四年级下册数学试题-奥数培优：有趣的数阵图(含答案)全国通用
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课
题
有趣的数阵图【精品】
教学内容
在前面已经向同学们介绍了
一些有趣的填数游戏，如：填算式数字谜等．下面再向大家介绍一类奇妙的
填数游戏——
数阵图，
就是把一些数按照一定的规则，
填在某一特定图形的规
定位置上．
这种图形，
我们称它为数阵
图．数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图，
解答这类问题时，常用到以下知识：
1
．等差数列的求和公式：
总和
=
（首项十末项）×项数÷
2
2
．计算中的奇偶问题：
奇数±奇数
=
偶数
偶数士偶数
=
偶数
奇数±偶数
=
奇数
3. 10
以内数字有如下关系：
(1) 1+9= 2+8= 3-7= 4+6
(2)
1+8= 2+7= 3+6=4+5
(3) 2+9=3+8= 4+7=5+6
在解答这类问题时，要善于确定所
求的和与关键数字间的关系式，用
试验的方法，
找到相等的和与
关键数字；
要会对基本解中的数进行适当调整，
得到其他的解从
而培养自己的观察能力、
思维的灵活性和严密性．
.
把
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
< br>6
这六个数填在如图
7-1
的<
/p>
6
个○中．使每条边上的三个数之和都等于
9
因为要求每条边上的三个数
之和都等于
9
．
这样三条边总和是
9
×
3=27
．<
/p>
而
1+2+3+4+5+6=21
，
与总和差为
27- 21=6
，从图
7-1
不难看出；
：计算三边总和时，甲、乙
、丙三数重复累加了一次，即可知甲
+
乙
+
丙
=6,
故在
1~6
中只能选
1
，
2
，
3
三数填人三顶点（
甲、乙、丙）圆圈内，再将
4
，
5
，
6
按要求填入另外三个圆圈内，因
而得出图
7-2
所示的基本解，若再将图
7-2
的基本解中的甲、乙、丙三个圆圈内的数字交换位置，又可得
到
5
种不同
填法，如图
7-3
所示，
下面我们继续讨论例
1
问题的一般情况
将
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
填在例
l
图
7-1
中○里，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？共有多少种
填法？
通过对例
l
的解析，我们想到：每条边三数之和在相等的前提下，和的大小取决
于三个顶点○内填什么
数，如三顶点○内填入最小
l
，
2
，
3
三数，则每条边之和为
[(1+2+3+4+5+6
）
+(1+2+3)]
÷
3 = 9;<
/p>
若三个顶点○内填人最
大的数字
4,5,
6
三个数，
则每条边三数之和
[
（
1+2+3+4+5+6
）
+
（
4+5+6
）
]
÷
3=12
因此可得出
：
每条边三数之和在
9~12
之间。<
/p>
解
(1)
若每条边三数之和为
9
，经分析可得出基本解（一）
（见例
1
图
7
—
2
）
．
(2)
若每条边三数之和为
10
，由于
10
×
3-(1+2+3+4+5+6
) =9
．可知三个顶点○填入的三数之和为
9
．即可填人
1
，
3
，
5
或
2
，
3
，
4
或
1
，
2
，
6
．经试填
1
，
3
，
5
可
得基本解（二）
（见图
7
—
4
）
．
若填入
2
，
3
，
4
或
l
，
2
，
6
均无解．请同学
们自己试一试！
(3)
若每边三数之和为
11
，由于
11
×
3-(1+2+3+4+
5+6)=1 2
．可知三个顶点○填人的三数之和为
12
，即可填人
2
，
4
，
6,
或
3<
/p>
，
4
．
5
或
l
，
5
，
6
．经试填
2
，
4
，
6
可得基本解（三）
（见图
7-5
）
．
若填人
3
，
4
，
5
或
1
，
5
，
6
则无解请同学们自己试一试！
(4)
若
每边三数之和为
12
，由于
12
×
3-(1+2+3+4+5+6) =15
，可知三个顶点○填人的三数之和为
15
．即可填入
4
，
5
，
6
经试填可得基本解（四）
（见图
7 - 6
）
再将
4
个基
本解如例
1
中那样交换顶点○内所填数字的位置，又可分别得出
5
种填法，
因此，例
2
共有
4
个基本解，
24
种填法．
（
1
）将
1~4
这四个数分别填入图中□内，使
竖列和横行□内数的和相等．
（
2
）把数
字
1
，
3
，<
/p>
4
，
5
，
6
分别填在图中三角形
3
条边上的
5
个○内．使每条边上
3
个○内数的和等于
9
．
你做对了吗？
答案：
.
把
1
～
12<
/p>
这十二个数，分别填在如图
7
—
7
中正方形四条边上的十二个○内，使每条边上四个○内数的和
都等于
22
，试求出一个基本解，
此题类似于例
l
，解答的关键是确定正方形
4
个顶点上的数．
因为正方形每条边上
4
个数的和都是
22
．所以正方形三条边上的数相加的总和是
22
×
4=88
由于
1+2+
…
+11+12=78
，
从而
88-78=10
因此
4
个顶
点上所填数的和应是
10
，
而从
l
到
12
中
4
个数相加等于
10
只
有一种情况：
1+2+3+4
即四个顶点只能分
别填
l
，
2
< br>，
3
，
4
．经试验可得出基本解，如图
7
—
8
是其中之一
像以上介绍的各条边相互连接的数阵图叫做封闭型数阵图对于封闭型数阵图，解题的关键是先确定顶点
处的数字，然后再根据条件要求试验找出正确的解，另外，数阵的解，多数都是不唯一的，如果题
目有特别要求，只
要求出一个基本解即可。
本题还有其他基本解，同学们不妨试一试
将数字
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
填人图中的小圆圈内，使每个大圆上
4
个数字的和都
是
16
．
下面，将向同学们介绍开放型（或称辐射型）数阵网
你做对了吗？
答案：
.
