四年级秋季培优数学讲义
-
汉中睿智教育
四年级培优数学
2013
秋季班
汉中睿智教育
第一讲
找规律（一）
专题简介：
观察是解决问题的根据。
通过观察，
得以揭示出事物的发展和变
化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：
1
．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填
的数；
2
．根据相隔的每两个数的关系，找
出规律，推断出所要填的数；
3
．要善
于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；
4
．
数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，
只要言之有理，
所得出的规律都可以认为是正确的。
例
1
：
先找出下列
数排列的规律，
并根据规律在括号里填上适当的数。
1
，
4
，
7
，
10
，（
< br>），
16
，
19
分析：在这列数中，相邻的两个数的差都是
3
，即每
一个数加上
3
都等于后面的数。根据这一规律，括号里应填的数
为：
10+3=13
或
16
－
3=13
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练
习
一
先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（
1
）
2
，
6
，
10
，
14
，（
），<
/p>
22
，
26
（
2
）
3
，
6
，
9
，
12
，（
），
18
，
21
（
3
）
33
，
28
，
23
，（
），
13
，（
），
3
（
4
）
55
，
49
，
43
，（
），
31
，（
），
19
（
5
）
3
，
6<
/p>
，
12
，（
），
48
，（
），
192
（
6
）
2
，
6
，
18
，（
），<
/p>
162
，（
）
例
2
：先找
出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1
，
2
，
4
，
7
，（
），<
/p>
16
，
22
分
析：在这列数中，前
4
个数每相邻的两个数的差依次是
1
，
2
，
3
。由此可以推算
7
比括号
里的数少
4
，括号里应填：
7+4=1
1
。
经验证，所填的数是正确的。
应填的
数为：
7+4=11
或
16-5=11
练
习
二
先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（
1
）
10
，
11
，
13
，
16
，
20
，（
），
31
（
2
）
1
，<
/p>
4
，
9
，
16
，
25
，（
），
49
，
64
（
3
）
3
，
2
，
5
，
2
，
7
< br>，
2
，（
），（
），
11
，
2
（
4
）
53<
/p>
，
44
，
36<
/p>
，
29
，（
），
18
，（
），<
/p>
11
，
9
，
8
（
5
）
81
，
64
，
49
，
36
，（
），
16
，（
），<
/p>
4
，
1
，
0
（
6
）
1
，
6
，
4
，
8
，
< br>7
，
10
，（
< br>
），（
），
13
，
14
例
3
：先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23
，
4
，
< br>20
，
6
，
17
，
8
，（
），（
），
11
，
12
分析：
在这列数中，
第一个数减去
3
的差是第三个数，第二个数
加上
2
的和是第四个数，
第三个数减去
3
的差是第五个数，
第四个数
加上
2
的和是第六个数
……
依此规律，
8
后
面的一个数为：
17-3=14
，
11
前面的数为：
8+2=10
练
习
三
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
< br>（
1
）
1
，
6
，
5
，
10
，
9
，<
/p>
14
，
13
，（
），（
）
（
2
）
13
，
2
，
15
，
4
，
17
，
6
，（
），（
）
（
3
）
3
，
29
，
4
，
28
，
6
，
26
，
9
，
23
，（
），（
），
18
，
1
4
（
4
）
2
，
9
，
6
，
10
，
18
，
11
，
54
，（
），（
），
13
，
4
86
（
5
）
1
，
5
，
2<
/p>
，
8
，
4
，
11
，
8
，
14
，（
），（
）
（
6
）
320
，
1
，
160
，
3
，
80
，
9
，
40
，
27
，（
），（
）
例
4
：在数
列
1
，
1
，<
/p>
2
，
3
，
5
，
8
，
13
，（
），
34
，
55……
中，括
