高中数学：数学七大基本思想方法汇总
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高中数学：数学七大基本思想方法汇总
第一：函数与方程思想
（１）函数思
想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、
不等式、数列、解析几
何等其他内容时，起着重要作用
（２）方程思想是解决各类计
算问题的基本思想，是运算能力的基础
注：高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查
第二：数形结合思想：
（１）数学研
究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面
（２）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系
在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论
证严密性，突出形到数的转化
第三：分类与整合思想
（１）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
（２）从具体出发，选取适当的分类标准
（３）划分只是手段，分类研究才是目的
（４）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性
（５）
含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，
重点考查学生思维严谨性与
周密性
第四：化归与转化思想
（１）
将复杂问题化归为简单问题，
将较难问题化为较易问题，
将未解决问题化
归为已解决问题
< br>（２）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的
变
换途径与方法
（３）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转
化、繁与简的转化、构造转化、
命题的等价转化
第五：特殊与一般思想
（１）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识
（２）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
（３）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程
（４）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特
殊方程
（５）高考以新增内容为素材，突出考查特殊
与一般思想必成为命题改革方向
第六：有限与无限的思想：
（１）把
对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路
（２）
积累的解决无限问题的经验，
将有限问题转化为无限问
题来解决是解决的
方向
（３）
立体几何中求球的表面积与体积，
采用分割的方法来解决，
实际上是先进
行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想
的应用
（４）
随着高中课程改革，<
/p>
对新增内容考查深入，
必将加强对有限与无限的考查
第七：或然与必然的思想：
（１）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性
（２）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然
（３）
等可能性事件的概率、
互斥事件有一个发生的概
率、
相互独立事件同时发
生的概率、独立重复试验、随机事件的
分布列、数学期望是考查的重点。
怎么样突破高考数学试卷中大题拿分低
的现状？
高考数学试卷中，选择、填空题得分一般差别不大，大题才是拉分项，做好
6
道数学大题，
你的高考成绩绝对不会低。
如何搞定这些题目呢？不仅要有解题技
巧，还要有实用的解题思路！
< br>
解题技巧
（一）、三角函数题
注意归一公式、
诱导公式的正确性
(
转化成同名同角三
角函数时，
套用归一公式、
诱导公式
(
奇变、
偶不变
;
符号看象限
)
时，
很容易因为粗心，
导致错误
!
一着不慎，
满盘皆输
!)
。
（二）、数列题
1
< br>、证明一个数列是等差
(
等比
)
数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为
公差
(
公比
)
的等差
(
等比
)
数列
;
2
、最后一问证明不等式成立时，如果一端
是常数，另一端是含有
n
的式子时，
一
般考虑用放缩法
;
如果两端都是含
n<
/p>
的式子，一般考虑数学归纳法
(
用数学归
纳
法时，当
n=k 1
时，一定利用上
n=k
时的假设，否则不正确。利用上假设后，
如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。
简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时
一定写上
综上：由得证
;
3
、证明不等式时，
有时构造函数，利用函数单调性很简单
(
所以要有构造函数的<
/p>
意识
)
。
（三）、立体几何题
