这些概念的理解。为此，教材分别在这些
题里提供了列举的表格、可供
操作的直条或月历，帮助学生发现实际问题里有公因
数、公倍数的内容，体会解决相关实
际问题就是求两个数的最大公因数或最小公倍
数。像这样既解决了实际问题，又加强了对
公因数、公倍数的认识，正是教材所希望
的。
【探索规律和与积的奇偶性】
学生进
行过大量的整数加法计算和乘法计算，却很少会去注意加法的和、乘法的
积是奇数还是偶
数。因为教学计算的时候，精力集中在算理与算法上，要理解并掌握
计算法则，要正确并
顺利地算出得数，还要利用计算解决实际问题。由于这些任务，
一般不会对计算的得数作
进一步的研究。况且在教学整数四则计算的时候，学生还没
有奇数、偶数的概念，不可能
去关注和与积的奇偶性。现在，整数知识的教学已经全
部完成，学生较好地掌握了整数的
运算，也建立了奇数和偶数的概念，有条件研究整
数加法的和、整数乘法的积，探索其中
的奇偶性规律。
前面几册教科书里的探索规律，大多数是研究
现实生活里的现象，如间隔现象、
周期现象等。这次探索整数加法和乘法中的规律，直接
研究数学现象，在内容上与过
去不大相同。这点变化能引发学生的兴趣，调动他们的积极
性与能动性。
教材的安排是先研究和的奇偶性，再研究积的奇
偶性。在研究和的奇偶性时，给
学生的指导比较多，过程与方法的安排比较细致。而从中
积累的数学活动经验，可以
应用到研究积的奇偶性上。所以，研究积的奇偶性的教材，编
写相当精练、比较开
放。
和的奇偶性
分两段研究。第一段研究两个非
0
自然数相加的和，第二段研究
多个
非
0
自然数相加的和。不把
0
放在研究范围内，是因为
0
和一个数相加或相乘，得数
都有其特殊性。况且在教学因数和倍数时，学生已经
习惯只考虑非
0
自然数了。
研究两个非
0
自然数的和，分四步进行。第一步
学生每人任意选两个不是
0
的自
然数，
求出它们的和。然后通过小组交流，把各人选择的加数与算出的和，填在教材
设计的表格
里，积累研究的素材。表格里有一栏“和是奇数还是偶数”，填写这栏能
感知整数加法的
和不是奇数就是偶数，于是产生问题：“怎样的数相加，和是奇
数？”“怎样的数相加，
和是偶数？”逐渐形成探索规律的心向。第二步“玉米”卡
通提示学生“观察填好的表格
，说说你的发现”，引导他们初步寻找规律。“辣椒”
“蘑菇”“萝卜”三个小卡通的交
流代表了众多学生的发现，是这一步活动应该达到
的程度，否则会影响下一步的研究。不
过，教室里学生的交流还需要经过适当整理，
才能像三个小卡通那样有条理。其实，“辣
椒”卡通是讲怎样的两个数相加，和是偶
数；“蘑菇”卡通是讲怎样的两个数相加，和是
奇数。教学时，要在学生充分交流的
基础上，引导他们整理规律，培养表达规律的能力。
第三步继续举一些两个数相加的
例子，验证刚才的发现。这时举例验证，要指向规律来设
计，至少应有三道加法题，
分别是两个偶数相加、两个奇数相加、一个偶数与一个奇数相
加。这样不仅全面验证
初步的发现，还能加深对规律的体验。第四步联系实例进一步体验
两个数的和的奇偶
性。打开数学书，左、右两页的页码是两个连续的自然数，一定是一个
偶数、一个奇
数，这样两个数的和一定是奇数。用前面发现的规律能够作出这种判断，把
两个数相
加的计算能够证明判断是正确的。
< br>研究多个非
0
自然数的和，分三步进行。第一步任意选择
几个不是
0
的自然数，
写成一道连加算
式，猜想和会是奇数还是偶数，并通过计算验证猜想。组织这一步活
动要注意三点：一是
建议学生从三个数相加，到四个、五个数相加。像这样逐步增加
加数的个数，有利于找出
规律。二是选择的加数不要很大，不必把精力放在计算上。
较小的数相加，计算方便，同
样能发现规律。三是列出连加算式，先猜想它的和会是
