小学奥数中的涂色问题教学文案
天什么地什么成语-入党初心
学习资料
涂色问题的常见方法
与涂色问题有关
的试题新颖有趣
,
其中包含着丰富的数学思想。
解决涂色问题方法技巧
性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维
能力、分析问题与观察问题的能
力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见
类型及求解方法。
一、区域涂色问题
1
、
根据分
步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例
1
、
用
5
种不同的颜色给图中标①、②、③、④
的各部分涂色，每部分只涂一种
颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种
？
①
③
④
②
分析：先给①号区域涂色有
5
种方法，再给②号涂色有
4
种方法，接着给③
号涂色方
法有
3
种，由于④号与①、②
不相邻，因此④号有
4
种涂法，根据分步计数原理，不同的
涂色方法有
5
4
3
4
240
2
、
根据共
用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加法原理
求出不同的涂色
方法种数。
例
2
、
（
2003
江苏卷）四种不同的
颜色涂在如图所示的
6
个区域，且相邻两个区域不
能同色。
分析：依题意只能选用
< br>4
种颜色，要分四类：
4
（
1
）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
；
⑤
⑥
②
①
④
③
（
2
）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
；
（
3
）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
A
；
4
4
4
4
4
4
< br>（
4
）③与⑤同色、②
与④同色，则有
A
4
；
（
5
）②与④同色、③与⑥同色，则
有
A
4
；
<
/p>
4
所以根据加法原理得涂色方法总数为
5
A
4
=120
例
3
、
（
2
003
年全国高考题）如图所示，一个地区分为
5
个行政区域，现给地图着色，要
求相邻区域不得使用同一颜色，现有
4
种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分
析：依题意至少要用
3
种颜色
2
1)
当
先用三种颜色时，区域
2
与
4
必须同色，
1
5
3
3
2)
区域
3
与
5<
/p>
必须同色，故有
A
4
种；
4
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
3)
当用四种颜色时，若区域
2
与
4
同色，
4
4)
则区域
3
与
5
不同色，
有
A
4
种；
若区域
3
与
5
同色，
则区域
2
与
4
不同色，
4
4
有
A
4<
/p>
种，故用四种颜色时共有
2
A
4
种。由加法原理可知满足题意的着色方
3
4
法共有
A
4
+2
A
4
=24+2
24=72
3
、
根据某
两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入
手，分别计算出
两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例<
/p>
4
用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每
个区域涂一
种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不
同
的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
2
1
4
（
1<
/p>
）
四格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
；
（
2
）
有且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
1
2
2
C
5
A
4
；
3
4
2
5)
两组
对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为
A
5
，
2
1
2
2
因此，所求的涂法种数为
A<
/p>
5
2
C
5
A
4
A
5
260
4
、
根据相间区使用颜色的种类分类
例
5
如图，
6
个扇形区域
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，现给这
6
个区
域着色，要求同一
区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色，现有
4
种不同的颜色
可
A
1
解（
1
）当
相间区域
A
、
C
、
E
着同一种颜色时，
有
4
种着色方法，此时，
B
、
D
、
F<
/p>
各有
3
种着色方法，
此时，
B
、
D
、
F
各有
3
种着色方法故有
4
3
3
< br>3
108
种方法。
2
2
C
D
E
F
B
A
（<
/p>
2
）
当相间区域
A
、
C
、
E<
/p>
着色两不同的颜色时，
有
C
3
A
4
种着色方法，
此时
B
、
2
2
D
、
F
有
3
2
< br>
2
种着色方法，故共有
C
3
A
4
3
2
2
432
种着色方法。<
/p>
3
（
3
）
当相间区域
A
、
C
、
E
着三种不同的颜色时有
A
4
种着色方法，
此时<
/p>
B
、
D
、
各种学习资料，仅供学习与交流
学习资料
F
各有
2
种着色方法。此时共有
A
4
2
2
2
192
种方法。
故总计有<
/p>
108+432+192=732
种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如：如
图，把一个圆分成
n
(
n
2)
个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四
色之一染色，要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？
解：设分成
n
个扇形时染色方法为
a
n
种
（
1
）
当
n=2
时
A
1
、
A
2
有
A
=12
种，即
a
2
=12
2<
/p>
4
3
A
1
A
2
A
n
A
3
A
3
A
4
（
2
）
当分成
n
个扇形，
如图，
A
1
与
A
2
不同色，
A
2
与
A
3
不同色，
，
A
n
1
与<
/p>
A
n
不同色，
共
有
4
3
n<
/p>
1
种染色方法，
但由于
A
n
与
A
1
邻，
所以应排除
A
n
与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A
1
< br>同色时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形，与
前
n
2
个扇
形加在一起为
n
1
< br>个扇形，此时有
a
n
1
种染色法，故有如下递推关系：
a
n
4
3
n
1
a
n
1
a<
/p>
n
a
n
1
4
3
n
1
(
a
n
2
4
<
/p>
3
n
2
)
4
3
n
1
a
n
2
4
3
n
2
4
< br>3
n
1
a
n
3
4
3
n
3
4
3
n
2
< br>4
3
n
1
4
[3
n
<
/p>
1
3
n
2
n
n
(
1)
n
3]
(
1)
< br>
3
3
二、点的涂色问题
方法有：
（
1
）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（
2
）根据相对顶点是否同色分类讨<
/p>
论，
（
3
）将空
间问题平面化，转化成区域涂色问题。
例
6
、将一个四棱锥
S
ABCD
的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异
色，如果只有
5
种颜色可供使用，那么不同的染色方
法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（
1
）
若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点
S
，再从余下的
四种颜色中任选两种涂
A
、
B
、
C
< br>、
D
四点，此时只能
A
与
C
、
B
与
D
各种学习资料，仅供学习与交流