1
、证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单
;
2
、
求异面直线所成的角、
线面角、
二面角、
存在性问题、
几何体的高、<
/p>
表面积、
体积等问题时，最好要建系
;
3
、
注意向量所成的角的余弦值
(
范围
)
与所求角的
余弦值
(
范围
)
的关系
(
符号问题、
钝角、锐角问题
)
。
（四）、概率问题
1
、搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数
;
2
、搞清是什么概率模型，套用哪个公式
;
3
、记准均值、方差、标准差公式
;
4
、求概率时，正难则反
(
根据
p1 p2 ... pn=1);
5
、注意计数时利用列举、树图等基本方法
;
6
、注意放回抽样，不放回抽样
; <
/p>
7
、注意“零散的”的知识点
(
茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等
)
在大题
中
的渗透
;
8
、注意条件概率公式
;
9
、注意平均分组、不完全平均分组问题。
（五）、圆锥曲线问题
1
、注意求轨迹方程时，从三种曲线
(
椭圆、双曲线
、抛物线
)
着想，椭圆考得最
多，方法
上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法
;
2
、注意直线的设法
(
法
1
分有斜率，没斜率
;
法
2
设
x=my b(
斜
率不为零时
)
，知
道弦中点时，往往用
点差法
);
注意判别式
;
注意韦达定理
;
注意弦长公式
;
注意自变
量的取值范围等等
; <
/p>
3
、战术上整体思路要保
7
分，争
9
分，想
12
分。
（六）、导数、极值、最值、不等式恒
成立
(
或逆用求参
)
< br>问题
1
、先求函数的定义域，
正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般
不能并，用“和”或“，”隔开<
/p>
(
知函数求单调区间，不带等号
;
知单调性，求参
数范围，带等号
);
2
、注意最后一问有应用前面结论的意识
;
3
、注意分论讨论的思想
;
4
、不等式问题有构造函数的意识
;
5
、恒成立问题
(
分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法
);
6
、整体思路上保
6
分，争
10
分，想
14
分。
数学答题思路
在高考时很多同学往往因为时间不够导致数学试卷不能写完，
试卷得分不高，
掌
握解题思想可以帮助同学们快速找到解题思路，节约思考时间。
（一）、函数与方程思想
函数思想是指运用运动变化的观点，
分析和研究数学中的数量关系，
通过建立函
数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问
题
;
方程思想，是
从问题的数量关系入
手，
运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问
题。
同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。
（二）、
数形结合思想
中学数学研究的对象可
分为两大部分，
一部分是数，
一部分是形，
但数与形是有
联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切
入点的
“法宝”，
又是优化解题途径的“良方”，
因此建议同学们在解答数学题时，
能
画图的尽量画出
图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。
（三）、特殊与一般的思想
用这种思
想解选择题有时特别有效，
这是因为一个命题在普遍意义上成立时，
在
其特殊情况下也必然成立，
根据这一点，
同学们可以直接确定选择题中的正确选
项。不仅如此，用这种思想方法去探求主
观题的求解策略，也同样有用
（四）、极限思想解题步骤
极限思想解决问题的一般步骤为：
1
、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量
;
2
、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量
;
3
、构造函数
(
数列
)
并利用极限计算法则得出结果或利用图
形的极限位置直接计
算结果
（五）、分类讨论思想
同学们在解题
时常常会遇到这样一种情况，
解到某一步之后，
不能再以统一的
方
法、
统一的式子继续进行下去，
这是
因为被研究的对象包含了多种情况，
这就需
要对各种情况加以分
类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。引
起分类讨论的原因很多，
数学概念本身具有多种情形，
数学运算法则、
某些定理、
公式的限制，
图形位置的不确定性，
变化等均可能引起分类讨论。
建议同学们在
分类讨论
解题时，要做到标准统一，不重不漏。
函数
< br>+
分类讨论
=
中考数学压轴题！
如何破
解？
中考数学当中什么问题会
让很多学生头痛？我想函数综合题应该就是其中一类
吧。
函数作
为数学当中最重要的一块内容之一，
不仅是我们学习的重点，
更
是中
考数学的重中之重，在中考中占了相当高的比重。
