2018-2019学年上海市控江中学高二上学期期末质量调研数学试题(解析版)
-
上海市控江中学高二上学期期末质量调研数学试题
一、单选题
1
．
已知常数
D
、
E
、
F
是实数，
< br>则
“
D
2
E
2
4
F
0
”
是
“
方程
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
是圆方程
”
的（
）
．
A.
充要条件
要条件
【答案】
A
【解析】
把圆的一般方程
x
2
y
2
Dx
Ey
F
0
B.
充分不必要条件
C.
必要不充分条件
D.
既不充分也不必
D
2
F
2
D
2
E
2
4
F
化为标准方程
(
x
)
(
x
)
，由半径的平方大于零，反之也成
2
2
4
立。
【详解】
2
2
D
F
D
<
/p>
E
4
F
2
2
Q
x
y
Dx
Ey
F
0
，配方可得
(
x
)
(
x
)
，
2
2
4
2
2
因为
D
2
E
2
4
F
0
，根据圆的标准方程，条件是充分的，
D
2
F
2
D
2
E
2
4
< br>F
若
(
x
)
(
x
)
表示圆
，
2
2
4<
/p>
D
2
E
2
4
F
则
0
，即
D
2
E
< br>2
4
F
0
，故必要性成立。
4
故选：
A
【点睛】
本题考查充要条件，需证原命题与逆命题均成立。
2
．在平面直角坐标系
xOy
中，设点集
G
(
x
,
y
)
|
y
x
，则
G
中的点都落在曲线
（
）
．
A.<
/p>
y
2
x
上
B.
y
|
x
|
上
< br>2
y
2
C.
1
上
x
D.
x
2
y
上
【答案】
B
【解析】
根据方程的解与曲线上的点的关系解答即可。
【详解】
第
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G
(
x
,<
/p>
y
)
|
y
2
x
，所以
G
(
x
,
y
)
|
y
2
x
,
x
0,
y
R
y
x
上点在
y
2
x
(
x
0,
y
0)
上，故
A
错误；
y
2
|
x
|
上点在
y
2
x
(
x
0,
y
R
)
上，故
B
对；
< br>y
2
1
上点在
y
2
x
(
x
0
,
y
R
)<
/p>
，故
C
错误；
x
x
2
y
与
y
2
x
曲线方程不同，故
D
错误；
故选：
B
【点睛】
本题考查方程的解与曲线上的点的关系，属于基础题。
3
．已知曲线
的参
数方程
线
是（
）
．
x
2sin
<
/p>
,
(0
)
．若以下曲
线中有一个是
，则曲
y
cos
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
消参把参数方程化为普通方程，再有
0
确定
x
,
y
的取值范围即可确定<
/p>
轨迹。
【详解】
x
2sin
,
x
2
(0
)<
/p>
，消参化简可得
y
2
1(0
x
1,
1
y
1
，
由
4
y
cos
因此
B
正确
故选：
B
【点睛】
本题考查参数方程向普通方
程的转化以及方程的轨迹，注意参数的取值范围。
x
2
y
2
B
是双曲线
:
4
．
已知
A
、
右顶点，
动点
P
在
上且
P
在第一象限．
若
1
的左、
4
3
第
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PA
、
PB
的
斜率分别为
k
1
，
k
2
，则以下总为定值的是（
）
．
A.<
/p>
k
1
k
2
【答案】
C <
/p>
【解析】
求出左右顶点
A
、
B
,
设
P
x
0
,
y
0
<
/p>
，根据两点式求斜率即可求解。
【详解】
2
2
3
2
x
0<
/p>
y
0
2
设
P
x
0
,
y
0
，其中
1
，即
y
0
< br>
x
0
4
4
4
3
B.
k
1<
/p>
k
2
C.
k
1
k
2
2
2
D.
k
1
k
2
2
y
0
y
0
y
0
3
<
/p>
．
则
k
1
，
k
2
，
k
1
k
2
2
x
0
2
x
0
<
/p>
2
x
0
4
4
【点睛】
本题考查双曲线的性质以及两点式求斜率，需熟记双曲线的性质。
二、填空题
5
．设非零向量
d
是直线
一个）
【答案】
(2,3)
u
r
【解析】
首先把直线方程
化为一般式，
根据直线
L
:
ax
+
by
+
c
=
0
,
方向向量
d
为
(
b
,
a
< br>)
r
r
x
1
y
的
一个方向向量，则
d
可以是
_____
___
．
（只需填写
2
3
或
(
b
,
a
)
即可求解。
【详解】
由
x
1
< br>y
可得
3
x
2
y
3
0
2
3
u
r
因为直线
L
:<
/p>
ax
+
by
+<
/p>
c
=
0
,
方向向量
d
为
(
b
,
a
)
或
(
b
,
a
)
< br>
u
r
所以
3
x
2
y
3
0<
/p>
的
a
3,
b
2
，即一个方向向量
d
(2,3)
，
故答案为：
(2,3)
【点睛】
本题考查直线的方向向量，
需掌握方向向量的求法：
在直线上任取两点坐标相减得到的
向量即为方向向量。
6
< br>．直线
y
2
< br>x
1
与圆
x
y
1
的位置关系为
________
．<
/p>
（填
“
相交
”<
/p>
、
“
相切
”
、
“
相
离
”
）
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2
2
【答案】
相交
【解析】
根据圆心到直线的距离
d
与半径
r
作
比较，当
d
>
r
，相离；当
d
r
< br>，相切；
当
d
r
，相交，由此即可判断。
【详解】
由圆的方程
x
y
1
，则圆心为
(0,0)
，半径<
/p>
r
1
；
由
y
2
x
1
，则
2
x
< br>y
1
0
，
圆心到直线的距离
2
2
d
0
0
1
2
2
(
<
/p>
1)
2
1
5
1
5
5
所以直线与圆相交。
