小升初数学基本知识点总结归纳
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小升初数学基本知识
点总结归纳
第一章
数和数的运算
一
概念
（一）整数
1
、整数的意义
自然数和
0
都是整数。
2
、自然数
我们在数物体的时候，用来表示物
体个数的
1
，
2
，3……叫做自
然数。
一个物体也没有，用
0
表示。
0
也是自然数。
3
、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万
、百万、千万、亿……都是计
数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都
是
10
。这样的计数法叫做十
进制计数
法。
4
、数位
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5
、数的整除
整数
a<
/p>
除以整数
b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我
们就说
a
能被
b<
/p>
整除，或者说
b
能整除
< br>a
。
如果数
a
能
被数
b
（b ≠ 0）整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就叫
做
a
的约
数（或
a
的因数）。倍数和约数是相互依存的。
因为
< br>35
能被
7
整除，所以
35
是
7
的倍数，
7
是
35
的约数。
一个数
的约数的个数是有限的，
其中最小的约数是
1
< br>，
最大的
约
< br>数是它本身。例如：
10
的约数有
1
、
2
、
5
、
10
，其中最小的约数是
1
，
最大的约数是
10<
/p>
。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3
的
倍数有：
3
、
6
、
9
、12……其
中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。
个位上是
0
、
2
、
4
、<
/p>
6
、
8
的数，都
能被
2
整除，例如：
202
、
480
、
304
，都能被
2
整除。。
个位上是
0
或
5
的数，都能被
< br>5
整除，例如：
5
、
30
、
405
都能
被
5
整除。。
一个数的各位上的数的和能被
3
整除，
这个数就能被
3
整除，
例
如：
< br>12
、
108
、
204
都能被
3
整除。
一个数各位数
上的和能被
9
整除，这个数就能被
9<
/p>
整除。
<
/p>
能被
3
整除的数不一定能被
9
整除，
但是能被
9
整除的数一定能
被
3
整除。
一个数的末两位数能被
4
（或
25
）
整除，
这个数就能被
4
（或
25
）
整除。例如：
16
、
404
、
1256
都能被
4
整除，
50
、
325
、
500
、
1675
都
能被
25
整除。
一个数的末三位数能被
8
（或
125
）整除，这个数就能被
8
（或
125
）整除。例如：
1168
、
4600
、
500
0
、
12344
都能被
8
整除，
1125
、
13375
、
5000
都能被
125
整除。
能被
2<
/p>
整除的数叫做偶数。
不能被
2
整
除的数叫做奇数。
0
也是偶数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有
1
和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或
素数），
1
00
以内的质数有：
2
、
3
、
5
、
< br>7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
。
一个数，
< br>如果除了
1
和它本身还有别的约数，
这样的数叫做合数，
例如
4
、<
/p>
6
、
8
、
9
、
12
都是合数。
1
不是质数也不是合数，自然数除了
1
外，不
是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和
1
。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
< br>其中每个质数都是这
个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如
15=3×5，
3
和
5
叫做
15
的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把
2
8
分解质因数
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个
，
叫做这几个数的最大公约数，例如
12
的约数有
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数有
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
。其中，
1
、
2
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的
公约数，
6
是它们的最大公约数。
公约数只有
1
的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有
下列几种情况：
1
和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有
1
时，
这两个合数互质，
如果几个数中任
意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，
那么较小数就是这两个数的最大公
约数。
如果两个数是互质数，它们的最大
公约数就是
1
。
几个数公有的倍数，叫做这几个数
的公倍数，其中最小的一个，
叫做这几个数的最小公倍数，如
2
的倍数有
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、18 ……
3
的倍数有
3
、
6
、
9<
/p>
、
12
、
15<
/p>
、18
…… 其中
6
< br>、
12
、18……是
2
、
3
的公倍数，
6
是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，
那么较
大数就是这两个数的最小公
倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍
数。
<
/p>
几个数的公约数的个数是有限的，
而几个数的公倍数的个数是无<
/p>
限的。
（二）小数
1
、小数的意义
把整数
1
平均分成
10
份、
100
份、
1000
份……
得到的十分之几、
百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，
两位小数表示百分之几，
三位小数表示
千分之几
……
一
个小数由整数部分、
小数部分和小数点部分组成。
数中的圆点<
/p>
叫做小数点，
小数点左边的数叫做整数部分，
小数点左边的数叫做整
数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数
单位之间的进率都是
10
。小数部分
的
