小学奥数构造与论证第一讲
美文美段-古希腊文明
构造与论证第一讲
内容概述
各种探讨给定要求能否实现，
设计最佳安排和选择方案的组合问题．
这里的最佳通常指
某个量达到最大或最小．
解题时，
既要构造出取得最值的具体实例，
又要对此方案的最优性
进行论证．论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计．
典型问题
2.
有
3
堆小
石子，
每次允许进行如下操作：
从每堆中取走同样数目的小石子
，
或是将其中的
某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的
一堆．开始时，第一堆有
1989
块石子，第
< br>二堆有
989
块石子，第三堆有
89
块石子．问能否做到：
(1)
某
2
< br>堆石子全部取光
?
(2)3
堆中的所有石子都被取走
?
【分析与解】
(1)<
/p>
可以，如
(1989
，
< br>989
，
89)
(1900
，
900
，<
/p>
0)
(950
，
900
，
950)
< br>
(50
，
< br>0
，
50)
< br>(25
，
25
，
50)
(O
，
0
，
25)
．
(2)
因为操作就两种
，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至
另一堆，所以每次操作石子
总数要么减少
3
的倍数，要么不变．
现在共有
1989+989+89=
3067
，不是
3
的倍数，所以不能将
3
堆中所有石子都取走．
4
.
在某市
举行的一次乒乓球邀请赛上，有
3
名专业选手与
3
名业余选手参加
.
比赛采用
单循
环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场．为公平起见，
用以下方法记分：开赛前每位
选手各有
10
< br>分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加
2
分，每
胜业余选手一场加
1
分；
专业选手每负一场扣
2
分，业余
选手每负一场扣
1
分．问：一位业
余选
手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高
?
【分析与解】
当一位业余选手胜<
/p>
2
场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得
< br>10+2-3=9(
分
)
．
此时，
如果专业选手间的比赛均为一胜一负，
而专业选手与业余选手比赛全
胜，那么每位专业选手的得分都是
10+2-2+3=13(
分
)
．所
以，一位业余选手胜
2
场，不能确
保他
的得分比某位专业选手高．
当一位
业余选手胜
3
场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业
选手，得
10+2+2-2=12(
分
)
．此时，三位专业选手最多共得
30+0+4=34(
分
)
，其中专业选手之间的三
场比赛共得
0
分，
专业选手与
业余选手的比赛最多共得
4
分
.
由三个人得
34
分，
34
÷
3=11
推知，必有人得分不超
过
11
分
.
1
，
3
也就是说，一位业余选手胜
3
场，能确
保他的得分比某位专业选手高
.
6
.
如图
35
-1
，将
1
，
2
，
3
，
4<
/p>
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
，
10
这
10
个数分别填入图中的
10
个圆圈内，
使任意连续相邻的
5<
/p>
个圆圈内的各数之和均不大于某个整数
M.
求
M
的最小值并完成你的填
图
.
【分析与解】
要使
M
最小，
就要尽量平均的填写，
因为如果有的连续
5
个圆圈内的数
特
别小，有的特别大，那么
M
就只能大于等于特别大的数，不能达
到尽量小的目的．
因为每个圆圈内的数都用了
5
次，所以
10
次的和为
5×(1+2+3+…+10)
=275
．
每次和都小于等于朋，所以
IOM
大于
等于
275
，整数
M
< br>大于
28
．
< br>下面来验证
M=28
时是否成立，注意到圆圈内全部数的
总和是
55
，所以肯定是一边五个
的和
是
28
，一边是
27
< br>．因为数字都不一样，所以和
28
肯定是相间排列，和<
/p>
27
也是相问排
列，也就是说数组每隔<
/p>
4
个差值为
l
，
这样从
1
填起，容易排出适当的填图
.
8.
1998
名运动员的号码依次为
1
至
1998
的自然数．
现在要从中选出若干名运动员参加仪仗
队，
使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积．
那么，
选为仪仗队
的运动员最少有多少人<
/p>
?
【分析与解】
我们很自然的想到把
用得比较多的乘数去掉，
因为它们参与的乘式比较
多，
把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，
比较小的数肯定是用得最多的，
因为它们的倍
数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何
处
?
考虑到
44
的平方为
1936
，所以去到<
/p>
44
就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘
式中最小的数一定小于等于
44
，所以可以保证剩下的
构不成乘式．因为对结果没有影响，
所以可以将
1
保留，于是去掉
2
，
3
，
4
，…，
44<
/p>
这
43
个数．
但是，是不是去掉
43
个数为最小的方法呢
?
构造
2×97，3×96，
4
×
95
，…，44×45，
发现这
43
组数全不相同而且结果都比
1998
小，
所以要去掉这些乘式就至少要去掉
43
个数，
所以
43
位最小值，即为所求
.
10.
在
10×19
方格表的每个方格内，写上
0
或
1
，然后算出每行及每列的各数之和．问最多
能得到多少个不同的和数
?
【分析与解】
首先每列的和最少为<
/p>
0
，最多是
10
，每行的和最少是
0
，最多是
19
，所
以不同的和最多也就是
0
，
1
，
2
< br>，
3
，
4
，…，
18
，
19
< br>这
20
个．