小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)整理版
人生梦想-lol解说
任意四边形、梯形与相似模型
卜亠
模型三蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的
比例关系
（
“蝴蝶定理”
）
:
D
S
1
: S
2
= S
4
:
S
3
或者
S
S
3
=S
2
S
4
②
AO : OC
=[
S
S
2
: S
4
S
3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规
则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关
系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对
应的对角线的比例关系。
【例
1
】（小数报竞赛活动试题
）
如图，某公园的
外轮廓是四边形
ABCD
被对角线
AC BD
分成四个部分，△
AOB
面
积为
1
平方
千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米，△
COD
勺面积为
3
平
方千米，公园由陆地面积是
6
. <
/p>
92
平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？<
/p>
【分析】根据蝴蝶定理求得
S
^
AOD
=
3 1
-'
2
=
1.5
平方千米，公园四边形
ABCD
的面积是
12 3 45
=
7.5
平
方千米，所以
人工湖的面积是
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
7.5-6.92=0.58
平方千米
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积：⑵
AG:GC=
?
【解析】⑴根据蝴蝶定理，
S
BGC
< br> 1=2 3
，那么
S
BGC<
/p>
=
6
⑵根据蝴蝶定理，
AG:G^ 1
2 : 3 6 =1:3
.
（
? ??
）
【例
2
】四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
0
（如图所示
）
。如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的
面积的
，且
AO =2
,
DO =3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的<
/p>
_____________
倍。
3
1
【解
析】在本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件
S
A
< br>BD
: S
BCD
=1:
3
，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系，
转化为边的关系，可以
得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四边形”，于是可以
作
AH
垂直
BD
于
H
,
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。
再应用结论：三角形高相同，则面
积之比
等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使
学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并
使用蝴蝶定
理解决问题。
解法一
：
T
AO
：
OC = S
ABD
：
S
BDC
二
OC
=
2 3
=
6
,
=
1
：
3
,
••• OC:OD
=6:3
2:1
.
解法二：作
AH _BD
于
H
,
CG_BD
于
G
.
3
审
•
-
AH
」
CG
,
3
S
'ABD
S
BCD
S
AOD
=
—
S
DOC
3
1
•
- AO
CO
,
3
•
OC =2 3=6
,
•
OC:OD
=
6:3
=
2:1
•
【例
3
】如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点，
A
CE
F
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4
、
4
和
6
。求：⑴求
A
OCF
的面积；⑵求
A
GCE
的面积。
【解
析】⑴根据题意可知，
△
BCD
的面积为
2 4 4
^16
，那么
△
BCO
和
:CDO
的面积都是
16
亠
2
=
8
,
所以
A
OCF
的面积为
8
—
4=4
;
⑵由于
△
BCO
的面积为
8
,
△
BOE
的
面积为
6
,
所以
A
OCE
的面积为
8-6=2
,
根据蝴蝶定理，
EG:FG
二
Sg
< br>E
：
S.
COF
=2:4 =1:2
，所以
S.
GCE
：
S.
GCF
= EG : FG =1:2
,
1
1
2
那么
S
GCE
1+2
S
CEF
3
2
~~
•
3
【例
4
】图中的四边形土地的总面积是
52
公顷，两条对角线把它分成了
<
/p>
4
个小三角形，其中
2
< br>个小三角形的
面积分别是
6<
/p>
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的
面积是多少公顷？
C
【解
析】
在
L
ABE
,
LCDE
中有
.
AEB
=/
CED
，所以
L
ABE
,
LCDE
的面积比为
(AE EB)
:(CE DE)
。同
2
条对角线，有图形分成上、下、左、右
4
个部分，有：上、
理有
L
ADE
,
L
BCE
的面积比为
(
AE
DE)
：
(BE
EC)
。
所以有
S
ABE
X
S
CDE
=S
ADE
X
S
BCE
,
也就是
说在所有
凸四边形中，连接顶点得到
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即
SI
ABE
6
=
S
ADE
7
,
所以有
L
ABE
与
L
ADE
的面积
比为
7
：<
/p>
6
，
S
ABE<
/p>
=
—
39=21
公顷，
S
ADE
=
—
39=18
公顷。
6+7
6+7
显然，最大的三角形的面积为
21
公顷。
【例
5
】
(2008
< br>年清华附中入学测试题
)
如图相邻两个格点间的距离是
1
，则图中阴影三角形的面积
为
________
。
【解<
/p>
析】连接
AD
、
CD
、
BC
。
「
ABC
的面积为：
< br>1,
4
-1=2
，
ACD
的面积为：
3
・
总
-
1=3.5
，
2
2
则可根据格点面积公式，可以得到
4
ABD
的面积为：
2
2
1
=
3
.
4
S
ABD
3
=
.
