小学数学总复习必备知识点汇集(全)
-
小学数学必须掌握的
基本概念、数理规律及基本应用总归集
第一章数和数的运算
一、基本概念
（一）整数
1
、整数的意义：自然数和
0
都是整数。
2
、自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的<
/p>
1
，
2
，
3……
叫做自
然数。一个物体也没有，用
0
表示。
0
也是自
然数。
3
、计数单位：一（个）、十
、百、千、万、十万、百万、千万、亿
……
都
< br>是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是
10
。这样的计数法叫做十进制计数
法。<
/p>
4
、数位：计数单位按照一定的顺序排
列起来，它们所占的位置叫做数位。
5
、数的整除：整数
a
除以整数
b(b
≠0
），除得的商是整数而没有余数，我
们就说
a
能被
b
整除，或者说
b
能整除
a
。
6
、倍数和约数：如果数
< br>a
能被数
b
（
< br>b≠0
）整除，
a
就叫做
b
的倍数，
b
就
叫做
a
的约数（或
a
的因数）。倍数和约数是相互依存的。
因为
35
能被
7
< br>整除，所以
35
是
7
的倍数，
7
是
35
的约数。
基本规律：
一个数的约数的个数是有
限的，其中最小的约数是
1
，最大的约数是它本
身。例如：
10
的约数有
1<
/p>
、
2
、
5
、
10
，其中最小的约数是
< br>1
，最大的约数是
10
。
1
/
44
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。<
/p>
3
的倍数有：
3
、
6
、
9
、<
/p>
12……
其中最小的倍数是
3
，没有最大的倍数。
（
1
）
2
的倍数：个位上是
0
、
2
、
< br>4
、
6
、
8
的数，都能被
2
整除，例如：
202
、
480
、
304
，都能被
2
整除。
（
2
）
5
的倍数：个位上是
0
或
5
的数，都能被
5<
/p>
整除，例如：
5
、
30
、
405
都能被
5
整除。。
（
3
）
3
的倍数：一个数的各
位上的数的和能被
3
整除，这个数就能被
3
整
除，例如：
12
、
108
、
204
都能被
3
整除。
一个数各位数上的和能被
9
整除，这个数就能
被
9
整除。
能被
3
整除的数不一定能被
9
整除，但是能被
9
整除的数一定能被
3
整
除。
一个数的末两位数能被
4
（或
25
）整除，这个数就能被
4
（或<
/p>
25
）整除。
例如：
16
、
404
、
< br>1256
都能被
4
整除，
50
、
325
、
500
、
1675
都能被
25
整除。
< br>一个数的末三位数能被
8
（或
1
25
）整除，这个数就能被
8
（或
125
）整
除。例如：
1168
、
4600
、
5000
、
12344
都
能被
8
整除，
1125
、
13375
、
5000
都能
被
125
整除
。
7
、偶数与奇数：能被
2
整除的数叫做偶数。不能被
2
< br>整除的数叫做奇数。
0
也是偶
数。自然数按能否被
2
整除的特征可分为奇数和偶数。
8
、质数：一个数，如果只有
1
和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或
素数），
100
以内的质数有：
2
、
3
、
5
< br>、
7
、
11
、
13
、
17
、
19
、
23
、
29
、
31
、
37
、
41
、
43
、
47
、
53
、
59
、
61
、
67
、
71
、
73
、
79
、
83
、
89
、
97
。
9
、合数：一个数，如果除了
1
和它本身还有别的约数，这样的数叫做合
数，例如
4
、
6
< br>、
8
、
9
、
12
都是合数。
1
不是质数也不是合数，自然数除了
1
外，不是质数就是合数。
如果把自然数按其约数的个
数的不同分类，可分为质数、合数和
1
。
2
/
44
<
/p>
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的
< br>因数，叫做这个合数的质因数，例如
15=3×5
，
3
和
5
叫做
15
的质因数。
1
0
、公约数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因
< br>数。例如把
28
分解质因数
<
/p>
几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。其中最大的一个，叫做这几
< br>个数的最大公约数，例如
12
的约数有
< br>1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
12
；
18
的约数有
1
、
2
、
3
、
6<
/p>
、
9
、
18
。其中，
1
、
2<
/p>
、
3
、
6
是
12
和
1 8
的公约数，
6
是它们的最大公
约数。
11
、互质数：公
约数只有
1
的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个
数，有下列几种情况：
1
和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有
1
时，这两个合数互质
，如果几个数中任意两个都
互质，就说这几个数两两互质。
<
/p>
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是
1
。
12
、公倍数：几
个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一
个，叫做这几个数的最小公倍数
，如
2
的倍数有
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18……
3
的倍数有
3
、
6
、
9
、
12
、
15
、
18……
其中
6
、
12
、
18……
是
2
、
3
的公倍数，
6
是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
