山东省东营市2021届新高考一诊数学试题含解析
找不到坚强的理由-防溺水三字经
山东省东营市
2021
届新高考一诊数学试题<
/p>
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1
．
已知命
题
p
：
x<
/p>
R
，
x
2
x
1
0
；
命题
A
．
< br>p
q
【答案】
B
【解析】
【分析】
根据
，可知命题
< br>p
的真假，然后对
x
取值，可得
命题
【详解】
对命题
p
：
可知
<
/p>
1
4
0
，
所以
x
R
，
x
< br>2
x
1
0
故
命题
p
为假命题
命题
2
q<
/p>
：
x
R
，
x
2
2
x
，
则下列命题中为真命题的是
（
）
D
．
p
q
B
．
p
q
C
．
p
< br>q
q
的真假，最后根据真值表
，可得结果
.
q
：
取
x
3
，可知
3
2
2
3
所以
x
R
，
x
2
2
x
故命题
q
为真命题
所以
p
q
为真命题
故选：
B
【点睛】
本题主要考查对命题真假的
判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题
.
2
．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标
值满
分为
5
分，分值高者为优）
，根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是
< br>（
）
A
．乙的数据分析素养优于甲
B
．乙的数学建模素养优于数学抽象素养
C
．甲的六大素养整体水平优于乙
D
．甲的六大素养中数据分析最差
【答案】
C
【解析】
【分析】
根据题目所给图像，填写好表格，由表格数据选出正确选项
.
【详解】
根据雷达图得到如下数据：
甲
乙
数学抽象
4
3
逻辑推理
5
4
数学建模
4
3
直观想象
5
3
数学运算
4
5
数据分析
5
4
由数据可知选
C.
【点睛】
本题考查统计问题，考查数据处理能力和应用意识
.
3
．已知
，函数
f
(
x
)
sin
2
x
①
f
(
x
< br>)
在
(
,
2
)
上
单调递增；
②
1
3
<
/p>
在区间
(
,<
/p>
2
)
内没有最
值，给出下列四个结论：
3
5
11
,
12
24
③
f
(
x
)
< br>在
[0,
]
< br>上没有零点；
④
f
(
x
)
在
[0,
]
上只有一个零点<
/p>
.
其中所有正确结论的编号是（
）
A
．②④
【答案】
A
【解析】
【分析】
B
．①③
C
．②③
D
．①②④
1
k
5<
/p>
f
(
x
)
sin
2
x
或
先根据函数
在区间
(
,
2
)
内没有最值求出
k
剟<
/p>
3
12
2
24
k
5
k
11
1
1
剟
.
再根据已知求出
„
，判断函数的单调性和零点情况得解
.
12
2
24
3
2
【详解】
因为函数
f
(
x
)
sin
2
x
所
以
2
k
<
/p>
在区间
(
,
2
)
内没有最值
.
3
2
3
3
2
1
k
5
5
k
11
或
k
剟
.
解得
k
剟
12
2
24
12
2
24
2
1
1
1
…
2<
/p>
,
，所以
„
.
又
T
2
3
3
2
令
k
< br>0
.
可得
剟
2
4
2<
/p>
k
，或
2
k
2
剟
2
3
4
< br>
3
2
k
3
,
k
Z
2
5
11
,
.
且
f
(
x
)
在
(
,
2
)
上单调递减
.
< br>12
24
当
< br>x
[0,
< br>]
时，
2
x
7<
/p>
,
2
，且
2
,
，
< br>
3
3
3
3
2
12
所以
f
(
x
)
在
[0,
]
上只有一个零点
.
