重点小学奥数中的涂色问题
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精心整理
涂色问题的常见方法
与涂色问题有关
的试题新颖有趣
,
其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方
法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与
观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解
方法。
一、
区域涂色问题
1
、
根据分
步计数原理，
对各个区域分步涂色，
这是处理染色问题的基本方
法。
例
1
、
用
5
种不同的颜色给图中标①、②、③、④
的各部分涂色，每部分只涂一
种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种
？
①
③
④
分析：先给①号区域涂色有
5
种方法，再给
②号涂色有
4
种方法，接着给③号涂色
②
方法有
3
种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有
4
种涂法，根据分步
计数原理，
不同的涂色方法有
5
4
3
4
240
2
、
根据共
用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数，再用加
法原理求出不同的涂色
方法种数。
例
2
、
（
2003
江苏卷）四种不同的
颜色涂在如图所示的
6
个区域，且相邻两个区
< br>域不能同色。
分析：依题意只能选用
< br>4
种颜色，要分四类：
（
1
）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
（
2
）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4
4
；
⑥
②
< br>（
3
）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
< br>A
4
4
；
⑤
①
④
③
（
4
）③与⑤同色、②
与④同色，
则有
A
4
4
；
（
< br>5
）
②与④同色、
③与⑥同色，
则有
A
4
4<
/p>
；
所以根据加法原理得涂色方法总数为
5
A
4
4
=120
精心整理
例
3
、
（
2003
年全国高考题）
如图所示，
一
个地区分为
5
个行政区域，
现给地图着
色，
要求相邻区域不得使用同一颜色，现有
4
< br>种颜色可供选择，则不同的着方法共有多
少种？
分析：依题意至少要用
3
种颜色
2
1
1)
当先用三种颜色时，区域
2
与
4
必须同色，<
/p>
3
2)
<
/p>
区域
3
与
5
必须同色，故有
A
4
3
种；
3)
当用四种颜色时，若区域
2
与
4
同色，
4)
则区域
3
与
5
不同色，<
/p>
有
A
4
4
种；
若区域
3
与
5
同色，
则区域
2
与
4
不同色，
有
A
4
4
种，
故用四种颜色时共有
2
A
4
4
种。
由加法原理可知满
足题意的着色方
法共有
A
4
3
+2
A
4
4
=24+2
24=72
3
、
根据某
两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不
4
5
同色入手，
分别计算出两种情形的
种数，
再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例
4
用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四
个区域内，每个区域涂
一种颜色，
相邻两个区域涂不同的颜色，
如果颜色可以反复使用，
共有多少种
不
同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
2
1
4
（
1
）
四
格涂不同的颜色，方法种数为
A
5
4
；
3
（
2
）
有
且仅两个区域相同的颜色，即只
有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为
1
2
2
C
5
A
4
；
5)
两组对角小方格分别涂相同的颜
色，涂法种数为
A
5
2
，
1
2
A
4
A
5
2
260
因此，所求的涂法种数为
A
5
2
2
C
5
4
、
根据相间区使用颜色的种类分类
精心整理
例
5
如图，
6
个扇形区域
A
、
B
、
C
、
D
、
E
、
F
，现给这
6
个区域着色，要求同一
区域涂同一种颜色，
相邻的两个区域不得使用同一种颜色，
现有
4
种不同的颜
C
B
D
色可
A
1
解（
1
）当相间区域
A
、
C
、
E
着同一种颜色时，
A
E
有
4
种着色方法，此时，
B
、
D
、
F
各有
3
种着色方法，
< br>F
此时，
B
、
D
、
F
各有
3
种着色方法故有
4
3
3
3
108
种方法。
（
2
）当相间区域
A
、
C
、
E
着色两不同
的颜色时，有
C
3
2
< br>A
4
2
种着色方法，此时
B
、
D
、
F
有
3
2
2
种着色方法，故共有<
/p>
C
3
2
A
4
2
3
2
2
432
种着色方法。
（
3
）当相间区域
A
、
C
、
E<
/p>
着三种不同的颜色时有
A
4
3
种着色方法，此时
B
、<
/p>
D
、
F
各有
2
种着色方法。此时共有
A
4
3
2
2
2
192
种方法。
< br>故总计有
108+432+192=732
种方法。
说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决
。
如：如图，把一个圆分成
n
(
n
2)
个扇形，每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一
染色，要求相邻扇形不同色
，有多少种染色方法？
A
1
A
2
解：设分成
n
个扇形时染色方法为
a
n
< br>种
（
1
）
当
n=2
时
A
1
、
A
2
有
A
=12
种，即
a
2
=12
2<
/p>
4
A
3
A
n
A
4
A
3
（
2
）
当
分成
n
< br>个扇形，如图，
A
1
与
A
2
不同色，
A
2
与
A
3
不同色，
L
，
A
n
1
与
A
n
不同色，
共有
4
3
n
1
种染色方法，
但由于
A
n
与
A
1
邻，
所以应排除
A
n
与
A
1
同色的情形；
A
n
与
A
1
同色
时，可把
A
n
、
A
1
看成一个扇形，与前
n
2
个扇形加在一起为
n
1
个扇形，此时有
a
n
1
种染色法，故有如下递推关系：
二、
点的涂色问题
方法有：
（
1
）可根据共用了多少种颜色分类讨论，
（
2
）根据相对顶点是否同色分
类讨论，
（
3
）将空间问题平
面化，转化成区域涂色问题。