以前我经常说到，
数学学习要学会“做一题、
会一类”的方法，
如研究函数型综
合问题，我们都可以发现具有
这样的特点：一般先给定直角坐标系和几何图形，
求
（已知）<
/p>
函数的解析式
（即在求解前已知函数的类型）
，
然后进行图形的研究，
求点的坐标或研究图形的某些性质
。
随着新课改不断深入，
现在的中考
不单单是考查大家掌握多少数学知识，
也会考
查数学思想方法掌
握情况等等。
在中学数学学习阶段，
我们会学到很多数学思想，
如有化归思想方法、
分类讨论
思想方法、
数形结合思想方法、
数学建模等等
思想方法，
分类讨论就是其中一种
非常重要的数学思想。
分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，
无法用统一的方法或
结论给出统一的表述时，
按
可能出现的所有情况来分别讨论，
得出各种情况下相
应的结论，
分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题。
因此，
近几年函数与分类讨论进行结
合，
产生函数分类讨论综合型问题，
此类问
题知识容量大，题意创新，能很好考查学生的分析问题、解决问题的能力，如内
容包
括空间观念、应用意识、推理能力等。
函数分类讨论综合型问
题是近几年中考数学试题的一大热点和难点，
成为中考数
学的“
香饽饽”。
典型例题分析
1
：
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线<
/p>
y=ax2+bx
的对称轴为
x=3/4
，且经
过点
A
（
2
，
1
），
点
P
是抛物线上的动点，
P
的横坐标为
m
（
0
＜
m
＜
2
），过
点
P
作
PB
⊥
x
轴，垂足为
B
，
PB
交
OA
于点
C
，点
O
关于直线
PB
的
对称点为
D
，连接
CD
，
AD
，过点
A
作
AE
⊥
x
轴，垂足为
E
．
（
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）填空：
①用含
m
的式子表示点
C
，
D
的坐标：
C
（
，
），
D
（
，
）；
②当
m=
时，△
ACD
的周长最小；
（
3
）若△
ACD
为等腰三角形，求出所有符合条件的点
P
的坐标．
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（
1
）根据抛物线对称轴公式和代入法可得关于
a
，
b
的方程组，解方程组可得
抛物线的解析式；
（
2
）①设
OA
所在的直线解析式为
< br>y=kx
，将点
A
（
2
，
1
）代入求得
OA
所在
的解析式为
y=1/2x
，因为
PC
⊥
x
轴，所以
C
得横坐标与
P
的横坐标相同，为
m
，令
x=m
，则
y=1/2m
，所以得出点
C
（
m
，
1/2m
），又点
O
、
D
关于直线
PB
的对称，
所以由中点坐标公式可得点
D
的横坐标为
2m
，
则点
D
的坐标为
（
2m
，
0
）；
②因为
O
与
D
关于直线
PB
< br>的对称，
所以
PB
垂直平分
OD
，
则
CO=C
D
，
因为，
△
ACD
的周长
=AC+CD+AD=AC+CO+AD=AO<
/p>
，所以当
AD
最小时，△
ACD
的周长最小；
根据垂线段最短，
可知此时点
D
与
E
重合，
其横坐标为
2
，<
/p>
故
m=1
．
<
/p>
（
3
）由中垂线得出
CD=OC
，再将
OC
、
AC
、
AD
用
m
表示，然后分情况讨论
分别得到关于
m
的方程，解得
m
，再
根据已知条件选取复合体艺的点
P
坐标即
可。
解题反思：
此题看出二次函数的综合运用，
待定系数法求函数解析式，
中心对称，
垂直平分
线的性质，等腰三角形的性质，渗透分
类讨论思想．
因函数分类讨论综合型问题能很好考查一个学生
的综合问题解决能力，
如在不同
知识点中，分类讨论的出题方式
又不一样，加上函数也是中考数学必考知识点，
此类问题自然就成为全国很多地方每年中
考必考类型。
在初中数学学习阶段，我们学习到以下三种函数：
1
、一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；
2
、反比例函数，它所对应的图像是
双曲线；
3
、二次函数，它所对应的
图像是开口向上或向下的抛物线。求已知函数的解析
式主要方法是待定系数法，
关键是求点的坐标，
而求点的坐标基本方法是几何法
（图形法）和代数法（解析法）。
在解决函数分类讨论综
合型问题时，
我们可能会遇到多种情况，
需要对各种情况
加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论核心。不过在解决问题
过程中，很多学生经常出错，不是忘了分类讨论，就是讨论不全，即使都考虑到
所有分类谈论情况，也因一些步骤问题造成分数丢失。
因此，
我们在遇见函数分类讨论综合型问题的时候要有分类讨论意识
，
要知道如
何下手解决问题，如要清楚分类讨论的原则有哪些：
1
、分类中的每一部分是相互独立的；
2
、一次分类按一个标准；
3
、
分类讨论应逐级进行，
正确的分类讨论必须是周全的，
既不重复、
也不遗漏。
典型例题分析
2
：
如图，直线
y=
< br>﹣
3/4x+3
与
x
轴交于点
C
，与
y
轴交于点
B
，抛物线
y=ax2+3/4x+c
经过
