小学数学思想方法的梳理极限思想
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小学数学思想方法的梳理（极限思想）
课程教材研究所
王永春
十四、极限思想
1.
极限思想的概念。
我们知道，在小学
数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积，无法直接按照求长方形
面
积的方法来计算。我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”，具体作法
是：先做圆的内接正六边形，再做内接正十二边形…随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆 ，那
么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。刘徽在描述这种作法时说“割之
弥细，所失弥少，割
之又割，以至不可割，则与圆周合体而无所失矣”。也就是说，随着
正多边形的边数无限增加，圆内接正
多边形就转化为圆，这种思想就是极限思想，即用无
限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。为了便
于理解
,<
/p>
我们先从数列说起，数列是按照正整数
1,2,3,
…
,n,
…编号依次排列的一列数，可写成如下形式
a1
，
a2
，
a3
，…，
an
，…
其中
an
称为数列的通项。其实，数列的通项
an
可以看成是自变量为正整数
n
的特殊的函数，可写作<
/p>
an
＝
f(n)
，其定义域为全体正整数。如
1,
2
，
4
，
6
，…，
2n<
/p>
，…
1
，
-1
，
1
，
-1
，
1
，
-1
，…
都是数列，
当
n
无限增大时，这些数列的通项都会随之变化，有的趋向于无
穷大，如第二个数列；有的无
限接近于某一常数，如第一个数列无限接近于
0
，这时我们就说该数列以
0
为极限，或者说收敛到
0
。通俗
地说
，就是对于任意给定一个不管多么小的正数ε，总是存在一个正整数
N
< br>，使得
n>N
的通项
an(N+
1
及大
于它的每一项
an,
即
aN+1,aN+2,aN+3,
…
)
与常数
a
的差的绝对值
总小于ε
(
在数轴上可以直观地理解为两个
点
an
和
a
的距离总小于ε
)
，那么就说数列
a
n
的极限为
a
。
在上面的数列中，由无穷多个项相加的式子
a1
＋
a2
＋
a3
＋…＋
an
＋…
叫做无穷级数，
其中前
n
项的和可记作Ｓ
n
＝
a1
＋
a2
＋
a3
＋…＋
an
，
称为级数的部分和，这些部分和又可以
构成一个新的数列
Ｓ
1
，Ｓ
2
，Ｓ
3
，…，Ｓ
n
，…
当
n
趋向于无穷大时，
如果数列Ｓ
n
的极限存在，
可设极限为Ｓ，
这
时极限Ｓ就是无穷级数
a1
＋
a2
＋
a3
＋…
＋
an
＋…的和，记作
,
,
…
,
,
…
Ｓ＝
a1
＋
a2
＋
a3
＋…＋
an
＋…
2.
极限思想的重要意义。
小学生的思维
以形象思维为主，逐步向逻辑思维过渡；此外，在小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证
思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。在极限思想中，也渗透着有限与无限、曲与直、变
与不变的辩证关系。我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，而如果其中有的边改
成曲边，
就无法直接用多边形的面积公式计算，就要用定积分来求了，如曲边梯形（直角
梯形的斜边是曲边）的面
积计算，就是先把曲边梯形平均分成
n
个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时
n
个小矩形的面积的和Ｓ
n
近似等于<
/p>
n
个小曲边梯形的面积的和，当
n
越来越大时，小矩形的面积就越来越
接近于相应的曲边梯形的面积，当
n
趋向于无穷大时，如果Ｓ
n
的极限存在，记作Ｓ，最后Ｓ就等于所有
的小曲边梯形的面积的和了，那
么就得到了曲边梯形的面积是Ｓ。这是从有限的曲边梯形的面积中找到无
限个小矩形的面
积，再从无限个小矩形的面积的无限变化中回归到曲边梯形的有限的面积的过程，体现了
有限与无限、曲与直相互转化的辩证思想。因此，极限思想对于培养学生初步的辩证思维有所裨益。
3
．极限思想的具体应用。
极限思想在小学数学中的应用和渗透，主要体现在以下几点。
(1)
在数的认识中体会有限与无限的思想。小学生从一年级开
始就认识自然数
0
，
1
，
2
，
3
，…同时知道每
个自然数加
1
就等
于它的后继数。到了认识亿以内的数时，进一步知道了最小的自然数是
0
，没有最大的
自然数，自然数的个数是无限的。也就是说，任意给定一个足够大
的自然数
N
，只需要把它加
1
就会得到
一个更大的自然数
N+1
，
N+1>N
，所以总是找不到一个最大的自然数，
从而体会到自然数数列的无限多和趋
向无穷大。由此可以推广到奇数、偶数、一个数的倍
数、两个数的公倍数等都没有最大的，都有无限多个。
在学习分数的基本性质时，学生知
道分母不同、分数值相等的分数有无限多个。在学习小数时，首先认识
的是有限小数，然
后认识无限循环小数，还知道圆周率是无限不循环小数。
（<
/p>
2
）
在数的计算中体会极限思想。
小学数学学习的数的计算一般都是经过有限的几步计算就可以解决的问
题，另外，作为知识的拓展，可适当介绍一些无限多个数相加的问题，如在数形结合思想中曾经介绍了无
穷多个分数相加的问题，本文不再赘述。我国古代思想家庄子曾说过“一尺之棰，日取其半，万世
不竭”
这句话可用下面的数学语言来描述“长度为单位
1
的线段，第一天取走全长的一半，以后每天取走剩下的
一半，永远有剩
余”，用无穷等比递缩数列的和来表示取走的长度，就是数形结合思想中的案例。另外，
循环小数化分数的问题，也可以利用极限思想和数形结合思想来计算。
（
3
）在认识图形时渗透无限的思想。与自然数数列的
趋向于无穷大类似，有些图形也具有无限长的特性，
如直线、射线、角的边、平行线等，
都具有无限延伸的特性，可以渗透无限的思想。
（
4
）在圆的面积、圆柱的体积的计算中渗透极限思想。