小学数学奥数基础教程(六年级)--21
傲慢与偏见影评-吉他调弦
小学数学奥数基础教程
(
六年级
)--21
本教程
共
30
讲
枚举法
我们在课堂上遇到的数学问题
，
一般都可以列出算式，
然后求出结果。
但在数学竞赛或生活中却经常会遇到一些有趣的题目，
由于找不到计算它
们的算式，
似乎无从下手。
但是，
< br>如果题目所述的情况或满足题目要求的
对象能够被一一列举出来，
或能被分类列举出来，
那么问题就可以通过枚
举法获得
解决。
所谓
枚举法，
就是根据题目要求
，
将符合要求的结果不重
复、不遗漏地一一列举出来，从而解决
问题的方法。
例
1
小明和
小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。若两
枚骰子的点数和为
7
，则小明胜；若点数和为
8
，则小红胜。试判断他们
两人谁获胜的可能性大。
分析与解；
将两枚骰子的点数和分别为
7
与
8<
/p>
的各种情况都列举出来，
就可得到问题的结论。用
a
＋
b
表示第一枚骰子的点数
为
a
，第二枚骰子
的点数是
b
的情况。
出现
7
的情
况共有
6
种，它们是；
1
＋
6
，
2
＋
5
，
3
＋
4
，
4
＋
< br>3
，
5
＋
2
，
6
＋
1
。
出现
8
的情况共有
5
种，它们是；
2
＋
6
，
3
＋
5
，
4
＋
4
，
5
＋
3
< br>，
6
＋
2
。
所以，小明获胜的可能性大。
注意，本题中若认为出现
7
的情况有
1
＋
6
，
2
＋
5
，
3
＋
4
三种，出现
8
的情况有
2
＋
6
，
3
＋
5
，
4
＋
4
也是三种，从而得“两人获胜的可能性一
样大”，那就错了。
例
2
数一数，右图中有多少个三角形。
1
/
8
<
/p>
分析与解；
图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不
好
数清楚。
为了避免数数过程中的遗漏或重复，
我们将图形的各部分编上号
（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分
成单个的、由两部分
组成的、由
3
部分
组成的……再一类一类地列举出来。
单个的三角形有
< br>6
个；
1
，
< br>2
，
3
，
5
，
6
，
8
。
由两部分组成的三角形有
4
个；
（
1
，
2
），（
2
，
6
），（
4
，
6
），（
5
，
7
）。
< br>
由三部分组成的三角形有
1
个；（
5
，
7
，
8
）。<
/p>
由四部分
组成的三角形有
2
个；
（
1
，
3
，
4
，
5
），（
2
，
6
，
7
，
8
）。
由八部分组成的三角形有
1
个；
（
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
< br>8
）。
总共有
6
＋
4
＋
1
＋
2
＋
1=14
（个
）。
对于这类图形的计数问题，分类型数是常用的方法。
例
3
在算盘上，用两颗珠子可以表示多少个不同的四位数？
分析与解；
上珠一个表示
5
，下珠一个表示
1<
/p>
。分三类枚举；
（
1
）两颗
珠都是上珠时，可表示
5005
，
50
50
，
5500
三个数；
（
< br>2
）两颗珠都是下珠时，可表示
1001
，
1010
，
1100
，
2000
四个数；
（
3
）
一颗上珠、
一颗下珠时，
可表示
5001
，
5010<
/p>
，
5100
，
1
005
，
1050
，
< br>1500
，
6000
七个数。<
/p>
一共可以表示
3
＋
< br>4
＋
7=14
（个）四位数。<
/p>
由例
1
～
3
看出，当可
能的结果较少时，可以直接枚举，即将所有结
果一一列举出来；
当可能的结果较多时，
就需要分类枚举，
分类枚举是我
2
/
8
们需重点学习掌握的内容。
分类一定
要包括所有可能的结果，
这样才能不
遗漏，并且类与类之间不重
叠，这样才能不重复。
例
4
有一只
无盖立方体纸箱，将它沿棱剪开成平面展开图。那么，
共有多少种不同的展开图？
分析与解；<
/p>
我们将展开图按最长一行有多少个正方形
（纸箱的面）
来
分类，可以分为三类；
最长一行有
4
个正方形的有
2
种，见图（
1
）（
2
）；
最长一行有<
/p>
3
个正方形的有
5
种，见图（
3
）～（
7
）；
最长一行有
2
个正方形的有
1
种，见图（
8
）。
不同的展开图共有
2
＋
5
＋
1
＝
8
< br>（种）。
例
5
小明的
暑假作业有语文、算术、外语三门，他准备每天做一门，
且相邻两天不做同一门。
如果小明第一天做语文，
第五天也做语文，
那
么，
这五天作业他共有多少种不同的安排？
分析与解；
本题是分步进行一项工作，
每步有若干种选择，
求不同安
排的种数
（有一步差异即为不同的安排）
。
这类问题简单一些的可用乘法
原理与加法原理来计算，
而本题中由于限定条件较多，
很难列出算式计算。
但是，
我们可以根据实际的安排，
对每一步可能的选择画出一
个树枝状的
图，非常直观地得到结果。这样的图不妨称为“枚举树”。
< br>
3
/
8
由上图可知，共有
6
种不同的安排。
例
6
一次数
学课堂练习有
3
道题，老师先写出一个，然后每隔
5
分
钟又写出一个。规定；（
1
）每个学生在老师写出一个新题时，如果原有
题还没有做完
，那么必须立即停下来转做新题；（
2
）做完一道题时，如
果老师没有写出新题，
那么就转做前面相邻未解出的题。
解完各题的不同
顺序共有多少种可能？
分析与解；
与例
5
类似，
也是分步完成一项工作
，
每步有若干种可能，
因此可以通过画枚举树的方法来求解。但
必须考虑到所有可能的情形。
由上图可知，共有
5
种不同的顺序。
说明；
必须正确理解图示顺序的实际过程。如左上图的下一个过程，<
/p>
表示在第一个
5
分钟内做完了第
1
题，在第二个
5
分钟
内没做完第
2
题，
这时老师写出第
3
题，只好转做第
3
题，做完后再转做第
2
题。
例
7
是否存
在自然数
n
，使得
n
< br>2
＋
n
＋
2
能被
3
整除？
分析与解；
枚举法通常是对有限种情况进行枚举，
但是本题讨论的对
象是所有自然数，
自然数有无限多个，
那么能否用枚举法呢？
我们将自然
数按照除以
3
的余数分类，
有整除、
余
1
和余
2
三类，
这样只要按类一一
枚举就可以了。
当
n
能被
3<
/p>
整除时，因为
n
2
，
n
都能被
3
整除，所以
< br>（
n
2
＋
n
＋
2
）÷
3
余
2
；
当
n
除以
3
余
1
时，因为
n
2
，
n
除以
3
都余
1
，所以
（
n
2
＋
n
＋
2
）÷
3
余
1
；
当
n
除以
3
余
2
时，因为
n
2
÷
3
余
1
，
n
÷<
/p>
3
余
2
，所以<
/p>
（
n
2
＋
n
＋
2
）÷
3
余
2
。
因为所有的自然数都在这三类之中
，
所以对所有的自然数
n
，
（
n
2
＋
n
＋
2
）都不能被
3
整除。
练习
21
4
/
8