4
十
7
11
4
12
11
所以
BO
：
0D = S
ABC
: S
ACD
-
2
.3.5
=4.7
，所以
S
ABO
【巩
1
，求三角形
ABC
的面积。
5
【解析】
5
10
,
S
DB
c
=
2
二
7
7
因为
=2:5
，且
BD
//
CE
，所以
DA:AC=2:5
,
S
ABC
2+5
5
10
.
【例
6<
/p>
】
(2007
年人大附中考题
)
如图，边长为
1
的正方
形
ABCD
中，
BE=2EC
,
CF
=
FD
，求三角形
AEG
的面积
.
【解析】
连
接
因为
BE =2EC
,
CF =FD
因为
S
AED
所以
S
DEF
AG : GF
=
丄
:
丄
= 6:1
,
2 12
—
S
14 -
ABCD
ABCD
・
=
尹
，根据蝴蝶定理
,
ABCD
6 6
7
所以
S.
AGD
=
6S
G DF
S
1
ADF
1
3
所以
S
AGE
=S
AED
-
■
S
AGD
=? S|_
ABCD
-
'14 S_
ABCD
即三角形
AEG
的面积是
-
・
7
'
7 4
§
ABCD
・
厶
7 -
ABCD
【例
7
】如图，长方形
ABCD
中
,
BE: EC
=
2:3
,
DF:FC=1:2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方厘米，求长
< br>方形
ABCD
的面积
.
【解析】连接
AE
,
FE
.
3
11
1
・
因为
BE: EC =2:3
,
DF
: FC = 1
:
2
，所以
S
DEF
二
(
’
：
’
：
)
S
长方形
ABCD
S
长方形
ABCD
5 3 2
10
1
1 1
因为
S
A
ED
=
—
S
长方形
ABCD
，
AG : GF =
—
:
—
5:1
,
所以
S
AGD
=5§
GDF
=10
平方厘米，所以
S
AFD
= 12
平
_
2
2 10
方厘米
.
因为
S
AFD
=
^
S
长方形
ABCD
< br>，所以长方形
ABCD
的面积
是
72
平方厘米
.
6
形
【例
8
】如图，已知正方形
ABCD
的边长为
10
厘米
,
形
BDG
的面积
.
E
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
< br>为
BF
中点，求三角
【解析
】设
BD
与
CE
的交点为
O
,
连接
BE
、
DF
.
1
由蝴蝶定理可知
EO
：
OC
=
BED
S
1
: S
BCD
，而
S
BED
=
—
S
ABCD
,
S
BCD
=
一
S
ABCD
,
一
1
所以
EO
4
：
OC
2
=
S
BED
: S
BCD
=
1:2
，故
EO EC
.
3
由于<
/p>
F
为
CE
中点，
所以
EF =-EC
，故
EO:EF
=2:3
，
2
由蝴蝶定理可知
S
< br>BFD
：
S_
BED
=FO
：
EO=1
：<
/p>
2
，所以
S
BF
D
FO:EO =1:2
.
1
S
BED
2 -
1
S
ABCD
,
8 -
那么
S|
BGD
S
U
2 -
16 -
1
BFD
S
ABCD
16
10
10
=
6.25
（平方厘米）
.
【例
9
】如图，在
ABC
中，已知
M
、
N
分别在边
AC<
/p>
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
.
AO
M
、厶
ABO
和
BON
的面积分别是
3
、
2
、
1
「
'
MNC
的面积是
_
__________
.
C
【解<
/p>
析】这道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解
.
根据蝴蝶定理得
S.
MON
_
S
AOM
S
S
BON
_ 3 13
誉
OB
2
2
设
S
MON
=x
，根据共边定理我们可以得
3
虫
32
―
，解得
x = 22.5
.
x
1
3
2
x
【例
10
】
（
2009
年迎春杯初赛六年级
）
正六边形
AAzAdAA
< br>e
的面积是
2009
平方厘米，
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
分别
平方厘米
.
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的
面积是
A
3
3
【解
析】
如图，设
B
6
A
2
与的交点为
O
,
< br>则图中空白部分由
6
个与
；
A
2
OA
B
一样大小的三角形组成，
只要求
出了「
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积
.
连接人人、
B
6^
、
< br>B
6
A
3
.
设「
AB
1
B
6
的面积为”
1 “
，
则
B
AB
6
面积为”
1 “
，
UAA
2
B
6
面积为”
2
“，那么
=A
G
A
3<
/p>
B
6
面积为
<
/p>
A
1
A
2
B
6
的
2
倍，为”
4
“，梯形
AA
2
A
3
A
6
的面积为
2 2 4
2
=
12
,
A
2
B
6
A
3
的面积为” 面积为
2
.
