例说转化与化归思想
爱情的真谛-面试时自我介绍
例说转化与化归思想
复数中的转化与化归
例
1
求复数
[7+24i]
的平方根
.
解析
<
/p>
设
[z=a+bi
（
a
，
b
∈
R
）
]
是复数
[7+24i]
的平方根，
由平方根的定义得，
[z2=
（
a+bi
）
2=7+24i].
即
[
（
a2-b2
）
+2abi=7+24i].
因为<
/p>
[a
，
b
∈
R]
，利用复数相等得，
[a2-b2=7
，
2ab=24
，
]
则
[a=4
，
b=3
，
]
或
[a=-4
，
b=-3.]
故复数
[7+24i]
的平方根为
[
±（
4+3i
）
].
点评
将复
数的开平方运算转化为平方运算、
将复数
（虚
< br>数）问题通过复数代数形式化归为实数问题，是处理复数问
题的基本策略
.
立
?w
几何中的转化与化归
例
2
如图，在四棱锥
[P-ABCD]
中，
[AB
∥
CD
，
]
且
[
∠
BAP=][
∠
CDP][=90
°
].
（
1
）证明：平面
[PAB]
⊥平面
[PAD]
；
（
2
）若
[PA=PD=AB=DC]
，
[
∠
APD=90
°
]
，求二面角
[A-PB-C]
的余弦值
.
解析
<
/p>
（
1
）证明：因为
[
∠
BAP=
∠
CDP=90
°
]
，
< br>所以
[AB
⊥
AP
，
CD
⊥
DP].
又因为
[AB//CD]
，所以
[AB
⊥
DP].
又
[PA?PD=P]
，
[AB?
平面
PAB]<
/p>
，
所以平面
[PAB]
⊥平面
[PAD].
（
2
）由于
平面
[PAB]
⊥平面
[PAD]
，取
[AD]
的中点
[O]
，
[PA=PD
，∠
APD=90
°
]
，<
/p>
所以
[OP
⊥平面
A
BCD].
< br>以
[O]
为坐标原点，
[OA<
/p>
，
OP]
为
[x
]
轴、
[z]
轴（建系如上
图）
.
不妨设
[PA=PD=AB=DC=2].
[
则
O
（
0
，
0
，
0
）
，
P
（
< br>0
，
0
，
2
）
，
A
（
2
，
0
，
0
）
，
B
（
2
，
2
，
0
）
，
< br>C
（
-2
，
2
，
0
）
.]
设平面
[PBA]
的一个法向量为
[m
=
（
x
，
y<
/p>
，
z
）
，
]
则
[m?AP=0
，
m
?AB=0
，
]
即
[2x-2z=0
，
y=0.]
取
[x=
1]
，则
[m=
（
1
，
0
，
1
）
.]
设平面
[PBC]
< br>的一个法向量为
[n=
（
x
，
y
，
z
）
.]
则
[n?PB=0
< br>，
n?BC=0
，
]
即
[2x+2y-2z=0
，
x=0.]
取
[y=1]
，则
[n=<
/p>
（
0
，
1
，
2
）
.]
记二面
角
[A-PB-C]
的平面角为
[
θ
]
，
则
[cos
θ
=m?nm?n=
（
1
，
0
< br>，
1
）
?
（
0
，
1
，
2
）
2?3=33].
点评
将立体几何中的一种位置关系转
化为另一种位置
关系，或转化为空间两向量的数量关系（共线与数量积坐标
表示）
.
将立体几何中的线面角化归为空间两向量
夹角坐标
表示，是立体几何最基本的解题策略
.
解析几何中的转化与化归
例
3 <
/p>
动圆
[M]
经过点
[F
（
1
，
0
）
]
，且与直线
[x=-1]
相切
.
（
1
）求圆心
[M]
的轨迹
[C]
的方程；
（
2
）直线
[l]
过定点
[F]
与曲线
[C]
交于
[A
，
B]
两点：
①若
[AF=2FB]
，求直线
< br>[l]
的方程；
②若点
[
K
（
k
，
0<
/p>
）
]
始终在以
[
AB]
为直径的圆内，求
[k]
的取值
范围
.
解析
（
1<
/p>
）由题意得，点
[M]
到点
[F
（
1
，
0
）
]
的距离与
点
[M]
到直线
[x=-1
]
的距离相等，所以点
[M]
的轨迹是
以
[F]
为
焦点，直线
[x=-1]
为准线的抛物线，其方程为
[y2=4x
.]
（
2
）设直线
[l]
< br>：
[x=my+1]
，代入抛物线方程得，
[y2-4my-4=0.]
再设
[A
（
x1
，
y1
）
，
B
（
x2<
/p>
，
y2
）
]
，
则
[y1+y2=4m
< br>，
y1y2=-4.]
①
[AF=
（
1-x1
，
-y1
< br>）
，
FB=
（
< br>x2-1
，
y2
）
].
因为
[AF=2FB]
，
所以<
/p>
[-y1=2y2]
，
联立<
/p>
[y1+y2=4m
，
y1y2=-4]
解得，
[m=
±
24].
< br>即所求直线方程为
[x=
±
24
y+1].
< br>②
[KA=
（
x1-k
，
y1
）
，
KB=
（
x2-k
，
y2
）
].
因为点
[
K
（
k
，
0<
/p>
）
]
始终在以
[
AB]
为直径的圆内，
所以
[?
m
∈
R]
，
[
KA?KB<0].
即
[?m
∈
R]
，
[
（
x1-k
）
（
x2-k
）<
/p>
+y1y2<0]
恒成立
.