最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的
进率也是
10
。
2
、小数的分类
纯小数：
整数部分是零的小数，
叫做纯小数。
例如：
0.25
、
0.368
都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。
例如：
3.25
、
5.26
都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例
如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例
如：
4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：
一个数的小数部分，
数字排列无规律且位数无
限，这样
的小数叫做无限不循环小数。
例如：∏
循环小数：
一个数的小数部分，
有一个
数字或者几个数字依次不
断重复出现，
这个数叫做循环小数。<
/p>
例如：
3.555
……
0.0333
……
12.109109 ……
一个循环小数的小数部分，
依次不断重复出现的数字叫做这个循
环小数的循环节。
例如：
3.99
……的循环节是“ 9 ” ，
0.5
454 ……的循环节是“ 54 ”
。
纯循
环小数：
循环节从小数部分第一位开始的，
叫做纯循环小数。<
/p>
例如：
3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：
循环节不是从小数部分第一位开始的，
叫做混循环
小数。<
/p>
3.1222 …… 0.03333
……
写
循环小数的时候，
为了简便，
小数的循环部分只需写出一个循<
/p>
环节，
并在这个循环节的首、
末位数字上
各点一个圆点。
如果循环
节
只有
一个数字，就只在它的上面点一个点。例如：
3.777 …… 简
写作
0.5302302 …… 简写作
。
（三）分数
1
、分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数
叫
做分数。
在分数里，
中间的横线叫做分数线；
分数线下面的数，
叫做分母，
表示把单
位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示
有这样的多少份。
把单位“1”平均
分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数
单位。
2
、分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于
1
。
假分数：
分子比分母大或者分子和分
母相等的分数，
叫做假分数。
假分数大于或等于
1
。
带分数：
假分数可以写成整数与真分
数合成的数，
通常叫做带分
数。
3
、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数
，叫
做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数
相等的同分母分数，叫做通
分。
（四）百分数
1
、
表示一个数是另一个数的百分之几的数
叫做百分数
,
也叫做
百分率
或百分比。
百分数通常用
来表示。
百分号是表示百分数的
符
号。
方
法
（一）数的读法和写法
1.
整数的读法：从高位到低位，
一级一级地读。读亿级、万级
时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万
”字。每
一级末尾的
0
都不读出来，其
它数位连续有几个
0
都只读一个零。
2.
整
数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上
一个单位也没有，就在那个数位
上写
0
。
3.
小数的读法：读小数的时候，
整数部分按照整数的读法读，
小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位
上的数
字。
4.
小数的写法：
写小数的时候，
整数部分按照整数的写法来写，
小数点
写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5.
分数的读法：
读分数时，
先读分母再读“分之”然后读分子，
分子和
分母按照整数的读法来读。
6.
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照
整
数的写法来写。
7.
百分数的读法：读百分数时，
先读百分之，再读百分号前面
的数，读数时按照整数的读法来读。
8.
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分
子后面加上百分号“%”来
表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，
为了读写方便，
常常把它改写成用“万”或
“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要，
省略这个数某一位后面的
数，写
成近似数。
1.
准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较
大
的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。
例
如把
1254300000
改写成以万做单位的数是
125430
万；改写成
以
亿做单位
的数
12.543
亿。
2.
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省
略
某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：
1302490015
省
略亿后面的尾数是
13
亿。
3.
四舍五入法：
要省略的尾数的最
高位上的数是
4
或者比
4
小，
就把尾数去掉；
如果尾数的最高位上的数是<
/p>
5
或者比
5
大，
就把尾数
舍去，并向它的前一位进
1<
/p>
。例如：省略
345900
万后面的尾数约是
35
万。省略
4725097420
亿后面的尾数约是
47
亿。
4.
大小比较
1.
比
较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如
果位数相同，就看最高位，最高
位上的数大，那个数就大；最高位上
的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大
。
2.
比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大的那
个数
就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位
上的数也相同的，百分位
上的数大的那个数就大……
3.
比较分数的大小
:
分母相同的分数，
分子大的分数比较大；
分
子相同的数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通
分，
再比较两个数的大小。
（三）数的互化
1.
小数化成分数：原来有几位小
数，就在
1
的后面写几个零作
分母，把
原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2.
