小学四年级数学培优之最值问题初步
-
第十九讲
最值问题初步
1.
有<
/p>
4
袋糖块，其中任意
3
< br>袋的总和都超过
60
块．那么这
4
袋糖块的总和最少有多少块
?
【分析与解】
方法一
：设这
4
袋为
A
、
B
、
C
、
D
，为使
4
袋糖块的总和最少，则每袋
糖应尽量平均，有
A
、
B
、
C
袋糖有
20
、
20
、
21
块糖．
则当
A
、<
/p>
B
、
D
三袋糖在
一起时，为了满足条件，
D
袋糖不少于
21
块，验证
A
、
B
、
C
、
D
这
4
袋糖依次有
20
，
20
，
2l
，
2l
时满足条件，且总和最
少．
这
4
袋糖的总和为
20+20+21+21=82
< br>块．
方法二
：设这
4
袋糖依次有
a
、
b
、
c
、
d
块糖，
a
b
c
61
< br>①
1
a
b
d
61
②
有<
/p>
，
①
+
②
+
③
+
④得：
3
（
a+b+c+
d
）
≥
244,
所以
a+b+c+d
≥
81
,
因为
3
a
c
d
61
③
< br>
b
c
d
6
1
④
a+b+c+d
均是整数，所以<
/p>
a+b+c+d
的和最小是
82
．
0
a
b
c
6
①
②
0
< br>a
+
b
+
d
6
评
注
：
不
能
把
不
等
式
列
为
，
如
果
这
样
将
< br>①+②+③+④
得
到
③
0
a
+
c
+
< br>d
6
④
0
b
+
c
+
d
6
3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80
，因为
a
、
b
、
c
、
d
均是整数，所以
a+b+c+d
的和最小是
81.
至
于为什么会出现这种情况．如何避免<
/p>
,
希望大家自己解决
.
2
．用
1
，
< br>3
，
5
，
7
，
9
这
5
个数字组成一个三位数
ABC
和一个两
位数
DE
，再用
O
，
2
，
4
，
6
，
8
这<
/p>
5
个数字组成一个三位数
FGH
和一个两位数
IJ
．
求
算式
ABC×
DE-
FGH×IJ
的计算结果的
最大值．
【分析与解】
< br>为了使
ABC×DE
-
FGH×
IJ
尽可能的大，ABC×DE
尽可能的大，FGH×IJ
尽可能的小．
则
ABC×DE
最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以
为
7
、
9
，然
后为
3
、
5
，
最
后三位数的个位为
1
，并且还需这两
个数尽可能的接近，所以这两个数为
751
，
< br>93
．
则
FGH×
IJ
最小时，
最高位应尽可能的小，
并且两个数的差要尽可能的大，
< br>应为
468×20．
所以
AB
C×DE
-
FG
H×
IJ
的最大值为
751×93
-
468×20=60483．
评注
：类似的还
可以算出
FGH×IJ
-
ABC×DE
的最大值为
640×82
-
379×15=46795．
3
．
将
6
，
7
，
8
，
9
，
10
< br>按任意次序写在一圆周上，
每相邻两数相乘，
并将所得<
/p>
5
个乘积相加，
那么所得和数的最小值是
多少
?
【分析与解】
我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我
们首先考虑
10
，为了让和数最小，<
/p>
10
两边的数必须为
6
< br>和
7
．
然后考虑
< br>9
，
9
显然只能放到图中的位置
，
最后是
8
，
8
的位置有两个位置可放，
而且也
不能
立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312
;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
<
/p>
所以，最小值为
312
．
4
．一个两位数被它的各
位数字之和去除，问余数最大是多少
?
【分析与解】
设这个两位数为<
/p>
ab
=lOa+b
，它们的数字和为
a+b,
因为
lOa+b=(a+b)+9
a
，
所以
lOa+b
< br>≡
9a(mod a+b)
，
设最大的余数为
k
< br>，有
9a
≡
k(mod
a+b)
．
特殊的当
a+b
为
18
时，有
9a=k+18m
，因为
9a
、
18m
均是
9
的倍数，那么
k
也应是
9
的
倍数且小于除数
18
，即
0
，
9
，也就是说余数最大为
9
；
所以当除数
a+
b
不为
18
，即最大为
17
时，
:
余数最大为
16
，
除数
a+b
只能是
17
，
此时有
9a=15+17m
，
有
为可取
0
的自然数
)
，而
a
是一位数，显然不满足；
：余数其次为
15
，除数
a+b
只能是
17<
/p>
或
16
，
=
7
+
9
t
m
=
1
5
+
1
< br>7
t
a
(t
除数
a+b=17
时，有
9a=15+17m,
有
m=6+9t
,(t
为可取
0
的自然数
)
，
a
是一位数，
a=13+17t
显然也不满足；
除数
a+b=16
< br>时，
有
9a=15+16m,
有
m=3+9t
(t
为可取
0
的自然数
)
，
因为
a
是一位数，
a=7+16t
所以
a
只能取
7
，对应
b
为
16-7=9
，满足；
所以最大
的余数为
15
，此时有两位数
79÷(
7+9)=4……15．
5
．
用
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
这
9<
/p>
个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三
位数的正确的减
法算式，那么这个算式的差最大是多少
?
