全国暑假教师培训讲义-小学数学
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全国暑假教师培训讲义
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小学数学
(1)
各位老师大家好。
今天我们交流研讨的话题是
“
注重数学本质，提高数学素养
”
。
讨论小学数学教学中常见的
“
数学问题
”
，为什
么强调是数学问
题呢，是因为我们希
望今天的交流能突出数学的本质，帮助大家一
起提升数学素养。
也正如
大家常说
“
教
什么比怎样教更重要
”
，我们今天讨论的就
< br>应该属于
“
教什么
”
的范畴。
张：
各位老
师，
大家可能都听到一句俗语叫做要给学生一杯水，
教师
必须有一桶水。
所以我们今天来谈谈小学数学的内
容，大家不会觉得太简单
吗？实际上我们要关注
小学数学教材里边背后的内容，就是说我们
是要源于教材但是要高于教材；另
外，
就是要居高临下，我们有一
些更
高的观点来观察小学教材的内容；其次，我们要有
全面的整体
的意识，知道小学数学教材他在整个教育当中的地位和作用，然后，
我
们就可以心中有数；最后，小学教材虽然看来比较简单
，但是它
与时俱进，还是有
许多时代
特色需要我们展示，需要我们深入的了
解。
所以，我们愿意给大家来探讨，
小学
当中的一些数学问题，我
想，希望给各位理解教材，理解课程标准有所帮助。
【
PPT
】
（
PPT
内容为画线部分，下同）
一、数与代数领域问
题的讨论
1
．
0
为什么是自然数
唐：
现在我们就按照小学数学的几大领域来选择一些问题来具体分
析。
我们都知道，
小学数学中最大的学习领域是数与代数领域。
首先我们讨论关于自然数。
大家可能
会问：
自然数谁不懂？这里还会有数学问题吗？其实与时俱进地看，
自
然数的问题
还真不少。
大家可能争论最多的是
“0
本来不作
为自然数，现在怎么又说是
自然数了，
为什么
”
？
张：
在上世纪
90
年代以前，自然数不包括
0
，但是
1993
之后，就
包括
0
在内，这
当然是一个规定所产生的，那是在
1993
< br>年颁布的
《中华人民共和国国家标准》里面
有一句话说规定自然数包含
0
，
< br>从此之后，
0
就属于自然数的范围了。
【
PPT
】
唐：
从近年来编写新课标小学数学教材中，
我们可以发现教材也都根
据上述国家标
准进行了修改。
具体的表述是：
用
0 <
/p>
表示
“
一个物体也没有
< br>”
所对应的计数。
【
PPT
】
只是在教学中，有些老师觉得把
0
作为自然数，与传
统不同，不太习惯。
这只是习惯问题。
0
是自然数有许多理由。
首先，
人的经验是，从无到有。
魔术师先交代两手空空，
再变出一只
兔子，
然后两只兔子
……
。
铅笔盒中本来是空
的，然后装进一支铅笔、两只等等。
第二，更重要的是书写的需要，
十的位置记数
写法是
10
。
【
PPT
】没有
0
，
就写不出
10
，
20
，
30
，
100
。
所以<
/p>
0
，
1
，
2……9
，
共十个数字是最基本的。
第三，
的出现可以保证自然数集有单位元
a+0
【
PPT
】在自然
数中
5
－
5
＝
0
，如果
0
不是自然数，那么
5
－
5
岂不是不能减了。
此
外，
大数学家冯诺依曼用集合论的语言写自然数，
< br>第一个是
”
空集
Φ”
，
表示，
【
PPT
】
然后把以空集
为元素的集合
{Φ}
叫做
1
，依
次类推。
从文化的角度看来
“
有
”
也是从没有开始的。
是自然数的说法，既有生活经验，又符合数学规则，
还有文化
背景和科学依据，
是合乎情理的。
说起习
惯，从某种意义上是老师的习惯，学生其实没有这样的
习惯。
从这个角度
来说，有时有些新的事物
老师认为难接受，但学生
反而觉得好接受，可能也是这样
的原因吧。
2
．数位的分级是三位一级还是四位一级
唐：
下面的类似问题是关于数位的分级。
自然数用十进位记数。
在小学里教材上，
读数与写数的时候
，一向强调四位一级，分
为个级、万级、亿级，但是在现实生活，
无论是银行里的计数，还
是信息技术中的计数都是三位一级
，即个、千、百万
……
，
从数学
角度上怎样看这种现象？
张：
这个问题我觉得应该
“
与时俱进
”
，在以前我关注到，小学数学教
学中只讲四位
一级，只讲个、万、亿。
但是现在与国际接轨之后
“
千
”
的用途越来越大
。
所以说四
位计数是我们的传统，必须
保持，
【
PPT
】我们的学生
应该懂，三位一级更是国际