分数化成小数：
用分母去除分子。
能除尽的就化成有限小数，
有的不
能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3.
一个最简分数，如果分母中除
了
2
和
5
以外
，不含有其他的
质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有
< br>2
和
5
以外
< br>的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4.
小数化成百分数：只要把小数
点向右移动两位，同时在后面
添上百分号。
5.
百
分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，
同时把小数点向左移动两位。<
/p>
6. <
/p>
分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常
保留三
位小数
)
，再把小数化成百分数。
7.
百
分数化成小数：先把百分数改写成分数，能约分的要约成
最简分数。
（四）数的整除
1.
把一个合数分解质因数，通常
用短除法。先用能整除这个合
数的质数去除，
一直除到商是质数
为止，
再把除数和商写成连乘的形
式。
2.
求
几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连
续去除，
一直除到所得的商只有公约数
1
为止，
然后把所有的除数连
乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数
。
3.
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中
的
部分数）的公约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把
< br>所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.
成
为互质关系的两个数：
1
和任何自然数互质
；
相邻的两
个自然数互质；
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数
互质；
两个合数的公约数只有
1
时，这两个合数互质。
（五）
约分和通分
约分的方法：
用分子和分母的公约数
（
1
除外）
去
除分子、
分母；
通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，
然后把
各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：
< br>在除法里，
被除数和除数同时扩大或者同时缩小
相同的倍
，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.
小
数点向右移动一位，
原来的数就扩大
10
倍；
小数点向右移
动两位，原来的数就扩大
< br>100
倍；小数点向右移动三位，原来的数就
扩大
1000
倍……
2.
小数点向左移动一位，
原来的数就缩小
10
倍；
小数点向左移
动两位，原来的数就缩小
100
倍；小数点向左移动三位，原来的数就
缩小
1000
倍……
3.
小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数
（零除外），分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1.
被除数÷除数
=
被除数
/
除数
2.
因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3.
被除数
相当于分子，除数相当于分母。
运算的意义
（一）整数四则运算
1
、整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，
相加的数叫做加数，
加得的数叫做和。
加数是部分数，
和是总数。
<
/p>
加数
+
加数
=<
/p>
和
一个加数
=
和－另一个加数
< br>
2
、整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加
数，
求另一个加数的运算叫做
减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，
已知的加数叫做减数，未知的
加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3
、整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，
相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。
相同加数
的和叫做
积。
在
乘法里，
0
和任何数相乘都得
0.
1
和任何数相乘都的任
何数。
一个因数×
一个因数
=
积
一个因数
=
积÷另一个因
数
4
、整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数
，
求另一个因数的运算叫做除
法。
在除法里，已知的积叫做被除数，
已知的一个因数叫做除数，所
求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，
0
不能做除数。因为
0
和任何数相乘都得
0
，所以任
何一个数除以
0
，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数
=
商
除数
=
被除数÷商
< br>被除数
=
商×除数
（二）小数四则运算
1.
小数加法：
小数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一个
数的运算。
2.
小数减法：
小数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其
中的一个加数，求另一个加数的运算
.
3.
小数乘法：
小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，
< br>就是求几个相同加数
和的简便运算；
一个数乘纯小数的意
义是求这个数的十分之几、
百分
之几、千分之几……是多少。<
/p>
4.
小数除法：
小数除法的意义与整数除法的意义相同，
就是已知两个因数的积
与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5.
乘方
:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如
3 × 3 =32
（三）分数四则运算
1.
分数加法：
分数加法的意义与整数加法的意义相同。
是把两个数合并成一
个数的运算。
2.
分数减法：
分数减法的意义与整数减法的意义相同。
已知两个加数的和与其
中的一个加数，求另一个加数的运算。
3.
分数乘法：
分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，
就是求几个相同加数和
的简便运算。
4.
乘
积是
1
的两个数叫做互为倒数。
5.
分数除法：
分数除法的意义与整数除法的意义相同。
就是已知两个因数的积
与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（四）运算定律
1.
加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即
a+b=b+a
。
2.
加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把
后
两个数相加，
再和第一个数相加它们的和不变，
即
（
a+b)+c=a+(b+c)
。
3.
乘法交换律：
两个数相乘，交换因数的位置它们
的积不变，即
a×b=b×a。
4.
乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把
后
两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即
(a×b
)×c=a×(b×c) 。
5.
