小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)
小学英语教学法-波澜不惊的意思
任意四边形、梯形与相似模型
模型三
蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
(
“蝴蝶定理”
)
：
<
/p>
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
S
4
C
①
S
1
:
S
2
S
4
:<
/p>
S
3
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
< br>②
AO
:
OC
< br>
S
1
S
2
:
S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途
径。
通过构造模型，
一方面可以使不规则四边形的面积关系与四
边形内的三角形相联系；另一方面，
也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例
1
】
(
小数报竞赛活动试题
)
如图，
某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，
被对角线
AC
、
BD
分成四个部分，
△
AOB
面积为
1
平方千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米
，
△
CO
D
的面积为
3
平方千米，公园由陆地面
积是
6
．
92
平方千米和人工湖组成，
求人工湖的面积是多少平方千米
C
B
O
A
D
【分析】
根
据蝴蝶定理求得
S
△
AOD
3
1
2
<
/p>
1.5
平方千米，公园四边形
ABCD<
/p>
的面积是
1
2
3
1.5
7.5
平方千米，所以人工湖的面积
是
7.5
6.92
< br>
0.58
平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已
知，
求：⑴三角形
BGC
的面积
；⑵
AG
:
GC
A
2
B
C
1
G
3
D
BGC
【解析】
⑴
根据蝴蝶定理，
S
1
2
3
，那么
S
BGC
6
；
⑵根据蝴蝶定理，
AG
:
GC
1
2
:
3
6
1:
3
．
()
【例
2
】
四
边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所示
)
。
如果三角形
ABD
的面积
等于三角形
BCD
的面积的
1
，且
AO
2
，
DO
3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度
3
的
_________
倍。
A
O
B
C
B
D
A
< br>H
O
D
G
C
【解析】
在
本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形
”
，无外乎两
种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，
从而快速解决；⑵通过
画辅助线来改造不良四边形。
看到题目中
给出条件
S
ABD
:
< br>S
BCD
1:3
，
这可以向
模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法
。又观察题目中给出的已知条件
是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，
但是第二种解法
需要一个中介来改造这个”不良四边形”
，于是
可以作
AH
垂直
BD
< br>于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积
之比等于底边之比，得
出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到
蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握
并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵
AO
:
OC
S
ABD
:
S
BDC
1:3
，
∴
OC
2
3
6
，
<
/p>
∴
OC
:
OD<
/p>
6:3
2:
1
．
解法二：作
AH
BD
于
H
，
CG
BD
于
G
．
∵
S
ABD
1
S
BCD
，
3
∴
AH
1
CG
，
3
∴
S
AOD
1
S
DOC
，
3
∴
AO
1
CO
，
3
< br>∴
OC
2
3
6
，
∴
OC
:
OD
6:3
2:1
．
【例
3
】
如
图，
平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
△
CEF
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的
面积依次是
2
、
4
、
4
和
6
。
求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△
GCE
的面积
。
A
O
G
B
E
C
D
F
【解析】
⑴
根据题意可知，
△
< br>BCD
的面积为
2
4
4
6
16
，
< br>那么
△
BCO
和
CDO
的面积都
是
16
2
8
，所以
△
OCF
的面积为
8
4
4
；
⑵由于
△
BCO
的面积
为
8
，
△
BO
E
的面积为
6
，所以
< br>△
OCE
的面积为
8
6
2
，
根据蝴蝶定理，
EG
:
FG
S
COE
:
S
COF
2
:
4
1:
2
，所以
S
GCE
:
S
GCF
EG
:
FG
1:
2
，
那么
S
GCE
1
1
2
S
CEF
2
．
< br>1
2
3
3
【例
4
】
图
中的
四边形土地的总面积是
52
公顷，
两条
对角线把它分成了
4
个小三角
形，其中
2
个小三角形的面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三
角形的面积是多少公顷
D
6
6
7
A
E<
/p>
C
7
B
【解析】
在
中
有
AEB
CED
，
所
以
ABE
，
CDE
的
面
积
比
为
(
AE
EB
)
:<
/p>
(
CE
DE<
/p>
)
。同理有
ADE
，
BCE
的面积比为
(
AE
DE
)
:
(
BE
EC
)
。所以有
S
ABE
×
S
CDE
=
S
ADE
×
S
BCE
，也就是说在所有凸四边形中，连接
顶点得到
2
条
对角线，有图形分成上、
下、左、右
4
个部分，有：上、下部分的面积之
积等于左右部分的面积之积。
即
S
ABE
6
=
S
ADE
7
，所以有