故答案为：相交
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，
利用圆心到直线的距离与半径作比较判断，
属于基础题。
7
．若直线
l
的参数方程是
【答案】
-2
【解析】
把参数方程消参化为斜截式方程即可
求出斜率。
【详解】
由
x
< br>
2
t
,
(
t
R
)
，则
l
的斜
率为
________
．
y
1
2
t
x
2
t
,
(
t<
/p>
R
)
，消去参
数
t
可得
y
2
x
3
，
y
1
2
t
所以直线的斜率
k
2
故答案为：
2
【点睛】
本题考查直线的参数方程与一般方程的互化，属于基础题。
<
/p>
8
．已知点
A
的
坐标为
(5,0)
，点
B
是圆
(
x
1)
2
(
< br>y
2)
2
1
上的动点，则线段
AB
的
长的最大值为
________
．
【答案】
2
5
1
【解析】
根据点与圆的位置关系可知点在圆外，线段
AB
的长的最大值化为圆心与点
A
的距
离加半径即可。
【详解】
第
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由圆
(
x
<
/p>
1)
2
(
y
2)
2
1
可知圆心
O
为
(1,2)
，
r
1
，
则
OA
(1
5)
2
(2
0)
2
20
2
5
所以
AB
max
OA
r
2
5
1
故答案为：
2
5
1
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系
，借助圆心为定点，把动点距离问题转化为定点距离问题，
属于基础题。
9
．已知椭圆中心在原点，一个焦点为
(
3
，
0)
，且长轴长是短轴长的
2
倍，则该椭圆
的标准方程是
________
【答案】
【解析】
< br>已知椭圆中心在原点，一个焦点为
，且长轴长是短轴长的
2
倍。故得
（
3
，
0
）
到
c
3,
a
<
/p>
2
b
,
Q
a
2
b
2
c
2
b
2
1,
b
1.
a
2.
x
2
故得到
椭圆方程为：
y
2
< br>
1
。
4
x
2
故答案为：
< br>
y
2
1
。
4
1
0
．若抛物线
y
2
2
px
（常数
< br>p
0
）上的动点
Q
到焦点的距离最小值是
1
，则
p
________
．
【答案】
2
【解析】
根据抛物线的定义，把动点到焦点的距离转化为到准线的距离
即可求解。
【详解】
设抛物线的焦点为
F
，则
F
(
由题意得
QF
min
故答案为：
2
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义与性质，属于基础题。
11
．已知双曲线
x
<
/p>
2
p
p
,0)<
/p>
，且
QF
x<
/p>
Q
(
x
Q
0)
；
2
2
p
p
1
，所以
x
Q
min
1(
x
Q
0)
，即
0
1
，解得
p
2
2
2
y
2
1
（常数
0
）的一条渐近线为
y
2
x
，则
________
．
第
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页
【答案】
4
【解析】
利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程，
根据已知给出的一条渐近线方程对<
/p>
比求出
即可。
【详解】
由双曲线
< br>x
2
y
2
，则渐近线方程为
y
x
，
1
（
0
）
又因为其中一条渐近线为
y
2
x
，所以
2
，解得
4
故答案为：
4
【点睛】
本题考查根据双曲线方程求
解其渐近线方程的方法，
考查学生对双曲线标准方程和渐近
线方
程的认识和相互转化，考查学生的比较思想，属于基本题型。
x
2
y
2
12
．已知椭圆
1
的右焦点为
F
，过原点
O
作直线交椭圆于
A
、<
/p>
B
两点，点
A
1
6
7
在
x
轴的
上方．若三角形
ABF
的面积为
2
，则点
A
(
p
,
q
)
的纵坐标<
/p>
q
________
< br>．
【答案】
2
3
【解析】
由已知根据椭圆的对称性求出
B
(
<
/p>
p
,
q
)
，再由三角形的面积公式即可求解。
【详解
】
如图
2
2
x
y
Q
椭圆
1
的右焦点为
F
(3
,0)
，
A
(
p
,
q
)
，且
q
0
16
7
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页
由椭圆的对称性知：
B
(
p
< br>,
q
)
，
1
1
S
ABF
OF
q<
/p>
OF
q
OF
q
3
q
2
2
2
2
解得
q
<
/p>
3
2
故答案为：
3
【点睛】
本题考查椭圆对称性的运用，属于常规题型。
13
．若实数
x
、
y
满足
【答案】
[
2,2
2]
y
1
x
2
，则
y
2
x
的取值范围为
________
．
2
y
y
2
2
2
【解析】
由已知实数
x
、
y
满足
1
x
化简得
x
1(
1
x
1,
y
0)
，
2
4
y
2
设
z
y
2
x
，
z
y
2
< br>x
与
x
1(
1
x
1,
y
0)
联立且由数形结合方法即可
4
2
求出
y
2
x
的范围。
【详解】
<
/p>
y
y
2
2
2
由实数
x
、
y
满足
1
x
化简得
x
1(
1
x
1,
y
0)
，
设
z
y
2
x
，
则
2
4<
/p>
2
y
2
1
x
整理得
8
x
2
4
zx
z
2
< br>
4
0
，所以
(4
z
)
2
4
8
(<
/p>
z
2
4)
0
，
4
z
y
2
< br>x
即
2
2
z
2
2
，由
<
/p>
1
x
1,
y
0
，所以
z
y
2
x
在
(1,0)
取得最小值，
即
z
min
2
，所以
2
z
2<
/p>
2
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