小学奥数应用题综合之还原问题(一)(教师版)
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6-1-2.
还原问题（一）
教学目标
本讲主要学习还原问题．通过本节课的学习，可以使学生掌握
倒推法的解题思路以及方法，并会运用
倒推法解决问题．
1.
掌握用倒推法解单个变量的还原问题．
2.
了解用倒推法解多个变量的还原问题．
3.
培养学生
“
倒推
”
的思想．
知识点拨
一、还原问题
已知一个数，经过某些运算之后，得到了一个新数，求原来的数是多少的应用问题，它的解法常常是以
新数为基础，按运算顺序倒推回去，解出原数，这种方法叫做逆推法或还原法，这种问题就是还
原问题．
还原问题又叫做逆推运算问题．解这类问题利用加减
互为逆运算和乘除互为逆运算的道理，根据题意的
叙述顺序由后向前逆推计算．在计算过
程中采用相反的运算，逐步逆推．
二、解还原问题的方法
在解题过程中
注意两个相反：一是运算次序与原来相反；二是运算方法与原来相反．
方法：
倒推法。
口诀：
加减互逆，乘除互逆，要求原数，逆推新数．
关键：
从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原
来运算的逆运算，即变加为减，变
减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺
序，正确使用括号
.
例题精讲
模块一、计算中的还原问题
【例
1
】
一个数的四分之一减去
5
，结果等于<
/p>
5
，则这个数等于
_____
。
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】
2005
年，希望杯，第三届，五年级，二试，第
3
题
2
【解析】
方
法一：倒推计算知道，一个数的四分之一是
10
，所以这个数是
10
4=
40
。
1
方
法二：令这个数为
x
,
则
x
5
< br>5
，所以
x
< br>40
。
4
【答案】
40
【例
2
】
某数先加上
3
，再乘以
3
，然后除以
2
，最后减去<
/p>
2
，结果是
10
，问：原数是多少？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
分
析时可以从最后的结果是
10
逐步倒着推。这个数没减去
2
时应该是多少？没除以
2
< br>时应该是多
少？没乘以
3
时应该
是多少？没加上
3
时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某
数。如果没减
去
2
，
< br>此数是：
如果没除以
2
，
此数是：
如果没乘以
3
，
此数是：
24
< br>3
8
，
10
2
12
，
12
2
24
，
如
果没加上
3
，此数是：
8
3
5
< br>，综合算式
10
2
2
3
3
5
，原数是
5.
【答案】
5
【巩固】
(2008
年
“
陈省身杯
”
国际青少年数学邀请赛
)
有一个数，如果用它加上<
/p>
6
，然后乘以
6
，再减去
6
，
最后除以
6
，所得的商还是
6
，那么这
个数是
。
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】填空
【关键词】可逆思想方法
【解析】
将
最终结果进行逆推，得：
（
6
6
6
）
< br>6
6
1
【答案】
1
【巩固】
一个数减
< br>16
加上
24
，再除以
7
得
36
，求这个数．
你知道这个数是几吗
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
36
7
24
16
244
.
【答案】
244
【巩固】
少先队员采集树种子，采得的个数是一个有趣的数．把这个数除以
5
，再减去
25
，还剩
25
，你算一
算，共采集了多少个树种子
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
（
25
25
）
5
25
0
(
个
)
，即
共采集了
250
个树种子
.
【答案】
250
【例
3
】
学学做了这样一道题：某数加上
10
，乘以
10
，减去
10
，除以
10
，其结果等于
10
，求这个数．小
< br>朋友，你知道答案吗？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
根
据题意，一个数，经过加法、乘法、减法、除法的变化，得到结果
10
< br>，应用逆推法，由结果
10
，
根
据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
10
10
100
，
100
<
/p>
10
110
，
110
10
11
，
11
10
1
综
合算式为：
（
10
< br>
10
10
< br>）
10
10
（
100
< br>
10
）
10
10
110
10
< br>10
11
< br>10
1
所以这个数为
1.
