小学数学思想方法的梳理(二化归(转化)思想。)
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小学数学思想方法的梳理（二）
课程教材研究所
王永春
二、化归思想
1.
化归思想的概念。
人们在面对数学问
题，
如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，
往往将需
要解决的问题不断转化
形式，
把它归结为能够解决或比较容易解
决的问题，
最终使原问题得到解决，
把这种思想方法称为化归<
/p>
（转化）
思想。
从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学
的过程中，
却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、
把繁难的知识转化为简单的知识，
从而逐步学会解决
各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各
种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。
2.
化归所遵循的原则。
化归思想的实质就是在已有的简单的、
具体的、
基本的知识的基础上，
把未知化为已知、
把复杂化为简单、
把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规化为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归
思想时要遵循以
下几个基本原则：
（
1
）数学
化原则，即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题
的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题，课
程标准特别强调的目标之一就是培养实践能力。因此，数学化原则是一般化的普遍的原则
之一。
（
2
）熟悉化原则，即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识
的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生
来说既
是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与课程标准提倡培养学生的探索能力和
创新精神是一致的。因此，
学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个比较重要的原则
。
（
3
）<
/p>
简单化原则，
即把复杂的问题转化为简单的问题。
对解决问题者而言，
复杂的问题未必都不会解决，
但解
决的过程可能比较复杂。因此，
把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，
也不失为一种上
策。
（
4
）直观化原则，即把抽象的问题转化为具体的问题。数学的特点之一便是它
具有抽象性。有些抽象的
问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或
者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，
直观化是中小学生经常应用的方法，也是重
要的原则之一。
3.
化归思想的具体应用。
学生面对的各
种数学问题，
可以简单地分为两类：
一类是直接应用已有知识便
可顺利解答的问题；
另一种
是陌生的知识、
或者不能直接应用已有知识解答的问题，
需要综合地应用已有知识或创造性地解决的
问题。
如
1
知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形面积公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；<
/p>
如果不知道平行四边形的面积公式，
通过割补平移变换把平行四边
形转化为长方形，
推导出它的面积公式，
再
计算面积，
这是第二类问题。
对于广大中小学生来说，
他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为
第二类问题，
并且要不断地把第二类问题转化为第一类问题。
解决问题的过程
，
从某种意义上来说就是不断地
转化求解的过程，因此，化归思
想应用非常广泛。
化归思想在小学数学中的应用如下表。
知识领域
知识点
应用举例
数与代数
数的意义
整数的意义：用实物操作和直观图帮助理解
小数的意义：用直观图帮助理解
分数的意义：用直观图帮助理解
负数的意义：用数轴等直观图帮助理解
四则运算的意义
乘法的意义：若干个相同加数相加的一种简便算法。
除法的意义：乘法的逆运算。
四则运算的法则
整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法。
小数加减法：
小数点对齐，
然后按照整数的方法进行计
算。
小数乘法：
先按照整数乘法的方法进行计算，
再点小数
点。
小数除
法：
把除数转化为整数，
基本按照整数除法的方
法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对
齐。
分数加减法：
异分母分数加减法转化为同分母分数加减
法。
分数除法：转化为分数乘法。
四则运算各部分
a + b = c,
c
－
a = b
间的关系
ab=c,
a=c
÷
b
简便计算
利用运算定律进行简便计算
方程
解方程：
解方程的过程，
实际就是不断把方程转化为未
知数前边的系数
是
1
的过程（
x=a
< br>）
。
解决问题的策略
化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等。
化抽象为直观：
< br>用线段图、
图表、
图像等直观表示数量
< br>之间的关系、帮助推理。
化实际问题为数学问题：
2
化一般问题为特殊问题：
化未知问题为已知问题：
通过操作把三个内角转化为平角
空<
/p>
间
与
图
三角形内
角和
形
多边形的内角和
转化为三角形求内角和
面积公式
体积公式
正方形的面积：转化为长方形求面积
平行四边形面积：转化为长方形求面积
三角形的面积：转化为平行四边形求面积
梯形的面积：转化为平行四边形求面积
圆的面积：转化为长方形求面积
组合图形的面积：转化为求基本图形的面积
正方体的体积：转化为长方体求体积
圆柱的体积：转化为长方体求体积
圆锥体积：转化为圆柱求体积
统
计
与
概
统计图和统
计表
运用不同的统计图表描述各种数据
率
可能性
运用不同的方式表示可能性的大小
4
．解决问题中的化归策略。
（
1
）化抽象问题为直观问题。
数学的特点之一是它具有很强的抽象性，
这是每个
想学好数学的人必须面对的问题。
从小学到初中，
再到
高中，
数学问题的抽象性不断加强，
学生的抽象
思维能力在不断接受挑战。
如果能把比较抽象的问题转化为操
作
或直观的问题，
那么不但使得问题容易解决，
经过不断的抽象→
直观→抽象的训练，
学生的抽象思维能力也
会逐步提高。下面举
例说明。
1
1
1
1
案例：
＋
＋
＋
＋„＝
2
4
8
16
1
分析
：此问题通过观察，可以发现一个规律：每一项都是它前一项的
。但是对于小学和初中的学生来<
/p>
2
说，
还没有学习等比数列求和公式。<
/p>
如果把一条线段看作
1,
先取它的一半表示
，
再取余下的一半的一半表
1
1
示
，这样不断地取下去，最终相当于
取了整条线段。因此，上式的结果等于
1,
这样利用直观手段
解决了高
2
4
中生才能解决的问题。<
/p>
（
2
）化繁为
简的策略。
有些数学问题比较复杂，
直接解答过程会比较繁琐，
如果在结构和数量关系相似的情况下，
从更加简单的
问题入手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验，如果能够
证明这种方法或模型是正确的，那么
3