奇数还是偶数，再通过计算验证。
这时的猜想，不应只凭兴趣随意猜想，而应该有些
理性思考。当然，也不要上升到规律层
面，因为下面还有探索规律的教学安排。如，
15+21+8
的
和可以这样想：先算前面两个奇数相加得到偶数，接着偶数加偶数得到偶
数。又如，
37+22+16+9+42
的和可以这样想：从左往右计算，四次
的得数依次是奇数、
奇数、偶数、偶数，这些数连加的和是偶数。第二步小组讨论教材里
的两组问题，得
出若干个自然数连加，和的奇偶性规律。任何一道连加算式的加数都能分
成两类，一
类是偶数，一类是奇数。利用加法运算律，把所有偶数与所有奇数分别相加，
所有偶
数的和肯定是偶数，所有奇数的和可能是偶数，也可能是奇数。如果所有奇数的和
是
偶数，那么连加算式的最后得数是偶数；如果所有奇数的和是奇数，那么连加算式的<
/p>
最后得数是奇数。可见连加算式最后得数的奇偶性，由算式里的奇数加数的个数所决
定。为此，教材引导学生观察连加算式里有几个加数是偶数、几个加数是奇数，并思
考奇数加数的个数与连加算式最后得数的关系，从中发现规律。第三步应用发现的规
律，在复杂的连加情境里作出判断。如，
1+3+5+
…
+99
的加数比较多，并且都是奇数，
根据加数的个数，就能直接说出得数是奇数还是偶数。这是学生很感兴趣的一步，可
以
鼓励他们自己写出一些复杂的连加算式，判断和的奇偶性。
关
于若干个自然数连乘的积的奇偶性，教材鼓励学生自主探索。让他们自己写出
连乘式子，
在从左往右计算中体会规律。如计算
3
×
7
×
2
×
4
×
5
要做四次乘法，各次
的积依次是奇数、偶数、偶数、偶数。类似这样的计算再进行几次，就能够得出像
“辣椒”“番茄”卡通那样的结论。组织学生探索积的奇偶性，要充分利用探索和的
奇偶性的活动经验，给学生自主开展研究的机会。对此提出三点建议：第一，带领学
生回
顾和的奇偶性是如何探索的，借鉴其方法与过程，规划探索积的奇偶性的步骤与
活动，帮
助学生有计划地开展研究活动。第二，给学生探索发现的时间要充分，如果
课上来不及，
尽管向课外延伸。第三，与和的奇偶性一样，积的奇偶性不必要求学生
记住。探索规律的
教学，要重视探索过程、探索方法，要积累开展探索活动的经验，
要培养发现规律、表达
规律的意识与能力。只要学生经历了探索和与积的奇偶性的活
动，以后如果再遇到有关问
题，就会有解决问题的策略与方法。
【第四单元分数的意义和性质】
从本
单元起，将系统教学分数的知识。包括分数的意义和性质、分数的四则计算
和混合运算、
分数的实际应用等内容，它们都是小学数学里十分重要的内容。
学生在三年级初步认识了分数，遇到把一个物体平均分或者把若干个物体组成的
整体平
均分的时候，会用分数表示其中的一份或几份；能够在直观的情境里比较同分
母分数的大
小；会进行同分母分数的加、减法计算。在本册教科书的第三单元里，学
生又掌握了因数
和倍数的知识，会求两个数的最大公因数和最小公倍数。可以说，他
们已经具备了深入学
习分数知识的条件。
系统教学分数知识，在知识技能方面，认
数与运算的范围将有很大的扩展，不仅
能用整数、小数，而且能用分数刻画现实生活里的
一些现象；在数学思考方面，由于
分数的意义比整数、小数更加抽象，分数的运算比整数
、小数更加复杂，思维能力会
有更大的发展；在问题解决方面，分数能够表示部分与整体
的关系，能够表示两个数
量之间的倍比关系，将会认识许多新的数量关系，发现并提出、
理解并解决问题的能
力会有新的提高；在情感态度方面，会对数学以及数学学习更有兴趣
，会对数学与人
类社会相互影响、共同发展的关系更有体会。
本单元教学分数的意义和性质，编排了十五道例题。具体安排见下表：
< br>
例
1
分数的意义
例
2
、例
3
分数与除法的关系
例
4