根据蝴蝶定理，
BO
”3
。二
S.
B
A
B
: S.
A
A
B
=1:6
，故<
/p>
S./
A3
1
2
6
3
2
6
12
所以
S.
A
O
A
J
S
弟形
A
A
2AA
二〒
：
12
：
1
：
7
，即卩
A
2
OA
3
的面积
为梯形
AAAA
面积的
A
1
A
2
A
3
A
4
A<
/p>
5
A
3
面积的—
，那么空白部分的面积为正六边形面积的
14
2009
：
1
1 ―? =1148
（平方厘米<
/p>
）
•
-
，故为六边形
7
—
6=3
，所以阴影部分面积为
14
7
I
7
丿
板块二梯形模型的应用
梯形中比例关
系
（
“梯形蝴蝶定理”
）
:
①
S
1
:S
3
< br>
二
a
2
:b
2
2
2
②
S
i
:
S
3
: S
?
: S
4
= a : b :
ab: ab
；
③
S
的对应份数为
a b
.
梯形蝴蝶定理给我们提供
了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在
题目中有事半功倍的效果
.
（
具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行
说明
）
【例
11
】
如图，
S
=
2
,
S
3
=
4<
/p>
，求梯形的面积
.
< br>【解
析】设
0
为
a
2
份，
S
< br>3
为
b
2
份，根据梯形蝴蝶定理，
&=4
2
，所以
b=2
;
又因为
S
2=
2 = a
b
，所以
^
1
■
2
4 ^9
，或者根
a
=
1
;
那么
S
=
a
2
=
1
,
S
4
=
a
b
=
2
，所以梯形面积
^S
i
S
2
S
3
据梯形蝴蝶定理，
S
二
aF
2
=
1,2
2
=9
.
【巩固】
（
2006
年南京智力数学冬令营
）<
/p>
如下图，梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，对角线
AC
,
BD
交于
O
,
已<
/p>
知
厶
AOB<
/p>
与
厶
BOC
的面
积分别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
_
_________________________
平方厘米
.
【解
析】根据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
：
S_<
/p>
BOC
二
2 2 2 2
a
2
：
ab
=25: 35
,
可得
a:b
=
5:7
,
再根据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
：
S
DOC
=a : b =5:7 =25: 49
,
所以
S
DOC
=49
（平方厘米
）
.
那么梯形
ABCD
的面积为
25 35 35
49
二
14
平方厘米
）
.
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
,
已知梯形上底为
2
,
且三角形
ABO
的面积等于三角
形
BOC
面积的
-
，求三角形
AOD
与
三角形
BOC
的面积之比
.
3
【解
析】根据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
：
S
BOC
=
ab:b
2
=
2:3
，可以求出
< br>a:b=2:3
,
再根据梯形蝴蝶定理，
S
AO
D
: S
BOC
=a
2
：
b
2
=2
2
：
3
2
=4:9
.
通过利用已有几何模型
，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛万苦进行
构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论
.
【例
13
】
（第十届华杯赛
）
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
0
点，已知
AO
=1
，并且
三角形
ABD
的面积
J
，那么
OC
的长是多少？
<
/p>
二角形
CBD
的面积
5
【解析】根据蝴蝶定理
,
三角形
ABD
的面积
=
三角形
CBD
的面积
D
A0 3
，所以
CO
=
5
CO
A0
5
又
AOJ
，所以
CO
飞
.
【例
14
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
9cm
2
，问三角形
AOD
的面积是
多少
?
A
【解
析】根据梯形蝴蝶定理，
a:b
=1:1.5 =2:3
,
S
「
AOD
:S.
BOC
二
a
2
:b
2
=2
2
:3
2
= 4:9
,
所以
S
「
AOD
=
4 cm
2
.
如图，梯形
ABCD
中，
AOB
、
C
OD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD
的面积
.
【巩固】
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
: S
ACOD
=a
2
:
b
2
=4
:
9
，所以
a :b = 2:3
,
2
S
L
AOD
:
S
弟形
A
BCD
【例
15
】
：
= 3
：
—
1
.
2
V.8 V.8 ■ 2.7
=7.5
.
AOB
S
=ab : a
b
a
S
AOD
- S
COB
一
2
3
如下图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，
的面积是
23
，求四边形
EGFH
的面积
.
已知三角形
ADG
的面积是
11
，三角形
BCH
【解<
/p>
析】如图，连结
EF
，显然四边形
ADEF
和四边形
BCEF
都是梯形，于是我们可以得到三角形
EFG
的面
积等于三角形
ADG
的面积；三角形
BCH
的面积等于三角形
EFH
的面积，所以四边形
EGFH
的面积
是
11
23 =34
.