惯例，又必须与国
际接轨，
【
PPT
】我们
也应该让学生掌握。
两种并存，是必然趋
势，逐步与国际接轨。
我们也注意到，像尺和寸现在就用的比较少了，米和厘米用
的
比较多了。
将来，会通过社会的选择来确定哪一种是主要的。
我想，两种都要学，
这大概是不可避免的。
唐：
听张老师这么一说，我们知道既要保存传统，又要与国际接轨。
也有学者把数
位的分级与空间图形结
合起来，认为
“
三位一级
”
更符合数形结合的规律。
具体地说，
一个小立方体表示
1
，
那么
10
个一排就是
10
，
10
个
10
排成
1
个面就是一个百，每
一百算一层，
10
层就是一个新立方
体，表示
“
千
”
。
再从
“<
/p>
千立方体
”
出发，
10
10
排构成面，
10
个面叠成新的立
方体就是一百万。
这就很
形象地描绘出
“
三
< br>位一级
”
的构造。
【
PPT
】这样看来，
“
三位一级
”
也是可以通过数形结合来描述这
种
结构。
张：
我还注意到，不管是
“
四位一级
”
还是
“
三位一级
”
，百万是大家共
用的名词，
如
“
百万雄师
”
，
“
和百万英镑，中外都用百万形容很多。
所以对百万我们还应该多多的关注。
唐：
张老师说起那个百万，
就不仅让我想
起我们经常看到的一些课题
教学。
我们经
常听到这样的片段，
1
百万有多大？让学生认识
PT
】
张：
当初设
计这样的教案，
它的初衷是好的，
就是要大家体验一下一
百万是怎么样
过来的。
它一定是从一开始，然后到十、百、千一点一点数出来的。
当数目很大的
时候，数起来很费力。
让儿童经历这样一个过程还是很有好处。
不过，
我又觉得，
我们本质上还是要关注
100
万这个数的结构。
至于说
100
万粒米有多大，这个不是
数学要研究
的问题，这是
个别的体验，
100
万粒米，
100
万颗花生，
100
万个篮球
有多大
等像这样的问题是没有穷尽的，也不是我们每个人都需要去体验的。
所以。
我觉得还是要把精力放在
100
万的结构上面，
比如
100
万里面
有多少个
1000
，
100
万里面有多少个
1
万，我们每人捐款
1000
元，
要捐到
100
万需要多少个人捐，这样
的素材不仅
有现实背景，而且
还有数学意义，可能更值得我们去思考。
3
．分数的定义
唐：
听张老师这么说，
就是我们在组织这
样的活动的时候，
一方面要
关注现实背景，
但是更重要的是要关注数学的意义。
前面我们主要讨论的是关于自然数的问题。
接
下来我们要讨论的是一个比较难学，但却很重要的课题：
分数。
我想我们从分数的
定义开始谈起。
教材很多都是从份数的定义开始的。
【
PPT
】一般都这样描述：
单
平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
【
PPT
】
这样的描述听起来比较自然，
也符合
“
几分之几
”
的称呼。
因而是引入分数的首选。
张老师你怎
张：
对，用份数的定义来引入分数是非常自然的。
但我觉
得这样也有缺点，
最后是一份或几份，
那究竟是自然数还
是分数？这样不太明确。
因此必须尽快过渡到分数
的
“
商
”
定义，分数的定
义就是，分数
是两个正整数
a
，
b
，
a
除以
b
的商。
所以分数
是一个商，这个概念我们现在注意的不够，而这恰恰
是我们学习分数的核心所在。
除以
b
，<
/p>
当除的进时
（整除）
，
< br>就是原来的自然数，
没什么问题，
问题就在除不进的情况
下面，
那么我们就得到了一个分数，
这就是分
< br>数所以要成为分数根本的
原因，就是除不进的情况下需
要分数，除
的进就不需要分数了。
例如
1/4
，
它是一个整体平均分为
4
但是，这一份究竟有多大
呢？
小，却又比
0
大。
于是我们在数射线上可以标
出它的位置：
它在
0
之间再分一半，那个地方就应该是
1/4
，这样一画，数的
概念就出来了。
这就显示它是一个新的
数，是原来自
然数所没有的数，它是我
们现在要研究的对象。
商的分数的定义比份
数的定义要深入
一步，体现了分数出现的
必要性，特别是商和除法之间的关系，我
想，如果理解了这一点，
分数的价值才能完整的体现。
份数定义还停留在
“
几份
”
的思考上，
还没有摆脱
自然数的表示。
1
【
PP
T
】唐：
刚才张老师也说起分数与除法的关系，
但是以前我们描述分数与
除法的关系时
只讲分数与除法之间的关系，一般描述为：
分数中的分子相当于除法中的被除数，
分母相当于除法中的除
数。
但到底是怎样的一种关系，尚不明晰。