号里应填什么数？
分析：经仔细观察、分析，不难发现：从第三个数开始，每一个<
/p>
数都等于它前面两个数的和。根据这一规律，括号里应填的数为：
8+13=21
或
34
－
13=21
上面这个数列叫做斐波那切
（意大利古代著名数学家）
数列，
也
叫做“兔子数列”
。
练
习
四
先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
< br>（
1
）
2
，
2
，
4
，
6
，
10
，<
/p>
16
，（
），（
）
（
2
）
34
，
21
，
13
，
8
，
5
，（
），
2
，（
）
（
3
）
0
，
1
，
3
，
8
，
21
，（
），
144
（
4
）
0
，
1
，
4
，
15<
/p>
，
56
，（
）
（
5
）
1
，
3
，
6
，
8
，
16
，
18
，（
），（
），
76
，
78
（
6
）
0
，
1
，
2
，
4
，
7
，
12
，
20
，（
）
例
5
：下面
每个括号里的两个数都是按一定的规律组合的，在□里填
上适当的数。
< br>
（
8
，
4
）
（
5
，
7
）
（
10
，
2
）
（□，
9
）
分析：经仔细观察、分析，不难发现：每个括号里的两个数相加
的和都是
12
。根据这一规律，□里所填的数应为：
12
－
9=3
练
习
五
下面括号里的两个数是按一定的规
律组合的，在□里填上适当的数。
（
1
）（
6
，
9
）
（
7
，
8
）
（
10
，
5
）
（□，）
（
2
）（
1
，
24
）
（
2
，
12
）
（
3
，
8
）
（
4
，□）
（
3
）（
18
，
17
）
<
/p>
（
14
，
10<
/p>
）
（
10
，
1
）
（□，
5
）
（
4
）（
2<
/p>
，
3
）
（
5
，
9
）
（
7
，
13
）
（
9
，□）
（
5
）（
2<
/p>
，
3
）
（
5
，
7
）
（
7
，
10
）
（
10
，□）
（
6
）（
8<
/p>
，
6
）
（
16
，
3
）
（
24
，
2
）
（
12
，□）
第二讲
简
单
推
理
专题简析：
解答推理问题，要从许多
条件中找出关键条件作为推理的突破
口。推理要有条理地进行，
要充分利用已经得出的结论，作为进一步
推理的依据。
例
1
：一包巧克力的重量等于两袋饼干的重量
，
4
袋牛肉干的重
等于一包巧克力的重
量，一袋饼干等于几袋牛肉干的重量？
分析：根据“一包巧克
力的重量
=
两袋饼干的重量”与“
4<
/p>
袋牛
肉干的重量
=
一包巧克力的重量”可推出：两袋饼干的重量
=4
袋牛肉
干的重量。因此，一袋饼干的重量
=
两袋牛
肉干的重量。
练
习
一
（
1
）
3
包巧克力的重量等于两袋糖的的重量，
12
袋牛肉干的重
量等于
3
包巧克力的重量，一袋糖的重量等于几袋牛肉干的重量？
< br>
（
2
）一只小猪的重量等于
6
只鸡的重量，
3
只鸡的重量等于
4
只鸭的重量。一只小猪的重量等于几只鸭的重量？
例
2
：一头象的重量等于
4
头牛的重量，一头牛
的重量等于
3
匹
小马的重量，
一匹小马的重量等于
3
头小猪的重量。
一头象的重量等
于几头小猪的重量？
分析：根据“一头象的重量等于
4
头牛的重量”
与“一头牛的重
量等于
3
匹小马的重量
”可推出：“一头象的重量等于
12
匹小马的
< br>重量”，而“一匹小马的重量等于
3
头小猪的重量”，因
此，一头象
的重量等于
36
头小猪的重
量。
练
习
二
（
1
）一头牛一天吃草的重量和一只兔子
9
天吃
草的重量相等，
也和
6
只羊一天吃草的
重量相等。已知一头牛每天吃青草
18
千克，
< br>一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？
（
2
）一只小猪的重量等于
6
只鸡的重量，
3
只鸡的重量等于
4
只鸭的重量，两只鸭的重量等于
6
条鱼的重量。问：两只小猪的重量
等于几条鱼的重量？
例
3
：根据下面两个算式，求○与□各代表多
少？
○＋○＋○
=18
○＋□
=10
分析：
在第一个算式中，
3
个○相
加的和是
18
，所以○代表的数
是：<
/p>
18
÷
3=6
，
又由第二个算式可求出□代表的数是：
10
－
< br>6=4
练
习
三
（
1
）根据下面两个算式，求□与△各代表多少？
□＋□＋□＋□
=32
△
－□
=20
（
2
）根据下面两个算式，求○与△各代表多少？
○－△
=8
△＋△＋△
=
○
例
4
：根据下面两个算式，求○与△各
代表多少？
△－○
=2
○＋○＋△＋△＋△
=56
分析：由
第一个算式可知，△比○多
2
；如果将第二个算式的○
都换成△，那么
5
个△
=56
＋
2
×
2
，△
=12
，再由第一个算式可知，
○
=12
－
2=10
练
习
四
（
1
）根据下面两个算式，求△与○各代表多少？