【分析与解】
考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的
百位为<
/p>
9
，减数的百位为
1
，如果差的百位为
8
，那算式就是如下形式：
剩下的
6
个数字为
2
、
3
、
4
、
5
、
6
、
7
，因为百位数字为
8
，所以我们可以肯定被减数的十位数字比
减数要大，而且至少大
2
，因为
1
已经出
现在算式中了，算式的可能的形式如下：
得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或
者小
1
，可能的算式形式如下：
但这时剩下的数都无法使算式成立．
再考虑差的百位数字为
7
的情况，
这时
我们可以肯
定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为
8
，因此，算式可能
的形式为：
再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：
，所以差最大为
784
．
6.
4<
/p>
个不同的真分数的分子都是
1
，它们的分
母有
2
个是奇数、
2
< br>个是偶数，而且
2
个分母
是奇数
的分数之和与
2
个分母是偶数的分数之和相等．
这样的奇数和偶数很多，
小明希望这
样的
2
个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少
?
【分析与解】
设这四个分数为上
零自然数
)
有
1
1
1
1
、
、
、
(
其中
m
、
n
、
a
、
b
均为非
2m
2n
2a+1
2b+1
1<
/p>
1
1
1
1
1
1
1
+
=
+
，则有
-
=
-
，
2m
2n
2a+1
2b+1<
/p>
2m
2b+1
2a+1
< br>2n
我们从
m=1,b=1
开始
试验：
1
1
1
1
1
1
1<
/p>
1
1
1
=
+
=
+
，
=
+
=
+
，
2
6
3
4
4
3
12
4
6
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
=
+
，
=
+
< br>=
+
，
4
20
5
8
8
5
30
6
1
0
10
1
1
1
1
1
=
+
=
+
，﹍
6
5
10
12
12
1
1
1
我们发现，
和
分解后具有相同的一项
，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，
5
6
10
满足题中条件：
1
1
1
< br>1
+
=
+
，所以最小的两个偶数和为
6+10=16
．
5
15
6
< br>10
7.
有
< br>13
个不同的自然数，它们的和是
100
．问其中偶数最多有多少个
?
最少有多少个？
【分析与解】
13
个整数的和为
100
，
即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，
则奇数最
少
为
2
个，最多为
12
< br>个；对应的偶数最多有
11
个，最少有
< br>1
个．
但是我们必须验证看是否有实例符合．
当
有
11<
/p>
个
不
同
的
偶
数
，
2
个
不
同
的
奇
数
时
，
11
个
不
同
的
偶
数
和
最
小
为
2+4+6+8+10+12+1
4+16+18+20+22=132
，而
2
< br>个不同的奇数和最小为
1+3=4
．它们的和最小为
132+4=136
，显然不满足：
当
有
9
个
不
同
的
偶
数
，
4
个
不
同
的
< br>奇
数
时
，
9
个
不
同
的
偶
数
和
最
小
为
2+4+6+8+10+12+14+
16+18=90
，而
4
个不同的奇数
和最小为
1+3+5+7=16
，还是大于
100
，仍
然不满足；
当
有
7
个
不
同
的
偶
数
，
6
个
不
同
的
< br>奇
数
时
，
7
个
不
同
的
偶
数
和
最
小
为
2+4+6+8+10+12+14=
56
，
6
个不同的奇数和为
1+3+5+7+9+11
：
36
，满足，如
2
，
4
，
6
，
8
，
10
，
12
，
22
，
1
< br>，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
的和即为
100
< br>．
类似的可知，最少有
5
个不同的偶数，
8
个不同的奇数，有
2
，
4
，
8
，
10
，
16
，
1
．
3
．
5
，
7
，
9
，
11
，
13
，
15
满足．