所以正确结论的编号②④
故选：
A.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图
象和性质，考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平
.
x
2
y
2
4
．已知双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
的离心率为
e
，抛物
线
y
2
2<
/p>
px
(
p
0)
的焦点坐标为
(1,0)
，若
a
b
e
p
，则双曲线
C
的渐近线方程为（
）
A
．
y
3
x
B
．
y
2
< br>2
x
C
．
y
【
答案】
A
【解析】
【分析】
5
x
2
D
．
y
2
x
2
求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解
< br>a
，
b
关系，即可得到双曲线的
渐近线方程．
【详解】
抛物线
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）的焦点坐标为（
1
，
0
）
，则
p<
/p>
＝
2
，
又
e
＝
p
，所以
e
故选：
A
．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率以
及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．
5
．已知
1
1
1
1
1<
/p>
L
，如图是求
<
/p>
的近似值的一个程序框图，则图中空白框中应填入
4
3
5
7
< br>9
c
2
，可得
c
2
＝
4a
2
＝
a
2
+b
2
，可得：
b
3
a
，所以双曲线的渐近线方程为：
y
＝
±
3
x
．
a
A
．
i
1
2
n
1
B
．
i
< br>
1
i
2
(
1)
n
C
．<
/p>
i
2
n
1
【答案】
C
【解析】
【分析】
【详解】
(
1)
n
D
．
i
i
2
1
1
1
1
由于
1
L
中正项与负项交替出现，根据
S
S
i
可排除选项
A
、
B
；执行第一次循环：
3
5
7
9
1
1
(
1)
n
(
1)
n
，则
i
< br>，②若图中空白框中填入
i
，
则
i
，<
/p>
S
0
1
1
，①若图中空
白框中填入
i
3
3
i
2
2
n
1
1<
/p>
(
1)
n
此时
n
20
不成立，
n
2<
/p>
；
执行第二次循环：
由①②均可得
S
1
，③若图中空白框中填入
i
，
3
2
n
1
1
3
(<
/p>
1)
n
则
i
，④若图中空白框中填入
i
，则
i
，此时
n
20
不成立，
n
3
；执行第三次循环：由
5
5
i
2
1
1
1
3
(
1)
n
③可得<
/p>
S
1
，
符合题意，
由④
可得
S
1
，
不符合题意，
所以图中空白框中应填入
i
，<
/p>
3
5
3
5
2
n
1
故选
C
．
x
< br>y
0
2
2
6
．
设不等式组
< br>
表示的平面区域为
，
若从圆
C
：
x
y
4
的内部随机选取一点
P
，
则
P
x<
/p>
3
y
0
取自
的概率为（
）
A
．
5
24
B
．
7
24
C
．
11
24
D
．
17
24
【答案】
B
【解析】
【分析】
画出不等式组表示的可行域
，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求
概率
.
【详解】
<
/p>
作出
中在圆
C
内部的区域，如图所示，
因为直线<
/p>
x
y
0
，
x
3
y
0
的倾斜角分别为
3
，
，
6
4
3
所以由图可得
P
取自
的概率为
4
6
7
.
2
24
故选：
B
【点睛】
本小题主要考查几何概型的
计算，考查线性可行域的画法，属于基础题
.
x
2
y
2
7
< br>．如图所示，已知双曲线
C
:
2
2
1(<
/p>
a
0,
b
0)
的右焦点为
F
，双曲线
C
的右支上一点
A
，它关于原
a
b
点
O
的对称点为
B<
/p>
，满足
AFB
120
，且
|
BF
|
2
|
AF
|
，
则双曲线
C
的离心率是（
）
.
A
．
3
3
B
．
7
2
C
．
3
D
．
7
【答案】
C
【解析】
【分析】
u
u
u
r
1
u<
/p>
u
u
r
u
u
u
r
易得
|
AF
|
2
a
，
|
BF
|
4
< br>a
，又
FO
< br>(
FB
FA
< br>)
，平方计算即可得到答案
.
2
【详解】
设双曲线
C
的左焦点为
E
，易得
AEBF
为平行四边形，
所以
|
BF
|
|
AF
|
|
BF
|
|
BE
|
2
a
，又<
/p>
|
BF
|
2
|
AF
|
，
u
u
u
r
1
u
u
u
r
u
u
u
r
故
|
AF
|
2
a
，
|
BF<
/p>
|
4
a
，
FO
(
FB
FA
)
，
2
1
2
2
2
所以
c
(4
a
< br>
16
a
2
a
4
a
)
，即
c
2
3
a
2
，
4
故离心率为
e
3
.