通过刚才的介绍
分数的商的定义，可能分数是一个新的数。
张老师，你刚才还提到了分数的另外一
种定义，那是一种怎样
的定义？
张：
分数的第三个定义是比的定义
两个自然数
叫做分数。
比和除，本来是一个问题的两个方
面，我的意思是说，用比的概
念之后，分数就可
以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。
我记得我曾经请你做过一个实验，你
把实验向大家介绍一下。
唐：
好的，我们来分享一下这个实验的结果。
上次张老师布置我做过一个小调查，
我们就组织了
100
多名学
生，分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就是当学
生看到屏
幕上有一个圆，我们把圆分成
4
份，其中的一份涂成蓝色，这时学
生会想
到哪些分数呢？我们给学生一些时间，让他们想，结果我们
发现：<
/p>
（时间
2
分钟）
【
PPT
】
测试结果：
【
PPT
】
总人数
1/4 3/4 1/2
4/1 1/3 3/1
三年级
39 38 14
四年级
39 36
17 10
六年级
38 36
合计
116 110 39 13
百分率
94.83 33.62 11.2
6.90 9.48 1.72
张老师。
你怎么看这个数据。
张：
我想，
比的定义和我们原来份数的定
义是相关的，
份数的定义是
说一个整体平
均分之后，其中的几份。
从这个小调查看出，以整个圆作为
“
整体单位
”
的思维定势
还是
比较强的。
但整体不仅仅是一个圆，也可以是
1
个半圆，或
3/4
个圆，所
以整
体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。
所以就一个大学的教师来看，我首
先看到的是在
1
个圆里面
1
块白，蓝和白之比是
1
：
3
，然后
马上就认为是一个
1/3
。
所以说不能把一个整圆分成
4
等分作
为一种定式，以至于看不
到一块蓝三块
白之间的比。
我想比的定义也许和份数之间的灵
活转换有一定的关系，
我也希
望大
家把份数和比的定义连接起来思考。
唐：
如果电视机前面的老师也有兴趣的话，
你也不妨对你班里的学生
做这样的调查，
< br>或许你能更加深刻的认识到刚才张老师所讲的从份
数定义怎样过渡到商的定义的重
要性。
因为在这个过渡的过程中，
让我们明确了分数是不同于自然数的
一种
“<
/p>
新
”
的
数，是我们的新朋友。
当我们把
1/3
，
1/6
等等分数标在数轴（数射线）上的时候
新
数的面貌就完全呈现出来了。
【
PPT
】
4
．分数
基本性质
唐：
分数学
习中有一个重要的性质，
是老师们都特别熟悉的，
就是分
数的基本性质。
但是所谓基本性质，我们总是这样描述：
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数
除外）
，
分数的大小不
变。
除了这样的描述，
究竟是什么性质呢？并没有明确的词语，
好像
总得有一个特别的名字才好。
从数学的角度应该怎么描述？
张：
我想，这就是分数相等的性质，在自然数里面，两个数相等，
这
两个数的表达
等于
2
，
2
就是
< br>2
。
在分数里面，不同形式的分数，它是相等的，但相
等的东西可
以不一样，这就是一个新问题了。
在数学
上面，这叫做
“
等价类
”
。
就是
把不
同表现形式的东西归为一类，这样，我们在观察问题
时，就不仅是看一个数，
而是看一群数，一类数，这类数我们就叫
做
“
等价类
”
。
这个思想在教材当中未见得
要出现，
但是作为老师我们要认识
到，自从进入分数范围内以后，这个基本性质，
实际上是说明了：
不同的东西可以归为一类，但是它们有个标准，就是数值相等。
“
等
价类<
/p>
”
是一种非常重要的数学思想，也是我们处理分数不可
缺少的一个思考。
大家也可以看这个
“
等价类
”
例子，
1/2
所在的等价类，各个分
数彼此相等：
1/2
2/4=3/6 ……
【
PPT
】唐：
听张老师这么一说，
就是说有不同分数的外形，
但是它的数值是
一样的，
如果
要派代表的时候，我们都很熟悉，叫做最简分数。
那么用最简分数作代表行不行？
你能
不能给我们结合具体的事
例形象地说明一下？
我可以有两个比喻：
一个是：
分数好像一个人可以穿不同的衣服。
体育课穿运动服，上课穿校服，正式
场合穿西装，文艺演出穿
演出服，休闲时穿休闲服等等。
不同场合穿不同衣服，虽
然最常用的
是校服，但校服不能代替
其它的服，但人是同一个。