解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理
，每一步运算都是原来运算的逆
2
运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘．列式时还要注意运算顺序，正确使
用括号，
这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法．
【答案】
1
【巩固】
学学做了这样一道题：一个
数加上
3
，减去
5
，乘以
4
，除以
6
得
16
，求这个数．小朋友，你知道
< br>答案吗？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
根
据题意，一个数，经过加法、减法、乘法、除法的变化，得到结果
16
< br>，应用逆推法，由结果
10
，
根
据加、减法与乘、除法的互逆运算，倒着往前计算．
某数
+
3
-
5
×
4
÷
6
16
综合算式为：
16<
/p>
6
4
5
3
96
4
5
3
< br>
24
5
3
29
3
26
【答案】
26
【巩固】
一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：
“
我得了多少分？
”
老师说：
“
你的得
分减去
6
后，缩小
2
< br>倍，
再加上
10
后，扩大
2
倍，恰好是
100
分
”
．小刚这次竞赛得了多少分？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
1
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
从
最后一个条件
“
恰好是
100
分
”
向前推算．扩大
2
倍是
100
分，没有扩大
2
倍之前应是
100
2
50
(
分
)
，加上
10
后是
50
分，没
有加上
10
前应是
50
10
40
(
分
)
，缩小
2
倍是
40
分，那么没有缩小
2
倍
前应是
4
0
2
80
(
分
)
，减去
6
后是
80
分
，没有减去
6
前应是
80
6
86
(
分
)
．综合列式为：
(100
2
10)
2
6
40
2
6
86
(
分
)
，所以，小刚这次竞赛得了
86
分．
【答案】
86
【例
4
】
牛老师带着
37
名同学到野外春游．
休息时，
小强问：
“
牛老师您今年多少岁啦
?<
/p>
”
牛老师有趣地回答：
“
我的年龄乘以
2
，减去
16<
/p>
后，再除以
2
，加上
8
，结果恰好是我们今天参加活动的总人数．
”
小朋
友们，你知道牛老师今年多少岁吗
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
采
用倒推法
，
我们可以从最后的结果
“<
/p>
参加活动的总人数
”
即
< br>38
倒着往前推．这个数没加上
8
时应是
多少？没除以
2
时应是多少？
没减去
16
时应是多少？没乘以
2
时应是多少？
这样依次逆推，就可以求出牛老师今年的岁数．没加上
8
时应是：
38
8<
/p>
30
；没除以
2
时应是：
30
2
60
；
没
减
去
16
时
应
是
：
60
16
76
；
没
乘
以
2
时
应
是
：
76
2
38
，
即
（
[
38
8
）
2
16]
2
< br>
38
(
岁
).
【答案】
38
岁
【巩固】
小智问小康：
“
你今年几岁？
< br>”
小康回答说：
“
用我的年龄数
减去
8
，乘以
7
，加上
6
，除以
5
< br>，正好
等于
4.
请你算一算，我今年几岁？
”
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
分
析时可以从最后的结果是
4
逐步倒着推。这个数没除以
5
时应该是多少？没没加上
6
< br>时应该是多
少？没乘以
7
时应该
是多少？没减去
8
时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某
数。
如果没除以
5
< br>，此数是：
4
5
20
2
如果
没加上
6
，此数是：
20
6
14
如果没乘以
7
，此数是：<
/p>
14
7
2
如果没减去
8
，此数是：
2
8
10
答：小康今年
10
岁。
【答案】
10
岁
【巩固】
在小新爷爷今年的年龄数减去
15
后
,
除以
4,
再减去
6
之后
,
乘以
10,
恰好是
100,
问
:
小新爷爷今年多少
岁数
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
采
用倒推法，
(100
10
6)
4
15
79
（岁）
.
【答案】
79<
/p>
岁
【巩固】
学学和思思在游玩时，遇到
一位小神仙，他们问这位神仙：
“
你一定不到
< br>100
岁吧！
”
谁知这位神仙<
/p>
摇摇头说：
“
你们算算吧！把我的年龄加
上
75
，再除以
5
，然后减去
15
，再乘以
10
，恰好是
2000
岁．
”
小朋友，你知道这位神仙现在有多少岁吗？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
这
就是一个还原问题，
可以用倒推法解决．
从结果
“2000”
逐步倒着推，
没乘
10
时是多少？没减去
15
时是多少
？没除以
5
时是多少？没加
75
时是多少？这样依次倒推，就可以知道神仙的年龄了．
⑴
“
乘以<
/p>
10
，恰好是
2000”
，不乘
10
时，应该是：
20
00
10
200
⑵
“
减去
15”
是
200
，不减
15
时，应该是：
200
15
<
/p>
215
⑶
“
除以<
/p>
5”