故选：
C.
【点睛】
本题考查求双曲线离心率的
问题，关键是建立
a
,
b
,
c
的方程或不等关系，是一道中档题
.
8
．定义在
R
上的奇函数
f
x
满足
f
3
x
f
x
3
0
，若
f
1
1
，
f
2
2
，则
f
1
f
2
f
3
L
f
20
20
（
）
A
．
1
B
．
0
C
．
1
D
．
2
【答案】
C
【解析】
【分析】
首先判断出
f
x
是周期为
6
的周期函数，由此求得所求表达式的值
.
【详解】
由已知
f
x
为奇函数，得
f
x
<
/p>
f
x
，
而
f
3
x
f
x
3
0
，
<
/p>
所以
f
x
3
f
x
3
，
< br>所以
f
x
f
x
6
，即
f
x
的周期为
6
.
由
于
f
1
<
/p>
1
，
f
2
2
，
f
0
0
，
所以
f
3
f
3
f
3
f
3
< br>
0
，
f
4
f
2
f
2
2
，
f
< br>
5
f
1
f
1
1
，
f
6
< br>f
0
0
.
所以
f
1
f
2
f
3
f
4
f
< br>
5
f
6
0
，
又
2020
6
<
/p>
336
4
，<
/p>
所以
f
1
f
2
f
3
< br>
L
f
2020
f
1
f
2
<
/p>
f
3
f
4
1
.
故选：
C
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题
.
9
．已知
i
为虚数单
位，复数
z
满足
z
1
i
i
，则
复数
z
在复平面内对应的点在（
A
．第一象限
B
．第二象限
C
．第三象限
D
．第四象限
【答案】
B
）
【解析】
【分析】
求出复数
< br>z
，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意
z
i
i(1
i)
1
1
1
1
i
,
对应点
坐标为
(
,
)
，在第二象限．
1
i
(1
< br>
i)(1
i)
2
2
2
2
< br>故选：
B
．
【点睛】
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
10
．已知集合
A
x
x
2
x
3
<
/p>
0
B
x
x
＜
2
，则
A
I
B
( )
A
．
1
,3
【答案】
C
【解析】
【分析】
解不等式得出集合
A
，根据交集的定义写出
A∩B
．
【详解】
集合
A
＝
{x|x
2
﹣
2x
﹣
3
0}
＝
{x|
﹣
1
x
3}
，
B
．
1,3
C
．
1
,2
D
．
1
,2<
/p>
2
1
x
<2}
B
={x
x<2}
，
A
B
{
x
|
﹣
故选
C
．
【点睛】
本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．
11
．如图，在三棱柱
ABC
< br>
A
1
B
1
C
1
中，底面为正三角形，侧棱垂
直底面，
AB
4
，
AA
1
8
.
若
E
，
F
分
1
别是棱
BB
1
，<
/p>
CC
上的点，且
BE
B
1
E
，
C
1
F
<
/p>
CC
1
，则异面直线
A
1
E
与
AF
所成角的余弦值为（
）
4
A
．
2
10
B
．
26
13
C
．
13
13
D
．
13
10
【答案】
B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用
向量法计算出异面直线
A
1
E
与
AF
所成角的余弦值
.
【详解】
依题意三棱柱底面是正
三角形且侧棱垂直于底面
.
设
AB
的中点为
O
，建立空间直角坐标系如下图所
示
.
所
u
u<
/p>
u
r
u
u
u
r
以
A
1
0,
2,8
,
E
0,2,4
,
A
0,
2,0
,
F
2
3,0,6
，所以<
/p>
A
1
E
0,
4,
4
,
AF
2
3,
2,6
.
所以异
u
u
u
r
u
u
u
r
A
1
E
AF
8
24
26
A
E
u
u
u
r
u
u
u
r
.
面直线
1
与
AF
所成角的余弦值为
13
4
< br>2
2
13
A
1
E
AF
故选：
B
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题
.