用分数表示两个数量的倍比关系
例
5
、例
6
真分数和假分数
例
7
、例
8
假分数化成整数或带分数
例
9
、例
10
分数和小数的相互改写
例
11
、例
12
分数的基本性质
例
13
约分
例
1/4
通分
例
1/5
比较分数的大小
单元整理与练习从表
格里可以看到，本单元的内容很多，编排的例题和练习也
多。如果整体把握教材，主要是
分数的意义和分数基本性质两大部分。在分数意义这
个部分，要在直观认识分数的基础上
形成分数的概念，利用分数表示部分和整体的关
系，或者表示两个数量之间的倍比关系；
要在分数与除法之间建立联系，实现分数和
小数的互化；要利用分数单位，从真分数推理
出假分数，联系整数或带分数感受假分
数的数值。分数基本性质这个部分，要理解分数性
质的内容，并且和除法的商不变性
质建立对应关系；要应用分数性质进行分数大小比较以
及约分和通分，为以后的分数
计算作准备。
< br>分数的意义和性质历来是小学数学的重要内容，与传统小学数学里分数意义与性
质
的教学相比较，本单元教材有两点显著变化：一是加强用分数表示两个同类数量之
间的倍
比关系，既能充实对分数意义的理解，又能为解决分数实际问题打下基础。二
是教学分数
与除法的关系、真分数和假分数、分数化成整数或带分数、分数的基本性
质等内容，各编
排两道例题，加强了知识的形成过程，学生的数学学习更加具有探索
性和层次性，有利于
他们理解和掌握这些重要的基础知识。
（一）
概括已有的关于分数的感性认
识，建立单位“
1
”的概念，给出分数的描
述性定义
小学数学关于分数意义的表述是：把单位“
1
”平均分成若干份，表示这样的一份
或几
份的数，叫作分数。这是对分数的描述式定义。其中单位“
1
”
、平均分、表示一
份或几份的数，是定义里的几个要点。单位“
1
”是教学分数意义的关键，学生理解单
位“
< br>1
”不容易，是必须突破的教学难点。
例
1
教学分数的意义，分四步进行。第一步用分数表示
一块饼的四分之一、一个
长方形的八分之五、一根长
1
米直条的五分之三、
6
个圆组成的整体的三分之
一，并要
求结合直观图形说说写出的各个分数的含义，引起对已有知识的回忆。感受被平
均分
的对象十分广泛，为建立单位“
1
”和深入理解分数意义收集了资源，积累了丰富的感
性材料。第二步指出被平均分的一个
物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可
以用自然数
1<
/p>
来表示，通常把它叫作单位“
1
”。这里
把自然数
1
作为建立单位“
1
”
概念的台阶，出于以下的原因：首先，被平均分的对象都是“一个”，
即一个物体、
一个图形、一个计量单位、一个整体，“一个”用自然数
< br>1
表示，学生容易接受。在
理解可以用自然数
1
表示以后，再提升成单位“
1
< br>”，降低了认知的坡度。其次，解决
实际问题时，往往用自然数
< br>1
代替单位“
1
”参与列式计算
，学生应该知道单位“
1
”
可以用自然
数
1
表示。另外，初步体现了分数与自然数的联系，对后面教学
假分数起
铺垫作用。第三步回答“茄子”卡通的问题，再认例题写出的四个分数的单位“
1
”各
是什么，把抽象的概念回归到具
体的情境里面，加强对单位“
1
”的体验。学生按“茄
子”卡通的要求回答问题，说出例题的四个分数分别“把单位‘
1
’平均分成几份，表
示这样的几份”，就为接受分数的描述式定义准备
了数学语言。第四步揭示分数的意
义和分数单位的含义。体会教材讲述的分数意义，是对
许多分数含义的抽象与概括。
每一个分数都有它的分数单位，都是一个或几个分数单位组
成的数。由于在前三步的
教学中，逐渐建立了单位“
1
”的概念，这一步的教学就顺理成章了。