小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)分解
关于樱花的网名-富有诗意的名字
. .
.
任意四边形、
梯形与相似模型
模型三
蝴蝶模型
（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系
(
“蝴蝶定理”
)
：<
/p>
D
A
S
2
B
S
1
O
S
3
C
①
S
1
:
S
2
S
4
:
S
3<
/p>
或者
S
1
S
3
S
2
S
4
②
AO
:
OC
< br>S
1
S
2
:
S
4
S
3
S
4
蝴蝶定
理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边
形的面积关系与四边形的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例
1
】
(
小数报竞赛活动试题
)
如图，某公园的外轮廓是四边形
ABCD
，被对角线
AC
、
BD
分
成四个部分，
△
AOB
面积为
1
平方千米，
△
BOC
面积为
2
平方千米
，△
COD
的面积为
3
平方千米，公园由陆地面积是
6
．
92
平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
C
B
O
A
D
【分析】
根
据蝴蝶定理求得
S
△
AOD
3
1
2
1.5
平方千米，公园四边形
ABCD
的面积是
1
2
< br>3
1.5
< br>7.5
平
方千米，所以人工湖的面积是
< br>7.5
6.92
0.58
平方千米
<
/p>
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成
4
个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形
BGC
的面积；⑵
AG
:
GC
？
A
2
B
C
1
G
3
D
【解析】
⑴<
/p>
根据蝴蝶定理，
S
BGC
1
2
3
，那么
S
BGC
6
；
⑵根据蝴蝶定理，
AG
:
GC
1
2
:
3
6
< br>
1:
3
．
(
？？？
)
.
页脚
.
.
.
.
【例
2
】
四边形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
(
如图所示
)
。
如果三角形
ABD
的面积等于三角形
BCD
的
1
面积的
，且
AO
2
，
DO
3
，那么
CO
的长度是
DO
的长度的
_________
倍。
<
/p>
3
A
O
D
A
H
O
D
G
C
C
B
B
【解析】
在
本题中，四边形
ABCD
为任意四边形，对于这种”不良四边形
”
，无外乎两种处理方法：⑴利用已
知条件，向已有模型靠拢，
从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条
件
S
ABD
:
S
BCD
1:3
，这可以向模
型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已
知条件是面积的关系，转
化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改
造这个”不良四
边形”
，于是可以作
AH
垂直
BD
于
H
，
CG
垂直
BD
于
G
，面积比转化为高之比。
再应用结论：三角形
高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使
学生体会到
蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：∵
AO
:
OC
S
ABD
:
S
BDC
1:3
，
∴
OC
2
3
6
< br>，
∴
OC
:
OD
6:3
< br>
2:1
．
< br>解法二：作
AH
BD
于
H
，
CG
BD
于
G
．
1
∵
< br>S
ABD
< br>S
BCD
，
< br>
3
1
∴
AH
CG
，
3
1
∴
S
AOD
S
DOC
，
3
1
∴
AO<
/p>
CO
，
3
∴
OC
2
3
6
，
∴
OC
:
OD
6:3
2:1
．
【例
3
】
如图，平行四边形
ABCD
的对角线交于
O
点
，
△
CEF
、
△
OEF
、
△
ODF
、
△
BOE
的面积依次是
2
、
4
、
4
和
6
< br>。
求：⑴求
△
OCF
的面积；⑵求
△
GCE
的
面积
。
A
O
G
【解析】
⑴
根据题意可知，
△
BCD
的面积为
2
4
4
6
16
，那么
△
BCO
和
CDO
的面积都
是
16
2
8
，
所以
△<
/p>
OCF
的面积为
8
4
4
；
⑵由于
△
B
CO
的面积为
8
，
△
BOE
的面积为
6
，所以
△
OCE
的面积为<
/p>
8
6
2
，
根据蝴蝶定理
，
EG
:
FG
S
COE
:
S
COF
2
:
4
<
/p>
1:
2
，所以
S
GCE
:
S
GCF
E
G
:
FG
1
:
2
，
1<
/p>
1
2
那么
S
GCE
S
CEF
2
．
1
2
3
3
【例
4
】
图中的四边形土地的总面积是<
/p>
52
公顷，
两条对角线把它分成了
4
个小三角形，
其中
2
个小三角形的
面积分别是
6
公顷和
7
公顷。那么最大的一个三角形的面积是
多少公顷？
D
F
C
B
E
.