B
、<
/p>
C
两点．
（<
/p>
1
）求抛物线的解析式；
（
2
）如图，点
E
是直线
BC
上方抛物线上的一动点，当△
BEC
面积最大时，请
求出点
E
的坐标和△
BEC
面积的最
大值？
（
3
）在
（
2
）的结论下，过点
E
作
y
轴的平行线交直线
BC
于点
M
，
连接
AM
，
点
Q
是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点
P
，使得以
P
、
Q
、
A
、
M
为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点
< br>P
的坐标；如果不
存在，请说明理由．
< br>
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（
1
）首先根据直线
y=
﹣
3/4x+3
与
x
轴交于
点
C
，与
y
轴
交于点
B
，求出点
B
< br>的坐标是（
0
，
3
），点
C
的坐标是（
4
，
0
）；然后根据抛物线
< br>y=ax2+3/4x+c
经过
B
、
C
两点，求出
ac
的值是多少，即可求出抛物线的解析式．
（
2
）首先过点
E
作
y
轴的平行线
EF
交直线
BC
于点
M
，
EF
交
x
轴于点
F
，然
后设点
E
的坐标是
（
x
，
﹣
3/8x2+3/4x+3
）
，
则点
M
的坐标是
（
x
，
﹣
3/4x+3
）
，
求出
EM
的值是多少；最后根据三角形的面积的求法
，求出
S
△
ABC
，进而判断
出当△
BEC
面积最大
时，点
E
的坐标和△
BEC
面积的最大值各是多少即可．
（
3
）
在抛物线上存在点
P
，
使得以
P
、
Q
、
A
、
M
为顶点的四边形是平行四边形．
然
后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以
P
、
Q
、
A
、
M
为顶点
的四边形是平行四边形
的点
P
的坐标是多少即可。
解题反思：
（
1
）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力
，考查了分类讨论
思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获
取信息，
并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（
2
）此题还考查了函数解析式的求法，以及
二次函数的最值的求法，要熟练掌
握．
（
3
）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握。
函数分类讨论综合型问题有时候会以运动的点、
< br>线段、
变化的角、
图形的面积为
基本条件，
给出一个或多个变量，
要求确定变量与其他量之间的
函数等其他关系；
或变量在一定条件为定值时，
进行相关的计算
和综合解答，
解答这类题目，
一般
要根
据点的运动和图形的变化过程，对其不同情况进行分类求解。
函数分类讨论综合型问题，
不仅是考查函数与分类讨论，
更体现
了数形结合的思
想，能充分考查学生的观察、分析、归纳、猜想的能力以及综合运用所学
知识解
决问题的能力。
函数分类讨论
综合型问题具有知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，综合
性强，
解题方法灵活等鲜明特点，
同时题型变化多样。
大家若
想能解决此类问题，
平时除了加强基础知识的学习，还要通过训练掌握题型，理解题型，
吃透题型。
高中数学：
高中函数难？
风靡全球的
14
组
函数动图，一次性解
决所有难题
在高中数学中最难的知识点莫过于函数了，而函数
又分为一次函数、二次函数、
反比例函数和复合函数等不同类型的函数，对于这些难题，
千万不要被吓住了。
在高考中，
函数的重要性我就更不用再说了
，
而函数图像与性质正是函数的基础，
通过函数，可以研究函数
的单调性，奇偶性，值域等，而单调性与值域的考察又
是直接的考试热点，所以，函数的
图像与性质，希望同学们能好好掌握哦！
在高中数学的学习过
程中，
我们要善于总结规律，
找到适合自己的学习方法，
这
样成绩才能快速提高。
< br>从事教育这么多年，
一直在研究帮助孩子的学习轻松化的方法，
< br>帮助孩子减轻学
习压力，很多家长也非常信任我，所以几乎家长需要的资料，我基
本都会备齐，
为的就是尽所能的帮助孩子学习，
给他们讲诉一些
高效的学习的方法，
每一次听
到家长发来喜讯，我就真的很欣慰
了。
最近很多家长说孩子上高中，
数
学这门课程开始变得非常吃力，
特别是高中函数。
的确，
高中数学必修一的函数和初中比较，
抽象性
更强，
很多的同学学习过程中，
理解较难，尤其是值域、定义域
、解析式的求解问题，与初中的大不一样，这里
应用了很多解题的方法，
只有掌握方法才能迎刃而解，
这也体现了高中数学与初
中数学学习上的最大的不同，
高中数学教学过程中，
要更多的注
重数学思想渗透、
数学方法的指导，授之以鱼不如授之以渔，所以我采用了分类教学，逐
一列举。
下面我精心准备的
14
组函数动图，非常简单明了，相信孩子一看就能明白其中
含有，一次
性解决所有难题！
1
、正弦函数
高中数学：
高中函数难？风靡全球的
14
组函数动图，一次性解决所有难题！
2
、四个不同角度看余弦函数