3
/
44
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍
数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个
数是无限的。
（二）小数
1
、小数的意义：把整数
1
平均分成
10
份、
100
份、
1000
份
……<
/p>
得到的十分
之几、百分之几、千分之几
…
…
可以用小数表示。
一位小数表示十
分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之
几
……<
/p>
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点
叫做小数
点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右<
/p>
边的数叫做小数部分。
在小数里，每相
邻两个计数单位之间的进率都是
10
。小数部分的最高分数
单位
“
十分之一
”
和整数部分的最低单位
“
一
”
之间的进率也是
10
。
2
、小数的分类
（
1
）纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如：
0.25
、
0.368
都是纯小数。
（
2
）带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小
数。例如：
3.25
、
5.26
都是带小数。
（
3
）有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7
、
25.3
、
0.23
都是有限小数。
（
4<
/p>
）无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
<
/p>
例如：
4.33……3.1415926……
（
5
）无限不循环小数：一个数
的小数部分，数字排列无规律且位数无限，
这样的小数叫做无限不循环小数。例如：
∏
4
/
44
<
/p>
（
6
）循环小数：一个数的小数部分，有
一个数字或者几个数字依次不断重
复出现，这个数叫做循环小数。例如：
3.555……
0.0333……12.109109……
< br>一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的
循环节。
例如：
3.99……
的循环节是
“9”
，
0.5454……
的循环节是
“54”
。
（
7
）纯循环小数：循环节从小数部分第一
位开始的，叫做纯循环小数。例
如：
3.111……0.565
6……
（
8
）混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小
数。
3.1222……0.03333……
写循环小数的
时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并
在这个循环节的首、末位数字
上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字，就
只在它的上面点一个点。例如：
3
.777……
简写作
0.5302302……
简写作。
（三）分数
1
、分数的意义：把单位
“1”
平均分成若干份，表示这样的一
份或者几份的
数叫做分数。
在分数里
，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把
单位
“1”
平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位
“1”
平均分
成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2
、分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于
1
。
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分
数。
假分数大于或等于
1
。
5
/
44
<
/p>
带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3
、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
< br>把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
1
、表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数
,
也叫
做百分率或百分
比。百分数通常用
来表
示。百分号是表示百分数的符号。
二、基本方法
（一）数的读法和写法
1.
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个
级的读法去读，再在后面加一个
“
亿
”
或
“
万
”
字。每一级末尾的
0
都不读出来，其
它数位连续有几个
0
都只读一个零。
2.
整数的写法：从高位到低位，一级一级地
写，哪一个数位上一个单位也没
有，就在那个数位上写
0
。
3.
小数的读法
：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作
“
点
”
，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.
小数的写法：写小数的时候，整数部分按
照整数的写法来写，小数点写在
个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。<
/p>
5.
分数的读法：读分数时，先读分母
再读
“
分之
”
然后读分子，分子和分母按
照整数的读法来读。
6.
分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来<
/p>
写。
6
/
44
<
/p>
7.
百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的
数，读数时
按照整数的读法来读。
8
.