页脚
.
. .
.
D
6
6<
/p>
7
A
E
C
7
B
【解析】
在
ABE
，
CDE
中有
< br>
AEB
< br>CED
，所以
ABE
，
CDE
的面积比为
(
AE
EB
)
:
(
CE
<
/p>
DE
)
。同
理有
ADE
，
BCE
的面积比为
(
AE
DE
)
:
(
< br>BE
EC
)
< br>。
所以有
S
ABE
×
S
CDE
=
S
ADE
×
S
BCE
，
也就是
说在所有凸
四边形中，连接顶点得到
2
条对角线，有图形分成上、下、左、
右
4
个部分，有：上、
下部分的面积之
积等于左右部分的面积之积。
即
S<
/p>
ABE
6
=<
/p>
S
ADE
7<
/p>
，所以有
ABE
与
ADE
的面积
7
6
< br>比为
7
:
6
，
S
ABE
=
39
21
公顷，
S
ADE
=
39
18
公顷。
6
7
6
7
< br>显然，最大的三角形的面积为
21
公顷。
【例
5
】
(
20
08
年清华附中入学测试题
)
如图相邻
两个格点间的距离是
1
，则图中阴影三角形的面积
为
。
<
/p>
A
D
B
C
【解析】
连
接
AD
、
CD
、
BC
。
则可根据
格点面积公式，可以得到
ABC
的面
积为：
1
A
D
B
O
C
4
3
1
2
，
ACD
的面积为：
3
1
3.5
，
2
2
ABD
的面积为：
2
4
1
3
．
2
4
4
12
S
ABD
3
．
4
7
11
< br>11
所以
BO
:
OD
S
< br>ABC
:
S
< br>ACD
2
:3.5
4
:
7
，所以
S
ABO
【巩固】如图，每个小方格的边长都是
1
，求三角形
ABC
的面积。
E
D
A
B
C
【解析】
因
为
BD
:
CE
2:5
，且
BD
∥
CE
，所以
DA
:
AC
2:5
，
S
ABC
5
5
10
，
S
DBC
2
．
2
5
7
7
【例
6
】
(
2007
年人大附中考题
)
如图，边长为
1
的正方
形
ABCD
中，
BE
< br>
2
EC
，
CF
FD
，求三角形
AEG
的面积．
.
页脚
.
.
.
.
A
G<
/p>
D
A
G
D
F
F
B
【解析】
连
接
EF
．
E
C
B
E
C
1
1
1
1
因为
BE
2
EC
，
CF
FD
，所以
S
DEF
(
)
S
ABCD
S
ABCD
．<
/p>
2
3
2
12
1
1
1
因为
S
AED
S
ABCD
，根据
蝴蝶定理，
AG
:
GF
:
6
:1
，
2
2
12
6
6
1
3
所以
S
AGD
6
S
GDF
S
ADF
S
ABCD
S
ABCD
．
7
7
4
14
1
3
2
2
所以
S
AGE
S
AED
S
AGD
S
ABCD
S
ABCD
S
ABCD
，
2
14
7
7
2
即三角形
AEG
的面积是
．
7
【例
7
】
如图，长方形
< br>ABCD
中，
BE
:
EC
2:3
，
DF
:
FC
1:
2
，三角形
DFG
的面积为
2
平方厘米，求长
方形
ABCD
的面积．
A
G
D
F
C
A
G<
/p>
D
F
C
B
E
B
E
【解析】
连
接
AE
，
FE
．
因为
BE
:
EC
2:3
，
DF
:
FC
1:
2
，所以
S
因为
S
AED
DE
F
3
1
1
1<
/p>
(
)
S
长方形
ABCD
S
长方形
A
BCD
．
5
3
2
10
AFD
1
1
1
所以
S
AGD
5
S
GDF
10
平方厘米，
所以
S
S
长方形
ABCD
，
AG
:
GF
:
5:1
，
2
2
10
1
方厘米．因为
S
AFD
S
长方形
ABCD
，所以长方形
ABCD
的面积是
7
2
平方厘米．
6
12
平
【例
8
】
如图，已知正方形
ABCD
的边长为<
/p>
10
厘米，
E
为
AD
中点，
F
为
CE
中点，
G
为
BF
中点，求三角
形
BDG
的面积．
A
E
D
A
E
D
O
F
G
C
B
B
【解析】
< br>设
BD
与
CE
< br>的交点为
O
，连接
BE
、
DF
．
由蝴蝶定理可知
EO
:
O
C
S
所以
E
O
:
OC
S
BED
BED
:
S
BCD
，而
S
F
G
C
1
S
4
BE
D
ABCD
，
S
BCD
1
S
2
ABCD
，
:
S
BCD
1
1:
2
，故
EO
EC
．
3
.