1~7
这七个数分别填人如图
7
—
9
中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和相等。
通过观察我们会发
现，解答本题的关键是确定中心○内的数，另外还要知道每条线段上三个数的和是几。
在计算每条线段的三个数的和时．
由于中心○内的数被重复计算了三
次，
因此三条线段上共九个数的总和应等于
l
< br>—
7
这七个数的和再加上中心○内数的
< br>2
倍，这个总和也是一条线段上三个数和的
3
倍，所以用这个总和除以
3
就
得到了一条线段上
3
个数的和．因为
1+2+3+4+5+6+7=28,
这个数与中心○内数的
2
倍的和必须是
3
的倍数．因此，中心○内数可取
1
，
4
或
7
．
解
(1)
如果中心○内数取
l
，则有
28+2
×
1=
30
．
30
÷
3=
10
．
即每条线段上的三个数的和是
10
．把
1
填
人中心，把余下的六个数分为三组，每组两个数的和为
9
．有<
/p>
2+7=3+6=4+5=9
，
这样就得到了一个基本解，如图
7 - 10
所示
．
(2)
如果中心○内数取
4
，则有
28+2×
4=36,
36÷
3=12
即每条线段上的三个
数的和是
12
，类似
(1)
又可得到一个基本解，如图
7- 11
所示
(3)
如
果中心
0
内的数取
7
< br>．则有
28+2×
7=42,
42÷
3=14
< br>即每条线段上的三个数的和是
14
，类似
(1)
又可找到一个基本解，
如图
7-12
所示．
所以，本题共有
< br>3
个基本解，
.
将
1~9
这九个数，分别
填人如图
7-13
中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的
和相等．
此题类似于例
4
．关键仍是确定中心○内的数和每条线段上三个数的和
我们采用下面一种方法来解题．
解
设中心○内的数是
a
．每条线段三个○内数的和为
k,
< br>则有
4k=
（
1+2+3+4+5+6+7+8+9
）
+3a
．
4k
= 45+3a
k= (45+3a)
÷
4
．
因为
k<
/p>
是整数，所以
45+3a
必须能被
4
整除，其中
45
÷
4=11
……
1
，因此
3a
除以
4
< br>的余数必须是
3
．这样，在
l<
/p>
～
9
中
,a
可取
1
，
5
，
9
．
(1)
当
a=1
时．
k=12
< br>，经试验可得一基本解，如图
7-14
所示；
(2)
当
a=5
时，
k=15<
/p>
．经试验叉可得一基本解，如图
7-15
所示；
(3)
当
a=9
时，
< br>k=18
，经试验又得—基本解，如图
7-16
所示．
1
～
9
这九个数，去掉
l
、
5
、
9
中的任一个数后，所剩下的
8
个数均可组成
4
组和相等的两个数，如去掉
l
后，
2+9=3+8= 4+7=5+6
．根
据这种对称性，很容易发现中心○内应填或
5
或
9
．
.
把
1~11
这十一个数分别填入
如图
7- 17
中的各个○内，使每条线段上三个○内的数的和
都等于
22
．
分析此题的关键仍是确定中心○内的数是几。
由于每条线上的
< br>3
个○内数的和都等于
22
，<
/p>
而且中心○内的数被重复计算了
5
次，因
此五条线段上共
15
个数的总
和是
22
×
5=110
．实际上
110
就是
1~11
这
11
个数的和再加上中心○内数的
4
倍，
由于<
/p>
1+2+
…
+11=66.
而
110-66=44,
44÷
4=11,
因此中心○内数应
为
l1
，然后把剩下的
10
个数适当调配就可得到一个基本解，
解这个题有一个基本解，如图
7-1
8
所示．
以上介绍了开放型数阵图及其解法．对于开放型数阵图，解题的关键是确定中心的数字，
同学们一定要记住，填数阵同时一定不能乱填乱试，而应该认
真分析研究数阵图的内在规律，抓住解决问题的
关键，按步骤求解．
(1)
将
l
～
5
这五个数分别填入如图中的○内，使每条线上三个○内的数的和相等
< br>
(2)
将
6~10
这五个数分别填入如同中的○内，使每条线上三个○内
的数的和相等．
你做对了吗？
答案：
最大的数有多大？
其实按
理来说，不可能有一个最大的数，因为数是无穷无尽的不过，历史上也有许多数学家提出过“大数”的概
念，
古希腊学者阿基米得是历史上最早提出“大数”的人，他在他的一本书中说：有人认为，在全世界所 有有人烟和无
人迹的地方，沙子的数目是无穷的；也有人认为，沙子的数目不是无穷的，
但是想表示沙子的数目是办不到的．但是
我的计算表明，如果把所有的海洋和洞穴都填满
了沙子，这些沙子的总数不会超过
1
后面有
100
个
0
。
1
后面有
100
个
0
．
如果读出来，
就是一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿，
我们经常遇到的大数，
很少有超得过它的．
后
来的数学家给这个大数起了个名字，叫“古戈”
．
有没有比古戈更大
的数呢？有！我们以后要讲到的“到底有多少兔子”中的兔子，繁殖到第
571
个月的时候，数字
已经大于一个古戈了。
古戈在实际生活中是个非常大的数
，可是在数学研究里，古戈又太小了。比如，有的数学家发现了有个
7067
位的
大质数，
而古戈只有
101
位，
比起这个大质数来，
可以说
是个小弟弟了．
而为了能表示更大的数．
数学家又规定了
“占
戈布米克斯”
，一个古戈布来克斯是多少
呢？光是它的
0
，就有一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿个呢！<
/p>