微积分与数学思想方法
老师你辛苦了-你到底爱不爱我歌词
数学思想方法的解释有多种多样，
其中胡炯涛
《
数学教学论》
广西教育出版
社，
一书中
指出数学思想方法则是数学知识发生过程中的提炼、
抽象、
概括
和升
华，
是对数学规律更一般的认识，
它蕴藏在数学知识之中，
需要学习者去挖掘
[6]
。
数学思想方法分为两部分，
一是数学思想，
二是数学方法，
其中数学思想是指我
们对教材
中理论知识及内容最本质的认识，
而数学方法是数学思想的具体化形式，
运用到实际的题目中
[20]
。下面就具体来阐述一下
微积分习题中的数学思想方法：
5.1
函数思想
函数思想是我们在中学阶段中常见的一种思想方法，
是指用函数的概念、
性
质、
特点去分析问题、
转化问题和解决问题的一种思维，
函数思想是一个基本的
数学思
想，
方程，
不等式问题可以在函数的观点下统一起来，
数列是特殊的函数，
集合论的知识作为建立函数的基础，
也包括在其中
[11]
。
在新
版教材微积分的内容
中，函数思想更为重要，其中一部分题目就是借助“微积分”这个工
具，最后还
是依据函数的基本性质去解决问题。例如：
一条长为
l
的铁丝截成两段，分别弯成两个正
方形，要使两个正方形的面积
和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
[12]
（新版教材人教
A
版选修
2
–
2
课本<
/p>
37
页习题）
解：设其中一段铁丝的长度为
x
，则另一段为
< br>l
x
，面积为
s
根据题意得：
s
x
x
l
x
l
x
4
4
4
< br>4
整理得：
2
2
2
x
2<
/p>
lx
l
s
16
求导数，并令导数等于零，解得：
l
x
2
分析：
这类题型在新版教材
中为常见的一种题型，
根据题意得到函数表达式，
l
借助“微积分”这个工具，结合函数的性质来解决问题。当
x
时导函数的函
2
数值为零，这时函数取得最小值（函数的性质）
。
例如：有一家宾馆有
50
个房间共旅客居住，当每个房间定价为每天
180
元时，
房间会全部住满；房间单价每增加
10
元，
就会有一个房间空闲，如果旅客居住
房间，宾馆每间每天需花费
20
元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润
最大？
分析：这是一个生活中实际的问题，解决方法，根据题意列出函数
表达式，我们
要找到关键问题，
利润是由房间数乘以房间定价让
后减去房间数乘以房间维护费，
所以关键就是房间数，我们设房间定价为
x
元，利润为
s
，
则
x
180
x
20
s
50
10
对
x
进行求导，并令导数为零，得到<
/p>
x
350
，即
可解得利润的最大值
把数学
问题用函数表示出来，借助“微积分工具”去解决数学问题，这是我
们常用的方法，
即函数思想结合
“微积分”
去解决问题。<
/p>
特别的我们在学习了
“微
积分”之后，这
种题型是我们常见题型及常考题型之一。
5.2
极限思想
我们所谓的极限思想是我们微积分的基本思想之一，<
/p>
所谓极限思想是指：
利
用极限概念去分析
及解决问题的一种数学思想方法。
高中数学新版教材微积分虽
然不学习极限理论，
但是在问题解决中却处处应
用了极限思想。
由于中学生对极限思想已经不再陌生，
早在学习求圆的面积公式
时就有了极限思想（刘徽的割圆术）
、后来学习球的体积公式时
对极限思想有了
更进一步的体会。
因此在导数、
定积分定义的引入和导数的几何意义学习过程中，
学生可以再次体会到极限思想
在问题解决中的重要价值
[21]
。
（
1
）我们在求一个物体的瞬时速度时
，是规定在很小的时间间隔
t
，即：
0
0
t
0
时，物体的平均速度
< br>
就是物体在
t
0
这个时刻时的瞬时速
v
(
t
t<
/p>
)
v
(
t
0
)
度，即：
v
lim
0
t
0
t
v
(
t
< br>
t
)
v
(
t
)
t
（
2
）我们
在解决曲边梯形面积时：我们首先把曲边梯形的面积
S
进行无限
分割，从而就把有限变成了无限，我们把小矩形的面积用
S
来表示，用来表示
S
；再把小的矩形无限累加得到曲边梯形的近似值，又从
无限回到有限。最终
我们求得曲边梯形的面积为：
S
lim
f
i
x
x
0
i
< br>1
n
导数：函数
y
f
(
x
< br>)
在
x
x
0
处的导数，就是此函数在此点的瞬时变化率，
f
(
x
0
x
)
f
(
x
0
)
f
(
x
0
)
lim
x
0
x
定积分：我们表
示函数
f
x
在区间
a
,
b
上的定积分，是指将区间
[
a
,
b
]
等分
成
n
个小区间，当
n
时，它们的和式就无限接近的一个确定值，即
n
b
b
a
f
(
x
)
dx
lim
f
(
i
)
a
n
n
i
1
（
3<
/p>
）对于学习导数的几何意义，我们是从函数
y
f
(
x
)
在
x
0
处的
切线开始
的学习的，我们通过观察函数在点
x
< br>0
处的切线的变化趋势，总结得到的导数的
几何意义。<
/p>
（
4
）高中新
版教材“微积分”部分在解决求变速直线运动的路程，求平面
图形面积、变力做功中也都
应用到了极限思想。
[13]
5.3
数形结合思想
数形结合思想是我们中学解决数学问题中常用的一种思
想方法。
所谓数形结
合是指：
把比较抽
象的数学符号和语言与直观的图形结合起来，
使抽象思维和形
象
思维相结合，
通过直观的图像来帮助我们简化问题和解决问题，
就是在研究数
学问题时，由数思形、见行思数、数形结合考虑问题的一种思想方法
[14]
。数形结
合思想往往能够帮助我们分
析问题，
使复杂的问题通过图像形象直观的表达出来。
在新版教
材中“微积分”领域的习题中比较常见，例如：
1
求函数
f
x
x
3
4
x
4
在
0
,
< br>3
上的最大值与最小值。
<
/p>
3
解：分析：在我们学习“微积分”之前这类问题不容易解决，但
现在学习了
“微积分”
这个有利的
“工
具”
就比较简单。
先求函数的导函数易得
f
'
x
x
2
4
令导函数等于零，得到极值点，根据函
数性质画出函数的图像
0
,
3
如图：
1
3
f
x
x
4
x
4
在
< br>0
,
3
的最大值及最小值。
从图形中易得函数
3
数形结合思想更加倾向于帮助我们分析问题，
了解问题的本质，
这个本质是
利用图像来表示出来，<
/p>
使得我们能够直观的观察问题的本质，
从而能够更好地解
决问题。
例如我们在研究函数的单调性与导数的关系时，
我们就是通过图形，
先
求得函数的导函数，
然后画出导函数的函数图像，
我们可以直观的通过观察函数
的图像，
从而得知单调性与导数之间的关系。
我们利用
导数来研究函数的单调性，
然后讨论导数与函数的极值、
导数与
函数的最值等问题时，
我们都是借助于函数
的图像来得到直观的
结论
[22]
。
我们在学习研究定积分
的概念时，
就是通过研究曲
边梯形的面积，首先画出它的草图，
然后借助图形，直观地确定被积函数的上、
下限。