百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百
分号
“%”
来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，
为了读写方便，常常把它改写成用
“
万
”
或
“
亿
”<
/p>
作单位的
数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，
写成近似数。
1.
准确数：在实际生
活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以
万或亿为单位的数。改写后的数是
原数的准确数。例如把
1254300000
改写成以
万做单位的数是
125430
万；改写成以亿做
单位的数
12.543
亿。
2.
近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后
面的
尾数，用一个近似数来表示。例如：
1302490015
省略亿后面的尾数是
13
亿。
3.
四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的
数是
4
或者比
4
小，就把尾数去
掉；如果尾数的最高位上的数是
5
或者比
5
大，就把尾数舍去，并向它的前一
位进
1
。例如：省略
345900
万后面的尾数约是
35
万
。省略
4725097420
亿后面
的
尾数约是
47
亿。
4.
大小比较
（
1
）比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大
，如果位数相
同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看
下
一位，哪一位上的数大那个数就大。
（
2
）比较小数的大小：先看它们的整数部分，，整数部分大
的那个数就
大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同<
/p>
的，百分位上的数大的那个数就大
……
（
3
）比较分数的大小
:
分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的
数，分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数
的大小。（
三）数的互化
7
/
44
<
/p>
1.
小数化成分数：原来有几位小数，就在
1
的后面写几个零作分母，把原来
的小数去掉小数点作分子，
能约分的要约分。
2.
分数化成小数
：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除
尽，不能化成有限小数的，一
般保留三位小数。
3.
最简分数：一
个最简分数，如果分母中除了
2
和
5<
/p>
以外，不含有其他的质
因数，这个分数就能化成有限小数；如果分
母中含有
2
和
5
以外的质因数，这
个分数就不能化成有限小数。
4.
小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号
。
5.
百分数化成小数：把百分数化
成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点
向左移动两位。
<
/p>
6.
分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保
留三位小
数
)
，再把小数化成百分数。
7.
百分数化成小数：先把百分数改
写成分数，能约分的要约成最简分数。
（四）数的整除
1.
把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去
除，一直
除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2.
求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直
除到所得的商只有公约数
1
为止，然后把所有的除数连乘求
积，这个积就是这
几个数的的最大公约数。
< br>3.
求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公
约数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求
积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4.
成为互质关系的两个数：
1
和任何自然数互质
；相邻的两个自然数互质；
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合
数的公约数只有
1
时，这两个合数互质。
8
/
44
（五）约分和通分
约分的方法：用分
子和分母的公约数（
1
除外）去除分子、分母；通常要除
到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出
原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化
成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：
在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的
倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1.
小数点向右移动一位，原来的数就扩大
10
倍；小数点向右移动两位，原
来的数就扩大
1
00
倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大
1000
倍
……
2.
小数点向左移动一位，原来的数就缩小
10
倍
；小数点向左移动两位，原
来的数就缩小
100
倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小
1000
倍
……
3.
小
数点向左移或者向右移位数不够时，要用
“0
补足位。
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除
外），分数的大
小不变。
（五）分数与除法的关系
1.
被除数
÷
除数
=
被除数
/
除数
2.
因为零不能作除数，所以
分数的分母不能为零。
9
/
44
<
/p>
3.
被除数相当于分子，除数相当于分母。
四、运算的意义
（一）整数四则运算
1
、整数加法：
把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总
数。
加数
+
加数
=
和一个加数
=
和－
另一个加数
2
、整数减法：
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做
差
。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3
、整数乘法：
求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
< br>在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做
积。
在乘法里，
0
和
任何数相乘都得
0.
1
和任何数相乘都的任何数。一个因
数
×
一个因数
=
积一个因数
=
积
÷
另一个
因数
4
、整数除法：
已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数
叫做商。
10
/
44
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，
0
不能做除数。因为
0
和任何数相乘都得
0
，所以任何一个数除
以
0
，均得不到一个确定的商。
被除数
÷
除数
< br>=
商除数
=
被除数
÷
商被除数
=
商
×
除数（二）小数四则运算
1.