12
．已知向量
a
(1,0)
，
b
(1,
3)
，则与
2
a
b
< br>共线的单位向量为
(
)
r
r<
/p>
r
r
1
3
A
．
2
,
2
3
1
3<
/p>
1
,
,
C
．
或
2
2
2
2
<
/p>
【答案】
D
【解析】
【分析】
1
3
B
．<
/p>
2
,
2
1
3
1
3
,
,
D
．<
/p>
或
2
2
2
2
r
r
r
r
2
a
<
/p>
b
=
1
，
-
3
根据题意得，
设
与
2
a
b<
/p>
共线的单位向量为
x
< br>,
y
，利用向量共线和单位向
量模为
1
，列
式求出
x
,
y
即可得出答案
.
【详解】
因为
a
(1,0)
，
< br>b
(1,
3)
，则
2
a
< br>
2,0
，
< br>
r
r
r
r
r
，
-
3
，
所以
2<
/p>
a
b
=
1
r
r
设与
2
a
b
共线的单位向量为
<
/p>
x
,
y
，
则
3
x
y
0
，
2
2
x
<
/p>
y
1
1
1
x
x
2
2
或
解得<
/p>
y
3
y
3
2
2
1
r
r
3
1
3<
/p>
所以与
2
a<
/p>
b
共线的单位向量为
< br>
2
,
2
.
2
,
2
或
故选：
D.
【点睛】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义
. <
/p>
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．将含有甲、乙、丙的
6
人平均分成两组参加
“
文明交通
”
志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣
传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一个组的概率为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出总的基本事件数，再
求出甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件数，然后根
据古典概型
求解．
【详解】
< br>6
人平均分成两组参加
“
文明交
通
”
志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本
事件总数共
3
有
n
C
6
20
个，
2
1
2
1
2
甲、
乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件个数有：
m
C
2
C
3
C
2
C<
/p>
3
C
3
9
个，
9
20
所以
甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为
p
故答案为：
【点睛】
m
9
.
n
20
9
<
/p>
20
本题主要考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知
识，考查运算求解能力，是中档题
.
14
．
将函数
f
(
x
)
a
sin
x
b
cos
x
(
a
,
b
R,
a
0)
的图象向左平移
个单位长度，
得到一个偶函数图象，
6
则
b
________
．
a
【答案】
3
【解析】
【分析】
根据平移后关于
y
轴对称可知
f
x
关于
x
得结果
.
【详解】
6
对称，进而利用特殊值
f
f
0
< br>
构造方程，从而求
3
Q
f
x
向左平移
个单位长度
后得到偶函数图象，即关于
y
轴对称
6
f
x
关于
x
6
对称
f
f
0
3
< br>
即：
a
sin
3
b
cos
3
b
3
1
a
b
b
3
a
2
2
本题正确结
果：
3
【点睛】
本题考查根据三角函数的对
称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称
轴，进而利用
特殊值的方式来进行求解
.
15
．已
知
1
2<
/p>
x
a
0
a
1
x
a
2
x
2
L
a
10
x
10
a
11
x
11
，则
a
1
2
a
2
L
10
a
10
11
a
11
_____.
【答案】
22
【解析】
【分析】
对原方程两边求导，然后令
x
1
求得表达式的值
.
【详解】
11
2
10
11
对等式
< br>(1
2
x
)
a
0
a
1
x
<
/p>
a
2
x
L
a
10
x
a
11
x
两边求导，得
11
22
(1
2
x
)
10
a
1<
/p>
2
a
2
x
L
10
a
10
x
9
11
a
11
x
10
，令
x
1
，则
a
1
< br>2
a
2
L
10
a
10
11
a
11
22
.
【点睛】
本小题主要考查二项式展开
式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题
.
16
．
《九章算术》卷
5
《商功》记载一个问题
“
今有圆堡瑽，周四丈八尺，
高一丈一尺
.
问积几何？答曰：二
千一
百一十二尺，
术曰：
周自相乘，
以高乘
之，
十二而一
”
，
这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，
它的体积为
“
周
自相乘，
以高乘之，
十二
而一
”
，
就是说：
圆堡瑽
（圆柱体）
的体积为
V
1
（底面圆的
周长的平方
高）
，
< br>12