页脚
.
. .
.
由于
F
为
CE
中点，所以
EF
1
EC
，故
EO
< br>:
EF
2:3
，
FO
:
EO
1:
2
．
< br>
2
1
1
由蝴蝶定理可知
S
BFD
:
S
BED
FO
:
EO
1:
2
，所以
S
BFD<
/p>
S
BED
<
/p>
S
ABCD
，
2
8
1
1
1
那么
S
BGD<
/p>
S
BFD
<
/p>
S
ABCD
10
10
6.25
（平方厘米）．
2
16
16
【例
9
】
如图，在
ABC
中，已知
M
、
N
< br>分别在边
AC
、
BC
上，
BM
与
AN
相交于
O
,
若
AOM
、
ABO
和
BON
的面积分别是
3
、
2
、
1
，则
MNC
的面积是
．
A
M
O
C
B
N
【解析】
这
道题给出的条件较少，需要运用共边定理和蝴蝶定理来求解．
S
S
BON
3
1
3
根据蝴蝶定理得
S<
/p>
MON
<
/p>
AOM
<
/p>
S
AOB
2<
/p>
2
设
S
MON
x
，根据共
边定理我们可以得
3
x
3
2
< br>S
ANM
S
< br>
ABM
，
< br>S
MNC
S
< br>
MBC
3
< br>2
，解得
x
< br>22.5
．
3
1
x
2
【例
10
】
(
2
009
年迎春杯初赛六年级
)
正六边形
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
的面积是
2009
平方厘米，
B
1
B
2
B
3
B
4
B
5
B
6
分别
是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平方厘米．
A
1
B
6
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
1
A
2
B
2
< br>A
3
A
6
B
5
A
5
B
4
A
4
B
3
B
6
A
1
B
1
O
A
2
B
2
< br>A
3
【解析】
如
图，
设
B
6
A
2
与
B
1
A
3
的交点为
O<
/p>
，则图中空白部分由
6
个与
A
2
OA
3
一样大小的三角形组成，
只要求
出了
A
2
OA
3
的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分
面积．
连接
A
6
A
3
、
B
6
B
1
、
B
6
A
3
．
设
A
1
B
1
< br>B
6
的面积为”
“，
则
B
1
A
2
B
6
面积为”
“，
A
1
A
2
B
6
面积为”
2
“，
那么
A
6
< br>A
3
B
6
面积为
A
1
A
2
B
6
1
1
的
2
倍，为
”
4
“，梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
的面积为
2
2
4<
/p>
2
12
，
A
2
B
6
A
3
的面积为”
6
“，
B
1
A
2
A
3
的
面积为
2
．
6
12
根据蝴蝶定理，
B
1
O
A
3
O
S
B
1
A
2
< br>B
6
:
S
A
3
A
2
B
6
1:<
/p>
6
，故
S
A
2
OA
3
，
S
B
1
A
2
A
3
，
1
6
7
12
1
所
以
S
A
2
OA
3
:
S
梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
:12:1:
7
，即
A
2
OA
3
的
面积
为梯形
A
1
A
2
A
3
A
6
面
积的
，
故为六
边形
7
7
1
1
3
A
< br>1
A
2
A
3
A
4
A
5
A
6
面积的
，
那么空白部分的面积为正六边形面积的
6
，所以阴影部分面积为
14
14
7
.
页脚
.
. .
.
<
/p>
3
2009
1
1148
(
平方
厘米
)
．
7
.
页脚
.
. .
.