乘法分配律：
两个数的和与一个数相乘，
可以把两个加数分别与这个数相乘再
把两个积相加，即(a+b)×c
=a×c+b×c 。
6.
减法的性质：
从一个数里连续减去几个数，可以
从这个数里减去所有减数的
和，差不变，即
a-b-c=a-(
b+c)
。
（五）运算法则
1.
整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前
一
位进一。
2.
整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的
前
一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3.
整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的
数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后
把各次乘得的数加起来。
4.
整数除法计算法则：
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；
如果不够除，就多看一位，
除到被除数的哪一位，商就写在哪一
位的
上面。如果哪一位上不够商
1
，要
补“0”占位。每次除得的余数要
小于除数。
5.
小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数
，
就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”
< br>补足。
6.
除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，
商的小
数点要和被除数的小数点对
齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”
，再继
续除。
7.
除数是小数的除法计算法则：
先移动除数的小数点，
使它变成整数
，
除数的小数点也向右移动
几位（位数不够的补“0”），然后
按照除数是整数的除法法则进行
计算。
8.
同分母分数加减法计算方法
:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9.
异分母分数加减法计算方法
:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.
带分数加减法的计算方法
:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11.
分数乘法的计算法则
:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变
；
分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12.
分数除法的计算法则
:
甲数除以乙数（
0
< br>除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（六）
运算顺序
1.
小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.
分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.
没有括号的混合运算
:
同级运算从左往右依次运算；两级运算
先算乘、除法，后算加
减法。
4.
有括号的混合运算
:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5.
第一级运算：
加法和减法叫做第一级运算。
6.
第二级运算：
乘法和除法叫做第二级运算。
应
用
（一）整数和小数的应用
1
、简单应用题
（
1
）
简单应用题：
只含有一种基本数量关系，或用一步运算解
答的应用题，通常叫做简单应用题。
（
2
）
解题步骤：
a
、审题理解题意：了解应用题的内
容，知道应用题的条件和问
题。读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的
意思。
也可以复述条件和问题，帮助理解题意。
b
、选择
算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目
中告诉什么，
要求什么着手，
逐步根据所给的条件和问题，
联系四则
运算的含义，
分析数量关系，
确定算法，<
/p>
进行解答并标明正确的单位
名称。
C
、检验
：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和
计算过程是否正确，是否符合题意
。如果发现错误，马上改正。
2
、复合应用题
（
1
）
有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或两步
以上运算解答的应用题，通常叫做复合应用题。
（
2
）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（
3
）含有
两个已知条件的两步计算的应用题。
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的
和
（或差）。
已知两数之和与其中一个数，
求两个
数相差多少
（或倍数关系）
。
（
4
）解答连乘连除应用题。
（
5
）解答
三步计算的应用题。
（
6
）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、
减法、乘法和
除法的应用题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题
基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数。
d
、答案
：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
( 3 )
解答加法应用题：
a
、求总数的应用题：已知甲数是多
少，乙数是多少，求甲乙两
数的和是多少。
b
、求比
一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数
多多少，求乙数是多少。
(4
)
解答减法应用题：
a
、求剩余的应用题：从已知数中去
掉一部分，求剩下的部分。
b
、求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求
甲数比乙数多多少，或乙数比甲数少多少。
c