△＋△＋△＋○＋○
=78
△＋△＋○＋○＋○
=72
（
2
）根据下面两个算式，求△与□各代表多少？
△＋△＋△－□－□
=12
□＋□＋□－△－△
=2
例
5
：甲、乙、丙三人分别是一小、二小和三小的学生，在区运
动会上他
们分别获得跳高、跳远和垒球冠军。已知：二小的是跳远冠
军；一小的不是垒球冠军，<
/p>
甲不是跳高冠军；乙既不是二小的也不是
跳高冠军。问：他们三个
人分别是哪个学校的？获得哪项冠军？
分析：由“二小的是跳
远冠军”可知垒球、跳高冠军是一小或三
小的；因为“一小的不是垒球冠军”，所以一小
一定是跳高冠军，三
小的是垒球冠军；由“甲不是跳远冠军”，
“乙既不是二小的也不是
跳高冠军”可知，一小的甲是跳高冠军，二小的丙是跳远冠军，
三小
的乙是垒球冠军。
练
习
五
（
1
）小兔、小猫、小狗、小猴和小鹿参加
100
米比赛，比赛结
束后小猴说：“我比小猫跑得快。”小狗说：“小鹿在我前面冲过终<
/p>
点线。”小兔说：“我们的名次排在小猴前面，小狗在后面。”请根
据它们的回答排出名次。
（
2
）五个女孩并排坐着，甲坐在离乙、丙距离相等的座位上，
丁坐在离
甲、丙距离相等的座位上，戌坐在她两个姐姐之间。请问谁
是戌的姐姐？
第三讲
和差问题
专题简析：
已知两个数的和与差，<
/p>
求出这两个数各是多少的应用题，
叫和差
应用题
。
解答和差应用题的基本数量关系是：
（和－差）÷
2=
< br>小数
小数＋差
=
大数（和－小数
=
大数）
或者：
（
和＋差）÷
2=
大数
大数－差
=
小数（和－大数
=
小数）
解答和差应用题的关键是选择适当的数作为标准，
设法把若干个
不相等的数变为相等的数，
某些复杂的应用题没
有直接告诉我们两个
数的和与差，
可以通过转化求它们的和与差
，
再按照和差问题的解法
来解答。
例
1
：
三、四年级同学共植树
128
棵，四年级比三年级多植树
20
棵，求三、四
年级各植树多少棵？
分析与解答：
假如把三、四年级植的
128
棵加上<
/p>
20
棵，得到的和就是四年级
植树的
2
倍，所以，四年级植树的棵数是（
128
+20
）÷
2=74
棵，三
年级植树的棵数是
74
－
20=54
棵。
这道题还可以这样解
答：假如从
128
棵中减去
20
棵，那么得到
的差就是三年级植树棵数的
2<
/p>
倍，由出，先求出三年级植树的棵数
（
1
28
－
20
）÷
2=54
棵，再求出四年级植树的棵数：
54
＋
20=74
棵。
练
习
一
1
、两堆
石子共有
800
吨，第一堆比第二堆多
200
吨。两堆各有
多少吨？
2
、用锡和铝混合制成
600
千克的合金，铝
的重量比锡多
400
千
克。锡和铝各是
多少千克？
例
2
：
两筐梨子共有
120
个，如果从第一筐中拿
10
个放到第二筐
中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？
分析与解答：
根据题意，第一筐减少
10
个，第二筐增加
10
个后，则两筐梨子
个数相等，可知原来第一筐比第二筐多
10
×
2=20
个。假如从
120
个
中减去
20
个，那么得到的差就是第二筐梨子个数的
2
倍，所以，第
二筐原来有（
120
－
20
）÷
2=50
< br>个，第一筐原来有
50
＋
20=
70
个。
练
习
二
1
、红星
小学三（
1
）班和三（
2
）班共有学生
108
人，从三（
1
）
班转
3
人到三（
2
）班，则两班人数同样多。两个班原来各有学生多
少人？
2
、某汽车公司两个车队共有汽车<
/p>
80
辆，如果从第一车队调
10
辆到第二车队，
两个车队的汽车辆数就相等。
两
个车队原来各有汽车
多少辆？
例
3
：
今年小勇和妈妈两人的年龄和是
38
岁，
3
年前，小勇比妈妈
小
26
岁。今年妈妈和小勇各多少岁？
分析与解答
：
3
年前，小勇比妈妈小
26
岁，这个年龄差是不变的，即今年小
勇也比妈妈小
26
岁。
显然，
这属于和差问题。
所以妈妈今年
（
38+26
）
÷
2=32
岁，小勇（
38
－
26
）÷
2=6
岁。
练
习
三
1
、今年
小刚和小强俩人的年龄和是
21
岁，
1
年前，小刚比小强
小
3
岁。今年小刚和小强各多少岁？
2
、黄茜
和胡敏两人今年的年龄和是
23
岁，
4
年后，黄茜将比胡
敏大
3
岁。黄茜和胡敏今年各多少岁？
例
4
：
甲乙两个仓库共有大米
800
袋，如果从甲仓库中取出
25
袋
放到乙仓库中，
则甲仓库比乙仓库还多
8
袋。
两个仓库原来各有多少
袋大米？
分析与解答：
先求甲、
乙两仓库大米的袋数差，由“从甲仓库中取出
25
袋放
到乙仓库中，
则甲仓库比乙仓库还多
8
袋”
可知甲仓库原来比乙仓库
多
25
×
2
＋
< br>8=58
袋。由此可求出甲仓库原来有（
800
＋
58
）÷
2=429
袋，乙仓库原来有
800
－
429=371
袋。
练
习
四
1
、甲、