小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一
个数的运算。
2.
小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与
其中的一个加数
，求另一个加数的运算
.
3.
小数乘
法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加
数和的简便运算；一个
数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、
千分之几
……
是多少。
4.
< br>小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的
积与其中
一个因数，求另一个因数的运算。
5.
乘方
:
求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如
3×3=32
（三）分数四则运算
1.
分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成
一
个数的运算。
2.
分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与
其中的
一个加数，求另一个加数的运算。
3.
分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数
和的简便运算
。
4.
互为倒数：乘积是
1
的两个数叫做互为倒数。
5.
分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的
积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
11
/
44
（四）运算定律
1.
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即
a+b=b+a
。
2.
加法
结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先
把后两个数相加，再
和第一个数相加它们的和不变，即（
a+b)+c=a+(b+c)
。
3.
乘
法交换律：两个数相乘，
交换因数的位置它们的积不变，即
a×b=b×a
。
4.
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相
乘，再乘以第三个数；或者先
把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即<
/p>
(a×b)×c=a×(b×c)
。
<
/p>
5.
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别
与这个数相
乘再把两个积相加，即
(a+b)×c=a×c+b
×c
。
6.
减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数
的和，差不变，
即
a-b-c=a-(b+c)
。
（五）运算法则
1.
整数加法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2.
整数减法计算法则：
相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一
作
十，和本位上的数合并在一起，再减。
3.
整数乘法计算法则：
先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数
哪
一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起
来。
4.
整数除法计算法则：
12
/
44
<
/p>
先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；如果不够
< br>除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位
上不
够商
1
，要补
“0”
< br>占位。每次除得的余数要小于除数。
5.
小数乘法法则：
先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的
右边起
数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用
“0”
补足。
6.
除数是整数的小数除法计算法则：
先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果
除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添
“0”
，
再继续除。
7.
除数是小数的除法计算法则：
<
/p>
先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位
< br>数不够的补
“0”
），然后按照除数是整数的除法法则进
行计算。
8.
同分母分数加减法计算
方法
:
同分母分数相加减，只把分子相加减，分母
不变。
9.
异分母分数加减法计算方法
:
先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10.
带分数加减法的计算方法
:
整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11.
分数乘法的计算法则
:
分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分
数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12.
分数除法的计算法则
:
甲数除以乙数（
0
除外），等于甲数乘乙数的
倒数。
13
/
44
（六）运算顺序
1.
小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2.
分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3.
没有括号的混合运算
:
同级运算从左往右依次运算；两级运算先算乘、除法，后算加减法。
<
/p>
4.
有括号的混合运算
:
先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号
外面的。
< br>
5.
第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
6.
第二级运算：乘法和除法叫做第二级运
算。
五、具体应用
（一）整数和小数的应用
1
、简单应用题
（
1
）简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运
算解答的应用
题，通常叫做简单应用题。
（
2
）解题步骤：
a
审题理解题意：了解应用题的内容，知道应用题的条件和问题。
读题时，不丢字不添字边读边思考，弄明白题中每句话的意思。也可以复
述条件和问题，帮助理解题意。
b<
/p>
选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么，
< br>要求什么着手，逐步根据所给的条件和问题，联系四则运算的含义，分析数量
关系
，确定算法，进行解答并标明正确的单位名称。
C
检验：就是根据应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否
正
确，是否符合题意。如果发现错误，马上改正。
14
/
44
2
、复合应用题
（
1
）有两个或两个以上的基本数量关系组成的，用两步或
两步以上运算解
答的应用题，通常叫做复合应用题。
（
2
）含有三个已知条件的两步计算的应用题。
求比两个数的和多（少）几个数的应用题。
比较两数差与倍数关系的应用题。
（
3
）含有两个已知条件的两步计算的应用题。
< br>
已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数，求两个数的和（或
差）。
已知两数之和与其中一个数，求两个数相
差多少（或倍数关系）。
（
4
）解答连乘连除应用题。
（
5
）解答三步计算的应用题。
（
6
）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法
和除法的应用
题，他们的数量关系、结构、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在
已
知数或未知数中间含有小数。
d<
/p>
答案：根据计算的结果，先口答，逐步过渡到笔答。
( 3 )
解答加法应用题：
a
求总数的应用题：已知甲数是多少，乙数是多少，求甲乙两数的和是
多
少。
b
求
比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多少，求乙
数是多少。
(4)
解答减法应用题：
a
求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分。
15
/
44
-b
求两个数相差的多少的应用题：
已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数
多多少，或乙数比甲数少多少。
< br>
c
求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，，
乙数比甲数少多少，
求乙数是多少。
(5)
解答乘法应用题：
a
求相同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数，求总数。<
/p>
b
求一个数的几倍是多少的应用题：已
知一个数是多少，另一个数是它的几
倍，求另一个数是多少。
(6)
解答除法应用题：
a
把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个
数平均分成几份的，求每一份是多少。
b
求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少，求可
以分成几份。
C
求一个
数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少，求较大
数是较小数的几倍。<
/p>
d
已知一个数的几倍是多少，求这个数
的应用题。（
7
）常见的数量关系：
总价
=
单价
×
数量路程
=
速度
×
时间
工作总量
< br>=
工作时间
×
工效总产量
=
单产量
×
数量
3
、典型应用题
具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题，通常叫做典型应
用题。
（
1
）平均数问题：平均数是等分除法的发展。
解题关键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。
16
/
44
<
/p>
算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数，求平均每份
< br>是多少。数量关系式：数量之和
÷
数量的个数
=
算术平均数。
加权平
均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少。
数
量关系式（部分平均数
×
权数）的总和
÷
（权数的和）
=
加权平均数。
差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分，
求的
是标准数与各数相差之和的平均数。
数量关系式：（大数－小数）
÷2=
