图形的测量
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图形的测量
——图形求积的探索与应用
本专题要解决的关键问题
1.
如何帮助学生在图形测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。
2.
如何在图形测量的过程中，
培养学
生的估测意识和能力，
体验解决问题方法
的多样性。
3.
如何以图形的测量为载体，培养学生的推理
能力。
其实对于图形，
人们往往首先
关注它的大小。
一般地说，
一维图形的大小是
< br>长度，
二维图形的大小是面积，
三维图形的大小是体积。
图形的大小是可以度量
的，而度量的实际操作就是测量。新课程
标准对于图形测量（求积）的内容提出
了具体的要求，要让学生掌握一些基本图形的长度
（包括周长）
、面积和体积的
测量方法和公式，在具体问题中进
行恰当的估测。
同时，
课程内容要反
映数学的特点，
要符合学生的认知规律。
它不仅包括数
学的结果，
也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。
数学思想蕴涵在
数学知识形成、
发展和应用的过
程中，
是基础知识的灵魂，
是数学知识和方法在
更高层次上的抽象与概括。
一、如何帮助学生在图形
测量过程中感悟数学思想，积累数学活动经验。
以圆为例
圆是第一、二学段学习的平
面图形中唯一的一个曲线图形，对它的周长以
及面积的探索和公式的给出都具有一定的挑
战性，
需要学生经历分析圆的半径与
周长关系的过程，
并通过对特殊情况的归纳得出圆的面积公式。
这个过程有助于
学生提高分析问题、解决问题的能力，获得数学活动的经验，体会“转化”
和
“极限”的思想。
转化思想的渗透：
如：
在探索圆的周长与直径的关系的过程中，
让学生经历圆周长的测量过程。
（课件演示）测量方法一：用圆片在直尺上滚动，测量长度；测量方法二：用线
绕圆片一周，
把线拉直然后测量线的长度。
这样既积
累了测量的经验，
又可以渗
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透化曲为直的转化思想。
<
/p>
再如：
在圆的面积公式的推导过程中，
引
导学生将圆转化成已学过的长方形，
三角形、
梯形等图形，
利用旧图形的面积公式推导圆的面积公式。
让学生充分感
受转化的数学思想。
(
课件演示
< br>)
极限思想的渗透：
如：在圆的周长教学中，向学生介绍“割圆术”
，让学生经历正多边形到
圆
的形成过程，引导学生观察体验，随着边数越来越多，正多边形越来越像圆，感
极限思想。
可以设计用小棒摆一个正三角形、正四边形、正六边形、正八边形、……
…
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让学生认真观察，说说你的想法。
还可以借助电脑体会割圆的过程：
让学生从感官上体会“割之弥补，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则
与圆合体，而
无所失矣。
”从而感受极限的数学思想。
函数思想的渗透：
在统计测量数据、填表、观察、发现周长与直径的关系
的过程中，让学生体
验直径变，圆的大小变，周长也随之变化，而它们的倍数关系不变，
从而感受函
数思想。
实验次数
第一次
第二次
第三次
……
周长
直径
周长与直径的关系
微积分思想的渗透：
在圆柱体体积公式的推导过程中，可以引导学生把圆柱体
看成是相同大小的
圆堆积而成，从而推导出圆柱体的体积公式。向学生渗透微积分思想。
（课件演
示）
数学思想方法是学生认识事物、<
/p>
学习数学的基本依据，
是学生数学素养的核
3
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心
，
是处理数学问题的指导思想和基本策略。
它伴随学生知识、<
/p>
思维的发展逐渐
被理解，
而数学思想方法
的感悟是在学生数学活动中积累的。
学生只有在积极参
与教学活
动的过程中，通过独立思考、合作交流，才能逐步感悟数学思想方法。
二、如何在图形测量的过程中，培养学生的估测意识和能力，体验解决问
题方法
的多样性
估测或估计是《标准》突出强调的内容。估测或估计
，既是一种意识的体
现，
也是一种能力的表现；
不仅具有现实的意义，
而且也有助于学生感受度量单
位
的大小。
估测的意识和能力是在实践中发展起来的。
《标准》要求“能估测一些物体
的长度，并进行测量”
< br>，还要求“探索不规则图形的周长、面积、体积”
。通过这
样的测量，
学生不仅能进一步加深对度量意义的理解，
而且能
在运用所学知识解
决问题的过程中，体会学科之间的联系，感悟数学思想。
案例
:
测量不规则图形的面积
图中每个小方
格为
1
个面积单位，试估计曲线所围成的面积。
如图一
:
教师们对此题目并不陌生，
解决这个问题通常的做法是数方格。
先数一数有
多少个整格，
再数一数有几个半格，
把不满整格的进行
整合
,
最后累加起来
,
用此
方法估计不规则图形的面积。
这是我们常用的方法
。
但是这种估算不规则图形面
积的方法并没能体现估算的价值，
此题还可以挖掘更丰富、
更深刻的内涵。
充分
体现该题的数学教育价值。
教
学时教师可以帮助学生事先做好规划，鼓励学生运用不同的方法估计图形
的面积。例如，
教学中教师可以启发学生首先观察图形，边观察边进行思考“你
认为曲线所围成的面积结
果可能会在那个范围之间呢？你能用已有的经验来解决
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