定积分的背景面积和路程问题
-
4.4.1
定积分的背景
-
面积和路程问题
知识与技能
：
⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
⒉借助于几何直观体会定积分的基本思想，
了解定积分的概念，能用定积分法
求简
单的定积分．
3.
理解掌握定积分的几何意义和性质；
过程与方法：
通过问题的探究体会逼近、以直代曲的数学思想方法。
情感态度与价值观：
通过分割、逼近
的观点体会定积分的来历，使学生从本质上理解定积分的几何意义，从而
激发学生学习数
学的兴趣。
教学重点：
定积分的概念
、用定义求简单的定积分、
定积分的几何意义．
教学难点：
定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
问题
< br>：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。有的是规则的平面图形，但现实
生活中更多的是不规则的平面图形。对于不规则的图形我们该如何求面
积？比如浙江
省的国土面积。此问题在学生九年级中已有涉及，在九年级
时学生了解过以下求不规则面
积的方法：
方法
1
将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位
面积”。。
方法
2
将图形从
内外两个方面用规则图形
(
或规则图形的组合
< br>)
逼近。
方法
3
将这块图形用一个正方形围住
，
然后随机地向正方形内扔
“点”
(<
/p>
如小石子等小颗粒
)
，当点数
P
足够大时，统计落入不规则图形中的点
数
A
，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法
4
“称
量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是
P(
正方形区
域内细沙重
)
、
A(
所求图形内细沙重
)
，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
二．合作探究
问题一
曲边梯形的面积
如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线
y
f
(
x
)
的一段，
我们把由直线
x
< br>
a
,
x
b
(
a
b
)
,
y
0
和曲线
y
f
(
x
)
所围成的图
形称为
曲
边梯形
．如何计算这个曲边梯形的面积？
< br>探究
1
：分割，怎样分割？分割成多少个？分成怎样的形
状？有几种方案？
（分割）
探究
2
：
采用哪种好
？把分割的几何图形变为代数的式子。
（近似代替）
、
（求和）
探究
3
：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？
（取极限）
探究
4
：
采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是
什么？
（夹逼定理的意义）
例如：<
/p>
求
图中阴影部分是由抛物线
y
x
2
，
直线
x
1
< br>以及
x
轴所围成的平面图形的面积
S
。
思考：
（
1
）曲边梯形与“直边图形”的区别？
（
2
）
能否将求这个曲边梯形面积
S
的问题转化为求
“直
边图形”面积的问题？
解：
<
/p>
（
1
）
．
分割
（
2
）
近似代替
（
3
）
求和
n
i
1
i
1
1
由①，上图中阴影部分的面积
S
n
为
S
n
<
/p>
S
i
f
x
n
n
n<
/p>
i
1
i
1
i
1
n
n
2
=
=
=
=
从而得到
S
的近似值
S
S
n
=
（
4
）
取极限
分别将区间
0
,1
等分
8
，
16
，
20
，
…等份
（如图）
，
可以看到，
当
n
趋向于无穷大时，
即
x
趋向于
0
时
，
S
n
1<
/p>
1
1
1
1
趋向于
S
，从而有
3
n
2
n