小数应得数
最大数与各数之差的和
÷
总份数
=
最大数应给数最大数与个数之差的和
÷
总份
数
=
< br>最小数应得数。
例：一辆汽车以每小时
100
千米的速度从甲地开往乙地，又以每小时
60<
/p>
千
米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度。
分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路<
/p>
程设为
“1”
，则汽车行驶的总路程为<
/p>
“2”
，从甲地到乙地的速度为
100<
/p>
，所用的时
间为，汽车从乙地到甲地速度为
60
千米，所用的时间是，汽车共行的时间为
+
=
,<
/p>
汽车的平均速度为
2÷=75
（千米）<
/p>
（
2
）归一问
题：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随
之而改变，其变化的规律是
相同的，这种问题称之为归一问题。
根据求
< br>“
单一量
”
的步骤的多少，归一
问题可以分为一次归一问题，两次归
一问题。
根据球痴单一量之后，解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一
问题，
反归一问题。
一次归一问题，用一步运算就能求出
“
单一量
”
的归一问题。
又称
“
单归一。
”
两次归一问题，用两步运算就能求出
“
< br>单一量
”
的归一问题。又称
“<
/p>
双归一。
”
正归一问题：用等分除法求出
“
单一量
”
之
后，再用乘法计算结果的归一问题。
17
/
44
<
/p>
反归一问题：用等分除法求出
“
单一量<
/p>
”
之后，再用除法计算结果的归一问
题。
解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量
（单一
量），然后以它为标准，根据题目的要求算出结果。
<
/p>
数量关系式：单一量
×
份数
=
总数量（正归一）
总数
量
÷
单一量
=
份数（反归一）
例一个织布工人，在七月份织布
4774
米，照这样计算，织布
6930
米，需
要多少天？
分析
：必须先求出平均每天织布多少米，就是单一量。
6930÷
（
477 4÷31
）
=45
（天）
（
3
）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数，以及不同的单位
数量
（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数
量）。
特点：两种相关联的量，其中一种量变化，另一种量也跟着变化，不过变
化的规律相反，和反比例算法彼此相通。
数量关系式：
单位数量
×
单位个数
÷
另一个单位数
量
=
另一个单位数量单位数量
×
单位个数
÷
另一个单位数量
< br>=
另一个单位数量。
例修一条
水渠，原计划每天修
800
米，
6
天修完。实际
4
天修完，每天修了
多少米？
分析：因为要求出每天修的长度，就
必须先求出水渠的长度。所以也把这
类应用题叫做
“
归总问题
”
。不同之处是
“
归一
”
先求出单一量，再求总量，归
总问
题是先求出总量，再求单一量。
80
0×6÷4=1200
（米）
（
4
）和差问题：已知大小两个数的和，以及他们的差，求这两个数各
是多
少的应用题叫做和差问题。
18
/
44
<
/p>
解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的
和），然后再求另一个数。
解题规律：（和＋差）
÷2 =
大数大
数－差
=
小数
（和－差）
÷2=
小数和－小数
=<
/p>
大数
例某加工厂甲班和乙班共有工人<
/p>
94
人，因工作需要临时从乙班调
46<
/p>
人到
甲班工作，这时乙班比甲班人数少
1
2
人，求原来甲班和乙班各有多少人？
分析：从乙班调
46
人到甲班，对于总数没有变化，现在把乙
数转化成
2
个
乙班，即
94
－
12
，由此得到现在的
乙班是（
94
－
12
< br>）
÷2=41
（人），乙班在调
出
46
人之前应该为
41+46=87
（人），甲班为
9 4
－
87=7
（人）
（
5
）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是
多
少的应用题，叫做和倍问题。
解题
关键：找准标准数（即
1
倍数）一般说来，题中说是
“
谁
”
的几倍，把
谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个
< br>数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的
数量
。
解题规律：和
÷
< br>倍数和
=
标准数标准数
×
倍数
=
另一个数例
:
汽车运输场有大小
货车
115
辆，大货车比小货车的
5
倍多
< br>7
辆，运输场有大货车和小汽车各有多
少辆？
分析：大货车比小货车的
5
倍还多
7
辆，这
7
辆也在总数
115
辆内，为了
使总数与（
5+1
）倍对应，总车辆数应（
115-7
）辆。
列式为（
115-7
）
÷
（
5+1
）
=18
（辆），
18×5+7=97
（辆）（
6
）差倍问题：
已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两
个数各是多少的应用题。
解题规律：两个数的差
÷
（倍数－
1
）
=
标准数标准数
×
倍数<
/p>
=
另一个数。
例甲乙两根绳子，甲绳长
63
米，乙绳长
29
米，两根绳剪去同样的长度，
结果甲所剩的长度是乙绳长
的
3
倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少
米？
19
/
44
<
/p>