另一个是：
分数又好像我们的学校。
里面的成员都是平等的，都能代表学校，但是
各有各的作用。
校长会议校长去参加，
数学教师活动请数学教师去，
5
年级学生
的
竞赛则必须由
5
年级学生参与。
所以我
想，
“
等价类
”
就是这样，大家都是平等的，不同的场合
要有不同的表示形式。
最简分数固然重要，但分数相加需要通分，最简分数就不够用
了
。
就如校长虽然重
要，却不能代表一切。
所以你刚才提的问题很好，所谓分数的基本性质，就是分数
相
等的性质。
什么叫做分数相等，就是这样的定义。
唐：
经过张老师这样形象地描述，
分数的
这个等价性大家一定清楚些
了。
那为什么
分数要出这样一个基本性质，而自然数没有呢？
张：
相等的自然数只有一种形式。
但是相等的分数却有不同的形式。
而且分数的约
分，通分在后续学习中非常有用。
所以必须认真学习，加深理解。
唐：
基于以上的讨论，我感到分数教学对我们老师的启示有以下两
点：
第一，分数
是
“
新朋友
”
，是除不尽情形下引进的
新数。
分数的本质在于使得自然数的除法总可
以施行，
因而分数的
“
商
定义
”
显得十分重要。
第二。
分数是一个大家庭，相等的分
数可以有不同的形式。
等价类的思想应该有所渗透。
【
PPT
】
5
．小数与分数的关系
唐：
说完了分数，
我们来讨论和分数密切
相关的小数，
小数与分数的
关系，我们常
常这样说：
小数是分数的另一种形式。
十分之几的分数可以写成一位小数，百分之
< br>几的分数可以写成
两位小数，
……
依此类推，所以一般都先学分数再学小数。
你怎
张：
先学分数再学小数是从一般到特殊，
一般的分数有了，
我们再来
研究特殊的，以
10
为分母的分数。
但是小数是不是因为分数才产生的呢？这不是。
小数的产生与
现实中的度量有密切关系。
我们有了尺所以下面有寸、有分，我们有了斤所以下面
有两。
所以我想，如果我们先学分数，比如说几元、几角、几分，然
后
再把特殊的
分数，我们分成
10
份的分数，推广
为一般，从特殊到
一般，也是一种认识的规律。
所以这两者，在我所见到的国内外许多教材当中，是有不同的
安排的
。
有些就是由
一般到特殊，像我们现在
多数采取的，有些国外的
教材就是从特殊到一般，先有小
数这样的分数，然后在推广到一般
的分数，都是可以的。
唐：
看来现代人们在编教材的时候有不
同的解读，
所以顺序也不一定
一样。
哪么我
们想小数与分数之间到底有怎
样的关系，有什么区别
呢？在数学史上到底是先有分
数还是先有小数？
张：
中国在商代，
就是现在出土的文物中
就有尺了，
那个尺里面就有
寸，而且是十
进位的，所以这个是有考古的实物为证的，所以小数
在商代
就出现了。
分数根据记
载是在春秋时代出现的，比商代就要晚很多了。
从中国的小数和分数出现的时间来
说
，
是先有小数，
后有分数。
于一般分数。
度量衡的发展大约始于父系氏族社会末
期。
传说唐帝
“
设五量
”
，
“
少昊同度量，调律吕
”
。
这时的单位尚有因人而异的弊病。
《史记
夏本纪》中记载禹
“
身为度，称以出
”
，则表明当时已经
以名人为标准进行单
位的统一，出现了最早的法定单位。
商代遗址出土有骨尺、牙尺，长度约合
16
厘米，
与中等身材
< br>的人大拇指和食指伸开后的指端距离相当。
尺上的分寸刻划采用十进位。
【
PPT
】
唐：
分数产生在什么时候呢？
张：
我国的分数记载出现于春秋时代
（公
元前
770
年～前
476
年
《左
传》中，规定
了诸侯的都城大小：
最大不可超过周文王国都的三分之一，中等的不可超过五分之
一，小的不可超过九分之一。
秦始皇时代的历法规定：
一年的天数为三百六十五又
四分之一。
在小数出现的时候，并不觉得这是分数。
后来有了一般的分数概念，
才
看到小数是
“
没有写分母
”
的分数，
其分母由位置确定。
唐：
古代的教学史对我们现代的教学也是有一定的启示的，
有一种关
系可能是值得
我们思考的，就是既然分数可以和小数互化，那么已
经有了小数，何必还要学习分<
/p>
张：
问题就在于实际的需要，
小数是运算比较方便，
很容易看得出来
它的大小
，但是无限循环小数的加减乘除非常麻烦。
因此，分数运算必须单独学习。
反过来，
只学分数不学小数也不行。
因为小数是十进位的，
比较实用。
尤其是比较两个小
数的大小，
无论是有限小数还是无限循环小
数，用
“
字典顺序
”
比较，一目了然。
不
像面对两个分数，要比较它们的大小比较困难。
所以说，它们各有各的好处。
唐：
小数和分数在具体的问题当中各有个的好处，
通过刚才我们讨论