ABE
与
ADE
的面
ABE
CDE<
/p>
，
积比为
7
:<
/p>
6
，
S
ABE<
/p>
=
7
39
21
公顷，
S<
/p>
6
7
ADE<
/p>
=
6
39
18
公顷。
6
7
显然，最大的三角形的面积为
21
公顷。<
/p>
【例
5
】
(
20
08
年清华附中入学测试题
)
如图相邻
两个格点间的距离是
1
，则图中阴
影三
角形的面积为
。
<
/p>
A
D
B
C
B
A
D
O
C
【解析】
连
接
AD
、
CD
、
BC
。
则
可根据格点面积公式，可以得到
ABC
的面积为：
1
4
< br>
1
2
，
ACD
的面积
< br>2
为：
3
3
1
3.5
，
ABD
的面积为：
2
4
1
3
．
2
2
所以
BO
:
OD
S
ABC
:
S
ACD
2
:3.5
4
:
7
，所以
S
ABO
4
4
12
S
ABD
3
．
4
7
11
11
【巩固】如图，每个小方格的边长
都是
1
，求三角形
ABC
的面积。
E
D
A
B
C
【解析】
因
为
BD
:
CE
2:5
，且
BD
∥
CE
，所以
DA
:
AC
2:5
，
S
ABC
【例
6
】
(
20
07
5
，
S
DBC
5
2
10
．<
/p>
2
5
7
7
年人大附中考题
)
如图，
边长为
1
的正方形
ABCD
中，
BE
2
EC
，
CF
FD
，
求三角形
AEG
的面积．
A
G
F
D
A
G
F
D
B
E
C
B
E
C
【解析】
连
接
EF
．
因
为
BE
2
E
C
，
CF
F
D
，所以
S
DEF
(
1
1
1
)<
/p>
S
ABCD
2
3
2
1
S
12
ABCD
．
因为
S
AE
D
1
S
AB
CD
，根据蝴蝶定理，
AG
:
GF
1
:
2
1
6
:1
，
2
< br>12
所以
S
< br>AGD
6
S
< br>
GDF
6
< br>S
ADF
< br>6
1
S
ABCD
7
7
4
3
S
14
ABCD
．
2
，
7
所以
S
AGE
S
AED
S
AGD
1
S
ABCD
2
3
S
14
ABCD
2
S
7
ABCD
即三角形
AEG
< br>的面积是
2
．
7
【例
7
】
如
图，
长方形
ABCD
中，
BE
:
EC
2:3
，
DF
:
FC
1:
2
，三角形
DFG
的面积为
2
平
方厘米，求长方形
ABCD
的面积．<
/p>
A
G
D
F
C
A
G
D
F
C
B
E
B
E
【解析】
连
接
AE
，
FE
．
因为
BE
:
EC
2:3
，
DF
:
FC
1:
2
，所以
S
DEF
(
3
1
1
)
S
长方形
ABCD
5
3
2
1
．
S
10
长方形
ABCD
因为<
/p>
S
AED
1<
/p>
S
长方形
ABCD
，
AG
:
GF
1
:
2
S
AFD
12
平方厘米．
因为
S
AFD
1
5:1
，所以
S
AGD
5
S
GDF
10
平方厘米，所以
2
10
1
S
长方形
ABCD
，
所以长方形
ABCD
的面积是
72
平方厘
6
米．
【例
8
】
如
图，
已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米，
E
为
AD
中点，<
/p>
F
为
CE
中点，
G
为
BF
中点
，求三角形
BDG
的面积．
A
E
D
A
E
D
O
F
< br>G
F
G
C
B
B
C
【解析】
设
BD
与
CE
的交点为
< br>O
，连接
BE
、
DF
．
由蝴蝶定理可知
EO
:
OC
S
BED
:
S
BCD
，而
S
BE
D
1
S
AB
CD
，
S
BCD
1
S
ABCD
，
4
2
所以
EO
:
OC
S
BED
:
S
BCD
1:
2
，故
EO
1
EC
．
3
由于
F
为
CE
中点，所以
EF
1
EC
，故
EO
:
EF
2:3
，
FO<
/p>
:
EO
1:<
/p>
2
．
2
由蝴蝶定理可知
S
BFD
:
S
BED
FO
:
EO
1:
2
，所以
S
< br>BFD
1
S
< br>BED
1
S
< br>ABCD
，
2
8
那么
S
BGD
1
S
BFD
2
1
< br>S
16
ABCD
1
10
10
6.25
（平方厘米）
．
16
【例
9
】
如
图，
在
ABC
中，已知
< br>M
、
N
分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
AOM
、
ABO
和
BON
的面积分别
是
3
、
2
、<
/p>
1
，则
MNC
的面积是
．
A
M
O
C
B
N
【解析】
这
道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
S
AOM
S
BON
3
1
3
S
AOB
2
2
根据蝴蝶定理得<
/p>
S
MON<
/p>
设
S
MON<
/p>
x
，根据共
边定理我们可以得
S
ANM
S
ABM
S
MNC
S
MBC
，
3
x
3
2
3
< br>2
，解得
x
< br>22.5
．
3
1
x
2
【例
10
】
(
2
009
年迎春杯初赛六年级
)
正六边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是
2009
平方厘
米
，
B
1
B
2<
/p>
B
3
B
4
B
5
B
6
分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
1
A
2
B
2
< br>A
3
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
6
A
1
B
1
O
A
2
B
2
< br>A
3
【解析】
如
图，设
B
6
A
2
与
B
1
A<
/p>
3
的交点为
O
，
则图中空白部分由
6
个与
A
2
OA
3
一样大小的
三角形组成，只要求出了
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求
出阴影部分面积．
< br>
连接
A
6
A
3
、
B
6
B
1
、
B<
/p>
6
A
3
．
设
A
1
B
1
B
6
的面积为”
1
“，则
B
1
A
2
B
6
面积为”
1
“，
A
1
A
2
B
6
面积为”
2
“，那么
为”
“
，
梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
的面积为
2
2
4
2
< br>
12
，
A
6
A
3
B
6
面积为
A
1
A
2
B<
/p>
6
的
2
倍，
A
2
B
6
A
3
4
的面积为”
6
“，
B
1
A
2
A
3
的面积为
2
．
根据蝴蝶定理，
B
1
O