、求比
一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，乙数比
甲数少多少，求乙数是多少。
(5 )
解答乘法应用题：
a
、
求相同
加数和的应用题：
已知相同的加数和相同加数的个数，
求总数。
b
、求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少，另一
个数是
它的几倍，求另一个数是多少。
( 6)
解答除法应用题：
a
、把一
个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一
个数和把这个数平均分成几份的，
求每一份是多少。
b
、求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份
是多少，求可以分成几份。
C
、求一个数是另一个数的的几倍的
应用题：已知甲数乙数各是
多少，求较大数是较小数的几倍。
d
、已知
一个数的几倍是多少，求这个数的应用题。
（
7
）常见
的数量关系：
总价
=
单价×数量
路程
=
速度×时间
工作总量
=
工作时间×工效
总产量
=
单产量×数量
3
、典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解
题规律的复合应用题，
通常叫
做典型应用题。
< br>
（
1
）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
算术平均数：
已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，
求
平均每份
是多少。
数量关系式：
数量之和÷数量的个数
< br>=
算术平均数。
加权平均数：
已知两个以上若干份的
平均数，
求总平均数是多少。
数量关系式
（部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）
=
加权
平均数。
差额平均数：
是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均
分，求的是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）÷2=小数应得数
最大数
与
各数之差的和÷总份数
=
最大数应给
数
最大数与个数之
< br>差的和÷总份数
=
最小数应得数。
例：
一辆汽车以每小时
100
千米
的速度从甲地开往乙地，
又以
每小时
60
千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：
求
汽车的平均速度同样可以利用公式。
此题可以把甲地到
乙地的路
程设为“ 1 ”，则汽车行驶的总路程为“ 2
”，从甲地到
乙地的速度为
100
，
所用的时间为
，
汽车从乙地到甲地速度为
60
千米
，所用的时间是
，汽车共行的时间为
+
=
,
汽车的
平均速度为
2 ÷
=75
（千米）
（
2
）归一问题：已知相互关联的两个
量，其中一种量改变，另
一种量也随之而改变，
其变化的规律是
相同的，
这种问题称之为归一
问题。
根据求“单一量”的步骤的多少，
归一问题可以分为一次归一问
题，两次归一问题。
根据球痴单一量之后
，
解题采用乘法还是除法，
归一问题可以分
为正归一问题，反归一问题。
一次归一问题，
用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。<
/p>
又
称“单归一。”
两次归一问题，
< br>用两步运算就能求出“单一量”的归一问题。
又
称“双归
一。”
正归一问题：
用等分除法求出“单一量”之后，
再用乘法计算结
果的归一问题。
反归一问题：
用等分除法求出“单一
量”之后，
再用除法计算结
果的归一问题。
解题关键：从已知的一组对
应量中用等分除法求出一份的数量
（单一量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结
果。
数
量关系式：单一量×份数
=
总数量（正归一）
< br>
总数量÷单一量
=
份数（反归一）
例
一个织布工人，在七月份织布
4774
米
，
照这样计算，织
布
6930
米
，需要多少天？
分析：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。
693
0
÷
（
477
4 ÷ 31 ）
=45
（天）
（
3
）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及
不同的单
位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量
的个数（或单位数量）。
特点：
两种相关联的量，
其中一种量变化，
另一种
量也跟着变化，
不过变化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：单位数量×单位个数÷另一个单位数量
=
另一个
单位数量
单位数量×单位个数÷另一个单位数量
=
另一个单位数量。
例
修一条水渠，
原计划每天修
800
米
，
6
天修完。
实际
4
天
修完，每天修了多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，
就必须先求出水渠的长度。所
以也把这类应用题叫做“归总问题”。
不同之处是“归一”先求出单
一量，再求总量，归总问题是先求出总量，再求单一量
。
80 0 × 6
÷
4=1200 （米）
（
4
）
和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两
个数各是多
少的应用题叫做和差问题。
解题关键：
是把大小两个数的和转化成两个大数的和
（或两个小
数的和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）÷2 =
大数
大
数－差
=
小数
（和－差）÷2=小数
和－小数
=
大数
例
某加工厂甲班和乙班共有工人
94
人，因工作需要临时从乙
班调
46
人到甲班工作，
这时乙班比甲班人数少
12
人，
求原来甲班
和乙班各有多少
人？
分析：从乙班调
46
人到甲班，对
于总数没有变化，现在把乙数
转化成
2
个乙班，即
9
4
－
12
，由此得到现在的乙班是（
9
4
－
12
）
÷
2=41
（人）
，
乙班在调出
46
人之前应该为
41+46=87
（
人）
，
甲班为
9 4
－
87=7
（人）
（
5
）和倍问题：已知两个数的和及它