乙两箱洗衣粉共有
90
袋，如果从甲箱中取出
< br>4
袋放到乙
箱中，则甲箱比乙箱还多
6
袋。两箱原来各有多少袋？
2
、甲、
乙两筐香蕉共重
60
千克，从甲筐中取
5
千克放到乙筐，
结果甲筐比乙筐还多
2
千克。两筐原来各有多少千克香蕉？
例
5
：
把长
108
厘米的铁丝围成一个长方形，使长比宽多
12
厘米，
长和宽各是多少厘米？
分析与解答：
根据题意可知围成的长
方形的周长是
108
厘米，
因此，
这个长方
形长与宽的和是
108
÷
2=54
厘米，由此可以求出长方形的长为
（
54+12
）÷
2=33
厘米，宽为
54
－
33=21
厘米。
练
习
五
1
、把长
84
厘米的铁丝围成一个长方形，使宽比长少
< br>6
厘米。长
和宽各是多少厘米？
2
、
赵叔叔沿长和宽相差
30
米的游泳池跑
6
圈，
做下水前
的准备
活动，共跑
1080
米。游泳池
的长和宽各是多少米？
第四讲
数数图形
专题简析：
我们已经认识了线段、角
、三角形、长方形等基本图形，当这些
图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何
图形。
要想准确地
计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个
数，就需要仔细地观
察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获
得正确的结果。
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1
，弄清被数图形的特征和变化规律。
2
，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
例
1
：数出下面图中有多少
条线段。
A
B
C
D
分析与解答
：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，
做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从
A
点出发的不同线段有
3
条：
AB
、
AC
、
AD
；从
B
点出发的不同线段有
2
条：
BC
、
BD
；从
C
点出发的不同
线段有
1
条：
CD
。因此，图中共有
3+2+1=6
条线
段。
练
习
一
数出下列图中有多少条线段。
（
1
）
（
2
）
例
2
：数一
数下图中有多少个锐角。
E
D
C
B
O
A
分析与
解答：
数角的方法和数线段的方法类似，
图中的五条射线相当<
/p>
于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式
1
+2+3
„„（总射线数－
1
）求得：
1+2+3+4=10
（个）
练
习
二
下列各图中各有多少个锐角？
(
2
)
(
3
)
例
3
：数一数下图中共有多少个三角形。
A
B
C
D
分析与解答：图中
AD
边上的每一条线段与顶点
O
构成一个三角
形，也就是说，
AD
边上有几条线段，就构成了几个三角形
，因为
AD
上有
4
个点，共有
1+2+3=6
条线段，所以图中有
6
个三角形。
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三
数一数下面图中各有多少个三角形。
例
4
：数一
数下图中共有多少个三角形。
O
E
F
A
B
C
D
分析与解答：与前一个例子相比，图中多了一条线段
< br>EF
，因此三角
形的个数应是
A
D
和
EF
上面的线段与点
O
所围成的三角形个数的和。
显然，
以
AD
上的线段为底边的三角形也是
< br>1+2+3=6
个，
所以图中共
有
6
×
2=12
个三角形。
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四
数一数下面各图中各有多少个三角形。
例
5
：数一数下图中有多少个长方形。
A
C
B
D
分析与解答：数长方形与数线段的
方法类似。可以这样思考，图中的
长方形的个数取决于
AB
或
CD
边上的线段，
AB
边上的线段条数是
1+2+3=6
条，所以图中有
6
个长方形。
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五
数一数下面各图中分别有多少个长方形。
第五讲
植树问题
专题简析：
1
．线段上的植树问题可以分为以下三种情形：
（
1
）如果植树线路的两端都要植树，那么植树的棵数应比
要分
的段数多
1
，即：
棵数
=
段数＋
1
；
（
2
< br>）如果一端植树，另一端不植树，那么棵数与段数相等，即：
棵数
=
段数
；
< br>（
3
）如果两端都不植树，那么棵数应比段数少
1
，即：
棵数
=
段
数－
1
。
2
．在封闭的路线上植数，棵数与段数相等，
即：
棵数
=
段数
。