A
3
O
S
B
A
B
所以
S
A
OA
:
S
梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
1
2
6
:<
/p>
S
A
3
A
2
B
6
1:
6
，故
S
A
2
OA
3
6
< br>，
S
B
1
A
2
A
3
12
，
<
/p>
1
6
7
12
1
，即
的面积为
梯形
面积的
，故为
< br>A
OA
A
A
A
A
:12:1:
7
2
3
1
2
< br>3
6
2
3
7
7
六边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
面积的
1
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
14
1
3
3
6
，所以
阴影部分面积为
2009
1
1148
(
平方厘米
)
．
14
7
7
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(
< br>“梯形蝴蝶定理”
)
：
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
B
b
C
< br>
①
S
1
:
S
3
a
2
:
b
2
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
< br>4
a
2
:
b
2
:
a
b
:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
b
2
．
<
/p>
梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，
通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(
具体的推理过
程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
)
【例
11
】
如图，
S
2
2
，
S
3
4
，求梯形的面积．
S
1
S
2
S
3
S
4
【解析】
设
S
1
为
a
2
份，
S
3
为
b
2
份，根据梯形蝴蝶定理，
S
3
4
b
2
，所以
b
2
；又因为
；
那
么
S
1
a
2
1
，
S
4
a
b
2
，
所
以
梯
< br>形
面
积
2
2
S
S
1
S
2
S
3
S
4
1
2
4
< br>2
9
，或者根据梯形蝴蝶定理
，
S
a<
/p>
b
1
2
9
．
S
2
2
a
b
，
所
以
a<
/p>
1
【巩固】
(
2006
年南京智力数学冬令营
)
如下图，梯形
ABCD
< br>的
AB
平行于
CD
，对角
线
AC
，
BD
交于
O
，已知
△
AOB
与
△
BOC
的面积分别为
25
平方厘米与
35
平
方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
________
平方厘米．
A
25
O
D
35
B
C
:
S
BOC
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
a
2
:
ab
25:
35
，可得
a
:
b
5:7
，再根据梯形
蝴蝶
S
AOB
:
S
DOC
a
2
:
b
2
5
2
:
7
2
25:
49<
/p>
，
定理，
所以
S
DOC
49
(
平方厘米
)
．
那么梯形
ABCD
的面积为
25
35
35
49
144<
/p>
(
平方厘米
)
．
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，
已知梯形上底为
2
，
且三
角形
ABO
3
的面积等于三角形
BOC
面积的
2
，求
三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
A
D
O
B
C
AOB
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
:
S
BOC
ab
:
b
2
2
:
3
，可以求出
a
:
b
2:3
，
再根据梯形蝴
蝶定理，
S
AOD
:
< br>S
BOC
a
< br>2
:
b
2
2
2
:
3
2
4
:
9
．
通过利用已
有几何模型，
我们轻松解决了这个问题，
而没有像以前一样，<
/p>
为
了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设，
< br>所以，
请同学们一定要牢记几
何模型的结论．
【例
13
】
(
第
十届华杯赛
)
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已
三角形
CBD
的面积
5
知
AO
1
，并且
三角形
ABD
的
面积
3
，那么
OC
的长是多少
B
A
O
C
D
【解析】
根
据蝴蝶定理，
【例
14
】
三角形
ABD
的面积
< br>AO
，所以
AO
3
，又
AO
1
，所以
CO
5
．
三角形
CBD
的面积
CO
CO
5
3
梯形的下
底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC<
/p>
的面积是
9
cm
2
，问三角形
AOD
的
面积是多少
A
D
O
B
C
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
a
:
b
1:1.5
2:3
，
S
AOD
:
S
BOC
a
2
:
b
2
2
2
:
3
2
< br>
4
:
9
，
所以
S
AOD
4
cm
2
．
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
AOB
、
COD
的面积
分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD
的
面积．<
/p>
A
B
O
D
C
AOB
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
S
:
S
:
S
ACOD
a
2
:
b
2
4
:
9
，所以
a
:
b
2:3
，
AOD
AOB
ab
:
a
2
b
< br>:
a
3:
2
，
S
AOD
S
COB
1.2
3
1.8
，
2
S
梯形<
/p>
ABCD
1.2
1.8
1.8
< br>
2.7
7.5
．
【例
15
】
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形
ADG
的
面积是
11
< br>，三角形
BCH
的面积是
23<
/p>
，求四边形
EGFH
的面积．