【巩固】
（
人大附中入学测试题）如图，长方形中，若三角形
1
的面积与三角形
3
的面积比为
4
比
5
,
四边形
2
的面积为
36
,
则三角形
1
的面积为
_
____________
【解析】
做
辅助线如下：利用梯形模型，这样发现四边形
2
分成左右两边，其面积正好等于三
角形
=20
.
4
+
5
1
和三角
形
3
,
所以<
/p>
1
的面积就是
36
—
L =16
,
3
的面积就是
36
4+5
【例
16
】
M
是
AD
边上
的中点•求图中阴影部分的面积
.
【解
析】因为
M
是
AD
边上的中点，所以
AM
:BC =1:2
，根据梯形蝴蝶定理可以知道
:
ABG
AMG
:
MCG
:
S
^
BCG
=1
2
:(1
2
)
:(1 2
)
:2
2
=1:
2:2:4
，设
S
AGM
-
1
份，则
S
A
MCD
=
1 •
2
=
3
份
,
所以正方形的面积为
1 2 2 4 ^12
< br>份，
S
阴影
=2*2=4
份，
所以
s
阴影
：
s
正方形
=
1:
3
，
所以
s
阴影二
1
平方厘米
.
【巩固】在下图的正方形
ABCD<
/p>
中，
E
是
BC<
/p>
边的中点，
AE
与
BD
相交于
F
点，三角形
BEF
的面积为
1
平
方厘米，
那么正方形
ABCD
面积是
___________________
平
方厘米
.
【解
析】连接
DE
,
根据题意可知
BE: AD
=1:2
,
根据蝴蝶定理得
S
梯形
（
1
2
）
2
=9
（平方厘米
）
，
S
< br>ECD
= 3
（平
方厘
A
米
）
，那么
S
ABCD
<
/p>
-
12
（平方厘米
）
.
【例
17
】
如图面积为
12
平方厘米的正方形
ABCD
中，
E,F
是
DC
边上的三等分点，求阴影部分的面积
.
【解
析】
因为
E,F
是
DC
边上的三等分点，所以
EF : AB =1:3
，设
S
^
OEF
=1
份，根据梯形蝴蝶定理可以知道
=24
S
A
AOE
二
S
OFB
=3
份，
S
A
AOB
=9
份，
S
^
ADE
=
B
C
F
=
（
1
3
）份，因此正方形的面积为
4
•
4
•
（
1
•
<
/p>
份，
【例
18
】
s
阴影
6<
/p>
，所以
s
阴影
：
s
正方形
=6:24
1
：
4
，所以
s
阴影
=
3
< br>平方厘米
・
如图，在长方形
ABCD
中
,
AB=6
厘米，
AD =2
厘米，
AE
二
EF
二
FB
，求阴影部分的面积
< br>.
【解
析】方法一：如图，连接
DE
,
DE
将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形
AED
的面积为
2
汇
6
十
3
十
2=2
平方厘米
< br>.
由于
EF:DC=1:3
，根据梯形蝴蝶定理，
S
DEO
：
S
EFO
=3:1
，所以
S
< br>DE
^-
S
DEF
,
而
S
O
F
=S
=2
_
4
_
平方厘米，所以
S
DEO
2
=1.5
平方厘米，阴影部分的面积为
A
_
2,1.5=3.5
平方厘米
.
S
OED
=
3
A
4
方法二：如图，连接
DE
,
FC
，由于
EF :DC =1:3<
/p>
，设
S
旺
=1<
/p>
份，根据梯形蝴蝶定理，
份，
S
梯形
EFCD
=
（
1 3^ =16
份，
S
A
ADE
BCF
二
1
4
份，因此
S
长方形
ABCD
=
4
16
'
4
=
24
份，
S
阴影
=4
・
3=7
份，而
s
长方形
ABCD
=6
2=12
平方厘米，所以
s
阴影二
3.5
平方厘米
【例
19
】
（
2008
年”奥数网杯”六年级试题
）
已知
AB
CD
是平行四边形，
BC:CE =3: 2
< br>，三角形
ODE
的
面积为
6
平方厘米•则阴影部分的面积是
___________
平方厘米
.
【解
析】连接
AC
.
由于
ABCD
是平行四边形，
BC:CE
=
3:2
，所
以
CE:AD=2:3
,
根据梯形蝴蝶定理，
S
C
OE
:
S_
AOC
: Sj
DOE
: S_
AOD
=
2
2
：
2X3:
2
汉
3:3
2
= 4:6:6:9
,
所以
S
AOC
=6
（平方厘
米
）
，
S
AOD
=
9
（平方厘米
）
，又
S
ABC
二
< br>S
ACD
=
6
•
9
=15
（平方厘米
）
，阴影部分面积为
6
75 =
21
（平
方
厘
米
）
.