们之间的倍数
关系，求两
个数各是多
少的应用题，叫做和倍问题。
<
/p>
解题关键：找准标准数（即
1
倍数）一般
说来，题中说是“谁”
的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数
量
是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再
< br>去求另一个数（或几个数）的数量。
解题规律：和÷倍数和
=
标准数
标准数×倍数
=
另一个数
例
:
汽车运输场有大小货车
115
辆，大货车比小货车的
5
倍多
7
辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？
分析：
大货车比小货车的
5
倍还多
7
辆，
这
7
辆也在总数
115
辆内，为了使总数与（
5+1
）倍对应，总车辆数应（
115-7
）辆
。
列式为
（
115-7
）
÷
（
5+1
）
=18
（辆）
，
18
×
5+7=97
（辆）
（
6
）差倍问题：已知两个数的差，及
两个数的倍数关系，求两
个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差÷（倍数－
1
）
=
标准数
标准数×倍
数
=
另一个数。
例
甲乙两根绳子，甲绳长
63
米
，乙绳长
29
米
，两根绳剪
去同样的长度，
结果甲所剩的长度是乙绳
长的
3
倍，
甲乙两绳所剩
长度各多少米？
各减去多少米？
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长
度
是乙绳的
3
倍，实比乙绳多（
3-1
）倍，以乙绳的长度为标准数。
列式（
63-29
）÷（
3-1
）
=17
（米）…乙绳剩下的长度，
17
×
3=51
（米）…甲绳剩下的长度，
29-17=12
（米）…剪去的长度。
（
7
）行程
问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、
时间、
速度
，
叫做行程问题。
解答这类问题首先要搞清楚速度、
时间、
路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根
据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程
=
速度和×时间。
同时相向而行：相遇时间
=
速度和×时间
<
/p>
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间
=
路程速
度差。
同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程
=
速度差
×时间。
例
甲在乙的后面
28
千米
，
两人
同时同向而行，
甲每小时行
16
千米
，乙每小时行
9
千米
，甲几小时追上乙？
分析：甲每小时比乙多行（
16-9
）千米，也就是甲每小时可以
追近乙（
16-9
）千米，这是速度差。
已知甲在乙的后面
28
千米
（追击路程），
28
千米
里包含着
几个
（
16-9
）
千米，
也就是追击所需要的时间。
列式
2
8
÷
（
16-9
）
=4
（小时）
（
8
）流水问题：一般是研究船在“流
水”中航行的问题。它是
行程问题中比较特殊的一种类型，
它也
是一种和差问题。
它的特点主
要是考虑水速在逆行和顺行中的不
同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速
=<
/p>
船速＋水速
逆速
=
船速－水速
解题关键：
因为顺流速度是船速与水速的和，
逆流速度是船速与
水
速的差，所以流水问题当作和差问题解答。
解题时要以水流为线
索。
解题规律：船行速度
=
（顺水速度
+
逆流速度）÷2
流水速度
=
（顺流速度逆流速度）÷2
路程
=
顺流速度×
顺流航行所需时间
路程
=
逆流速度×逆流航行所需时间
例
一只轮船从甲地开往乙地顺水而行
，
每小时行
28
千米
，
到<
/p>
乙地后，又逆水
航行，回到甲地。逆水比顺水多行
2
小时，已知水
速每小时
4
千米。求甲乙两地相距多少千米？
分析：
此题必须先知道顺水的速度和
顺水所需要的时间，
或者逆
水速度和逆水的时间。已知顺水速度
和水流
速度，因此不难算出逆
水的速
度，但顺水所用的时间，逆水所用的时间不知道，只知道顺水
比逆水少用
2
小时，抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙
地的所用的时间，
这样就能算出甲乙两地的路程。
列式为<
/p>
284
×
2=20
（千米）
2 0 × 2 =40 （千米）
40 ÷（
4 × 2
）
=5
（小时）
28 × 5=140 （千米）。
（
9
）
还原问题：已知某未知数，经过一定的四则运算后所得的
结果，求这
个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果
出发，采用与
原题中相反的运算（逆运
算）方法，逐步推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系
，
然后采用逆运算的方法计算
推导出原数。
解答还原问题时注意观察运
算的顺序。
若需要先算加减法，
后算
乘
除法时别忘记写括号。
例
某小学三年级四个班共有学生
168
人，如果四班调
3
人到
三班，三班调
6
人到二班，二班调
6
人到一班，一班调
2
人到四
班，则四个班的人数相等，四个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为
168
÷
4
，以四班为例，它
调给三班
3
人，
又从一班调入
2
人，
所以四班原有的人数减去
3
再
加上
2
等于平均数。四班原有人数列式为
168 ÷ 4
-2+3=43
（人）
一班原有人数列式为
168 ÷
4
-6+2=38
（人）；二班原有人数
列式为
168 ÷ 4
-6+6=42
（人）
三班原有人数列式为
168 ÷
4-3+6=45
（人）。
（
10<
/p>
）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容。凡是研究总
路程、
株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形
，
从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
< br>
解题规律：沿线段植树