板块二
梯形模型的应用
梯形中比例关系
(
< br>“梯形蝴蝶定理”
)
：
A
S
2
a
S
1
O
S
3
S
4
D
B
b
C
< br>
①
S
1
:
S
3
a
2
:
b
2
②
S
1
:
S
3
:
S
2
:
S
< br>4
a
2
:
b
2
:
a
b
:
ab
；
③
S
的对应份数为
a
b
．
梯形
蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结
论，往往在题目中有事半功倍的效果．
(
具体的推
理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明
)
【例
11
】
如图，
S
2
2
，
S
3
4
，求梯形的面积．
2
S
1
S
2
S
3
S
4
【解析】
设
S
1
为
a
份，
S
3
为
b
份，根据梯形蝴蝶定理，
S
3
4
b
< br>2
，所以
b
< br>2
；又因为
S
2
2
a
b
，所以
2
2
a
1
；那么
S
1
a
2
1
，<
/p>
S
4
a
b
2
，所以梯形面积
S
S<
/p>
1
S
2
S
3
S
4
1
2
4
2
9
，或者根
据梯形蝴蝶定理，
S
a
b
1
2
9
．
【巩固】
(
2006
年智力数学冬令营
)
如下图，
梯形
ABCD
的
AB
平行于
CD
，
对角线
AC
，
已知
△
AOB
BD
交于
O
，
与
△
BOC
的面积分
别为
25
平方厘米与
35
平方厘米，那么梯形
ABCD
的面积是
________
平方厘米．
2
2
A
25
O
35
B
D
【解析】
根
据
梯
形
蝴
蝶
定
理
，
S
S
AOB
C
AOB
BOC
:
S
a
2
:
ab
< br>25:
35
，
可
得
a
:
b
5:7
，
再
根
据
梯
形
蝴
蝶
定
理
，<
/p>
DOC
:
S
DO
C
a
2
:<
/p>
b
2
5
2
:
7
2
25:
49
，
所
以
S
49
(
平
方
厘
米
)
．
那么
梯
形
ABCD
的
面
积
为
25
35
35
49
144
(
平方厘米
)
．
【例
12
】
梯形
ABCD
的对角线
AC
与
BD
交于点
O
，已知梯形上底为
2
，
且三角形
ABO
的面积等于三角
2
形
BOC
面积的
，
求三角形
AOD
与三角形
BOC
的面积之比．
3
.
页脚
.
. .
.
A<
/p>
D
O
C
B
【解析】
根
据梯形蝴蝶定理，
S
AOB
:
S
BOC
ab
:
b
2
2
:
3
，可以求出
a
:
b
2:3
，
再根据梯形蝴
蝶定理，
S
AOD
:
< br>S
BOC
a
< br>2
:
b
2
2
2
:
3
2
4
:
9
．
通过利用已
有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千
辛
万苦进行构造假设，所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论．
【例
13
】
(
第
十届华杯赛
)
如下图，四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
交于
O
点，已知
AO
1
，并且
三角形
ABD
的面积
3<
/p>
，那么
OC
的
长是多少？
三角形
CBD
的面积
5
B
A
O
C
三角形
ABD
的面积
AO
AO<
/p>
3
5
【解析】
根
据蝴蝶定理，
，所以
，又
AO
1
，所以
CO
．
三角形
CBD
的面积
CO
CO
5
3
【例
14
】
梯形的下底是上底的
1.5
倍，三角形
OBC
的面积是
9
cm
2
，问三角形
AOD
的面积是多少？
D
A
D
O
B
C
【解析】
根<
/p>
据梯形蝴蝶定理，
a
:
< br>b
1:1.5
2:3
，
S
AOD
:
S
BOC
a
2
:
b
2
< br>2
2
:
3
2
4
:
9
，
所以
S<
/p>
AOD
4<
/p>
cm
2
．
【巩固】如图，梯形
ABCD
中，
AOB
、
COD
的面积分别为
1.2
和
2.7
，求梯形
ABCD
的面积．
A
B
O
D
【解析】
根<
/p>
据梯形蝴蝶定理，
S
S
< br>AOD
:
S
AOB
C
AOB
ACOD
:
S
a
2
:
b
2
4
:
9
，所以
a
:
b
2:3
，
AOD
ab
:
< br>a
2
b
:
a
3:
2
，
S
S<
/p>
COB
1.2
3
1.8
，
2
S<
/p>
梯形
ABCD
1.2
1.8
1.8
2.7
7.5
．
【例
15
】
如下图，
一个长方形被一些直线分成了若干个小块，
已知三角形
ADG
的面积是
11
，
三角形
BCH
的面积是
23
，求四边形
EG
FH
的面积．
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页脚
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