分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的
< br>3
倍，实比乙绳多（
3-1
）倍
，以乙绳的长度为标准数。
列式（
6
3-29
）
÷
（
3-1
）
=17
（米）
…
乙绳剩下的长度，
17×3=51
（米）
…
甲绳
剩下的长度，<
/p>
29-17=12
（米）
…
剪去的长度。
（
7
）行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速
度
，叫做行程问题。解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜
速度和、速度
差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。
解题关键及规律：
同时同地相背而行
：路程
=
速度和
×
时间。
同时相向而行：相遇时间
=
速度和
×
时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间
=<
/p>
路程速度差。同时
同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路
程
=
速度差
×
时间。
例甲在乙的后面
28
千米，两人同时同向而行，甲每小时行
16
千米
，乙每
小时行
9
千米，甲几小时追上乙
？
分析：甲每小时比乙多行（
16-
9
）千米，也就是甲每小时可以追近乙（
16-
9
）千米，这是速度差。
已
知甲在乙的后面
28
千米（追击路程），
28
千米里包含着几个（
16-9
）
千
米，也就是追击所需要的时间。列式
28÷
< br>（
16-9
）
=4
（小时）
（
8
）流水问题：一般是研究船在
“
流水
”
中航行的问题。它是行程问题中比
较特殊的一种类
型，它也是一种和差问题。它的特点主要是考虑水速在逆行和
顺行中的不同作用。
船速：船在静水中航行的速度。
水速：水流动的速度。
顺水速度：船顺流航行的速度。
20
/
44
逆水速度：船逆流航行的速度。
顺速
=
船速＋水速
逆速
=
船速－水速
解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和，逆流速度是船速与水速的
差，所以
流水问题当作和差问题解答。解题时要以水流为线索。
解题规
律：船行速度
=
（顺水速度
+
逆流速度）
÷2
流水速度
=
（顺流速度逆流速度）
÷2
路
程
=
顺流速度
×
顺流航行所需时间
路程
=
逆流速度
×
逆流航行所需时间
< br>
例一只轮船从甲地开往乙地顺水而行，每小时行
28<
/p>
千米，到乙地后，又逆
水航行，回到甲地。逆水比顺水多行
2
小时，已知水速每小时
4
< br>千米。求甲乙
两地相距多少千米？
分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间，或者逆水速度和
逆水的时间
。已知顺水速度和水流速度，因此不难算出逆水的速度，但顺水所
用的时间，逆水所用的
时间不知道，只知道顺水比逆水少用
2
小时，抓住这一
点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间，这样就能算出甲乙两地
的路程。列式为
284×2=20
（千米）
20×2=40
（千米）
40÷
（
4×2
）
=5
（小时）
28×5=140
（千米）。
（
9
）还原问题：已知某未知数
，经过一定的四则运算后所得的结果，求这
个未知数的应用题，我们叫做还原问题。
解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系。
解题规律：从最后结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法，
逐步
推导出原数。
根据原题的运算顺序列出数量关系，然后采用逆
运算的方法计算推导出原
数。
21
/
44
<
/p>
解答还原问题时注意观察运算的顺序。若需要先算加减法，后算乘除法时
< br>别忘记写括号。
例某小学三年级四个班共有学生
168
人，如果四班调
3
人到三班，三班调
6
人到二班，二班调
6
人到一班，一班调
2
人到四班，
则四个班的人数相等，四
个班原有学生多少人？
分析：当四个班人数相等时，应为
168÷4
，以四
班为例，它调给三班
3
人，
又从一班调
入
2
人，所以四班原有的人数减去
3<
/p>
再加上
2
等于平均数。四班原
有人数列式为
168÷4-2+3=43
（人）一
班原有人数列式为
168÷4-6+2=38
（人）；
二班原有人数列式为
168÷4-6+6=42
（人）三班原有人数列式为
168÷4-3+6=45
（人）。
（
10
）植
树问题：这类应用题是以
“
植树
”
为内容。凡是研究总路程、株
距、段数、棵树四种数量关系的应用题
，叫做植树问题。
解题关键：解答植树问题首先要判断地形，
分清是否封闭图形，从而确定
是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
解题规律：沿线段植树
棵树
=
段数
+1
棵树
=
总路程
÷
株距
+1
株距
=<
/p>
总路程
÷
（棵树
-1
）总路程
=
株距
< br>×
（棵树
-1
）沿周长植树
棵树
=
总路程<
/p>
÷
株距株距
=
总
路程
÷
棵树
总路程
=
株距
×
棵树
例沿公路一旁埋电线杆
301
根，每相邻的两根的间距是
50
米。后
来全部改
装，只埋了
201
根。求改装
后每相邻两根的间距。
分析：本题是沿线段埋电线杆，要把电
线杆的根数减掉一。列式为
50×
（
3
01-1
）
÷
（
201-1
）
=75
（米）
（
11
）盈亏问题：
是在等分除法的基础上发展起来的。他的特点是把一定
数量的物品，平均分配给一定数量
的人，在两次分配中，一次有余，一次不足
22
/
44