是
215
，
不除以
5
，应该是：
215
5
1075
⑷
现在的年龄加上
75
是
10
75
，如果不加
75
，这个数是：
1075
75
1000
也就是神仙现在的年龄是
1000
岁．
验算：按原题顺序进行列式计算，看最后是否等于
2000
，如果等于
2000
，则解题正确．
综合算式：
4<
/p>
5
6
7
8
10
（岁）
1000
75
1075
，
10
75
5
2
15
，
215
15
200
，
200
10
< br>2000
．
【答案】
2000
岁
【例
5
】
在电脑里先输入一个数，它会按给定的指令进行如下运算：如果输入的数是偶数，就把它
除
以
2
；如果输入的数是奇数，就把它
加上
3
．同样的运算这样进行了
3
次，得出结果为
27
．原
< br>来输入的数可能是
．
【考点】计算中的还原问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】可逆思想方法，第七届，小数报
【解析】
本
题用倒推法解．最后结果是
27
，上一步的结果是
54
，再上一步的结果是
108
或
51
，原来输入的
数是
216
，
105
，
102
．思路如下：
216
108
105
54
27
102
51
4
8(
不合
意
)
24(
不合
意
)
【答案】
216
或
105
或
102
，答案不唯一
2
【例
6
】
假设有一种计算器，它由
A
、
B
、
C
、
D
四种装置组成，将
一个数输入一种装置后会自动输出
另一个数。各装置的运算程序如下：
< br>
装置
A
：将输入的数加上
6
之后输出；装置
B
：将输入
的数除以
2
之后输出；装置
C
：将输入的数减去
5
之后输出；装置
D
：将输入的数乘以
< br>3
之
后输出。这些装置可以连接，如在装置
A
后连接装置
B
，就记作：
A
→
B
。例如
：输人
1
后，
经过
A
→
B
，输出
3
．
5
。
(1)
若经过
A
→
B
→
C
→
D
，输出
120
，则输入的数是多少<
/p>
?(2)
若经过
B
→
D
→
A
→
C
，输出
13
，则输入的数是多少
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
3
星
【题型】填空
【关键词】
2006
年，希望杯，第四届，五年级，二试，第
16
题，可逆思想方法
【解析】
方
法一：逆向考虑。
（
1
）输入到
D
的数为
120÷
3
=40
，输入到
C
的数为
40+5=45
，输入到
B
的数为
45×
2=90
，
所以输入到
A
的数是
90-
6=84
。
（
2
）
输入到
C
的数是
< br>13+5=18
，
输入到
A
的数是
18-6=12
，
< br>输入到
D
的数是
12÷
3=4
，所以输入到
B
的数是
4×
2=8
。
< br>
y
x
6
方法二：
(1)
设输入的数是
x
，
则
(
x
=84
。
(2)
设输入的数
是
y
，
则
<
/p>
3
6
5=13
，
5
3=120
解
得，
2
2
解得
y
=8
【答案】（
1
）
84
< br>；（
2
）
8
【例
7
】
哪吒是个小马虎，
他在做一道减法题时，
把被减数十位上的
6
错写成
9
，
减数个位上
的
9
错写成
6
，
最后所得的差是
577
，那么这道题
的正确答案应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
被
减数十位上的
6
变成
9
，使被减数增加
90
60<
/p>
30
，差也增加了
30
；减数个位上的
9
错写成
6
，
使减数减少了
9
6
3<
/p>
，
这样又使差增加了
3
< br>，
这道题可以说成：
正确的差加上
30
后又加上
3
得
< br>577
，
求正确的差．所以列式得：
577
（
9
6
）
（
90
60
）
544
．这题的正确答案应该是<
/p>
544
．
【答案】
544
【巩固】
小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的
9
看作
6
，十位上的
6
看作<
/p>
9
，结果和是
174
，那么
正确的结果应该是多少呢？
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
我
们可以这样理解这道题的意思：
一个数
(
正确答案
)
，
由于小马虎两次错误的
计算，
变成了另一个数
(
错误结果
)
，我们知道引起这种变化的原因是：
<
/p>
①
把个位上的
9
看作
6
，这就相当于把正确答案减少了
9
6
3<
/p>
②
把十位上的
6
看作
9
，这就相当于把正确答案增加
了：
10
（
9
6
）
<
/p>
30
这样原题就变成了
“
一个数减去
3
，
再加上
30
，
所得结果是
174
，
求这个数．
< br>”
我们只要把少加的加上，
多加的减去，就可以求出正确
的结果：
174
（
< br>9
6
）
10
（
9
6
）
<
/p>
174
3
<
/p>
30
147
【答案】
147
【巩固】
淘气在做一道减法时，把减数个位上的
9
看成了
3
，
把十位上的
4
看成了
7
，得到的结果是
164
，请
你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢
?
【考点】计算中的还原问题
【难度】
2
星
【题型】解答
【关键词】可逆思想方法
【解析】
164
(73
49)
188
或
164
6
30
188
.
【答案】
188
【巩固】
小新在做一道加法题，
由于粗心，
将个位上的
< br>5
看作
9
，
把十位上的
8
看作
3
，
结果所得的和是
123
．
正
2